分式知识点归纳及练习

1、第十六章 分式 【知识点1】分式 1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母. 2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B0，分式有意义. 3分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可. 【知识点2】有理式 有理式的分类：有理式 【知识点3】分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示为：（其中M0） 【知识点4】约分和通分 1分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫

2、约分. 2分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分. 【知识点5】最简分式与最简公分母：约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 知识链接： 1分数的意义 2.分数的基本性质 3.分数基本性质的作用 中考考点 本节的常考知识点有： 1. 分式的有关概念，分式的意义，分式的值等于零. 2. 分式的约分，分式的分子、分母的系数化整化正. 3. 求分式的值以及分式与其它题的综合分式方程学习目标1. 理解分式方程的定义，会解可化为一元一次方程的分式方程，了解产生增根的原因，并会

3、验根.2. 列出分式方程，解简单的应用题.重点难点重点：把分式方程转化为整式方程求解的化归思想及具体的解题方法.难点：（1）了解产生增根的原因，并有针对性地验根； （2） 应用题分析题意列方程.知识概要1. 分式方程的概念2. 解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤： 去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； 解这个整式方程； 验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 列分式方程解应用题的一般步骤：（1） 审：审清题意；（2） 设：设未知数；（3） 找：找出等量关系；（4） 列：列出分式方程；（5） 解

4、：解这个分式方程；（6） 验：既要验证根是否为原分式方程的根，又要检验根是否符合题意；（7） 答：写出答案.知识链接解分式方程主要是将其转化成整式方程来解.解完方程要注意验根即是否使最简公分母为零.中考视点: 本节内容在中考中经常出现，通常是以计算题或应用题的形式出现，并且多与其它章节如函数、方程等知识结合，因此，一定要注意含有字母系数的方程的解法以及可化为一元一次方程的分式方程的解法和应用，切记一定要验根.第二节、教材解读一、约分的根据、实质与关键 约分的根据是分式的基本性质；约分的实质是将一个分式化成最简分式分子与分母没有公因式的分式；约分的关键是确定一个分式的分子与分母的公因式.二、确定

5、分子、分母公因式的方法 分子与分母的公因式是：分子、分母的系数的最大公约数与相同因式的最低次幂的积.三、约分时应防止的三类错误 1有关分式的概念辨析，字母或分式的取值等问题，一般不用约分，否则会造成错误. 2.约分时，分子的整体与分母的整体都要除以同一个（公）因式，当分子或分母是多项式时，要用分子、分母的公因式去除整个多项式，不能只除某一项，更不能减去某一项. 等都是错误的.其中（1）中的分式已是最简分式，不需再约分；（2）的正确答案是.为此，必须牢记，只有当分子、分母都是乘积形式时才能约分. 3.分式的分子与分母是同底数的幂做因式时，应约去最低次幂，切不可对指数进行约分. 就犯了用指数6与2

6、约分的错误，正确的结果是四、掌握解分式方程的步骤解分式方程的一般步骤是：一是方程两边同乘最简公分母，化分式方程为整式方程；二是解这个整式方程；三是检验.如：解方程：.第一步：方程两边都乘以x（x6），得90x54060x；第二步：解这个整式方程，得x18；第三步：检验：把x18代入原方程的左、右两边有左边右边，即18是原分式方程的解.五、列分式方程解简单的实际应用问题列分式方程解简单的实际应用题的步骤简单地可分为：审、设、找、列、解、检、答七个步骤.其中关键是“列”，难点是“找”.如：如图，小明家到王老师家的路程为3km，王老师家到学校的路程为0.5km，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车

7、接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20min，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？ 解：第一步：审清题意；第二步：设王老师的步行速度为xkm/h，则骑自行车的速度为3xkm/h；第三步：王老师现在骑车所用的时间原来步行所用时间20min；第四步：根据题意，得；第五步：解这个方程：去分母，得3+3+0.51.5x，即x5；第六步：经检验x5是原方程的解，所以3x15；第七步：答：王老师的步行速度及骑自行车的速度分别为5km/h和15km/h.列分式方程解应用题一定要验根，还要保证其结果符合实际意义.第三节、错题剖析分式概念是本章学习的基础，由于

