单位脉冲函数及傅里叶变换性质

1、单位脉冲函数及傅里叶变换性质 1 1 ( )( ), ( )( ) ( )( ), ( )( ) f tFFf t Ff tf tF 若则； 若则 FF FF 1 ( )( )f tF F F ( )( ) i t Ff t edt 傅氏变换 1 ( )( ) 2 i t f tFe d 傅氏逆变换 ( )( )f tF 傅氏变换对 ( )( )f tF称为原像函数，称为像函数。 复习： 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 单位脉冲函数及其傅氏变换单位脉冲函数及其傅氏变换 Fourier变换与逆变换的性质变换与逆变换的性质 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲 函数

2、. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势 作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统 受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就 会产生我们要介绍的单位脉冲函数. 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 在原来电流为零的电路中在原来电流为零的电路中, 某一瞬时某一瞬时(设为设为t=0) 进入一单位电量的脉冲进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流现在要确定电路上的电流 i(t). 以以q(t)表示上述电路中的电荷函数表示上述电路中的电荷函数, 则则 . 0, 1 ; 0, 0 )( t t tq t tqttq t tq ti t )()( l

3、im d )(d )( 0 当当t 0时时, i(t)=0, 由于由于q(t)是不连续的是不连续的, 从而在从而在 普通导数意义下普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的在这一点是不能求导数的. 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 如果我们形式地计算这个导数如果我们形式地计算这个导数, 则得则得 tt qtq i tt 1 lim )0()0( lim)0( 00 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能 够表示这样的电流强度够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度为了确定这样的电流强度, 引进引进 一称为狄拉克一称为狄拉克(Dirac)

4、的函数的函数, 简单记成简单记成d d-函数函数: 00 0 t t t d 有了这种函数有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如例如 点电荷点电荷, 点热源点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常集中于一点的质量及脉冲技术中的非常 窄的脉冲等窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的以统一的 方式加以解决方式加以解决. 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 0 00 1 ( )0 0 00 ( )lim( ) 0 t tt t t tt t d dd 给函数序列， 定义。 d(t) 1/ O 000 1 ( )d

5、lim( )dlim1ttttdt dd 工程上将工程上将d d-函数称为函数称为单位脉冲函数。单位脉冲函数。 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值. tO d (t) 1 d-函数有性质： 00 (1)( ) ( )d()(0) () ( )d( ). t f ttf ttf ttf tf t d d 及 （为连 筛选性质 续函数） (2)( )().ttddd函数为偶函数，即 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 二、二、d d-函数的傅氏变换为函数的傅氏变换为: 0 ( )()( )ede1 i ti t t tFtt d

6、d F 于是d (t)与常数1构成了一傅氏变换对. 1 1 ( )1 2 i t ted d F2( ) i t e dt d 证法2：若F()=2d (), 由傅氏逆变换可得 0 1 ( )2( )e d1 2 i ti t f te d 例1 证明：1和2d ()构成傅氏变换对. 证法1： 12. i ti s edtsteds d F 1 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 1 ( )( )e d 2 i t f tF 证： 0 0 e2() it d 证明和构成一个傅氏例2变换对。 由上面两个函数的变换可得 0 () 0 ed2( ) ed2() i t it t t d d 0 1 2()

7、e d 2 i t d 0 0 ee. iti t 0 0 e2() it d 即和构成了一个傅氏变换对。 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 称这种方式的称这种方式的 Fourier 变换是一种变换是一种广义的广义的Fourier变换变换。 在在 函数的函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据变换中，其广义积分是根据 函数的函数的 注注 d dd d 性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的，性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的， 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函 数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用 单位脉

8、冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅 氏变换. 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满 足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件 |( )|df tt 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 例4 求正弦函数f (t)=sin0t的傅氏变换。 0 ( ) ( )sined i t Ff ttt F t 00O |F()| 0 sint 00 00 j ()( ee1 ed(ee)d 22 itt ititi t tt ii 0000 1 2()2()()() . 2 i i d d d d 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 例 5 证明： 0,0 ( ), 1,0 t u t t 单位阶跃函数 1

9、 ( )( ).u t j d F 证： 1 111 ( )( ) 2 j t ed jj d d F 111 ( ) 22 j tj t eded j d 11cossin 22 tjt d j 0 11sin11sin 222 tt dd 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 0,2 0,2 sin 0 t t d t 1 11 0,0 22 11 ( ),0( ) 2 11 1,0 22 t tu t j t d F 0 11sin11sin 222 tt dd 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 7.2 Fourier变换与逆变换的性质变换与逆变换的性质 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了 叙

