自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验第7章习题解答

1、第七章 非线性控制系统本章讲述非线性控制系统的基本概念和分析方法。首先介绍非线性系统的数学描述、非线性特性的分类、非线性系统的特点。在此基础上，介绍了经典控制理论中研究非线性控制系统的两种常用方法：描述函数法和相平面法。并介绍了非线性环节的串并联的特性，以及引入非线性特性对系统性能的改善。最后介绍应用MATLAB进行非线性系统的频率特性和时域响应的分析，以及应用MATLAB绘制非线性系统的相平面图。教材习题同步解析7.1 求下列方程的奇点，并确定奇点的类型。（1）（2）解：（1）由题得：式中为解析函数。若以x为自变量，为因变量，则上式可改写为考虑到，因此有根据奇点的定义，列方程组为得到系统的奇

2、点为即奇点在坐标原点。在奇点（0，0）处，将进行泰勒级数展开，保留一次项有奇点附近线性化方程为其特征方程为特征根为为s平面的右半部分的共轭复数根，故奇点为不稳定焦点。概略画出奇点附近的相轨迹如图7.1（a）所示：（2）由题得：由得到（a） （b）图7.1 题7.1 奇点附近的相轨迹即奇点为（0，0）和（-1，0）。1）在奇点（0，0）处，将进行泰勒级数展开，保留一次项有奇点（0，0）附近线性化方程为：其特征方程为特征根为：为s平面的右半部分的共轭复数根，故奇点（0，0）为不稳定焦点。2）在奇点（-1，0）处，将进行泰勒级数展开，保留一次项有在奇点（-1，0）处，进行坐标变换，令，则，。即坐标系

3、的奇点（-1，0），变换为坐标系下的奇点（0，0）。因此有其特征方程为特征根为：为一正一负的两个实数根，故坐标系下的奇点（-1，0）为鞍点。概略画出奇点附近的相轨迹如图7.1（b）所示：7.2 利用等倾线法画出下列方程的相平面图。（1）（2）解：（1）1）确定奇点及其性质原方程等价为： 令，得奇点：。进行拉氏变换，则系统的特征方程分别为： 特征根分别为：时奇点是s平面左半部分的共轭复数根，为稳定焦点，该区域相轨迹为收敛于原点处的对数螺旋线，时奇点为s平面右半部分的共轭复数根，为不稳定焦点，该区域相轨迹为发散的对数螺旋线，两个区域的边界为，即开关线为。通过适当地把两个区域的相轨迹连接起来，便可得

4、到整个非线性系统的相轨迹。再辅以几条等倾线，就能绘制出说明系统运动性质的足够准确的相平面图（包含若干起始于不同初始点的相轨迹）。2）推导等倾线方程考虑到，相轨迹的斜率方程为令相轨迹的斜率为，则得等倾线方程为等倾线是通过相平面坐标原点的直线簇。表7.1 题7.2(1)等倾线斜率与相轨迹斜率列表-3-1-013：-102-4-2-1：124-201给定不同的等倾斜线斜率，便可以得出对应的相轨迹的斜率，如表7.1所示。图7.2画出了取不同值时的等倾斜线和代表相轨迹切线方向的短线段。给定初始状态条件，便可沿着切线的方向场将这些短线段用光滑曲线连接起来，得到给定系统的相轨迹。3）绘制相平面图图7.2 题

5、7.2(1)系统相平面图 画出系统的相平面图，分为上下两部分，如图7.2所示。可见，系统的相轨迹是极限环，此非线性系统的运动是等幅振荡的。（2）1）确定奇点及其性质原方程等价为：开关线为x=0，令，得奇点：。进行拉氏变换，则系统的特征方程为：特征根分别为：时奇点上s平面左半部分的共轭复数根，为稳定焦点，该区域相轨迹为收敛于原点处的对数螺旋线。时奇点是为一正一负的两个实数根，为不稳定的鞍点，该区域系统相轨迹发散，并有渐近线。2）推导等倾线方程同题（1），令相轨迹斜率为则等倾线方程为给出不同的等倾线斜率与对应的相轨迹斜率，见表2：表7.2 题7.2(2)等倾线斜率与相轨迹斜率列表-3-1013：-

