第05章误差分析01

1、 测量实践中可以发现，测量结果不可避 免的存在误差，比如： 1、对同一量多次观测，其观测值不相同。 2、 观测值之和不等于理论值： 三角形 +180 闭合水准 h0 误差的定义： 误差观测值真值误差观测值真值 一、一、 等精度观测：观测条件相同的各次观测。 不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。 1. 仪器误差 2. 观测误差 3. 外界条件的影响 观测条件 粗差：因读错、记错、测错造成的错误。 二、二、 在相同的观测条件下，无论在个体和群体上， 呈现出以下特性： 误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化； 误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化； 误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。

2、 1、系统误差 误差的大小、符号相同或按 一定的规律变化。 钢尺尺长、温度、倾斜改正 水准仪 i角 经纬仪 c角、i角 注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。 1）校正仪器； （2）观测值加改正数； （3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。 在相同的观测条件下，对某个固定量 作一系列的观测，如果观测结果的差异在 正负号及数值上，都没有表现出一致的倾 向， 即没有任何规律性，这类误差称为偶 然误差。 2、偶然误差 人们从无数测量实践中发现，大量的偶然误差 的分布表现出一定的统计规律性。下面通过实 例来说明这种规律性。 一、举例：一、举例： 例：某一测区，在相同的观测条件下共观测了例：某一

3、测区，在相同的观测条件下共观测了 358358个三角形的全部内角，每个三角形的内角和个三角形的全部内角，每个三角形的内角和 真误差由下式计算真误差由下式计算 2、偶然误差 )(180CBA i 三角形内角和真误差： A B C 将将358358个个ii进行整理：进行整理： n以以33为区间长度进行分区；为区间长度进行分区； n统计各区间内误差的个数统计各区间内误差的个数vi vi ； n统计统计“误差出现在每个区间内的频率误差出现在每个区间内的频率vi/nvi/n（n n为误为误 差个数）差个数）”。得到误差分布表如下。得到误差分布表如下。 误差区间误差区间负误差负误差正误差正误差误差绝对值误

4、差绝对值 kk/nkk/nkk/n 03450.126460.128910.254 36400.112410.115810.226 69330.092330.092660.184 912230.064210.059440.123 1215170.047160.045330.092 1518130.036130.036260.073 182160.01750.014110.031 212440.01120.00660.017 24以上以上000000 1810.5051770.4953581.000 358个三角形内角和真误差分布表：个三角形内角和真误差分布表： 直方图：横坐标：三角形内角和的真

5、误差； 纵坐标：频率除以区间间隔。 +3 +6 +9+12+15+18+21-24+24-21 -18 -15 -12 -9 -6-3 12.6 11.5 12.8 11.2 9.2 6.4 4.7 3.0 1.7 1.1 9.2 5.9 4.5 3.6 1.4 0.6 d nk / 误差分布曲线：如果将误差区间缩小，各矩形顶 部形成的折线就变成一条光滑曲线，称偶然误 差的概率分布曲线。 误差分布曲线 注意：该图的误差分布曲线是对应某一种 观测条件的，当观测条件改变时，误差分 布曲线的形状也会随之改变。 d nk / 误差分布曲线一 误差分布曲线二 考虑：当观测条 件发生改变以后， 哪组观测结

6、果精 度更高？ 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等， 可相互抵消(相等性）； 同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平 均值，随着观测次数的增加而趋近于零， 即： 0 lim n n 在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度;（有界性） 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会要多；（密集性、区间性） （抵偿性） 精度：又称精密度，指在对某量进行多 次观测中，各观测值之间的离散 程度。 评定精度的标准 中误差 容许误差 相对误差 一、一、 中误差中误差 定义 在相同条件下，对某量（真值为X）进 行n次独立观测，观测值l1， l2，ln， 偶然误差（真误差）1，2，n， 则中误差m

7、的定义为： n m xli i n 22 3 2 2 2 1 . 式中式中 nn m n 2 2 2 2 1 . 中误差：在一定观测条件下，真误 差自乘积和的平均值的平方根。 中误差的几何意义：误差分布曲 线上两个拐点的横坐标值。 几何意义： 拐点的横坐 标 m1 m2 m2 m1 式中： 例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中 误差。 解：第一组观测值的中误差：解：第一组观测值的中误差： 第二组观测值的中误差：第二组观测值的中误差： ，说明第一组的精度高于第二组的精度。，说明第一组的精度高于第二组的精度。 说明：中误差越小，观测精度越说明：中误差越小，观测精度越 高高 5 . 2 10

8、) 4(2) 1() 2(34) 3(120 2222222222 1 m 2 . 3 10 ) 1() 3(017) 1(0) 6(2) 1( 2222222222 2 m 21 mm 定义 由偶然误差的特性可知，在一定的观 测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限值。这个限值就是容许（极限）误 差。 二、容许误差（极限误差）二、容许误差（极限误差） 测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然 误差的容许误差； 即容=2m 或容=3m 。 极限误差的作用：极限误差的作用： 区别误差和错误的界限区别误差和错误的界限 定义：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不定义：在一定的观测条件下，偶然误差的

9、绝对值不 会超过一定限值，这个限值就是极限误差。常以会超过一定限值，这个限值就是极限误差。常以 两倍或三倍的中误差为作为偶然误差的容许值。两倍或三倍的中误差为作为偶然误差的容许值。 根据：误差出现在该区间的概率。根据：误差出现在该区间的概率。 根据误差分布曲线，可知各区间概率分布：根据误差分布曲线，可知各区间概率分布： 0 0 7 .99997. 0)3( 0 0 5 .95955. 0)2( 0 0 3 .68683. 0)( mp mp mp -m-2m-3m0+m+2m+3m 0.683 0.955 0.997 极限误差： 3倍中误差 相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相 应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式 来表示，称其为相对（中）误差。即: m D D m K 1 三、三、 相对误差相对误差 :角