机械能守恒定律应用

1、 一、机械能守恒定律的守恒条件一、机械能守恒定律的守恒条件 问题问题 1 1、对机械能守恒条件的理解、对机械能守恒条件的理解 只受重力或系统内弹力。（如忽略空只受重力或系统内弹力。（如忽略空 气阻力的抛体运动）气阻力的抛体运动） 还受其他力，但其他力不做功。（如还受其他力，但其他力不做功。（如 物体沿光滑的曲面下滑，尽管受到支持力，物体沿光滑的曲面下滑，尽管受到支持力， 但支持力不做功）但支持力不做功） 有其他力做功，但做功的代数和为零。有其他力做功，但做功的代数和为零。 2 2、判断机械能是否守恒的常用方法、判断机械能是否守恒的常用方法 用做功来判断用做功来判断 用能量角用能量角 度来判断度

2、来判断 对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰 撞，除题目特殊说明，机械能必定不守恒撞，除题目特殊说明，机械能必定不守恒 （子弹打击问题）（子弹打击问题） 例例1 1、木块、木块A A和和B B用一只轻弹簧连接起来，放用一只轻弹簧连接起来，放 在光滑水平面上，在光滑水平面上，A A紧靠墙壁，弹簧质量不紧靠墙壁，弹簧质量不 计。在计。在B B上施加向左的水平力使弹簧压缩，上施加向左的水平力使弹簧压缩， 如图所示，当撤去外力后，下列说法中正如图所示，当撤去外力后，下列说法中正 确的是（确的是（ ） A.AA.A离开墙壁前，离开墙壁前，A A的机械能守恒的机械能守恒 B

3、.AB.A离开墙壁前，离开墙壁前，A A、B B及弹簧这一系统的机及弹簧这一系统的机 械能守恒械能守恒 C.AC.A离开墙后，离开墙后，A A的机械能守恒的机械能守恒 D.AD.A离开墙后，离开墙后，A A、B B及弹簧这一系统的机械及弹簧这一系统的机械 能守恒能守恒 AB F 二、应用机械能守恒定律解题的方法和步二、应用机械能守恒定律解题的方法和步 骤骤 明确研究对象明确研究对象( (物体或者系统物体或者系统) ) 明确研究对象的运动过程明确研究对象的运动过程, ,分析研究对象分析研究对象 的受力情况以及各力做功的情况的受力情况以及各力做功的情况, ,判断机判断机 械能是否守恒械能是否守恒

4、恰当地选取参考平面恰当地选取参考平面( (零势能面零势能面),),并确定并确定 研究对象在过程中的始末机械能研究对象在过程中的始末机械能 根据机械能守恒定律列出方程进行求解，根据机械能守恒定律列出方程进行求解， 有时不够时再辅之以其它方程有时不够时再辅之以其它方程 5m s 三、机械能守恒定律的综合应用问题三、机械能守恒定律的综合应用问题 （一）一个物体的运动问题（一）一个物体的运动问题 2 nmax v FTmgm r 所以所以 max () 3/ Fmg r vm s m 2 1 2 mghmv 所以所以 2 0.45 2 mv hm mg Svt 2 1 2 Hgt 所以所以 2 3 H

5、 Svm g 例例3、在高为、在高为hm为为0.5kg的小球被一细绳拴的小球被一细绳拴 在墙上，球与墙之间有一被压缩的轻弹簧，在墙上，球与墙之间有一被压缩的轻弹簧， 弹簧的弹性势能弹簧的弹性势能Ep1=2J，当细线被烧断后，当细线被烧断后， 小球被弹出，求：小球被弹出，求： (1)小球被弹出后的速度小球被弹出后的速度v1多大？多大？ (2)小球的落地速度小球的落地速度v2多大？（多大？（g=10m/s2） h 解：小球被弹出的过解：小球被弹出的过 程机械能守恒程机械能守恒 2 11 1 2 p Emv 小球被弹出后的速度为：小球被弹出后的速度为： 1 2 2/2.828/vm sm s 之后，

