自动控制原理答案 郑有根

1、第1章 控制系统的基本概念1.5 图1.1所示的转速闭环控制系统中，若测速发电机的正负极性接反了，试问系统能否正常工作？为什么？解：若测速发电机的正负极性接反，偏差电压则为系统将由负反馈变为正反馈，而正反馈不能进行系统控制，会使系统的偏差越来越大。因此，系统不能正常工作。1.9 仓库大门自动控制系统原理如图1.8所示。试说明仓库大门开启、关闭的工作原理。如果大门不能全开或全关，应该怎样进行调整？图1.8仓库大门自动控制系统 解 当给定电位器和测量电位器输出相等时，放大器无输出，门的位置不变。假设门的原始位置在“关”状态，当门需要打开时，“开门”开关打开，“关门”开关闭合，给定电位器和测量电位器

2、输出不相等。电位器组会测量出开门位置与大门实际位置间对应的偏差电压，偏差电压经放大器放大后，驱动伺服电动机带动绞盘转动，将大门向上提起。与此同时，和大门连在一起的电刷也向上移动，直到电位器组达到平衡，即测量电位器输出与给定电位器输出相等，则电动机停止转动，大门达到开启位置。反之，当合上关门开关时，电动机带动绞盘使大门关闭，从而可以实现大门远距离开闭自动控制。系统方框图如图1.9所示。图1.9 仓库大门自动控制系统方框图关门位置对应的电位开门位置、放大器绞盘ue实际位置电动机大门给定电位器测量电位器如果大门不能全开或者全闭，说明电位器组给定的参考电压与期望的开门位置或关门位置不一致，应该调整电位

3、器组的滑臂位置，即调整“开门”或“关门”位置对应的参考电压。第2章 自动控制系统的数学模型2.1 求图2.1中RC电路和运算放大器的传递函数。解：（a）令Z1=为电容和电阻的复数阻抗之和；Z2=为电阻的复数阻抗。由此可求得传递函数为：(c) 该电路由运算放大器组成，属于有源网络。运算放大器工作时，A点的电压约等于零，称为虚地。输入、输出电路的复数阻抗Z1和Z2分别为 Z1=，Z2=。又由虚短得故有2.4 已知某系统满足微分方程组为试画出系统的结构图，并求系统的传递函数和。解：在零初始条件下，对上述微分方程组取拉氏变换得：图2.9 题2.4系统动态结构图R(s)E(s)C(s)B(s)10连杆、

4、电位器每个等式代表一个环节，且系统的输入信号为，输出信号为，是偏差信号。根据各环节输入、输出变量之间的关系式，推出系统动态结构图，如图2.9所示。化简动态结构图，可得系统传递函数为2.5 简化图2.10所示系统的结构图，求输出的表达式。图2.10 系统结构图RLC网络(a)图2.11 题2.5系统结构图等效过程rr+=r+解：本系统为多输入-单输出系统，可利用线性系统的叠加定理，分别求取各个输入信号作用下的输出，其和即为所求的系统总输出。系统动态结构图可化简为图2.11(a)。考虑到输入信号D1(s)附近相邻的相加点可交换，将系统结构图图2.11(a)简化为图2.11(b)。(b)图2.11

5、题2.5系统结构图等效过程r+=r1） 求输入信号R(s)用下的输出CR(s)，此时假定其他两个输入为零，即D1(s)= D2(s)=0，则根据系统结构图2.11(b)，化简可得输出CR(s)为(c)图2.11 题2.5系统结构图等效过程r2） 求输入信号D1(s)用下的输出CD1(s)，此时假定R(s)= D2(s)=0，则系统结构图可等效为图2.11(c)。化简可得输出CD1(s)为3） 求输入信号D2(s)用下的输出CD1(s)，此时假定R(s)= D1(s)=0，则系统结构图可等效为图2.11(d)。(d)图2.11 题2.5系统结构图等效过程rr化简可得输出CD2(s)为4）综上所述

