画法透视和阴影几何2.3画法几何_平面

1、2.3 平面 2.3.1 平面的表示法平面的表示法 2.3.2 各种位置平面的投影各种位置平面的投影 2.3.3 平面上的直线和点平面上的直线和点 2.3.1 平面的表示法 用几何元素表示平面有五种形式：用几何元素表示平面有五种形式： 不在一直线上的三个点；不在一直线上的三个点； 一直线和直线外一点；一直线和直线外一点； 相交两直线；相交两直线； 平行两直线；平行两直线； 任意平面图形。任意平面图形。 c b a a b c b a a c b c b a a c b c a a b c b c 几何元素表示法 a b c a b c d d 迹线表示法 V W H Z Y O X P PW

2、PH PX PY PZ X Z YW YH O PW PY PY PH PV PX PZ PV 迹线：迹线：平面和投影面的交线。平面和投影面的交线。 HHH 类似形类似形积聚为线积聚为线反映实形反映实形 2.3.2 各种位置平面的投影 V W H Z Y O X 一般位置平面 一般位置平面一般位置平面 对三个投影面都倾斜的平面对三个投影面都倾斜的平面 b a a c a c b b c A B C X Z YW YH O b b b a c a c a c 一般位置平面 实形实形: : 平面图形的平面图形的空间实际形状及大小空间实际形状及大小 倾角倾角: : 平面和投影面的夹角平面和投影面的夹

3、角 、 V W H Z Y O X b a a c a c b b c A B C X Z YW YH O b b b a c a c a c 一般位置面的投影特性：一般位置面的投影特性： 三个投影均为原图形的三个投影均为原图形的类似形类似形 均不反映平面的倾角均不反映平面的倾角 一般位置平面 V W H Z Y O X b a a c a c b b c A B C X Z YW YH O b b b a c a c a c 投影面垂直面 u 铅垂面铅垂面（H） u 正垂面正垂面（V） u 侧垂面侧垂面（W） 投影面垂直面投影面垂直面 垂直于某一投影面，倾斜于另外两个投影面的平面。垂直于某一

4、投影面，倾斜于另外两个投影面的平面。 投影面垂直面 铅垂面铅垂面 V W H Z Y O X X Z YW YH O b b b a c a c a c P A B C a b c 投影面垂直面 V W H Z Y O X P PW PH PV X Z YW YH O PWPV PH 铅垂面铅垂面 V W H Z Y O X P 投影面垂直面 A B C b c a X Z YW YH O b b a c a a c b c 正垂面正垂面 投影面垂直面 V W H Z Y O X PW PH PV X Z YW YH O P PV PW PH 正垂面正垂面 V W H Z Y O X P 投影

5、面垂直面 A B C b a c X Z YW YH O b b a c a a c b c 侧垂面侧垂面 V W H Z Y O X P 投影面垂直面 X Z YW YH O PW PH PV PV PH PW 侧垂面侧垂面 投影面垂直面 投影面垂直面的投影特性： 在所垂直的投影面上的投影积聚为倾斜于在所垂直的投影面上的投影积聚为倾斜于 投影轴的投影轴的直线直线，并反映平面对另外两个投影，并反映平面对另外两个投影 面的倾角；另两个投影为原图形的面的倾角；另两个投影为原图形的类似形类似形。 投影面平行面 u 水平面水平面（H） u 正平面正平面（V） u 侧平面侧平面（W） 投影面平行面投影面

6、平行面 平行于某一投影面，同时垂直于另外两个投影平行于某一投影面，同时垂直于另外两个投影 面的平面。面的平面。 V W H Z Y O X P 投影面平行面 A B C b c a b a c a b c X Z YW YH O a b c a b c b a c 水平面水平面 投影面平行面 V W H Z Y O X PW X Z YW YH O PV P PVPW 水平面水平面 V W H Z Y O X 投影面平行面 c ab c P b a b X Z YW YH O a b c a b c b a c A B C a 正平面正平面 V W H Z Y O X 投影面平行面 X Z Y

7、W YH O P PW PH PH PW 正平面正平面 V W H Z Y O X 投影面平行面 c a b c b a b a P A C B c X Z YW YH O a b c a b c b a c 侧平面侧平面 V W H Z Y O X 投影面平行面 P X Z YW YH O PH PVPV PH 侧平面侧平面 投影面平行面 投影面平行面的投影特性： 在所平行的投影面上的投影反映平面图形的在所平行的投影面上的投影反映平面图形的实实 形形；另两个投影积聚为平行于投影轴的；另两个投影积聚为平行于投影轴的直线直线。 一般位置面 三线框 三个投影均为类似形，均不反映实形及倾角。 投影面

8、垂直面 一线两框 一个投影积聚成倾斜线，反映两倾角；两个投影为 类似形。 投影面平行面 一框两线 一个投影反映实形；两个投影积聚成平行线。 三类平面投影特性比较： 例例 判断下列平面的位置，可能时注出倾角及实形。判断下列平面的位置，可能时注出倾角及实形。 a b b c a c c c b b a a 实形实形 例例 分析图示正三棱锥各表面的投影。分析图示正三棱锥各表面的投影。 a (c ) a b c b s b a s c s a (c ) a b c b b a c 实形实形 例例 分析图示正三棱锥各表面的投影。分析图示正三棱锥各表面的投影。 a (c ) a b c b s b a s

9、 c s a (c ) a c s a s c s 例例 分析图示正三棱锥各表面的投影。分析图示正三棱锥各表面的投影。 a (c ) a b c b s b a s c s b a a b s b a s s 思考题：如何求三角形思考题：如何求三角形SAB实形？实形？ 2.3.3 平面上的直线和点 一般位置平面上取直线和点 a b c a b c 平面上取直线平面上取直线 d d e e A B C E F f f D u通过平面内两已知点通过平面内两已知点 u通过平面内一已知点，且平行于平面内一已知直线通过平面内一已知点，且平行于平面内一已知直线 a b c a b c 平面上取点平面上取点