8、学生的认知水平和经验的不足，特别容易出现一些常见的通病.下面将通过举例讲解，让同学们少走弯路，更快地学好分式的基础知识.同学们在学习过程中可能会犯以下错误. 一、分式概念理解偏差 【例1】下列各式是分式的是（ ） 错解1：显然B式分母中含有字母，又是的形式，所以选B. 错解2：显然A 、D都是整式，经过同底数的幂相除化为3a也是整式，故选B. 错解分析：前者误认为是字母.其实是常数；后者先约分再判断是不行的.正解：选C. 反思：（1）把握判断分式的唯一标准是看分母中是否含有字母.分母中不含字母的是整式，分母中含有字母的是分式.（2）分式的判断是看形式，数的判断是看结果.如数的结果是3，所以是有

9、理数不是无理数. 二、分式的值为零的条件混乱 【例2】当x取何值时，的值为0？ 错解1：因为x无论等于2还是-2，分式的值为0，均无意义，故x没有值可取； 错解2：x=2 错解分析：前者误认为分式的值为0属于无意义，后者却忽视分式的值为0的前提条件是分式有意义. 正解：x=2. 反思：弄清分式的值为零的条件有两个：（1）分子的值为零；（2）分母的值不为零.这两个条件必须同时具备才可.三、分式无意义的条件不清 【例3】当x_时，分式无意义. 错解：因为当x=1时，分母的值为0， 故x=1. 错解分析：这个答案只考虑了分母为零时x=1，忽视了-10时x=1都使分母为零属于思维习惯上的问题. 正解：

10、x=1. 四、分式基本性质理解错误【例4】 不改变分式的值，把分式的分子、分母中的各项系数都化为整数 错解： 错解分析：错解的分子、分母所乘的不是同一个数，而是两个不同的数，虽然把各项系数化成了整数，但分式的值改变了，违背了分式的基本性质. 五、去分母时常数漏乘公分母【例5】解方程 错解：方程两边都乘以（x-3），得2-x=-1-2，解这个方程，得x=5.错解分析：解分式方程需要去分母，根据等式的性质，在方程两边同乘以（x-3）时，应注意乘以方程的每一项.错解在去分母时，-2这一项没有乘以（x-3），另外，求到x=5没有代入原方程中检验.正解：方程两边都乘以（x-3），得2-x=-1-2（x-

11、3），解得x=3检验：将x=3代入原方程，可知原方程的分母等于0，所以x=3是原方程的增根，所以原方程无解.六、去分母时，分子是多项式不加括号【例6】解方程 错解：方程化为，方程两边同乘以（x1）（x1），得3-x-1=0，解得x=2.所以方程的解为x=2.错解分析：当分式的分子是一个多项式，去掉分母时，应将多项式用括号括起来.错解在没有用括号将（x1）括起来，出现符号上的错误，而且最后没有检验.正解：方程两边都乘以（x1）（x1），得3-（x1）=0，解这个方程，得x=4检验:当x=4时，原方程的分母不等于0，所以x=4是原方程的根.七、方程两边同除可能为零的整式【例7】 解方程.错解：方程

12、两边都除以3x-2，得，所以x+3=x-4，所以3=-4，即方程无解.错解分析：错解的原因是在没有强调（3x-2）是否等于0的条件下，方程两边同除以（3x-2），结果导致方程无解正解：方程两边都乘以（x-4）（x+3），得（3x-2）（x+3）=（3x-2）（x-4），所以（3x-2）（x+3）（3x-2）（x-4）=0即（3x-2）（x+3x4）=0所以7（3x-2）=0解得x=.检验：当x=时，原方程的左边=右边=0，所以x=是原方程的解.第四节、思维点拨【例1】 已知且a、b都不等于0，求的值 【思考与分析】从题目的条件可以得出a、b的值代入要求的分式使得分式有意义即可求出分式值. 得（