6、，本系统的总输出为图2.12 控制系统结构图RLC网络2.6 简化图2.12所示各系统的结构图，并求出传递函数。解：图2.12（a）是具有交叉连接的结构图。为消除交叉，可采用移动相加点、分支点的方法处理。图中a、b两点，一个是相加点，一个是分支点，二者相异，不可以任意交换，但可以相对各串联环节前移或后移，如图2.13(a)所示。求解步骤：（1）将分支点a后移，等效图如图2.13(b)所示。（2）将相加点b前移，等效图如图2.13(c)所示。（3）将相加点b与前一个相加点交换，并化简各负反馈及串、并联环节，得图2.13(d)。（4）化简局部负反馈，故得图2.13(e)。（5）前向通道两环节串联，

7、再化简单位负反馈系统，得到系统(a)的闭环传递函数为r=r=r+=rr=r=r+=rr=rr图2.13 题2.6(a)系统结构图简化过程abaab(b)(c)(d)(e)(a)r=r=r+=rb2.10 分别用结构图变换法及梅逊公式求图2.21所示各系统的传递函数。(a) 解：1） 结构图变换法如图2.22(a)所示，虚线框内部分为典型的负反馈环节，因此系统动态结构图的等效变换如图2.22(b)所示。系统闭环传递函数为r+（a） r（b） 图2.22 题2.10(a)系统结构图等效变换(e)解：结构图变换法为解除交叉连接，可分别将相加点a前移、分支点b后移，如图2.26(a)所示。动态结构图的

8、等效变换见图2.26(b)、(c)、(d)。系统闭环传递函数为+=r+=r+=r+=rrrr（a）+=r+=r+=r+=rrrr（b）rrr（d）+=r+=r+=r图2.25题2.10(d)系统结构图等效变换（c）=r=r=rA=rA=r=r=r=rB=rC=rC=r连杆、电位器B=r2.12 已知各系统的脉冲响应函数，试求系统的传递函数。（2）解：(2) 方法1：在零初始条件下，等式两端取拉氏变换，根据拉氏变换的时域平移定理，得由欧拉公式，且，则有方法二根据三角函数的求和定理，系统的脉冲响应函数可展开为在零初始条件下，等式两端取拉氏变换，得第3章 控制系统的时域分析法3.2 某单位负反馈系统

9、的开环传递函数为试分别求出s1和s1时，系统的阻尼比和无阻尼自然振荡角频率，及单位阶跃响应的超调量和调节时间。并讨论的大小对过渡过程性能指标的影响。解：系统闭环传递函数为二阶系统标准的零极点表达式为，闭环传递系数K=1 比较可得，系统的性能参数为=，且有，说明K值的大小对系统的快速性影响较小。（1）当K=10时，系统闭环传递函数为： 系统的性能参数为=0.5，=10系统相关动态性能指标为（2）当K=20时闭环传递函数为： 系统的性能参数为=，系统相关动态性能指标为由以上分析可见，增大系统开环传递系数K，将增大系统超调量，使系统振荡加剧，对系统的动态性能不利。图3.3 加入速度负反馈的系统3.4

10、 如图3.3所示，若某系统加入速度负反馈，为使系统阻尼比，试确定（1）的取值；（2）系统的动态性能指标和。解：（1）该控制系统的闭环传递函数为与二阶系统标准的零极点表达式比较，可得并考虑到：，所以（2）系统的动态性能指标如下3.5 实验测得单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图3.4所示。试确定该系统的开环传递函数。图3.4 二阶系统的阶跃响应曲线解：由图3.4所示，可知二阶系统的单位阶跃响应峰值时间为联立以上方程可得：0.515，=18.33并由于系统的单位阶跃响应稳态值为1，说明系统的闭环传递系数K=1，故求得系统闭环传递函数为系统为单位负反馈结构，因此有推出系统开环传递函数如下3.7

