线性空间与线性变换习题

1、第六章第六章 习题课习题课 定义定义: 设设V是一个非空集合是一个非空集合, R为实数域为实数域. 如果对于如果对于 任意两个元素任意两个元素 , V, 总有唯一的一个元素总有唯一的一个元素 V与之与之 对应对应, 称称 为为 与与 的和的和(简称简称加法运算加法运算), 记作记作 = + . 若对于任一数若对于任一数 R与任一元素与任一元素 V, 总有唯一的总有唯一的 元素元素 V与之对应与之对应, 称称 为为数数 与与 的积的积(简称简称数乘运算数乘运算), 记作记作 = . 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那那 么么, 就称就称V为为数域数

2、域R上的向量空间上的向量空间(或或线性空间线性空间): 设设 , , , O O V, 1, l, k R, (1) 加法交换律加法交换律: + + = = + + ; (2) 加法结合律加法结合律: ( ( + + )+)+ = = +(+( + + ) ) ; (3) 零元素零元素: 存在存在O O V, 对任一向量对任一向量 , 有有 +O= ; (4) 负元素负元素: 对任一对任一元素元素 V, 存在存在 V, 有有 + + = =O O , 记记 = = ; (5) 1 = ; (6) 数乘结合律数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对加法的分配律数乘对加法的分配

3、律: k( + )= k +k ; (8) 数量加法对数乘的分配律数量加法对数乘的分配律: (k+l) = k +l . 1. 零元素是唯一的零元素是唯一的. 2. 负元素是唯一的负元素是唯一的. 3. 0 =0; (1) = ; 0=0. 4. 如果如果 = 0, 则则 = 0 或或 = 0. 定义定义2: 设设V是一个线性空间是一个线性空间, L是是V的一个非空子的一个非空子 集集, 如果如果L对于对于V中所定义的加法和乘数两种运算也构中所定义的加法和乘数两种运算也构 成一个线性空间成一个线性空间, 则称则称L为为V的的子空间子空间. 定理定理: 线性空间线性空间V的非空子集的非空子集L构

4、成子空间的充分构成子空间的充分 必要条件是必要条件是: L对于对于V中的线性运算封闭中的线性运算封闭. 定义定义: 在线性空间在线性空间V中中, 如果存在如果存在n个元素个元素 1, 2, , n V, 满足满足: (1) 1, 2, , n 线性无关线性无关; (2) V中任意元素中任意元素 总可以由总可以由 1, 2, , n线性表示线性表示, 则称则称 1, 2, , n为线性空间为线性空间V的一个的一个基基, 称称n为线性空为线性空 间间V的的维数维数. 当一个线性空间当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向中存在任意多个线性无关的向 量时量时, 就称就称V是是无限维的无限维的. 维

5、数为维数为n的线性空间的线性空间V称为称为n维线性空间维线性空间, 记作记作Vn. 若若 1, 2, , n为为Vn的一个基的一个基, 则则Vn可表示为可表示为: Vn = = x1 1+x2 2+xn n | x1, x2, , xn R 定义定义: 设设 1, 2, , n为线性空间为线性空间Vn的一个基的一个基, 对对 任意任意 V, 总有且仅有一组有序数总有且仅有一组有序数x1, x2, , xn, 使使 = x1 1+x2 2+xn n , 则称有序数组则称有序数组 x1, x2, , xn 为为元素元素 在基在基 1, 2, , n 下的坐标下的坐标, 并记作并记作 = (x1,

6、x2, , xn)T. 线性空间线性空间V的任一元素在一个基下对应的坐标是的任一元素在一个基下对应的坐标是 唯一的唯一的, 在不同的基下所对应的坐标一般不同在不同的基下所对应的坐标一般不同. 在向量用坐标表示后在向量用坐标表示后, 它们的运算就归结为坐标它们的运算就归结为坐标 的运算的运算, 因而对线性空间因而对线性空间Vn的讨论就归结为线性空间的讨论就归结为线性空间 Rn的讨论的讨论. 定义定义: 设设U, V是两个线性空间是两个线性空间, 如果它们的元素之如果它们的元素之 间有一一对应关系间有一一对应关系, 且这个对应关系保持线性组合的且这个对应关系保持线性组合的 对应对应, 那末就称线性