13、a-b）（a-2b）=0. 所以a-b0或a-2b0； 当a-b0时，得a=b0， 当a-2b0时，得a=2b0， 所以 综上可得， 【反思】 本题是求含字母的分式，利用因式分解，两个因式的积为零，则可转化为两个因式中至少有一个为零，代入分式来求解，注意前提仍然是分式必须有意义. 【思考与分析】 可以灵活运用这个条件.要求的分式也可以化成含的形式，整体代入即可； 【反思】 本题在求值过程中利用了分式的基本性质，并且采用多种方法来利用已知条件使问题简化.【例3】供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果同时到达.已知抢修车

14、的速度是摩托车的速度的1.5倍，求这两种车的速度.解题思路一：寻求时间上的相等关系建立方程【解法1】：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时.根据题意得： 解得x40，经检验，x40是原方程的根.所以1.5x1.54060 答：摩托车的速度为40千米/时，抢修车的速度为60千米/时.解题思路二：寻求速度之间的相等关系建立方程【解法2】设摩托车行30千米所用的时间为x小时，则抢修车所用的时间为（x）小时，根据“抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍”得：解题思路三：寻求路程之间的相等关系建立方程【解法3】设摩托车行30千米所用的时间为x 小时，则抢修车行驶30千米所用的时间为（

15、x）小时，摩托车的速度为千米/时，抢修车的速度为1.5千米/时，根据“抢修车的速度抢修车所用的时间=总路程30千米”得：（1.5）（x）30解题思路四：列方程组解答【解法4】设摩托车与抢修车每小时分别行驶x千米、y千米，根据题意得方程组：（2、3、4解答过程略）【小结】题中含有多种关系时，列方程组可降低思维难度.前面的各种解法中，若把所推出的代数式用新的未知数替换，则都能写成方程的形式.【例5】读下列一段文字，然后解答问题.已知：方程的解是；方程的解是；方程的解是；方程的解是【探究一】观察上述方程及其解，再猜想方程的解，并写出检验过程.解：猜想方程的解是检验：当x11时，左边，右边，所以左边右

16、边；当x时，左边右边.x111，x2是方程的解.【探究二】你能猜想方程（n为正整数）的解吗？若能请你验证你的猜想是否合理？解：猜想方程（n 为正整数）的解是x1n1，x2.检验：当xn1时，左边n1，右边，所以左边右边；当x时，左边右边.x1n1，x2是方程x（n为正整数）的解.【例6】解方程【思考与分析】因为方程中有分母，所以首先应该去掉分母，只是注意，原来整式方程中分母全是数，而分式方程中则是代数式，因而去分母时应该两边同乘一个代数式，这里应该同乘x（x1）.解：去分母，两边同乘以x（x1）得:x（x1）x（x1）x（x1）化简得：x2x（x21）2x去掉括号，得：3x=1， x=检验：把

17、x=代入原方程的各个分母，都不为0.x=是原方程的解.【反思】（1）在解分式方程时，因乘的是同一个代数式，最后求得的根可能使同乘的这个代数式的值为0，这样的根叫做增根，但不是每个方程都有增根.因此，在解完方程之后，一定要检验方程的根，如果是增根，就标出来并且舍去.（2）在去分母时，同乘的是一个代数式，在题目中，可能有的项没有分母，这种项也同样要乘以这个代数式.第五节、竞赛数学当题目中的未知数具有对称关系时，应用基本对称式：xya，xyb，进行替换，可使解题过程简化.现以部分竞赛题为例，介绍这种解题技巧在求分式值中的妙用. 【思考与分析】首先看题目给的条件似乎没有必然的联系，但是经过化简含有可以

18、利用建立联系解答. 【例2】如果a23a10，那么，的值是_. 【思考与分析】这题看起来没有对称关系，但是不要急，我们先从题目中所给的已知条件入手，可解出一个关于a的新的关系式再将分别换元为x、y，所求的分式经过化简也可以用含有x、y的分式来求. 【思考与分析】题目看起来很麻烦，无从下手，大家仔细观察已知分式与要求分式的对应项系数的关系，就可以知道将已知的等式取倒数就可以找到相应的关系了. 【例4】若a、b都是正实数，且求的值 【思考与分析】由已知条件入手，可以得出这样就与要求的分式建立联系了，设可求出x与y的关系，代入要求的分式来解即可. 【例5】 证明恒等式【思考与分析】 本题两边如果通分