11、已知单位负反馈系统的开环传递函数为（1） （4）试分别用劳斯判据判定系统的稳定性。解：（1）系统闭环传函为：闭环特征方程为：=0，列劳斯表如下s31 5s26 20s1s020 由于劳斯表的第一列系数均大于零，故该系统稳定。也可直接利用基于劳斯判据的三阶系统稳定性结论，如下：三阶系统特征方程为，则系统稳定的充分必要条件为：、均大于0及。对于本系统有：特征方程所有系数均大于零，且，因此系统稳定。（4）系统闭环传函为：系统闭环特征方程为=0因为特征方程缺相（缺），故该系统不稳定。3.9 设单位负反馈系统的开环传递函数分别为（1） （2） （3）试确定使系统稳定的开环增益的取值范围。解：（1）该系统

12、的闭环传函为：闭环特征方程为：=0对于二阶系统，如欲使闭环系统稳定，则保证特征多项式的每个系数都大于零即可：8+K0K-83.11 设单位负反馈系统的开环传递函数为若要求闭环特征方程根的实部分别小于0、-1、-2，试问值应怎么选取？解：该系统的闭环传函为特征方程为欲闭环特征方程根的实部小于0、-1、-2，实际上就是使闭环特征方程根具有相应的稳定裕量（s =0、1、2），可利用劳斯判据确定对应的K值。1） 使闭环特征方程根的实部小于0即求使系统保持稳定的K值。由系统的闭环特征方程，有 即 求得满足条件的K值为2） 使闭环特征方程根的实部小于-1进行坐标变换，令s=z-1，代入闭环特征方程得根据劳

13、斯判据，欲使该系统在z域稳定的条件是即 则在s域中满足条件的K值为3）使闭环特征方程根的实部小于-2进行坐标变换，令s=z-2，代入闭环特征方程得根据劳斯判据，欲使该系统在z域稳定的条件是即 则在s域中满足条件的K值为 由以上分析可见，对闭环系统的稳定性要求越高，则系统传递系数的取值范围越小。3.12 已知单位负反馈系统开环传递函数（1） （3）试分别求出各系统的静态位置误差系数、静态速度误差系数、静态加速度误差系数；计算当输入信号时的稳态误差。解：（1）该系统标准的时间常数表达式为系统为0型系统，则有=10，=0，=0输入信号的拉普拉斯表达式为则系统对应的稳态误差为（3）该系统标准的时间常数

14、表达式为该系统为II型系统，则有=，=，=0.1则系统对应的稳态误差为图3.5 反馈控制系统3.13 系统如图3.5所示。试判断系统闭环稳定性，并确定系统的稳态误差及。解：（1）该系统给定输入信号下的闭环传函为：系统闭环特征方程为：=0由劳斯判据，有故该系统闭环稳定。（2）该系统给定输入信号下的开环传函为：前向通道有两个积分环节，v=2，该系统为II型系统，所以输入信号下的稳态误差为=0系统对于干扰的闭环传递函数为因此阶跃干扰信号作用下的系统稳态误差为第5章 频率特性法5.2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为根据频率特性的物理意义，求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。（1）r（

15、t）=sin（t+30）；解：该系统的闭环传递函数为闭环系统的幅频特性为闭环系统的相频特性为（1）输入信号的频率为，因此有，系统的稳态输出5.4 求图5.8所示的电网络的频率特性表达式，以及幅频特性与相频特性表达式，并绘制出对数频率特性曲线。图5.8 题5.4图解：（a）电网络的传递函数为w/ (rads1)L(w)/(dB)20lga j(w)/030600+20（a） （b） 图5.9 题5.4伯德图w/ (rads1)j(w)/L(w)/(dB)w/ (rads1)w/ (rads1)9000-20jmjm频率特性为 幅频特性相频特性伯德图见图5.9（a），此电网络是系统校正中常用的超前

