北京工业大学线性代数第六章第七节正定二次型第八节正交替换化标准形

1、北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 1 第七节第七节 正定二次型正定二次型 一正定二次型一正定二次型 二正定二次型的判别法二正定二次型的判别法 三正定矩阵在求多元函数极值中的应用三正定矩阵在求多元函数极值中的应用 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 2 我们知道一元二次函数我们知道一元二次函数f f( (x x)=)=x x2 2 在 在x x=0=0处处 达到最小值，达到最小值， 这表明一元二次函数的极值问题这表明一元二次函数的极值问题 与一元二次型与一元二次型f (x)=x2的性质密切相关。的性质密切相关。 问题：一般地，

2、问题：一般地，n元函数的极值问题是否也元函数的极值问题是否也 与与n元二次型的性质有关系？与元二次型的性质有关系？与n元二次型元二次型 的什么性质有关？的什么性质有关？ a0, 都都有有 f aa 2 ( )0, 这是因为对任意实数这是因为对任意实数 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 3 一正定二次型一正定二次型 定义定义: : 设设 f (X )=XT AX是是 n 元实二次型元实二次型, 如果对任何一个非零向量如果对任何一个非零向量X ，恒有，恒有f (X ) 0, 则称实二次型则称实二次型f (X )正定二次型正定二次型. 如果二次型如果二次型f (X

3、 )=XT AX 是正定二次型是正定二次型 则矩阵则矩阵A称为称为正定矩阵正定矩阵 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 4 22 12312 (,)2f xxxxx 不是正定二次型不是正定二次型. (0,0,3)0,X (0,0,3)0f 00 如如 ： f xxxxxx 222 123123 (,)35. 是正定二次型是正定二次型. f xxxxxx 222 123123 (,)2 不是正定二次型不是正定二次型. 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 5 n元实二次型正定的充要条件为它的正元实二次型正定的充要条件为它的正 惯性

4、指数等于惯性指数等于n n元实二次型元实二次型 XT AX 正定正定 它的规范形中它的规范形中n个系数均为个系数均为1 它的标准形中它的标准形中n个系数均为正数。个系数均为正数。 定理定理1: 1: 推论推论1: n元实正定二次型元实正定二次型 XT AX 的秩是的秩是n说明说明: 2.2. 正定二次型的性质正定二次型的性质 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 6 任意实二次型经过可逆线性替换保持任意实二次型经过可逆线性替换保持 正定性不变正定性不变 设实二次型设实二次型 f (X )=XT AX 是是正定的，正定的， 作可逆线性替换作可逆线性替换X= CY

5、(C 是可逆矩阵是可逆矩阵)， 变成实二次型变成实二次型 定理定理2: 2: 证证: g (Y )=YTCTACY . 对任意对任意 0 ,Y 设设 00 XCY , 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 7 f (X )=XT AX是是正定的，正定的， 000 () T f XX AX 0, 000 () TT g YY C ACY 00 ()() T CYA CY 00 T X AX 0, g (Y )=YTCTACY是是正定的正定的. 与正定矩阵合同的实对称与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正矩阵也是正 定矩阵定矩阵. 推论推论3： 北京工业大学线性代数第六章

6、第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 8 二正定二次型的判别法二正定二次型的判别法 方法一方法一 用定义用定义 222 121122 (,) nnn f xxxd xd xd x 是是正定的正定的 di 0 , i =1,2,n 为标准形为标准形 由推论由推论1可知实二次型可知实二次型 方法二方法二 用配方法或初等变换法化二次型用配方法或初等变换法化二次型 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 9 n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A 正定正定 A的正惯性指数等于的正惯性指数等于n A的合规范形是单位矩阵的合规范形是单位矩阵E，即存在可逆，即存在可逆 定理定理3:

7、 由定义知，由定义知，f (X )=XT AX是是正定正定 A是是正定矩阵正定矩阵 所以所以, 判别判别A的正定性可知二次型的正定性可知二次型f (X)的正定性的正定性 方法三方法三 判定二次型的矩阵是否是正定矩阵判定二次型的矩阵是否是正定矩阵 A的合同标准形中的合同标准形中,主对角元素均为正数。主对角元素均为正数。 矩阵矩阵P,使得使得 A=PTP . 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 10 对于对于n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A，能找到正交矩阵，能找到正交矩阵 T使得使得 实对称实对称矩阵矩阵A正定正定 A 的所有特征值全的所有特征值全 大于零大于零. 推

8、论推论1： (特征值法特征值法) T nn T ATdiag 1212 , 其其中中 是是A的全部特征值。因此我们有的全部特征值。因此我们有 实对称实对称矩阵矩阵A正定正定0.A推论推论2 证：证： 由由A的行列式等于其特征值乘积得证。的行列式等于其特征值乘积得证。 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 11 注：注：0A A正定正定. 如：如： 10 , 01 A 10 10 01 A 有有， 但以但以A 为矩阵的二次型为矩阵的二次型 22 1212 (,)f xxxx 不是正定二次型，所以不是正定二次型，所以A不是不是正定正定矩阵矩阵. 北京工业大学线性代数

