江苏省各地市高三历次模拟数学试题分类汇编：第7章数列

1、目录（基础复习部分）第七章数列2第40课数列的概念和简单表示2第41课等差数列2第42课等比数列5第43课数列求和5第44课综合应用（）11第45课综合应用（）28第七章 数列第40课 数列的概念和简单表示已知，设为数列的最大项，则8（南京盐城模拟一）已知数列满足，n*)若数列单调递减，数列单调递增，则数列的通项公式为 .答案：（说明：或写成第二数归法可证，第二步分奇偶）设单调递增数列an的各项均为正整数，且a7=120,an+2=an+an+1,nn*，则a8= 答案：194.a7=5a1+8a2=120,所以a1=8k,a2=5m,所以k+m=3,所以k=1,m=2.第41课 等差数列在等

2、差数列中，则若等差数列的前5项和且则 .-3若一直角三角形的三边长构成公差为2的等差数列，则该直角三角形的周长为 24等差数列中，则该数列前十项的和 （苏州期末）已知等差数列中，若前5项的和，则其公差为 . 2（苏北四市期末）在等差数列中，已知，则的值为 22（淮安宿迁摸底）已知是等差数列，若，则的值是 （盐城期中）在等差数列中，是其前项和，若，则= . 12（南京盐城二模）记等差数列的前n项和为，已知，且数列也为等差数列，则= 。50（南通调研二）已知等差数列的首项为4，公差为2，前项和为若()，则的值为 【答案】7（南通调研三）在等差数列an中，若an+an+2=4n+6（nn*），则该数

3、列的通项公式an= 【答案】2n+1（苏北三市调研三）设等差数列的前项和为，则的值为 37（南京三模）记等差数列an的前n项和为sn若sk18，sk0，sk110，则正整数k 9已知数列（n*，）满足，其中，n*（1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围；（2）设集合，n*，若，求证：；是否存在实数，使，都属于？若存在，请求出实数，；若不存在，请说明理由19解：（1）当时， 2分因为，或，所以 4分（2）由题意，6分令，得因为，n*，所以令，则 8分不存在实数，使，同时属于 9分 假设存在实数，使，同时属于，从而， 11分因为，同时属于，所以存在三个不同的整数，（，），使得从而则 13分因为与

4、互质，且与为整数，所以，但，矛盾所以不存在实数，使，都属于 16分（南师附中四校联考）设数列的前n项和为，且，.（1）若数列是等差数列，求数列的通项公式；（2）设，求证：数列是等差数列.（1） 又是等差数列，设公差为d，则4分 6分8分注：由解得，但没有证明原式成立，只给4分.（2）得10分两式相减得12分14分 可得 是等差数列16分第42课 等比数列已知等比数列的各项均为正数则 3等比数列中，则数列的前6项和为 答案：；已知等比数列的各项均为正数，若，则 （扬州期末）设数列的前项和为，且，若对任意n*，都有，则实数的取值范围是. （镇江期末）设等比数列的前项和为，若，则 . 448（盐城期

5、中）若等比数列满足，则 . 27（泰州二模）在等比数列中，已知，则 (南通中学期中) 已知数列满足（q为常数），若18，6，2，6，30，则 【知识点】单元综合d5【答案】-2,126，-3【解析】由已知可得，an+1+2=q（an+2），n=1，2，当an=-2时，显然有a3，a4，a5，a6-18，-6，-2，6，30，此时a1=-2当an-2时，则，（q为常数），又因为a3，a4，a5，a6-18，-6，-2，6，30，所以a3+2，a4+2，a5+2，a6+2-16，-4，0，8，32，因为an-2，所以an+20，从而a3+2=32，a4+2=-16，a5+2=8，a6+2=-4，或

6、a3+2=-4，a4+2=8，a5+2=-16，a6+2=32故有q=-2或q=-代入an+1=qan+2q-2得a1=-3，或a1=126【思路点拨】观察已知式子，移项变形为an+1+2=q（an+2），从而得到an+2与an+1+2的关系，分an=-2和an-2讨论，当an-2时构造等比数列an+2，公比为q计算可得答案第43课 数列求和（盐城期中）设函数的图象在轴上截得的线段长为，记数列的前项和为，若存在正整数，使得成立，则实数的最小值为 . 13（南师附中四校联考）已知数列，的通项公式分别为，若，则数列的通项公式为 .（金海南三校联考）设sn为数列an的前n项和，若sn=nan3n(n