16、校正装置（见第六章），呈现以下特点：1） 转折频率与之间渐近线斜率为20dB/dec，起微分作用；2）j(w)在整个频率范围内都0，具有相位超前作用，故名超前校正装置；3）j(w)有超前最大值jm。（b）电网络的传递函数为频率特性为 幅频特性相频特性伯德图见图5.9（b），此电网络是系统校正中常用的滞后校正装置（见第六章），呈现以下特点：1） 转折频率与之间渐近线斜率为20dB/dec，起积分作用； 2）j(w)在整个频率范围内都0因此，闭环系统稳定，并具有较好的稳定裕量。（2）当K=10时，求系统的相位裕量；绘制开环伯德图如图5.18对数频率特性(b)所示。相对于对数频率特性(a)，开环传递

17、系数增加10倍， L(w)曲线上升20dB，相频特性保持不变。系统的幅值穿越频率wcb=3.16 rads1，也是系统的相角穿越频率，代入系统的相频特性有系统的幅值裕量为Lh=L(wg)=L(wc)=0dB因此，稳定裕量为零，闭环系统处于临界稳定状态。（3）分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。由以上分析可见，对一结构、参数给定的最小相位系统，当开环传递系数增加时，由于L(w)曲线上升，导致幅值穿越频率wc右移，从而使得相位裕量与幅值裕量都下降，甚至使系统不稳定。第6章 控制系统的校正6.8一单位负反馈系统固有部分的传递函数为，若要求系统的静态速度误差系数Kv=5s-1，相位裕量40，幅值

18、穿越频率wc0.5rad/s，幅值裕量Lh10dB。试设计所需串联滞后校正装置的传递函数。解（1）求校正前的开环频域指标K=5时未校正系统的伯德图如图6.3中的曲线Lo（w）所示。低频段过点Lo（1）=20lgK=14dB，且中频段穿越斜率为-60 dB/dec，可见开环对数频率特性不满足稳定性的要求。由关系dB未校正系统的相位裕量为系统是不稳定的。若采用超前校正，则需要校正装置提供的相位超前量为可见校正装置所需提供的相角超前量过大，对抗干扰有不利影响，且物理实现较为困难。同时由于采用超前校正幅值穿越频率会右移，从原系统的相频特性可见，系统在原wc处相位急速下降，需要校正装置提供的相角超前量可

19、能更大，因此不宜采用超前校正。由于要求的在rad/s的左边，所以可以考虑采用串联滞后校正装置。（2）确定校正后的幅值穿越频率选择未校正系统伯德图上相位裕量为时的频率，作为校正后的幅值穿越频率wc，根据下式确定但直接求解此三角函数是比较困难的，根据题意可将wc=0.5 rad/s代入上式，求得故选定wc=0.5rad/s。（3）确定滞后网络的b值未校正系统在wc处的对数幅值为j(w)/0.01-90-180jc (w)j (w)j o (w)=-22.40-2700.1图6.3 题6.8系统校正前后的伯德图Lo(w)-未校正系统; Lc(w)-校正装置; L(w)-校正后系统jo(w)-未校正系

20、统; jc(w)-校正装置; j(w)-校正后系统L(w)/dBw2=0.1wc=0.5Lo(w)LC(w)L(w)-20020401wc=2.16-20-40602-60w/ (rads1)w/ (rads1)140.01-20-401=40-Lhw2根据可计算出b=10。 (4)确定滞后校正装置转折频率选rad/s，推出T=1/w2=10s，并有w1=1/bT=0.01rad/s。滞后校正装置的传递函数为 (5)校验系统校正后的稳定裕量与Lh校正后系统的开环传递函数为满足设计要求。系统校正前后的频率特性见图6.3。由于系统的相角穿越频率wg需通过复杂的三角函数才能正确求解，因此幅值裕量一般

21、通过间接的方法验证，方法如下：系统校正后的相频特性为j(w)=-90+ arctan10w-arctanw-arctan0.5w-arctan100w由图6.3可见，wg在频率范围（1，2）之间，可求得校正后w=1.3rad/s时的相位与对数幅值分别为j(1.3)= -179.4L(1.3)= -20lg1/0.5-40lg1.3/1=-10.6（dB）因此判断出校正后的wg稍大于1.3rad/s，并由系统的频率特性可知，在频率大于1rad/s的范围内，随频率的升高，系统对数幅值与相位均呈下降的趋势，所以必有L（wg）-10.6dB，即Lh10.6dB，满足设计要求。 幅值裕量的验证也可通过精