9、第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 12 定义定义: :() ij Aa 设设 是是 n 阶方阵，阶方阵，k 阶子式阶子式 11121 21222 12 ,1,2, k k k kkkk aaa aaa kn aaa 称为矩阵称为矩阵A的顺序主子式的顺序主子式 为了从子式的角度研究矩阵正定的条为了从子式的角度研究矩阵正定的条 件，我们引入下述概念：件，我们引入下述概念： n阶矩阵阶矩阵A的顺序主子式共有的顺序主子式共有n个个.说明说明: : 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 13 如：如： (P204-例例) 123 214 340 A ， 1

10、 1 1 ， 为矩阵为矩阵A的三个顺序主子式的三个顺序主子式 2 12 3 21 ， 3 123 214 340 =23，=23， 实对称阵实对称阵A为正定为正定 A的各阶顺序主子的各阶顺序主子定理定理: : 式式都大于零都大于零. (顺序主子式法顺序主子式法) 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 14 例例1 判断下列二次型是否正定？判断下列二次型是否正定？ 222 123123121323 (,)255448f xxxxxxx xx xx x 解：解：方法一方法一 配方法配方法 222 123112132323 (,)244558f xxxxx xx xx

11、xx x 22 112323 222 232323 24()2() 2()558 xxxxxx xxxxx x 222 1232323 2()334xxxxxx x 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 15 1123 223 33 2 , 3 yxxx yxx yx 令令 xyyy xyy xy 1123 223 33 1 3 2 , 3 或或 222 123 5 23, 3 fyyy f 是是正定二次型正定二次型. 22222 123223333 444 2()3()3 393 xxxxx xxxx 222 123233 25 2()3() 33 xxxxx

12、x 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 16 方法二：矩阵的特征值法方法二：矩阵的特征值法 222 254 245 A ，二次型二次型f 的矩阵为的矩阵为 2 222 254(1) (10) 245 EA 12 1(),10二二重重， f 是是正定二次型正定二次型. A 的特征值都是正的，的特征值都是正的， 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 17 各阶顺序主子式为各阶顺序主子式为 20 1 1 ， 二次型二次型f 是是正定二次型正定二次型. 二次型二次型f 的矩阵为的矩阵为 方法三：顺序主子式法方法三：顺序主子式法 222

13、254 245 A ， 2 22 60 25 ， 3 222 254 245 =100，=100， 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 18 例例2 判断矩阵判断矩阵 (P205-例例6.7.3) 120 221 013 A ， 是否正定？是否正定？ 解解: 2 12 20 22 ， A 不不是正定矩阵是正定矩阵 例例3 试证：实数域上任一试证：实数域上任一n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵A ， 都有都有ATA是正定矩阵是正定矩阵 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 19 证：方法一证：方法一 (), TTT A AA A T A A

14、是实对称阵，是实对称阵， , 任任意意可可逆逆，XOAAX ()() TT f XXA A X f 是是正定二次型，正定二次型， T A A是是正正定定矩矩阵 阵. , O () () T AXAX 2 0,AX 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 20 方法二方法二 (), TTT A AA A T A A是实对称阵，是实对称阵， , TT A AA EA , T A AE与与 合合同同 ATA是正定矩阵是正定矩阵 且且A是可逆矩阵是可逆矩阵 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 21 例例4 t 满足什么条件时，下列二次型正

15、定满足什么条件时，下列二次型正定 222 123123121323 (,)222222f xxxxxxtx xtx xtx x 解：解： 2 2 2 tt Att tt ， 要使要使 f 正定，则正定，则A 的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式 二次型二次型 f 的矩阵为的矩阵为 都大于零都大于零. (P206-例例6.7.5) 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 22 220, 1 1 2 3 2 2(22 )(2)0, 2 tt tttt tt 2 40 , 220 t t 22 , 1 t t 21t 时，时，f 是是正定二次型正定二次型. 2 2 2 40

16、, 2 t t t 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 23 三正定矩阵在求多元函数极值中的应用三正定矩阵在求多元函数极值中的应用 设设n n元函数元函数 12 (,) n f xxx 导数构成的导数构成的n阶对称矩阵为阶对称矩阵为 (1) X*是是f(X)极小值点极小值点 H(X*)是正定矩阵是正定矩阵 的的n2个二阶偏个二阶偏 是是f(X)的驻点，则的驻点，则 2 * () ()(), n n ij f X H XX x x (2) X*是是f(X)极大值点极大值点-H(X*)是正定矩阵是正定矩阵 例例5 5设三元函数设三元函数 222 ( , , )65

17、14482f x y zxyzxyxzyz 求其极值。求其极值。 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 24 12480 10420 28820 f xyz x f yxz y f zxy z 222 2 222 2 222 2 fff xx yx z fff H y xyy z fff z xz yz 解：解： 先求驻点，即解如下方程组先求驻点，即解如下方程组 其系数行列式不等于其系数行列式不等于0，有唯一解，得驻点，有唯一解，得驻点(0,0,0)T f 的二阶偏导数矩阵的二阶偏导数矩阵 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 2