6、小球做平抛运动，机械能守恒之后，小球做平抛运动，机械能守恒 22 12 11 22 mvmghmv 2 4 2/5.656/vm sm s A B 300 例例4、如图所示、如图所示,用长为用长为L的细绳悬挂一质量的细绳悬挂一质量 为为m的小球的小球,再把小球拉到再把小球拉到A点点,使悬线与水使悬线与水 平方向成平方向成30夹角夹角,然后松手。问然后松手。问:小球运小球运 动到悬点正下方动到悬点正下方B点时悬线对球的拉力多点时悬线对球的拉力多 大大? 解解:小球释放后小球释放后,首先在重力作首先在重力作 用下自由下落至用下自由下落至C点细绳再次点细绳再次 伸直伸直,由几何关系可知由几何关系可知

7、,此时细此时细 绳与水平方向夹角为绳与水平方向夹角为30,小小 球下落高度球下落高度h=L。 A B C 300 Vc Vc1 Vc2 F0 mg F gLVc2 0 1 30cos cc VV 220 2 1 2 1 )30cos1 ( CB mVmVmgL L V mmgF B 2 根据机械能守恒定律得根据机械能守恒定律得: 2 1 2 c mgLmv 在在C点细绳突然张紧对小球施点细绳突然张紧对小球施 以沿细绳的冲量以沿细绳的冲量,使小球沿细绳使小球沿细绳 方向的分运动立即消失方向的分运动立即消失,其速度其速度 由由Vc变为变为Vc1 之后之后,小球沿圆弧运动至小球沿圆弧运动至B点点,在

8、此过程中在此过程中,只只 有重力做功有重力做功,机械能守恒机械能守恒 小球运动至小球运动至B点时点时,细绳的拉力与重力提供向细绳的拉力与重力提供向 心力心力 所以所以Fmg R= =的光滑的光滑1/4圆弧轨道固定水平面上圆弧轨道固定水平面上, ,质量质量m =1=1kg的小的小 物块从轨道上方的物块从轨道上方的A点静止下落并打在圆弧轨道上的点静止下落并打在圆弧轨道上的B点但未反点但未反 弹弹, , 碰撞瞬间碰撞瞬间, ,小物块沿半径方向的分速度即刻减为零小物块沿半径方向的分速度即刻减为零, ,而沿切而沿切 线方向的分速度不变线方向的分速度不变, , 已知已知AO=R, ,且且AO连线与水平方向

9、的夹角连线与水平方向的夹角 为为30, ,C点为圆弧轨道的末端。求点为圆弧轨道的末端。求: :小物块到达小物块到达C点时对轨道的点时对轨道的 压力大小压力大小. . A R O R C 30 30 B vB v1 v2 小物块从小物块从A到到B做自由落体运动做自由落体运动 vB2=2gR 从从B到到C, ,只有重力做功只有重力做功, ,由机械能守恒守律由机械能守恒守律 mgR(1-cos60)=mvC2/2-mv12/2 v1=vBsin60 因因OB连线与竖直方向的夹角为连线与竖直方向的夹角为60故故 物体运动到物体运动到C点时点时, ,由牛顿第二定律有由牛顿第二定律有: : FC- -mg

10、 =mvC2/R 代入数据解得代入数据解得FC=35N 根据牛顿第三定律物块到达根据牛顿第三定律物块到达C点对轨道的压力点对轨道的压力N=35N 60 A B EF D 例例5、 碰撞时的能量损失碰撞时的能量损失. 分析分析:首先需注意到题目中有两个约束条件首先需注意到题目中有两个约束条件, 一个是细线承受的拉力最大不能超过一个是细线承受的拉力最大不能超过9mg, 再就是必须通过最高点做竖直面上的完整再就是必须通过最高点做竖直面上的完整 的圆周运动的圆周运动.这样铁钉在水平线上的取值范这样铁钉在水平线上的取值范 围就由相应的两个临界状态决定围就由相应的两个临界状态决定. 解解:设铁钉在位置设铁