6、102-4-2-1：-1-2-4-20-1当时奇点为鞍点，系统相轨迹在此区域有渐近线，即等倾线的斜率与相轨迹的斜率相等。有解之得：因此，在区域相轨迹过原点的渐近线为等倾线为过原点的直线簇，分为左右两部分，如图7.3所示。图7.3 题7.2(2)系统相平面图 3）绘制相平面图画出系统的相平面图如图7-3（2）所示。可见，此非线性系统的运动是不稳定的。7.3 系统结构图如图7.4，设系统初始条件是静止状态，试绘制相轨迹图。系统输入为（1），图7.4 系统结构图 （2），解：（1）非线性特性的数学表达式为由结构图可知线性部分的传递函数为：由此可得线性部分的微分方程为： 由比较环节：，上式又可以写成输

7、入信号为阶跃函数，当时，因此系统的微分方程为根据已知的非线性特性，开关线将相平面分为正饱和区II、线性区I、负饱和区III三个线性区域。1)区（线性区）：系统的微分方程为将代入上式，求得区相轨迹的斜率方程为以及代入上式，得到这说明相平面的原点（0，0）为I区相轨迹的奇点，该奇点因位于I区内，故为实奇点。线性区I区的特征方程及特征值分别为若，则系统在I区工作于欠阻尼状态，这时奇点（0，0）为稳定焦点；若，则系统在I区工作于过阻尼状态，这时的奇点（0，0）为稳定结点。为方便讨论奇点的性质及绘制相平面图，以下分析假定。若记等倾线斜率为，则I区的等倾线方程为当时，该区的相轨迹是一簇螺旋线，收敛于相平面

8、原点，如图解7.5(a)所示。当时，该区的对应的相轨迹是一簇趋向相平面原点的抛物线。2)、区（饱和区）：系统的微分方程为由微分方程知，系统没有奇点，但有渐近线。将代入上式，求得、区相轨迹的斜率方程为若记等倾线斜率为，则分别求得II、III区的等倾线方程为相轨迹方程为常数，即等倾线斜率均为0，当相轨迹斜率与等倾线斜率相等，即时，直线 （II区） （III区）分别为II、III区内的等倾线。由于II区的全部相轨迹均渐近于，III区的全部相轨迹均渐近于，故称的两条等倾线为相轨迹的渐近线。由此应用等倾线法，在相平面图的II、III区分别绘制的一簇相轨迹如图7.5（b）所示，II、III区相轨迹图对称于

9、坐标原点。3）非线性系统的相平面图基于图7.5（a）、（b）将以上各区的相轨迹连接起来，可以绘制非线性系统的完整相轨迹图，见图7.5(c)，其中相轨迹的初始点由来确定。假使系统原来处于静止状态，则在阶跃输入（，）作用时，相轨迹的起始点应为。此时的非线性系统的完整相平面图如图7.5（d）所示。正负饱和区的相轨迹与理想继电特性的相轨迹相同，但是由饱和点所决定，切换位置提前。由于线性区的奇点性质为稳定焦点，所以最后一次进入I区后，相轨迹不再进入其它工作区，在I区内经有限次衰减振荡后，最终收敛于原点。图7.5 题7.3含饱和特性的非线性系统相轨迹图a-aa-a-aa从饱和特性的相平面分析可以看到：(1

10、) 阶跃输入作用时，系统是稳定的，其稳态误差为零。如果系统的固有部分具有良好的阻尼特性，系统最后进入I区后，在超调量、调节时间、振荡次数等方面均良好的动态特性，而且不产生自持振荡。最大超调量可从图中量得，为相轨迹第一次与负实轴的交点坐标的绝对值，而相轨迹绕原点的次数为过渡过程的振荡次数。(2)饱和点的大小可以决定分区切换次数的多少。饱和点的值大，则线性工作区大， 分区切换次数少，非线性振荡次数少，饱和非线性对系统的影响小。饱和点的值小，则线性工作区范围小，分区切换次数增加，非线性振荡次数增多，饱和非线性对系统的影响就不可忽视。 当时，I区的相轨迹为收敛于原点的抛物线，其他与时相同。（2）若输入