7、空间那末就称线性空间U与与V同构同构. 结论结论1. 同一数域同一数域P上的同维数线性空间都同构上的同维数线性空间都同构; 结论结论2. 同构的线性空间之间具有同构的线性空间之间具有等价性等价性. 同构的意义同构的意义: 在对抽象线性空间的讨论中在对抽象线性空间的讨论中, 无论构成线性空间无论构成线性空间 的元素是什么的元素是什么, 其中的运算是如何定义的其中的运算是如何定义的, 我们所关心我们所关心 的只是这些运算的代数的只是这些运算的代数(线性运算线性运算)性质性质. 从这个意义从这个意义 上可以说上可以说, 同构的线性空间是可以不加区别的同构的线性空间是可以不加区别的, 而有限而有限 维

8、线性空间唯一本质的特征就是它的维数维线性空间唯一本质的特征就是它的维数. + + + += = + + + += = + + + += = nnnnnn nn nn ppp ppp ppp 2211 22221122 12211111 设设 1, 2, , n及及 1, 2, , n是是n维线性空间维线性空间Vn的的 两个基两个基, 且有且有 称以上公式为称以上公式为基变换公式基变换公式. 在基变换公式中在基变换公式中, 矩阵矩阵P称为由基称为由基 1, 2, , n到到 基基 1, 2, , n的的过渡矩阵过渡矩阵, 过渡矩阵过渡矩阵P是是可逆的可逆的. ( 1, 2, , n)=( 1,

9、2, , n)P 将上式用矩阵形式表示为将上式用矩阵形式表示为: 定理定理1: 设设n维线性空间维线性空间Vn中的元素中的元素 , 在基在基 1, 2, , n下的坐标为下的坐标为: (x1, x2, , xn)T, 在基在基 1, 2, , n 下的坐标为下的坐标为: (x1 , x2 , , xn )T, 若两个基满足关系式若两个基满足关系式: ( 1, 2, , n)=( 1, 2, , n)P. 则有则有坐标变换公式坐标变换公式: , 2 1 2 1 = = nn x x x P x x x . 2 1 12 1 = = nn x x x P x x x 或或 反之反之, 若任一元素的

10、两种坐标满足上述坐标变换若任一元素的两种坐标满足上述坐标变换 公式公式, 则两个基满足基变换公式则两个基满足基变换公式: ( 1, 2, , n)=( 1, 2, , n)P. 定义定义: 设有两个非空集合设有两个非空集合A, B, 如果对于如果对于A中任一中任一 元素元素 , 按照一定按照一定规则规则, 总有总有B中一个确定的元素中一个确定的元素 和它和它 对应对应, 那么那么, 这个对应规则称为从集合这个对应规则称为从集合A到集合到集合B的的变变 换换(或称或称映射映射), 记作记作 =T( ) 或记作或记作 =T ( A). 设设 A, T( )= , 就说变换就说变换T把元素把元素 变

11、为变为 , 称称 为为 在变换在变换T下的下的象象, 称称 为为 在变换在变换T下的下的源源(或或象源象源), 称称 A为变换为变换T的的源集源集, 象的全体所构成的集合称为象的全体所构成的集合称为象集象集, 记作记作T(A), 即即 变换概念是函数概念的推广变换概念是函数概念的推广. T(A)= =T( ) | A . 显然显然, T(A) B. 定义定义: 设设Vn, Um分别是实数域分别是实数域R上的上的n维和维和m维线维线 性空间性空间, T是一个从是一个从Vn到到Um的变换的变换, 如果变换如果变换T满足满足: (1) 任给任给 1, 2 Vn , 都有都有 T( 1+ 2)=T(

12、1)+T( 2); (2) 任给任给 Vn , k R, 都有都有 T(k )= kT( ). 则称则称T为从为从Vn到到Um的的线性变换线性变换. 一个从线性空间一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性到其自身的线性变换称为线性 空间空间Vn中的线性变换中的线性变换. 零变换零变换O: O( )=0 恒等变换恒等变换(或称单位变换或称单位变换)E: E( )= , V, 1. T(0)=0, T( )=T( ). 2. 若若 =k1 1+k2 2+km m , 则则 T =k1T 1+k2T 2+kmT m . 3. 若若 1, 2, , m 线性相关线性相关, 则则T 1, T 2,