11、钉在位置D时时,球至最低点细线所球至最低点细线所 承受的拉力刚好为承受的拉力刚好为9mg,并设并设DE=X1,由几由几 何关系可求得碰钉子后球圆周运动的半径何关系可求得碰钉子后球圆周运动的半径 22 1 ) 2 ( L xLADLr 2 1 2 1 ) 2 (mVr L mg r V mmgmgmg 2 1 89 解以上各式得解以上各式得: Lx 3 2 1 球由球由C点至点至D点正下方的过程中点正下方的过程中,遵守机械遵守机械 能守恒定律能守恒定律,有有 球至球至D点正下方时点正下方时,由细线拉力和球的重力由细线拉力和球的重力 的合力提供向心力的合力提供向心力.根据向心力公式得根据向心力公式

12、得: 再设铁钉在再设铁钉在D点时点时,小球刚好能够绕铁钉通小球刚好能够绕铁钉通 过最高点做完整的圆周运动过最高点做完整的圆周运动,并设并设DE=X2, 由几何关系可求得球的运动半径为由几何关系可求得球的运动半径为 22 2 ) 2 ( L xLr 2 2 2 1 ) 2 (mVr L mg 2 2 r V mmg 解以上各式得解以上各式得: Lx 6 7 2 铁钉在水平线铁钉在水平线EF上的位置范围是上的位置范围是: LxL 3 2 6 7 球由球由C至圆周最高点过程中至圆周最高点过程中,遵守机械能守恒遵守机械能守恒 定律定律,有有: 球至圆周最高时球至圆周最高时,其向心力由球的重力提供其向心

13、力由球的重力提供, 根据向心力公式得根据向心力公式得: （二）（二）“落链落链”问题问题 例例6、长为、长为L质量分布均匀的绳子质量分布均匀的绳子,对称地悬对称地悬 挂在轻小的定滑轮上挂在轻小的定滑轮上,如图所示如图所示.轻轻地推动轻轻地推动 一下一下,让绳子滑下让绳子滑下,那么当绳子离开滑轮的瞬那么当绳子离开滑轮的瞬 间间,绳子的速度为绳子的速度为 . 解：由机械能守恒定律，取解：由机械能守恒定律，取 小滑轮处为零势能面小滑轮处为零势能面. 2 2 1 242 1 2mv L mg L mg gLv 2 1 （三）（三） “流体流体”问题问题 例例7、 . A h 解解:应用应用“割补割补”

14、法：法： 液面相齐时等效于把右侧中液面相齐时等效于把右侧中h/2 的液柱移到左侧管中的液柱移到左侧管中,其减少的其减少的 重力势能转变为整个液柱的动能重力势能转变为整个液柱的动能. 根据机械能守恒定律得根据机械能守恒定律得: 2 2 1 2 MV h mg 设液体密度为设液体密度为有有: 2 h mS 4MhS 8 gh V 所以所以: （四）系统机械能守恒的问题（四）系统机械能守恒的问题 处理这类问题时处理这类问题时, ,一是要注意应用系统机械一是要注意应用系统机械 能是否守恒的判断方法能是否守恒的判断方法; ;再是要灵活选取机再是要灵活选取机 械能守恒的表达式械能守恒的表达式. .常用的是

15、常用的是: : KPBA EEEE或 例例8、如图所示、如图所示,两小球两小球mA、 mB通过绳绕过固定的半径通过绳绕过固定的半径 为为R的光滑圆柱的光滑圆柱,现将现将A球由球由 静止释放静止释放,若若A球能到达圆柱球能到达圆柱 体的最高点体的最高点,求此时的速度求此时的速度 大小大小(mB=2mA). 解解:B球下落得高度为球下落得高度为 2 4 R R A球上升得高度为球上升得高度为2R 由由AB根据能量转化守恒定律根据能量转化守恒定律 EK = -EP 得得 2 21 ()2() 42 BAAB R m g Rm gRmmv 2 3 gR V 所以所以 例例9、如图光滑圆柱被固定在水平平

16、台上，、如图光滑圆柱被固定在水平平台上， 质量为质量为m1的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量 为为m2的小球乙相连，开始时让小球甲放在的小球乙相连，开始时让小球甲放在 平台上，两边绳竖直，两球均从静止开始平台上，两边绳竖直，两球均从静止开始 运动，当甲上升到圆柱最高点时绳子突然运动，当甲上升到圆柱最高点时绳子突然 断了，发现甲球恰能做平抛运动，求甲、断了，发现甲球恰能做平抛运动，求甲、 乙两球的质量关系。乙两球的质量关系。 m1 m2 分析：与上题相似，只是甲乙分析：与上题相似，只是甲乙 的末速度为的末速度为 ，所以，所以vgR 2 2121 21 ()2() 42 R