11、信号为速度函数加阶跃函数，则当时，。因此描述系统的微分方程变为 考虑到系统的非线性特性，上列方程可写为与阶跃输入下的分段线性方程形式完全一样，只是坐标向左平移v，则线性区系统奇点为（v，0）。若，奇点（v，0）为稳定焦点；若，奇点（v，0）为稳定结点。根据非系统饱和特性线性区（I区）时的微分方程，写出区相轨迹的斜率方程为根据求得奇点坐标为、，再次证明了坐标的平移现象。当非线性系统工作在非线性特性的饱和区，即、区时，求得、区相轨迹的斜率方程为若记等倾线斜率为，则分别求得II、III区的等倾线方程为同样求得斜率时的相轨迹渐近线方程分别为下面分三种情况讨论各区间非线性系统相轨迹的绘制。（1）在这种情

12、况下，奇点坐标为及。由于奇点位于II区，故对I区来说，它是一个虚奇点。又由于，故饱和区相轨迹的两条渐近线均位于横轴之上，见图7.6。图7.6绘制出包括I、II、III三个区的相轨迹簇，以及始于初始点A的含饱和特性的非线性系统响应输入信号的完整相轨迹ABCD。从图7.6中可见，因为是虚奇点，所以非线性系统的平衡状态不可能是奇点（），而是当时相轨迹最终趋向渐近线。这说明，给定非线性系统响应输入信号的稳态误差为无穷大。图7.6中的虚图7.6 时的相平面图 图7.7 时的相平面图a-aa-a线表示相轨迹不会收敛于虚奇点。（2）在这种情况下，奇点坐标为及，是实奇点；由图7.8 时的相平面图a-a于，故I

13、I区的渐近线位于横轴之下，而III区的渐近线位于横轴之上。图7.7绘出了始于初始点A的含饱和特性的非线性系统响应输入信号的完整相轨迹ABCD。由于是实奇点，故相轨迹最终将进入I区而趋向奇点（），从而使给定非线性系统的稳态误差取得小于a的常值。（3）在这种情况下，奇点坐标为及，恰好位于I、II两区的分界线上。对于II区，求得其运动方程为或写成 （7.54）考虑到，则有上式说明，在的II区，给定非线性系统的相轨迹或为斜率等于的直线，或为的直线。图7.8是始于初始点A的给定非线性系统的相轨迹ABCD。从图7.8可见，相轨迹由I区进入II区后不可能趋向奇点（，），而是沿斜率为的直线继续运动，最终终止于

14、横轴上区段内。由此可见，此时给定非线性系统的稳态误差介于a之间，其值与相轨迹的初始点的位置有关。在上述三种情况下，相轨迹初始点A的坐标均由初始条件确定，即当系统初始条件为静止状态时，初始点A的坐标为，初始点A位于相平面图的第一象限，其相轨迹分别见图7.6、7、8。综上分析可见，含饱和特性的二阶非线性系统，响应阶跃输入信号时，其相轨迹收敛于稳定焦点或结点（0，0），系统无稳态误差；但响应输入信号时，随着输入匀速值的不同，所得非线性系统在、情况下的相轨迹及相应的稳态误差也各异，甚至在时系统的平衡状态并不唯一，其确切位置取决于系统的初始条件与输入信号的参数。7.4 系统结构图如图7.9，设系统初始条

15、件是静止状态，其中，并且参数满足下式试绘制相轨迹图。系统输入为（1），（2），_图7.9 题7.4图+k2aak1解：本系统为一个变放大系数非线性系统，其非线性环节为： 式中，、输出特性的斜率，a切换点。选择参数，使即（1），由结构图可知线性部分的传递函数为：由此可得线性部分的微分方程为： 由比较环节得：，上式又可以写成即系统微分方程为 ： 、III：开关线把相平面分成三个区域，如图7.10所示。三个区域的奇点都在原点，但II区的奇点是实奇点，而I、III区的奇点不在本区域，是虚奇点。若输入阶跃信号，当时，因此相轨迹起点为A点（R，0）。由于Ra=1，系统位于III区，其二阶系统的特征方程及特