7、1)(nn*)且a2=11，则s20= .12401 已知有穷等差数列an公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 项答案：8已知an是等差数列，其前n项的和为sn， bn是等比数列，且a1b12，a4b421，s4b430（1）求数列an和bn的通项公式；（2）记cnanbn，nn*，求数列cn的前n项和解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q由a1b12，得a423d，b42q3，s486d 3分由条件a4b421，s4b430，得方程组解得所以ann1，bn2n，nn* 7分（2）由题意知，cn(n1)2n记tnc1c2c3cn则tnc1c2c

8、3cn 22322423n2n1 (n1)2n，2 tn 222323(n1)2n1n2n (n1)2n1，所以tn22(22232n )(n1)2n1， 11分即tnn2n1，nn* 14分已知数列、，其中，数列的前项和,数列满足 （1）求数列、的通项公式；（2）是否存在自然数，使得对于任意有恒成立？若存在,求出的最小值；（3）若数列满足，求数列的前项和解：（1）因为.当时，所以所以，即 2分又，所以. 4分当时，上式成立，因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，故. 6分(2) 由（1）知，则.假设存在自然数，使得对于任意有恒成立，即恒成立，由，解得9分所以存在自然数，使得对于任意有恒成

9、立，此时，的最小值为16. 11分（3）当为奇数时，；13分当为偶数时，. 15分因此 16分（苏州期末）已知数列中，（1）是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；（2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数解：（1）设，因为，2分若数列是等比数列，则必须有（常数），即，即 5分此时，所以存在实数，使数列是等比数列 6分（注：利用前几项，求出的值，并证明不扣分）（2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列，故，即，8分由，得，10分所以，12分显然当n*时，单调递减，又当时，当时，所以当时，；，同理，当且仅当时，综上，满足的所有正整数为1和2 16分（盐城期中）设数

10、列的前项和为，且. （1）若是等差数列，求的通项公式；（2）若. 当时，试求； 若数列为递增数列，且，试求满足条件的所有正整数的值.解：（1）由等差数列求和公式， 2分，解得， ； 4分（说明：也可以设；或令，先求出首项与公差）（2）由， 得 ， 6分， . 8分（说明：用，利用分组方法求和，类似给分.）（3）设，由，得与， 10分又， 相减得，数列为递增数列，解得， 12分由， 14分，解得. 16分（苏北三市调研三）设正项数列的前项和为，满足正项等比数列满足：（1）求数列、的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求所有正整数m的值，使得恰好为数列中的项(1) 因为,当时,解得.1分 由,当

11、,两式相减，得2分又因为,所以，所以,4分由得， 所以6分(2)由题意得，所以 8分所以 10分故若为中的项只能为 11分()若,则,所以无解12分（）若 显然不符合题意，符合题意当时，即则设则，即为增函数，故，即为增函数故故当时方程无解，即 是方程唯一解。15分（）若则,即.综上所述，或16分第44课 综合应用（）设等比数列的公比为（），前n项和为，若，且与的等差中项为，则 记数列an的前n项和为sn若a11，sn2(a1an)(n2，nn*)，则sn 22n1已知数列的首项，前项和为，且满足，则满足的的最大值为 .9已知是分比为的正项等比数列，不等式的解集是则 .（盐城三模）设是等差数列的

12、前项和，若数列满足且，则的最小值为 （苏锡常镇二模）已知等差数列满足：若将都加上同一个数，所得的三个数依此成等比数列，则的值为 （前黄姜堰四校联考）已知数列满足，, ,则的值为 . 2 等比数列an中，首项a12，公比q3，anan1am720(m，nn*，mn)，则mn 【答案】9（镇江期末）已知数列中，在，之间插入1个数，在，之间插入2个数，在，之间插入3个数，在，之间插入个数，使得所有插入的数和原数列中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列（1）若，求的通项公式；（2）设数列的前项和为，且满足(，为常数)，求的通项公式解：（1）设的公差为，由题意，数列的前几项为：，2分为的第10项，