17、m g Rm gRmm v 12 :(1):5mm KP EE 20 1 (4)4sin30 2 mm vmg smgs 2 02()vg h HSh1.2Hs 解：取解：取A、B及地球为系统：及地球为系统： 对对B B：且且所以所以 例例11、如图所示，长为、如图所示，长为2L的轻杆的轻杆OB，O端端 装有转轴，装有转轴，B端固定一个质量为端固定一个质量为m的小球的小球B， OB中点中点A固定一个质量为固定一个质量为m的小球的小球A，若，若 OB杆从水平位置静止开始释放转到竖直位杆从水平位置静止开始释放转到竖直位 置的过程中，求置的过程中，求A、B球摆到最低点的速度球摆到最低点的速度 大小各

18、是多少。大小各是多少。 解：选解：选A A、B B及地球为一系统，及地球为一系统， 此系统中只有动能和重力势能此系统中只有动能和重力势能 发生转化，系统机械能守恒，发生转化，系统机械能守恒， 有：有： 22 11 2 22 AB mvmvmglmg l AB vv2又又所以所以 1.2,4.8 AB vgl vgl 例例12、如图所示、如图所示,半径为半径为r,质量不计的圆盘质量不计的圆盘 与地面垂直与地面垂直,圆心处有一个垂直盘面的光滑圆心处有一个垂直盘面的光滑 水平固定轴水平固定轴O,在盘的最右边缘固定一个质在盘的最右边缘固定一个质 量为量为m的小球的小球A,在在O点的正下方离点的正下方离

19、O点点r/2处处 固定一个质量也为固定一个质量也为m的小球的小球B.放开盘让其放开盘让其 自由转动自由转动,求：求： （1）A球转到最低点时的线速度是多少？球转到最低点时的线速度是多少？ （2）在转动过程中半径）在转动过程中半径OA 向左偏离竖直方向的最大角向左偏离竖直方向的最大角 度是多少？度是多少？ A B 解：解：(1)A,B球的速度为球的速度为VB,则据则据 机械能守恒定律可得机械能守恒定律可得: A B 22 11 222 AB mgr mgrmvmv 据圆周运动的知识可知据圆周运动的知识可知:VA=2VB 2 5 A gr v 所以所以 A B (1 sin ) cos0 2 r

20、mgrmg 3 arcsin 5 所以所以 (2)设在转动过程中半径设在转动过程中半径OA向左向左 偏离竖直方向的最大角度是偏离竖直方向的最大角度是 (如所示如所示),则据机械能守恒定律则据机械能守恒定律 可得可得: 例例13、如图所示、如图所示,将楔木块放在光滑水平面将楔木块放在光滑水平面 上靠墙边处并用手固定上靠墙边处并用手固定,然后在木块和墙面然后在木块和墙面 之间放入一个小球之间放入一个小球,球的下缘离地面高度为球的下缘离地面高度为 H,木块的倾角为木块的倾角为,球和木块质量相等球和木块质量相等,一切一切 接触面均光滑接触面均光滑,放手让小球和木块同时由静放手让小球和木块同时由静 止开

21、始运动止开始运动,求球着地时球和木块的速度求球着地时球和木块的速度. V1 V2 解：因为球下落的垂直于斜面解：因为球下落的垂直于斜面 的分速度与斜面该方向的分速的分速度与斜面该方向的分速 度相等，即度相等，即 1 cosvv 2 sinvv 1 2 tan v v 由机械能守恒定律可得由机械能守恒定律可得 22 12 11 22 mgHmvmv 联立方程可得联立方程可得 1 2sinvgH 2 2cosvgH 例例14、如图所示、如图所示,光滑的半圆曲面光滑的半圆曲面AB,其半其半 径为径为R,在在B端有一光滑小滑轮端有一光滑小滑轮,通过滑轮用通过滑轮用 细绳连着两个物体细绳连着两个物体P、Q,其质量分别为其质量分别为