22、确的坐标系直接判断，见图6.3。比较校正前后系统的性能，有（1）滞后校正装置的负斜率段压缩了系统开环对数幅频特性的中频段，使穿越频率由40dB/dec变为20dB/dec，系统的幅值穿越频率wc由2.16rad/s左移到0.5rad/s，利用系统本身的相频特性使系统稳定，并具有40的相位裕量与足够的幅值裕量。（2）不影响系统的低频段，不改变系统的稳态精度。（4）高频段对数幅值下降，抗干扰性能有所提高。总的来说，系统串联滞后校正装置后，在保证稳态性能的前提下，改善了动态性能。 6.15原系统的开环传递函数为，采用串联校正，期望校正以后的开环幅频特性曲线L(w)如图6.10所示。试求：（1）在原图

23、上绘制所需校正装置的伯德图Lc(w)，求出此装置的传递函数Gc（s），并说明该装置的类型。（2）简要说明系统校正前后性能的变化。解：（1）方法一：绘制系统校正前的频率特性，如图6.11 Lo (w)所示。根据Lc(w)= L(w)- Lo(w)绘制系统所需校正装置的伯德图Lc(w)，见图6.11，可见所需装置为超前校正装置，其传递函数Gc（s）的求取过程如下：校正装置低频段与0dB线重合，斜率为0dB/dec，推出传递系数为K=1确定各典型环节： 第一个转折点 =2.2rad/s，斜率增加20db/dec，有一个积分环节； 第三个转折点 =8.8rad/s 斜率减小20dB/dec，有一个惯性

24、环节。因此，校正装置的传递函数Gc（s）为L(w)/dBL（w）1010.12.24.47020408.8-20-20-40-40Lo(w)-未校正系统，Lc(w)-校正装置，L(w)-校正后系统图6.11 题6.15系统校正前后的伯德图w/ (rads1)-40Lo(w)LC(w)6方法二：根据图6.10所示系统校正后的期望特性L(w)，推出系统校正后的开环传递函数为故所需校正装置为（2）系统校正前，幅值穿越频率为wc=1020/40=3.16rad/s相位裕量为串联超前校正装置后，开环对数幅频特性的中频段抬高，幅值穿越频率右移，增加了带宽，快速性改善；相位裕量明显增加，系统稳定性改善；高频

25、段对数幅值上升，抗干扰性下降。第7章 非线性控制系统7.1 求下列方程的奇点，并确定奇点的类型。（1）（2）解：（1）由题得：式中为解析函数。若以x为自变量，为因变量，则上式可改写为考虑到，因此有根据奇点的定义，列方程组为得到系统的奇点为即奇点在坐标原点。在奇点（0，0）处，将进行泰勒级数展开，保留一次项有奇点附近线性化方程为其特征方程为特征根为为s平面的右半部分的共轭复数根，故奇点为不稳定焦点。概略画出奇点附近的相轨迹如图7（a）所示：（2）由题得：由得到（a） （b）图7.71 题7.1 奇点附近的相轨迹即奇点为（0，0）和（-1，0）。1）在奇点（0，0）处，将进行泰勒级数展开，保留一次

26、项有奇点（0，0）附近线性化方程为：其特征方程为特征根为：为s平面的右半部分的共轭复数根，故奇点（0，0）为不稳定焦点。2）在奇点（-1，0）处，将进行泰勒级数展开，保留一次项有在奇点（-1，0）处，进行坐标变换，令，则，。即坐标系的奇点（-1，0），变换为坐标系下的奇点（0，0）。因此有其特征方程为特征根为：为一正一负的两个实数根，故坐标系下的奇点（-1，0）为鞍点。概略画出奇点附近的相轨迹如图7（b）所示：7.3 系统结构图如图7.71，设系统初始条件是静止状态，试绘制相轨迹图。系统输入为（1），解：（1）非线性特性的数学表达式为由结构图可知线性部分的传递函数为：由此可得线性部分的微分方程