16、征值分别为图7 .10 题7.4(1) 图 系统在阶跃输入下的相轨迹图A (R,0)eBCDEF1-1IIIIIIO为稳定的焦点，系统处于欠阻尼情况，此时的相轨迹由A点开始，以对数螺旋线形状卷向原点，如图7.10中的AB段。当系统运动状态到达相邻区域III、II的边界线时，系统的运动状态将发生转换。当时，系统处于I区，其二阶系统的特征方程及特征值分别为为稳定结点，系统处于过阻尼情况，此时相轨迹到达B点，以过阻尼的形式（抛物线）趋向原点，如图7.10中的BC段。 由C点开始，系统又处于欠阻尼情况，直到D点；由D点到E点，系统又处于过阻尼情况，。如此继续，绘制出非线性系统的相轨迹，为图7.10中的

17、ABCDEFO。对于阶跃信号，相轨迹收敛于II区的奇点即原点，系统不存在稳定误差。这种变放大系数特性，使系统在大偏差信号时具有较大的放大系数，系统响应为衰减振荡，具有高精度和快速跟踪性能。而在小偏差信号时具有较小的放大系数，系统具有很大的阻尼，使系统响应既缓且稳，输出无振荡。从而可以获得比较理想的过渡过程，很好地解决了快速性和振荡性之间的矛盾。 （2），则当时，则系统微分方程为 ： 、III： 各分段区域的特征方程及特征值分别为II：，为稳定结点、III：，为稳定焦点（b） 0.2v1 （c） v1eP11-1IIIIIIP2OAAA可见，此时的相轨迹与阶跃信号作用时基本相同，、III区为螺旋

18、曲线（欠阻尼），II区为抛物曲线（过阻尼）。但奇点（）（区）、（）（、III区）的位置，将随输入信号v的大小而变化，如果区的奇点（）离开本区域，进入、III区，则（）变为虚奇点，相轨迹不再收敛于该点；同理，如果、III区的奇点（）进入本区域，则相轨迹有可能收敛于该点，具体情况视输入斜坡信号的参数v的大小而定。设系统初始是静止状态，初始点A的坐标为（，），不同初始条件时系统的相轨迹示于图7.11，具体轨迹与输入信号的参数v有关。图7.11(a)为当v1时的相轨迹，这时P1为虚奇点，P2为实奇点，相轨迹以螺旋曲线收敛于稳定焦点P2，系统响应斜坡信号的稳态误差为。图7.11(b)为当0.2v1时的相

19、轨迹，这时点P1和P2均为虚奇点，相轨迹最终收敛于II、III区边界，即点（1，0），系统响应斜坡信号的稳态误差为1。图7.11(c)为当v0.2时的相轨迹，这时P1为实奇点，P2为虚奇点，相轨迹最终收敛于稳定结点P1，系统响应斜坡信号的稳态误差为。 从上面的分析可见，变放大系数非线性系统在较小的速度信号作用下，系统的过度过程是非周期的；而在较大的速度信号作用下，系统具有衰减振荡的过渡过程。图7.12 非线性特性 K 7.5 非线性特性示如图7.12，求其描述函数。解：非线性环节具有分段的特点，故描述函数计算的重点在于确定正弦响应曲线和积分区间，一般采用图解法。由图7.12，非线性元件的输入、

20、输出关系为：当输入正弦信号时，非线性特性如图7.13所示。可见，当时，输出波形将重复出现。因此，计算描述函数时，其积分区间只要选择范围内即可，此范围内输出信号的表达式为式中，K为输出线性部分斜率，。求得y(t)的傅氏展开式的基波分量为图7.13 题7.5非线性特性的输入输出波形由于是奇函数，因此而考虑到，并将代入上式整理得所以描述函数为：上式表示一个实函数，成立的条件是（）。 7.14 变放大系数特性7.6 图示7.14变放大系数非线性特性，求其描述函数。图7.15 题7.6非线性特性的输入输出波形解：由图7.14，变放大系数非线性元件的输入、输出关系为：当非线性元件输入信号为时，其输出信号y