10、 d d e e A B C E D p点在平面内一已知线上，则点在平面上。点在平面内一已知线上，则点在平面上。 K k k 例例 已知平面上点已知平面上点M M的正面投影，求其水平及侧面投影。的正面投影，求其水平及侧面投影。 a a b b s b a s s m m 1 1 m 辅助线法辅助线法 m 1 例例 已知平面上点已知平面上点M M的正面投影，求其水平及侧面投影。的正面投影，求其水平及侧面投影。 a a b b s b a s s m 1 辅助线法辅助线法 2 2 m a (c ) a b c b b a c m m m 由于特殊位置平面至少有一个投影有积聚性，由于特殊位置平面至少

11、有一个投影有积聚性， 因此可直接因此可直接利用积聚性利用积聚性求解。求解。 特殊位置平面上取直线和点 例例 已知平面上点已知平面上点M M的正面投影，求其水平及侧面投影。的正面投影，求其水平及侧面投影。 a (c ) a c s a s c s m m m 例例 直线直线EFEF在平面在平面P P内，已知其正面投影，求水平投影。内，已知其正面投影，求水平投影。 e e f PH PV f 例例 直线直线EFEF在平面内，已知其水平投影，求正面投影。在平面内，已知其水平投影，求正面投影。 e f a b c k a b c e f k 例例 已知已知ADAD为正平线，补全平面图形为正平线，补全平

12、面图形ABCDABCD的水平投影。的水平投影。 a b c a b c d d m m 例例 判断图示四点是否共面。判断图示四点是否共面。 a b m a c b c d d m 例例 判断图示四点是否共面。判断图示四点是否共面。 a b a c b c d d u平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线 u平面上的最大斜度线平面上的最大斜度线 平面上的特殊位置直线 V H P PV PH 平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线 平面上的水平线平面上的水平线 平面上的正平线平面上的正平线 平面上的投影面平行线：平面上的投影面平行线：平面上平行于投影面的直线。平面上平行于投影面的直线。 V H

13、 P PV PH 平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线 平面上的水平线平面上的水平线（ H ） 平面上的正平线平面上的正平线（ V ） 平面上的侧平线平面上的侧平线（ W） 平面上的水平线平面上的水平线 平面上的正平线平面上的正平线 平面的迹线是平面上的投平面的迹线是平面上的投 影面平行线的特殊情况。影面平行线的特殊情况。 a b a c b c e e f f m n d m n d 例例 作平面上的投影面平行线。作平面上的投影面平行线。 平面上的投影面平平面上的投影面平 行线有无数条行线有无数条 它们是互相平行的它们是互相平行的 例：过点例：过点A A作平面上的水平线，过点作平面上的水

14、平线，过点C C作平面上的正平线。作平面上的正平线。 a b c b a c e d d e 平面上的投影面平行平面上的投影面平行 线常用来作辅助线。线常用来作辅助线。 e a b c b a c f f e 例：例：在在 ABCABC平面上取点平面上取点K K，使其距离，使其距离H H面面1515，距离，距离V V面面1010。 n m m n 15 10 k k 平面上的最大斜度线平面上的最大斜度线: : 平面上垂直于投影面平行线的直线。平面上垂直于投影面平行线的直线。 平面上的最大斜度线平面上的最大斜度线 V W H Z Y O X P PW PH PV 对对V面的最大斜度线面的最大斜度

15、线 对对H面的最大斜度线面的最大斜度线 对对W面的最大斜度线面的最大斜度线 平面上的投影面平行线有无数条；平面上的投影面平行线有无数条； 平面上的最大斜度线也有无数条。平面上的最大斜度线也有无数条。 V W H Z Y O X P PW PH PV 平面上的最大斜度线平面上的最大斜度线 H a m A B C D 最大斜度线的投影特性最大斜度线的投影特性 平面上的最大斜度线平面上的最大斜度线 b nN M u平面上平面上对对H H面面的的最大斜度线的最大斜度线的水平投影水平投影垂直于平面垂直于平面 上上水平线水平线的的水平投影水平投影。 a b a c b c d d m n m n u平面上

16、平面上对对H H面面的最的最 大斜度线的大斜度线的水平投影水平投影 垂直于平面上垂直于平面上水平线水平线 的的水平投影水平投影。 V W H Z Y O X P PW PH PV 平面上的最大斜度线平面上的最大斜度线 u平面上平面上对对V V面面的最大斜的最大斜 度线的度线的正面投影正面投影垂直于平垂直于平 面上面上正平线正平线的的正面投影正面投影。 u平面上平面上对对W W面面的最大斜的最大斜 度线的度线的侧面投影侧面投影垂直于平垂直于平 面上面上侧平线侧平线的的侧面投影侧面投影。 最大斜度线的投影特性最大斜度线的投影特性 H 最大斜度线是平面上对投影面倾角最大的直线。最大斜度线是平面上对投影面倾角最大的直线。 最大斜度线的倾角代表了平面的倾角。最大斜度线的倾角代表了平面的倾角。 平面上的最大斜度线平面上的最大斜度线 a m A B C D b nN M 1 J j 最大斜度线的几何意义最大斜度线的几何意义 a b c b a c 例：例：求求 ABCABC平面对平面对H H面的倾角面的倾角 。 d e d e 例：例：求求 ABCABC平面对平面对V V面的倾角面的倾角 。 a b c b a c d e d