27、为： 由比较环节：，上式又可以写成输入信号为阶跃函数，当时，因此系统的微分方程为根据已知的非线性特性，开关线将相平面分为正饱和区II、线性区I、负饱和区III三个线性区域。1)区（线性区）：系统的微分方程为将代入上式，求得区相轨迹的斜率方程为以及代入上式，得到这说明相平面的原点（0，0）为I区相轨迹的奇点，该奇点因位于I区内，故为实奇点。线性区I区的特征方程及特征值分别为若，则系统在I区工作于欠阻尼状态，这时奇点（0，0）为稳定焦点；若，则系统在I区工作于过阻尼状态，这时的奇点（0，0）为稳定结点。为方便讨论奇点的性质及绘制相平面图，以下分析假定。若记等倾线斜率为，则I区的等倾线方程为当时，该

28、区的相轨迹是一簇螺旋线，收敛于相平面原点，如图解7-8(a)所示。当时，该区的对应的相轨迹是一簇趋向相平面原点的抛物线。2)、区（饱和区）：系统的微分方程为由微分方程知，系统没有奇点，但有渐近线。将代入上式，求得、区相轨迹的斜率方程为若记等倾线斜率为，则分别求得II、III区的等倾线方程为相轨迹方程为常数，即等倾线斜率均为0。当相轨迹斜率与等倾线斜率相等，即时，直线 （II区） （III区）分别为II、III区内的等倾线。由于II区的全部相轨迹均渐近于，III区的全部相轨迹均渐近于，故称的两条等倾线为相轨迹的渐近线。由此应用等倾线法，在相平面图的II、III区分别绘制的一簇相轨迹如图7.35（

29、b）所示，II、III区相轨迹图对称于坐标原点。3）非线性系统的相平面图基于图7.35（a）、（b）将以上各区的相轨迹连接起来，可以绘制非线性系统的完整相轨迹图，见图(c)，其中相轨迹的初始点由来确定。假使系统原来处于静止状态，则在阶跃输入（，）作用时，相轨迹的起始点应为。此时的非线性系统的完整相平面图如图7-8（d）所示。正负饱和区的相轨迹与理想继电特性的相轨迹相同，但是由饱和点所决定，切换位置提前。由于线性区的奇点性质为稳定焦点，所以最后一次进入I区后，相轨迹不再进入其它工作区，在I区内经有限次衰减振荡后，最终收敛于原点。图7. 5 题7.3含饱和特性的非线性系统相轨迹图a-aa-aa (

30、a)e-a-aa-aa从饱和特性的相平面分析可以看到：(1) 阶跃输入作用时，系统是稳定的，其稳态误差为零。如果系统的固有部分具有良好的阻尼特性，系统最后进入I区后，在超调量、调节时间、振荡次数等方面均良好的动态特性，而且不产生自持振荡。最大超调量可从图中量得，为相轨迹第一次与负实轴的交点坐标的绝对值，而相轨迹绕原点的次数为过渡过程的振荡次数。(2)饱和点的大小可以决定分区切换次数的多少。饱和点的值大，则线性工作区大， 分区切换次数少，非线性振荡次数少，饱和非线性对系统的影响小。饱和点的值小，则线性工作区范围小，分区切换次数增加，非线性振荡次数增多，饱和非线性对系统的影响就不可忽视。 当时，I区的相轨迹为收敛于原点的抛物线，其他与时相同。7.8 图7.76所示为继电器控制系统的结构图，其线性部分的传递函数为题7.4图+21试确定自持振荡的频率与振幅。解：带有滞环的继电器特性的描述函数为：输入为e(t)=Asint。已知，代入上式，则有写出描述函数的负倒数特性为由上式可知，由时，因此曲线平行于负实轴，且由。由题，线性环节的传递函数为： 将