13、则， 4分，而， 5分故数列的通项公式为 6分（2）由（，为常数），得， 7分当得， 当时， 得， 8分则， 9分若，则，代入上式，得，不成立； 10分（法一）当，常数 恒成立，又为正项等差数列，当时，不为常数，则得， 11分代入式，得 12分（法二），即，则对恒成立，令，3得解得 11分代入式，得 12分（法三）由， 得， ，得，代入上式得， 11分代入式，得 12分所以等差数列的首项为，公差为，则 13分设中的第项为数列中的第项，则前面共有的项，又插入了项，则， 15分故 16分【说明】本题是原创题，考查等差数列的性质、通项、求和、简单递推；考查一般与特殊思想、转化与化归思想；考查运算能力

14、；考查分析探究能力.设等比数列的首项为公比为为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（1） 求数列的通项公式；（2） 试确定的值，使得数列为等差数列；（3） 当为等差数列时，对每个正整数在与之间插入个2，得到一个新 数列.设是数列的前项和，试求满足的所有正整数【解析】（）因为,所以，解得（舍），则- 3分又，所以-5分（）由 ，得，所以,则由，得- 8分而当时，由（常数）知此时数列为等差数列- 10分18在等差数列中，其前项和为，等比数列的各项均为正数，其前项和为，且（1）求数列和数列的通项；（2）问是否存在正整数，使得成立？如果存在，请求出的关系式；如果不存在，请说明理由18解：设等差数列

15、的公差为，则 2分解得 4分所以 6分（2）因为， 7分所以有（*）若，则，（*）不成立，所以，9分若为奇数，当时，不成立， 10分当时，设，则 12分若为偶数，设，则，因为，所以14分综上所述，只有当为大于1的奇数时，当为偶数时，不存在 16分数列、满足：，；（1）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列；（2）若数列、都是等差数列，求证：数列从第二项起为等差数列；（3）若数列是等差数列，试判断当时，数列是否成等差数列？证明你的结论19证明：（1）设数列的公差为，数列是公差为的等差数列 4分（2）当时，数列，都是等差数列，为常数，数列从第二项起为等差数列 10分（3）数列成等差数列解法1 设数

16、列的公差为，设，两式相减得，即， 12分令，得，数列（）是公差为的等差数列 14分，令，即，数列是公差为的等差数列 16分解法2 ，令，即 12分，数列是等差数列， 14分，数列是等差数列16分（泰州二模）已知，都是各项不为零的数列，且满足，其中是数列的前项和， 是公差为的等差数列（1）若数列是常数列，求数列的通项公式； （2）若（是不为零的常数），求证：数列是等差数列；（3）若（为常数，），求证：对任意的，数列单调递减解：（1）因为，所以，因为数列是各项不为零的常数列，所以，则由及得，当时，两式相减得， 当时，也满足，故 4分（2）因为，当时，两式相减得，即，即，又，所以，即，所以当时，两式

17、相减得，所以数列从第二项起是公差为等差数列；又当时，由得，当时，由得，故数列是公差为等差数列 15分（3）由（2）得当时，即，因为，所以，即，所以，即，所以，当时，两式相减得 ，即，故从第二项起数列是等比数列，所以当时，另外由已知条件得，又，所以，因而，令，则，因为，所以，所以对任意的，数列单调递减 16分已知数列的前n项和为，设数列满足（1）若数列为等差数列，且，求数列的通项公式；（2）若，且数列，都是以2为公比的等比数列，求满足不等式的所有正整数n的集合解：（1）设等差数列的公差为，所以， 1分由，得，及由，又由，得对一切都成立， 3分即对一切都成立令，解之得或经检验，符合题意，所以的通项

18、公式为或 5分（2）由题意得，6分 7分 8分 9分记，即， 10分记，则 ，当，2，3时，当时， 12分因为时，所以；且；所以在时也是单调递增， 14分时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，所以满足条件的正整数n的集合为1，2，3，4，5，616分（南京盐城模拟一）设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，（1）求数列的通项公式；（2）对于正整数，（），求证：“且”是“，这三项经适当排序后能构成等差数列”的充要条件；（3）设数列满足：对任意的正整数，都有，且集合，n*中有且仅有3个元素，试求的取值范围解：（1）数列是各项均为正数的等比数列，又，；4分（2）（）必要性：设，这三项经适当