13、, T m 亦线性相关亦线性相关. 注意注意: 若若 1, 2, , m 线性无关线性无关, 则则T 1, T 2, , T m不一定线性无关不一定线性无关. 4. 线性变换线性变换T的象集的象集T(Vn)是线性空间是线性空间Vn的一个子的一个子 空间空间, 称称T(Vn)为线性变换为线性变换T的的象空间象空间. 5. ST= | T 1=0, Vn(经经T变换到变换到0的全体元素的全体元素 构成的集合构成的集合)是是Vn的子空间的子空间. 称称ST为线性变换为线性变换T的的核核. 对对Rn上的线性变换上的线性变换: T(x)=Ax, x Rn, 则有则有 (1) T(x)=Ax的的象空间象空

14、间T(Rn)就是由就是由 1, 2, , n 所所 生成的向量空间生成的向量空间: 即即 T(Rn)= y = x1 1+x2 2+xn n | x1, x2, , xn R (2) T(x)=Ax的的核核ST就是齐次线性方程组就是齐次线性方程组Ax=0的解的解 空间空间. 表示表示, 其中其中A = (T(e1), T(e2), , T(en) Rn中任何线性变换中任何线性变换T, 都可用关系式都可用关系式 T(x)=Ax (x Rn) , 21 22221 11211 = = nnnn n n aaa aaa aaa e1, e2, ,en为单位坐标向量组为单位坐标向量组. + + + +

15、= = + + + += = + + + += = nnnnnn nn nn aaaT aaaT aaaT 2211 22221122 12211111 )( )( )( 定义定义: 设设T是线性空间是线性空间Vn中的线性变换中的线性变换, 在在Vn中取中取 定一个基定一个基 1, 2, , n, 如果这个基在变换如果这个基在变换T下的象为下的象为 其中其中 T( 1, 2, , n)=(T( 1), T( 2), , T( n), 则上式可表示为则上式可表示为 记记 T( 1, 2, , n)= ( 1, 2, , n)A , 21 22221 11211 = = nnnn n n aaa

16、aaa aaa A 则称则称A为为线性变换线性变换T在基在基 1, 2, , n下的矩阵下的矩阵. 结论结论: 在在Vn中取定一个基后中取定一个基后: 由线性变换由线性变换T可唯一可唯一 地确定一个矩阵地确定一个矩阵A; 反之反之, 由一个矩阵由一个矩阵A也可唯一地确也可唯一地确 定一个线性变换定一个线性变换T. 在给定一个基的条件下在给定一个基的条件下, 线性变换与矩阵是一一线性变换与矩阵是一一 对应的对应的. 定理定理1: 设线性空间设线性空间Vn中取定两个基中取定两个基: 由基由基 1, 2, , n到基到基 1, 2, , n的过渡矩阵为的过渡矩阵为P, Vn 中的线性变换中的线性变换

17、T在这两个基下的矩阵依次为在这两个基下的矩阵依次为A和和B, 那那 末末B=P-1AP. 1, 2, , n;, 定义定义: 线性变换线性变换T的象空间的象空间T(Vn)的维数的维数, 称为线性称为线性 变换变换T的秩的秩. 若若A是线性变换是线性变换T的矩阵的矩阵, 则则T的秩就是的秩就是R(A). 若线性变换若线性变换T的秩为的秩为r, 则则T的核的核ST的维数为的维数为nr. (1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是 通常实数间的加乘运算通常实数间的加乘运算, 则只需检验运算的封闭性则只需检验运算的封闭性. (2) 一个集合一个集合, 如果定义

18、的加法和乘数运算不是通如果定义的加法和乘数运算不是通 常的实数间的常的实数间的加加, 乘运算乘运算, 则则必需必需检验是否满足检验是否满足八条线八条线 性运算规律性运算规律. 例例1: 正实数的全体记作正实数的全体记作R+, 在其中定义加法及乘在其中定义加法及乘 数运算为数运算为: a b = a+b, a = a , ( R, a, b R+) 问问R+对上述加法与乘数运算是否构成对上述加法与乘数运算是否构成(实数域实数域R上的上的) 线性空间线性空间. 解解: 可以验证可以验证, 所定义的运算是上的运算所定义的运算是上的运算. 但对于但对于 八条运算规律并不都成立八条运算规律并不都成立.