21、(t)的波形见图7.15。图中，k1，k2为输出特性斜率； a为线性区k1宽度；，y(t)的数学表达式为由于是奇函数，所以。并有将代入上式得即变放大系数非线性元件的描述函数为：上式表示一个实函数，成立的条件是（）。7.7 判断图7.16所示各系统是否稳定，与的交点是稳定工作点还是不稳定工作点。解：（a）存在自振点。当位于轨迹之外时，系统稳定，处于衰减振荡状态，振幅将逐渐减小直至与曲线的交点；反之，当位于轨迹之内时，系统不稳定，处于发散振荡状态，振幅将逐渐增加直至与曲线的交点。因此，与曲线的交点为稳定的工作点，无论初始振幅为何值，系统都将以交点处的幅值和振幅做等幅振荡运动。（b）不存在自振点，系

22、统不稳定，被曲线包围。（c）下方交点是自振点，上方的交点不是自振点。与曲线下方的交点与题（a）情况相同，而上方处的交点情况刚好相反。（d）不存在自振点，系统不稳定，被曲线包围。图7.16 题7.7图（e）存在自振点。与曲线的交点处，由不稳定区域（曲线包围曲线）进入稳定区域（曲线不包围曲线），因此交点为稳定的工作点。7.8 图7.17所示为继电器控制系统的结构图，其线性部分的传递函数为 图7.17 题7.4图+21试确定自持振荡的频率与振幅。解：带有滞环的继电器特性的描述函数为：输入为e(t)=Asint。已知，代入上式，则有写出描述函数的负倒数特性为由上式可知，由时，因此曲线平行于负实轴，且由

23、。由题，线性环节的传递函数为： 将代入上式，可得其频率特性为：由于线性环节为0型3阶系统，故曲线起于正实轴的（10, 0）点，幅值单调减小，沿顺时针方向终止于原点，最终相位为-270，与正虚轴相切，并由可求得与负实轴的交点为（-0.5, j0）点。作曲线和曲线，交于D点，如图7.18所示。自右向左移动，与曲线有交点，从不稳定区域进入系统稳定区域，交点所对应的极限环是稳定的，系统存在自持振荡。与曲线交点的求取公式如下：由于 即：有利用MATLAB求解此方程组，指令如下 a,w = solve(8/3.14/a*sqrt(1-(1/a)2) =0.065*w2-0.1,-8/3.14/a2=0.0

24、05*w3-0.16*w)图7.18 题7.8非线性系统稳定判据曲线ReIm排除负根与复数根，得解为：即系统有频率，振幅的自振。注：自持振荡的频率和振幅也可通过相对描述函数（又称基准描述函数）求得，公式如下即将描述函数中部分非线性参数分离出来，乘到线性部分去，描述函数剩余部分的非线性参数都以相对值的形式出现，Kn称为非线性特性的尺度函数，称为负倒相对描述函数。和的相互关系，完全对应于和的相互关系。负倒相对描述函数的特点是：把作为一个变量，则仅是的函数，其函数值与非线性特性的特征参数M、a无关。显然，与成比例，绘制过程相同，但的作图过程却比绘制简单得多。本题的基准描述函数为通过，所求得的系统自振

25、参数与前面的计算结果完全相同。图7.19 系统结构图_（a） （b）7.9 将图7.19所示非线性系统化简程非线性部分和等效的线性部分相串联的单位反馈系统，并写出线性部分的传递函数。解：先将非线性环节看作线性环节，求出原系统的闭环传递函数，然后取的分母令其为零，得到系统特征方程，则可推出的形式，从而写出线性部分的传递函数（a）由（a）结构图可知，系统的闭环传递函数为：则系统的特征方程为即有所以系统线性部分的传递函数为：（b）由（b）结构图可知，系统的闭环传递函数为：则系统的特征方程为即有所以系统线性部分的传递函数为：_图7.20 非线性系统结构图+2121117.10 系统如图7.20所示，试

26、计算系统的自振参数。解：先将三个串联的非线性环节进行等效合并。由于反馈通道的饱和特性与前向通道的饱和特性同时进入饱和状态，所以反馈通道的饱和特性实质上不起作用，可以将其去掉。前向通道中两个非线性环节分别为_图7.21 题7.10非线性系统等效结构图+20.5当时，第一个非线性环节输出为1，恰好等于第二个非线性环节的开关值。由此可知，等效的非线性环节是一个具有死区的继电特性，其等效非线性系统的结构如图7.21所示。由教材329页相关推导，合并后的具有死区的继电特性的描述函数为将，代入有描述函数的负倒数为则其负倒数描述函数曲线均在负实轴上，通过求导知，此函数在转折点处，存在极大值点。范围内的负倒描