19、排序后能构成等差数列，若，则， 6分若，则，左边为偶数，等式不成立若，同理也不成立综合，得，所以必要性成立. 8分（）充分性：设，则，这三项为，即，调整顺序后易知， 成等差数列，所以充分性也成立.综合（）（），原命题成立. 10分（3）因为，即，（*）当时，（*）则（*）式两边同乘以2，得，（*）（*）（*），得，即又当时，即，适合，.14分，时，即；时，此时单调递减，又， 16分（扬州期末）已知数列中，且对任意正整数都成立，数列的前项和为.（1）若，且，求a（2）是否存在实数，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有值；若不存在，请说明理由（3

20、）若，求（1）时，所以数列是等差数列， 1分 此时首项，公差，数列的前项和是， 3分故，即，得；4分（没有过程，直接写不给分）（2）设数列是等比数列，则它的公比，所以， 6分 若为等差中项，则，即，解得，不合题意；若为等差中项，则，即，化简得， 解得（舍1）；若为等差中项，则，即，化简得， 解得； 9分 综上可得，满足要求的实数有且仅有一个， 10分（3），则， 12分当是偶数时， ；当是奇数时， .也适合上式. 15分 综上可得， 16分（苏北四市期末）在数列中，已知，为常数(1)证明：，成等差数列；(2)设，求数列的前项和；(3)当时，数列中是否存在三项，成等比数列，且，也成等比数列？若存

21、在，求出，的值；若不存在，说明理由（1）因为，所以，同理， 2分又因为，3分所以，故，成等差数列 4分（2）由，得，5分令，则，所以是以0为首项，公差为的等差数列，所以，6分即，所以，所以 8分当， 9分当10分（3）由（2）知，用累加法可求得，当时也适合，所以12分假设存在三项成等比数列，且也成等比数列，则，即，14分因为成等比数列，所以，所以，化简得，联立，得这与题设矛盾故不存在三项成等比数列，且也成等比数列16分（南通调研二）设是公差为的等差数列，是公比为()的等比数列记（1）求证：数列为等比数列；（2）已知数列的前4项分别为4，10，19，34 求数列和的通项公式； 是否存在元素均为正

22、整数的集合，(，)，使得数列 ，为等差数列？证明你的结论解：（1）证明：依题意， ， 3分 从而，又， 所以是首项为，公比为的等比数列 5分 （2） 法1：由（1）得，等比数列的前3项为， 则， 解得，从而， 7分 且 解得， 所以， 10分 法2：依题意，得 7分 消去，得 消去，得 消去，得， 从而可解得， 所以， 10分 假设存在满足题意的集合，不妨设，且， ，成等差数列， 则， 因为，所以， 若，则， 结合得， 化简得， 因为，不难知，这与矛盾， 所以只能， 同理， 所以，为数列的连续三项，从而， 即， 故，只能，这与矛盾， 所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合 16分（注：第（2

23、）小问中，在正确解答的基础上，写出结论“不存在”，就给1分）（苏锡常镇二模）已知为常数，且为正整数，无穷数列的各项均为正整数，其前项和为，对任意正整数，数列中任意两不同项的和构成集合 （1）证明无穷数列为等比数列，并求的值； （2）如果，求的值； （3）当时，设集合中元素的个数记为，求数列的通项公式（前黄姜堰四校联考）已知无穷数列中，是首项为，公差为的等差数列；是首项为，公比为的等比数列（其中），并对任意的，均有成立（1）当时，求；（2）若，试求的值；（3）判断是否存在（），使得成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由解（1）时，数列的周期为，而是等比数列中的项， 4分（2）设是第一个周

24、期中等比数列中的第项，则，等比数列中至少有项，即，则一个周期中至少有16项最多是第二个周期中的项 7分若是第一个周期中的项，则；若是第二个周期中的项，则不为整数；综上， 10分（3）是此数列的周期，表示64个周期及等差数列的前3项之和最大时，最大 12分，当时，；当时，；当时，29 当时，取得最大值，则取得最大值为 15分由此可知，不存在（），使得成立 16分（金海南三校联考）定义：从一个数列an中抽取若干项(不少于三项)按其在an中的次序排列的一列数叫做an的子数列，成等差(比)的子数列叫做an的等差(比)子列.(1)求数列的等比子列；(2)设数列an是各项均为实数的等比数列，且公比q1.试