19、对对(7), (8)两条不成立两条不成立. 例如例如, (8) (k+l)a = ak+l = ak al 所以所以, R+对所定义的运算不构成线性空间对所定义的运算不构成线性空间. ak+al = ak al = ka l a . 例例1: 设设A为为n阶实对称矩阵阶实对称矩阵, 问在什么条件下满足问在什么条件下满足 xAxT=0的的n维实向量维实向量 x=(x1, x2, , xn)构成构成Rn的子空间的子空间? 解解: 记记V= x=(x1, x2, , xn) | xAxT= 0 显然显然0 V, 所以所以V非空非空. 对任意的对任意的 x V, k R, 有有xAxT=0. (kx)

20、A(kx)T= k2(xAxT) = 0, 则则 所以所以 kx V. 因此因此, V构成构成Rn的子空间的条件为的子空间的条件为: 对任意的对任意的 x, y V, 有有(x+y)A(x+y)T = 0. 而而 (x+y)A(x+y)T=(x+y)A(xT+yT)=xAxT+xAyT+yAxT+yAyT 由于由于x, y V, 则有则有xAxT=0, yAyT=0. 所以所以, (x+y)A(x+y)T=xAyT+yAxT=2xAyT=0 故故,V构成构成Rn的子空间需要再增加条件的子空间需要再增加条件: 对任意的对任意的 x, y V, 有有xAyT=0. 证一证一: 因为因为Px2是是3

21、维线性空间维线性空间, 所以所以Px2中任意中任意 三个线性无关的向量都构成它的一组基三个线性无关的向量都构成它的一组基. 例例3: 证明证明: 1, x1, (x2)(x1)是是Px2的一组基的一组基, 并并 求向量求向量 1+x+x2 在这组基下的坐标在这组基下的坐标. 而而 1, x1, (x2)(x1) Px2, 令令 k11+k2(x1)+k3(x2)(x1)=0 (k1k2+2k3)+(k23k3)x +k3x2=0整理得整理得 比较等式两边得比较等式两边得 , 0 03 02 3 32 321 = = = = = =+ + k kk kkk 由方程组易得由方程组易得 k1=k2=

22、k3=0, 于是于是1, x1, (x2)(x1) 线性无关线性无关, 所以所以1, (x1), (x2)(x1)是是Px2的一组基的一组基. 设设1+x+x2在给定基在给定基1, (x1), (x2)(x1)下的坐标为下的坐标为: (a1, a2, a3)T. 则有则有 1+x+x2 = a11+a2(x1)+a3(x2)(x1), 整理得整理得 比较等式两边得比较等式两边得: : 1+x+x2 = (a1a2+2a3)+(a23a3)x +a3x2 , 1 13 12 3 32 321 = = = = = =+ + a aa aaa , 1 4 3 3 2 1 = = = = = = a

23、a a 解得解得: 所以所以 1+x+x2 在给定基下的坐标为在给定基下的坐标为: (3, 4, 1)T. 1+x+x2 = 3+4(x1)+(x2)(x1). 即即 证二证二: 已知已知 1, x, x2 是是Px2的一组基的一组基, 而而 1, (x1), (x2)(x1) Px2, 所以所以, 1, (x1), (x2)(x1)由由1, x, x2 线线 性表示性表示;又由于又由于 + + + + = = + + = = = = )1)(2(1)1(311 )1(111 111 2 xxx x xx 即即 1, x, x2 可以由可以由 1, (x1), (x2)(x1) 线性表示线性表

24、示, 所以所以 两个向量组等价两个向量组等价. 故它们有相同的秩故它们有相同的秩, 而而1, x, x2线性线性 无关无关, 因此因此, 1, (x1), (x2)(x1)也线性无关也线性无关. 从而从而1, x1, (x2)(x1)是是Px2的一组基的一组基. (1) 又由又由(1)式得式得, 由基由基1, (x1), (x2)(x1)到到1, x, x2的的 过渡矩阵为过渡矩阵为: , 100 310 111 = =P 即即 显然显然, 1+x+x2在给定基在给定基1, x, x2下的坐标为下的坐标为: (1, 1, 1)T. 则则1+x+x2在基在基1, (x1), (x2)(x1)下的