19、，可见其分母相同，若等式成立，则分子也必定相等，但这样运算量太大;如果把左边的分子灵活变形如b-c=（a-c）-（a-b）则可简化运算.证明: 原式左边=故 原等式成立.【例6】 使实数a、b、c满足，求证:.【思考与分析】 这里999是奇数，从题目的格式看，应该是对一般的奇数都成立，因而可以考虑由一般到特殊的证明方法.证明: ，故 （bc+ca+ab）（a+b+c）=abc.整理可得: （a+b）（b+c）（c+a）=0， 故 a=-b或b=-c或c=-a不妨设 a=-b，则 a2n-1=-b2n-1，令 n=500代入上式可得 .小结：分式证明题形式多种多样，一般的证明途径有:（1） 由繁

20、到简，即从等式较复杂的一边入手，经过配方因式分解换元降次等多种变形，逐步推到另一边；（） 将等式两边同时变形为同一个代数式，从而推出相等的结果.第六节、本章训练基础训练题 分式一、细心填一填（共7题,每题分，共分）1.x=3 分式的根（填 “是”或“不是”）.2.当x= 时，分式与的值相等.3.试写出一个解为x=2的分式方程 .4.分式方程 的根是 .5.已知分式的值是零,那么x的值是 .6.若有增根，则增根为 .7. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程5*（x-1）=3的解为 .二、精心选一选（共题，每小题分，共4分）8.下列方程中是分式方程的是（ ）A. B. C

21、.y23 D.9.把分式方程的两边同时乘以（x-2），约去分母，得（ ）A.1（1x）x2B.1（1x）1 C.1（1x）x2 D.1（1x）110.要把分式方程化为整式方程，方程两边需要同时乘以（ ）A.2x4 B.x C.2（x2） D.2x（x2） 11.方程的解是（ ）A.1 B.-1 C.1 D.12.已知，用含x的代数式表示y，得（ ）A.y2x8B.y2x10C.y2x10 D.y2x813.关于x的方程的解为x=1，则a等于（ ）A.1 B. 3C.1 D. 314.某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x

22、应满足的方程为（ ）A. B. C. D. 15.用换元法解分式方程，如果设，则原方程可变形为（ ）A. B. C. D. 16.下列关于x的方程，其中不是分式方程的是（ ）A. B. C. D. 三、耐心做一做（第17题分，第18题15分）17.解方程:18.八年级（2）班的学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区，已知快车的速度是慢车速度的15倍，求慢车的速度. 分式方程一、精心填一填（共8题，每小题4分，共32分） 二、细心选一选（共8题，每小题5分，共40分） 14.若代数式在实数范围内有意义，

23、则x的取值范围为（ ）. A.x0B.x0 C.x0 D.x0且x1 16.已知两个分式其中x2,则A与B的关系是（ ）. A. 相等B. 互为倒数 C. 互为相反数D. A大于B 三.解答题（第17题12分，第18题16分） 17.化简求值：其中x=3. 18.请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：提高训练题4.解方程5.解方程：6.甲、乙两班参加绿化校园活动.已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等.求甲、乙两班每小时各种多少棵树？7.已知x25x20000，则代数式的值是（ ）.A.2001B.2002C.2

24、003D.20048.化简（.9.已知，则的值为.10.解关于x的方程：axb2x3.强化训练题一、精心选一选1.下列代数式中：是分式的有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2.下列判断中，正确的是（ ）A.分式的分子中一定含有字母B.当B0时，分式的值为0C.当A0，时，分式的值为0（A、B为整式）D.分数一定是分式3.分式中，当xa时，下列结论正确的是（ ）A.分式的值为零B.分式无意义C.若a时，分式的值为零D.若a时，分式的值为零4.分式中的字母x、y都扩大为原来的4倍，则分式的值（ ）A.不变B.扩大为原来的4倍C.扩大为原来的8倍D.缩小为原来的5.不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（ ）A.10 B.9 C.45 D.906.下列各分式中，最简分式是（ ）二、细心填一填8.当x 时，分式有意义