27、述函数与范围内的负倒描述函数在负实轴上完全重合，只是重合点对应的振幅不同。绘制负倒数描述函数曲线如图7.22所示，为图示更清晰，将和段的负倒数描述函数曲线绘制为两条平行于负实轴的直线。系统线性部分的频率特性为(a) (b)图7.22 题7.10非线性系统稳定判据曲线ReImReIm由于线性环节为I型3阶系统，故曲线起于平行于负实轴的无穷远处，幅值单调减小，沿顺时针方向终止于原点，最终相位为-270，与正虚轴相切，并由可求得与负实轴的交点为（-2.47, j0）点。作曲线和曲线，交于点与点，如图7.22所示。由自振条件，得由实部、虚部相等有舍去负根，解得：如图7.22所示，上方的交点是曲线穿进曲

28、线时的交点，从稳定区域进入不系统稳定区域，则该交点所对应的极限环是不稳定的；而下方的交点是曲线穿出曲线时的交点，从不稳定区域进入系统稳定区域，则该交点所对应的极限环是稳定的。因此，下方交点是自振点，上方的交点不是自振点。综上，系统有自振点，为振荡角频率，为自持振荡的振幅。当与 曲线不相交时，非线性控制系统不会出现自振，所以校正非线性系统自振的途径就是：1） 改变非线性特性的参数，即改变曲线；2） 基于线性系统校正理论，校正线性部分的频率特性。例如，将本题系统的非线性部分的特征参数a调节为2，则在转折点处，存在极大值点。与曲线如图7.22所示，两条曲线不再相交，消除了自振，不包围曲线，系统稳定。

29、MATLAB实验指导M7.1 二阶非线性系统如图7.23所示。（1）对该系统进行单位阶跃信号作用下的仿真，并作出相平面图；1 -1Xr (s)Xc (s)图7.23 M7.1图（2）调节线性环节的放大系数，分析放大系数对系统性能的影响。解：（1）1）在SIMULINK下建立非线性系统的仿真结构图，如图7.24所示。符号变量Sign模块在Math模块组中。图7.24 M7.1系统SIMULINK仿真结构图将系统的开环传递函数分为两个环节：和。的输出为xc，则其输入信号为。XY绘图仪的X、Y两端口输入数据分别为和，故可绘制出系统的相平面图。2） 将阶跃信号step的参数step time设置为0，

30、启动仿真，系统单位阶跃信号作用下的响应曲线及相平面图见图7.25，系统对应的开环传递系数为K=1。3） 由图可见，系统的相轨迹是收敛于平面原点的螺旋线，因此系统稳定。由系统的单位阶跃响应曲线可见，最大超调量s%=14%，ts=2.6s（D=5%），稳态误差。 图7.25 M7.1系统相平面图 图7.26 M7.1系统单位阶跃响应曲线（K=1）（2）调节系统的开环传递系数K，即调节环节的系数，比较相应的单位阶跃响应。K=0.1、100时的单位阶跃响应曲线见图7.27（a）、（b）。 可见，当系统开环传递系数K值增大时，单位阶跃响应的速度加快，但振荡加剧，系统平稳性下降。 （a）K=0.1 （a）K=10图7.27 M7.1系统单位阶跃响应曲线M7.2 继电型非线性系统如图7.28所示。（1）对该系统进行单位阶跃信号下的仿真；图7.28 M7.2图10.2Xr (s)Xc (s)（2）要求%20%，ts2s，求速度反馈系统，并利用SIMULINK仿真验证。解：（1）在SIMULINK下建立非线性系统的仿真结构图，如图7.29所示。图7.29 M7.2系统SIMULINK仿真结构图继电器特性Relay模块在Discontinuities模块组（MATLAB7.0以上），双击Relay图标，设置相关参数为： 开通关断时间： Switch on point（