25、坐标为下的坐标为: (1, x, x2)=(1, (x1), (x2)(x1)P . 即即 1+x+x2 = (1, x, x2)(1, 1, 1)T. = (1, (x1), (x2)(x1)P(1, 1, 1)T. = (1, (x1), (x2)(x1) 1 1 1 100 310 111 1 4 3 = (1, (x1), (x2)(x1) . 1 4 3 1+x+x2 = 3+4(x1)+(x2)(x1).即即 例例4: 在在R3中中, 求由基求由基 1=(1, 0, 0)T, 2=(1, 1, 0)T, 3=(1, 1, 1)T, 通过过渡矩阵通过过渡矩阵 所得到的新基所得到的新基

26、 1, 2, 3, 并求并求 = 12 2+ 3在基在基 1, 2, 3下的表达式下的表达式. = = 100 110 011 A 解解: 由题设有由题设有 ( 1, 2, 3)=( 1, 2, 3)A =( 1, 2, 3) 100 110 011 =( 1, 1+ 2, 2+ 3) 再由再由 1=(1, 0, 0)T, 2=(1, 1, 0)T, 3=(1, 1, 1)T, 得得 1=(1, 0, 0)T, 2= (0, 1, 0)T, 3= (0, 0, 1)T, 为所求的新基为所求的新基. 5 2 1 100 110 011 1 = 12 2+ 3=( 1, 2, 3)(1, 2, 5

27、)T =( 1, 2, 3)A-1(1, 2, 5)T =( 1, 2, 3) 5 2 1 100 110 111 , 5 3 2 =( 1, 2, 3) =( 1, 2, 3) 故故 =2 1+3 2+5 3. 例例5: 设设R4的两组基的两组基: 求由基求由基 1, 2, 3, 4到基到基 1, 2, 3 , 4的过渡矩阵的过渡矩阵, 并写并写 出相应的坐标变换公式出相应的坐标变换公式. ; 1 1 1 0 , 1 2 1 1 , 0 0 1 1 , 0 1 2 1 4321 = = = = = = = = . 1 2 3 4 , 2 1 4 3 , 3 4 1 2 , 4 3 2 1 4

28、321 = = = = = = = = 解一解一: 由过渡矩阵的定义有由过渡矩阵的定义有 + + + += = + + + += = + + + += = + + + += = )4( )3( )2( )1( 4443342241144 4433332231133 4423322221122 4413312211111 aaaa aaaa aaaa aaaa 整理得整理得 + + + + + + = = 1 1 1 0 1 2 1 1 0 0 1 1 0 1 2 1 4 3 2 1 41312111 aaaa 由方程由方程(1)得得 , 4 32 22 1 4131 413111 413121

29、11 312111 = = = =+ + + = =+ + + + = =+ + + aa aaa aaaa aaa , 2 6 16 11 41 31 21 11 = = = = = = = = a a a a 解得解得: 同理可以从方程同理可以从方程(2), (3), (4)求出其余的求出其余的aij , 从而确从而确 定出过渡矩阵定出过渡矩阵. 从上面的解法可以看到从上面的解法可以看到, 由定义出发由定义出发, 利用解方程利用解方程 组组, 求出线性表达式中的系数求出线性表达式中的系数, 得到过渡矩阵得到过渡矩阵, 这种方这种方 法计算量太大法计算量太大. 因此因此, 当线性表达式不容易

30、得到时当线性表达式不容易得到时, 可可 采用下面的解法采用下面的解法. 解二解二: 引入一组新的基引入一组新的基: . 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 1111 = = = = = = = =eeee . 1100 1201 1112 0111 = =A ( 1, 2, 3, 4)=(e1, e2, e3, e4)A.于是于是 其中其中 . 1234 2143 3412 4321 = =B ( 1, 2, 3, 4)=(e1, e2, e3, e4)B.又又 其中其中 ( 1, 2, 3, 4)=( 1, 2, 3, 4)A-1B. 从基从基 1,

31、2, 3, 4到基到基 1, 2, 3, 4的过渡矩阵为的过渡矩阵为: . 1234 2143 3412 4321 1 1100 1201 1112 0111 P=A-1B= 因此因此, 从基从基 1, 2, 3, 4到基到基 1, 2, 3 , 4的基变换的基变换 公式为公式为: 对任意的对任意的 R4, 设其在基设其在基 1, 2, 3, 4和基和基 1, 2, 3, 4下的坐标分别为下的坐标分别为(x1, x2, x3, x4)T和和(y1, y2, y3, y4)T. 则坐标变换公式为则坐标变换公式为: , 4 3 2 1 1 4 3 2 1 = = x x x x P y y y y