18、5 1248 4102 8228 H 123 120,1040,23520 在驻点处为在驻点处为 其各阶顺序主子式其各阶顺序主子式 从而是正定矩阵，于是从而是正定矩阵，于是(0,0,0)T是是f(x,y,z)的极小的极小 值点，值点，极小值是极小值是 f (0,0,0)=0。 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 26 实二次型除了正定的以外，还有其他一些实二次型除了正定的以外，还有其他一些 类型。类型。 定义定义: : 设设 f (X )=XT AX是是 n 元实二次型元实二次型, 如果对如果对 任何一个非零向量任何一个非零向量X ，恒有，恒有 正定正定(负定

19、，半负定负定，半负定)的，不定的。的，不定的。 ()0( ()0,()0)f Xf Xf X 则称实二次型则称实二次型f (X )是半是半正定正定(负定，半负定负定，半负定)的的. 若若f (X )既不是半既不是半正定的，也不是半负定的，则正定的，也不是半负定的，则 称它是不定的。相应的实对称矩阵分别称为半称它是不定的。相应的实对称矩阵分别称为半 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 27 例例6 判别下列三元实二次型属于那种类型：判别下列三元实二次型属于那种类型： 222222 121123 22222 12312 (1)(2)(3) (4)(5) yyyyy

20、y yyyyy 解：解： (4)负定负定 (5)半负定半负定 (1)半正定半正定 (2)半正定半正定 (3)不定不定 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 28 第八节第八节 正交替换化二次型为标准形正交替换化二次型为标准形 设设 f (X )=XT AX是是 n 元实二次型元实二次型, A为为实实 对称矩阵，对称矩阵， 1 1 2 12 (,), n n TATdiag 12 , n An 的的为为 个特征值，个特征值， 由由T-1 =TT, 12 (,), T n T ATdiag 因此可求出正交替换将二次型因此可求出正交替换将二次型 f 化为标准形化为标准

21、形 则一定存在正交阵则一定存在正交阵T，使得使得 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 29 对任意一个对任意一个 n 元实二次型元实二次型f (X )=XT AX, 都存在一个正交替换都存在一个正交替换 X =TY , 使得使得 222 1122 () nn f Xyyy 12n 其其中中， ， ， 为为 A 的全部特征值的全部特征值, T 的的 n 个个 列向量是列向量是A 的相应的的相应的 n个单位正交特征向量个单位正交特征向量. 定理定理5 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 30 例：用正交替换化二次型例：用正交替换化

22、二次型 22 121212 (,)332f xxxxx x 为标准形，并求出所用的正交替换为标准形，并求出所用的正交替换 (P207-例例6.8.2) 解：解：二次型二次型 f 的矩阵为的矩阵为 31 , 13 A 31 (2)(4), 13 EA 12 2,4,为为A 的两个特征值的两个特征值. 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 31 1 2, 1 2 110 , 110 x x 基础解系基础解系 1 1 , 1 2 4, 1 2 110 , 110 x x 基础解系基础解系 2 1 , 1 12 , 显然显然 正交，只需将正交，只需将 单位化即可，单位化

23、即可， 12 , 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 32 1 1 2 , 1 2 12 11 22 (,), 11 22 T 2 1 2 1 2 ， 1 1 1 2 1 1 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 33 正交替换为正交替换为 xyy xyy 112 212 11 22 11 22 20 , 04 T T AT 二次型的标准形为二次型的标准形为 22 12 24.fyy 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 34 典型习题典型习题 1 1231232 3 145 (,)(,) 625

24、 938 x f xxxxxxx x 222 123112132233 (,)1014288f xxxxx xx xxx xx 二次型的矩阵为二次型的矩阵为 157 524 748 1 写出如下二次型的矩阵写出如下二次型的矩阵 解：方法一解：方法一 先写成和式再写矩阵先写成和式再写矩阵 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 35 () TTTTT fX BXX BXX B X 1 () 22 T TTTT BB fX BXX B XXX 方法二方法二 用公式用公式 注意到注意到f是一个数，因此有是一个数，因此有fT=f，即，即 则则 2 T BB A 这里这里

25、是对称矩阵，为是对称矩阵，为f 的矩阵。的矩阵。 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 36 22 123112233 (,)22f xxxxx xx xax 二次型的矩阵为二次型的矩阵为 110 011 01a 2 已知如下二次型的秩是已知如下二次型的秩是2，求常数，求常数a的值。的值。 解：解： ( )2|101R AAaa 北京工业大学线性代数第六章第七 节正定二次型第八节正交替换化标 准形 37 3 设设G、H为为n阶矩阵，则有结论（阶矩阵，则有结论（ ） （A）若）若G与与H等价，则等价，则G与与H合同合同 B （B）若）若G与与H合同，则合同，则G与与H等价等价 （C）若）若G与与H相似，则相似，则G与与H合同合同 （D）若）若G与与H合同，则合同，则G与与H相似相似 4 设设A