25、给出一个an，使其存在无穷项的等差子列(不必写出过程)；若an存在无穷项的等差子列，求q的所有可能值.解：（1）设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k（1k3，kn*）， 当k2时， 设，成等比数列，则，即mn2， 当且仅当n1时，mn*，此时m4，所求等比子数列为1，；设，成等比数列，则，即mn12n*； 3分 当k3时，数列1，；，；，均不成等比， 当k1时，显然数列1，不成等比； 综上，所求等比子数列为1，5分 （2）（i）形如：a1，a1，a1，a1，a1，a1，（a10，q1）均存在无穷项 等差子数列： a1，a1，a1， 或a1，a1，a1，7分 （ii）设a(kn*，nkn

26、*)为an的等差子数列，公差为d， 当|q|1时，|q|n1，取nk1log，从而|q|， 故|aa|a1qa1q|a1|q|q1|a1|q|(|q|1)|d|， 这与|aa|d|矛盾，故舍去；12分 当|q|1时，|q|n1，取nk1log，从而|q|， 故|aa|a1|q|q1|a1|q|q|1|2|a1|q|d|， 这与|aa|d|矛盾，故舍去； 又q1，故只可能q1，结合(i)知，q的所有可能值为116分第45课 综合应用（）已知等差数列，其前项和为.若,（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为；求数列的通项公式；记，数列的前项和为，求所有使得等式成立 的

27、正整数，解：（），即；-1分； - -2分所以，；- -4分（）- -6分；- -8分得；- -9分；- -10分得，- -11分由，得，化简得， 即，即- 13分（*）因为，所以，所以， 因为，所以或或当时，由（*）得，所以无正整数解； 当时，由（*）得，所以无正整数解； 当时，由（*）得，所以 综上可知，存在符合条件的正整数-16分在数列，中，已知，数列的前项和为，数列的前项和为，且满足，其中为正整数.（1）求数列，的通项公式；（2）问是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，请说明理由.（南通调研一）设数列的前项和为若(n*)，则称是“紧密数列”（1）若数列

28、的前项和(n*)，证明：是“紧密数列”；（2）设数列是公比为的等比数列若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围（淮安宿迁摸底）已知数列是等差数列，其前n项和为，若，（1）求；（2）若数列mn满足条件： ，当时，其中数列单调递增，且，试找出一组，使得；证明：对于数列，一定存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方（1）设数列的首项为，公差为，由，得， 2分解得，所以4分（2）因为，若，因为，所以，此方程无整数解； 6分若，因为，所以，此方程无整数解；8分若，因为，所以，解得，所以，满足题意10分 由知，则，一般的取， 13分此时，则，所以为一整数平方因此存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平

29、方16分（南京盐城二模）给定一个数列an，在这个数列里，任取m(m3，mn*)项，并且不改变它们在数列an中的先后次序，得到的数列称为数列an的一个m阶子数列已知数列an的通项公式为an (nn*，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列an的一个3阶子数列 （1）求a的值；（2）等差数列b1，b2，bm是an的一个m (m3，mn*) 阶子数列，且b1 (k为常数，kn*，k2)，求证：mk1； （3）等比数列c1，c2，cm是an的一个m (m3，mn*) 阶子数列，求证：c1c2cm2 解：（1）因为a2，a3，a6成等差数列，所以a2a3a3a6又因为a2，a3， a6，代入得，解得

30、a0 3分（2）设等差数列b1，b2，bm的公差为d因为b1，所以b2，从而db2b1 6分所以bmb1(m1)d又因为bm0，所以0即m1k1所以mk2又因为m，kn*，所以mk1 9分（3）设c1 (tn*)，等比数列c1，c2，cm的公比为q因为c2，所以q 从而cnc1qn1（1nm，nn*） 所以c1c2cm1 13分设函数f(x)x，（m3，mn*）当x(0，)时，函数f(x)x为单调增函数因为当tn*，所以12 所以f()2即 c1c2cm2 16分（南京三模）已知数列an的各项均为正数，其前n项的和为sn，且对任意的m，nn*，都有(smns1)24a2ma2n （1）求的值；（2）求证：an为等比数列；（3）已知数列cn，dn满足|cn|dn|an，p(p3)是给定的正整数，数列cn，dn的前p项的和分别为tp，rp，且tprp，求证：对任意正整数k(1kp)，ckdk解：（1）由(smns1)24a2na2m，得(s2s1)24a，即(a22a1)24a因为a10，a20，所以a22a1a2，即2 3分证明：（2）（方法一）令m1，n2，得(s3s1)24a2a4，即(2a1a2a3)24a2a4，令mn2，得s4s12a4，即2a1a