32、 . 4 3 2 1 4 3 2 1 = = y y y y P x x x x 或或 例例6: 判断下列变换是否为线性变换判断下列变换是否为线性变换. (1) 在线性空间在线性空间V中中, 定义变换定义变换 1( )= + , V, 其中其中 是是V中的一个固定向量中的一个固定向量. (2) 在在R3中中, 定义变换定义变换 2(x1, x2, x3)=(x12, x2+ x3, x32), 其中其中 =(x1, x2, x3) R3. 解解(1): 对任意的对任意的 , V, k R, 1( + )=( + )+ , 1( )+ 1( )=( + )+( + )=( + )+2 , 1(k

33、 )=k + , k 1( )=k( + )=k +k , 当当 0时时, 1不是线性变换不是线性变换; 当当 =0时时, 1是线性变换是线性变换. 所以所以, 解解(2): 对任意的对任意的 =(x1, x2, x3), =(y1, y2, y3) V, 则则 2( + )=(x1+y1)2, (x2+y2)+(x3+y3), (x3+y3)2) 2( )+ 2( )=(x12, (x2+x3), x32)+(y12, (y2+y3), y32) =(x12+y12, (x2+x3)+(y2+y3), x32+y32) 所以所以, 2( + ) 2( )+ 2( ), 因此因此, 2不是线性

34、变换不是线性变换. 例例7: 全体二阶实矩阵构成实数域全体二阶实矩阵构成实数域R上的线性空间上的线性空间 V, 取固定实数矩阵取固定实数矩阵 , = = dc ba A在在V中定义变换中定义变换 : (X)=AXXA, X V. (1) 证明证明 是是V中的一个线性变换中的一个线性变换; (2) 证明对任意的证明对任意的X, Y V, 恒有恒有 (XY)= (X)Y+X (Y); (3) 在在V中取一组基中取一组基: , 10 00 , 01 00 , 00 10 , 00 01 4321 = = = = = = = = EEEE 写出写出 在该基下的矩阵在该基下的矩阵. 证明证明(1): 对

35、任意的对任意的X, Y V, k R, (X+Y)=A(X+Y)(X+Y)A=AX+AYXAYA =(AXXA)+(AYYA) = (X)+ (Y). (kX)=A(kX)(kX)A=k(AXXA)=k (X) 故故 是是V上的一个线性变换上的一个线性变换. 证明证明(2): 对任意的对任意的X, Y V, (XY)=A(XY)(XY)A=(AX)YX(YA) =(AX)Y(XA)Y+X(AY)X(YA) =(AXXA)Y+X(AYYA) = (X)Y+X (Y) = = dc ba dc ba 00 01 00 01 (E1)=AE1E1A = = 0 0 c b =bE2+cE3. 同理可

36、得同理可得, (E2)=cE1+(ad)E2+cE4 (E3)=bE1+(da)E3bE4 (E4)=bE2cE4 , 00 0 0 00 bc cadc bdab bc . 00 0 0 00 = = bc cadc bdab bc B (E1, E2, E3, E4)所以所以 =(E1, E2, E3, E4) 即即, 线性变换线性变换 在基在基E1, E2, E3, E4下的矩阵为下的矩阵为: 解解: 如果按定义直接写出如果按定义直接写出 ( i)( i = 1, 2, 3)被被 1, 2, 3线性表示出的表达式相当麻烦线性表示出的表达式相当麻烦, 为了简化运算为了简化运算, 可引可引

37、入一组新基入一组新基: 例例8: 在线性空间在线性空间R3中取基中取基 1=(1, 0, 2)T, 2=(0, 1, 2)T, 3=(1, 2, 5)T, 线性变换线性变换 使得使得 ( 1)=(2, 0, 1)T, ( 2)=(0, 0, 1)T, ( 3)=(0, 1, 2)T, 求求 在基在基 1, 2, 3下的矩阵下的矩阵. e1=(1, 0, 0)T, e2=(0, 1, 0)T, e3=(0, 0, 1)T, 则则 , 522 210 101 = =A ( 1, 2, 3)=(e1, e2, e3)A, 其中其中 , 211 100 002 = =B (e1, e2, e3)=( 1, 2, 3)A-1,于是于是 而而 ( 1, 2, 3)=(e1, e2