10、述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅 氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在 证明这些性质时, 不再重述这些条件. )()()()( )()()()( 111 GBFABGAF tgbtfatbgtaf FFF FFF 1.线性性质线性性质: 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 2. 位移性质位移性质: 为实常数，则，若 00 ,)()(tFtfF 0 0 0 0 1 0 0 ()( ) ()( ) ( )() j t jt jt f tteF Fef t ef tF ， 或 F F F 0 00 00 () 0 ()() ( ) ( )( ) j t js t j tjtj s f

11、 ttf tt edt sttf s eds ef s edseF F 证明： 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 推论：推论： ( )( )f tF若若， F 000 000 1 ( )cos()() 2 ( )sin()() 2 f ttFF i f ttFF 则， ， F F 00 0 00 1 ( )cos ( )( ) 2 1 ()() 2 itit f ttf t ef t e FF FF 证明： 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 例1 . 0sin 00 )( 0 的傅氏变换 求指数衰减震荡函数 tte t tf at 解：解： 00 ( ) 0 at t g t et 令令 0 1 (

12、) ati t g teedt ai 而F .sin)()( 0t tgtf则 00 11 ( ) 2()() i f t aiai 所以F 0 22 0 ()ai 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 1 ( )( )0, 11 ()() ; ()( ) f tFa t f atFF atf aaaa 若，则F FF 3. 相似性：相似性： 证明： 1 ( ),0 ()() 1 ( ),0 11 ( )() s j a s at j t s j a js a f s edsa a f atf at edt f s edsa a f s edsF aaa F 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 4.4.微分

13、性：微分性： 则，且若 原像函数的微分性： , 0)(lim)()( tfFtf t F ( )( )f tj FF ( ) ( ) lim( )00,1,2,1 , ( )( ) k t n n ftkn ftjF 一般地，若则 F ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )()( )( )( ) nnnnnn Fjtf ttf tjF Fjt f tt f tj F 像函数的微分性： 或 或 FF FF 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 5.5.积分性：积分性： ( )( )lim( )(0)0, 1 ( )( ). t t t f tFf s dsF f s dsF j 设，若则F

14、F 6. 帕塞瓦尔帕塞瓦尔(Parserval)等式等式 221 ( )d( ). 2 f ttFd ( )( )f tF设， 则有F 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 实际上, 只要知道下面五个傅里叶变换, 则很 多傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里 叶变换的性质导出. 0 2 2 j 0 4 ( )1 12() e2() 1 ( )() j ee t t t u t d d d d 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 0 j 0 ( )1,()e t ttt dd 因由位移性质得 例例2 利用傅氏变换的性质求d (tt0), 0 j e t 的傅氏变换. 0 j 0 12( ),e2() t

15、d d 由得 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 若 f (t)=cos0t u(t), 求其傅氏变换。 1 ( )( ) j u td 解解： 00 00 111 ( )()() 2j()j() Fd d 00 22 0 j ()() 2 d d 00 jj ee ( )( ) 2 tt f tu t 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 卷积定义： dtgftgtf)()()()( fggf fghfgfh fghfgh 交换律： 加法分配律： 结合律： 卷积的基本运算规律： 一、卷积的定义及运算规律一、卷积的定义及运算规律 说明： 12 ( )( )f tf tt是关于的函数； 单位脉冲函数及傅里叶变

16、换性质 例1 求下列函数的卷积： 12 0000 ( ),( );,0,. 0e0 tt tt f tf t ett 解： 12 0 0( )( )ed t t tf tf te （） 当时， 12 () 000 ( )() 0 at t ff t et 或 且 -0 12 ( )()ff t 0的区域如右图所示： 0 t 12 0( )( )0tf tf t当时， 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 12 0 0( )( )ed t t tf tf te （） 当时， 0 0 1 eedee 1 ee t t tt tt 12 00 ( )( )1 ee0 tt t f tf t t 故 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 例例1 求下列函数的卷积：求下列函数的卷积： 12 0000 ( ),( );,0,. 0e0 tt tt f tf t ett 由卷积的定义有由卷积的定义有 0 1212 0 () 00 ( )( )( )()d 0ed0eed 11 eeee t t tt tt ttt f tf tff t e 单位脉冲函数及傅里叶变换性质 1 1 ( )( ) ( )( ) 1 ( )( ) 2 ( )( )2 fgfgFG FGfg fgfgFG FGfg 或：化简卷积运算 或：化简傅氏变换 FFF F FFF F 二、卷积定理：二、卷积定理： （可用于化简卷积