耦合电感元件合理想变压器40页

1、1 第第5章章 耦合电感元件和理想变压器耦合电感元件和理想变压器 5.1 耦 合 电 感 元 件 5.4 理 想 变 压 器 5.3 空心变压器电路的分析 5.2 耦合电感的去耦等效 返回 2 学学 习习 目目 标标 l 理解互感线圈、互感系数、耦合系数的含义。 l 理解互感电压和互感线圈的同名端。 l 掌握互感线圈串联、并联去耦等效及T型去耦 等效方法。 l 掌握空芯变压器电路在正弦稳态下的分析方法 回路分析法。 l 理解理想变压器的含义。熟练掌握理想变压 器变换电压、电流及阻抗的关系式。 3 5.1 耦合电感元件耦合电感元件 5.1.1 耦合电感的概念耦合电感的概念 图5-1是两个相距很近

2、的线圈（电感），当线 圈1中通入电流 i1时，在线圈1中就会产生自感磁 通11，而其中一部分磁通21 ，它不仅穿过线 圈1，同时也穿过线圈2，且2111。同样，若 在线圈2中通入电流 i2，它产生的自感磁通22， 其中也有一部分磁通12不仅穿过线圈2，同时也 穿过线圈1，且12 22 。像这种一个线圈的磁 通与另一个线圈相交链的现象，称为磁耦合， 即互感。21 和12 称为耦合磁通或互感磁通。 4 假定穿过线圈每一匝的磁通都相等，则交链线 圈1的自感磁链与互感磁链分别为11 =N111， 12=N112；交链线圈2的自感磁链与互感磁链分 别为22=N222，21=N221 。 图 5-1 磁通

3、互助的耦合电感（更正：右边电感磁通22 箭头应向下） 5 上面一式表明线圈1对线圈2的互感 系数M21，等于穿越线圈2的互感磁链与激发该磁 链的线圈1中的电流之比。二式表明线圈2对线圈 1的互感系数M12，等于穿越线圈1的互感磁链与 激发该磁链的线圈2中的电流之比。可以证明。 M21=M12=M 1 21 21 i M 2 12 12 i M 类似于自感系数的定义，互感系数的定义为： 我们以后不再加下标，一律用M表示两线圈的互 感系数，简称互感。互感的单位与自感相同，也 是亨利（H）。 因为2111 ，1222 ，所以可以得出 6 两线圈的互感系数小于等于两线圈自感系数的几 何平均值，即 21

4、L LM 上式仅说明互感M比 小（或相等），但并不 能说明M比 小到什么程度。为此，工程上常 用耦合系数K来表示两线圈的耦合松紧程度，其 定义为 则 21L L 21L L 21L LKM 21L L M K 可知，0K1，K值越大，说明两个线圈之间耦 合越紧，当K=1时，称全耦合，当K=0时，说明两 线圈没有耦合。 7 耦合系数K的大小与两线圈的结构、相互位 置以及周围磁介质有关。如图5-2(a)所示的两线 圈绕在一起，其K值可能接近1。相反，如图5- 2(b)所示，两线圈相互垂直，其K值可能近似于 零。由此可见，改变或调整两线圈的相互位置， 可以改变耦合系数K的大小。 图 5-2 8 5.

5、1.2 耦合电感元件的电压、电流关系耦合电感元件的电压、电流关系 当有互感的两线圈上都有电流时，交链每一线 圈的磁链不仅与该线圈本身的电流有关，也与另一 个线圈的电流有关。如果每个线圈的电压、电流为 关联参考方向，且每个线圈的电流与该电流产生的 磁通符合右手螺旋法则，而自感磁通又与互感磁通 方向一致，即磁通相助，如图5-1所示。这种情况 ，交链线圈1、2的磁链分别为： 21112111 MiiL 12221222 MiiL 9 由电磁感应定律，当通过线圈的电流变化时， 线圈两端会产生感应电压 dt di M dt di L dt d u 12 2 2 2 dt di M dt di L dt

6、d u 21 1 1 1 式中 、 分别为线圈1、2的自感电压， 、 分别为线圈1、2的互感电压。 如果自感磁通与互感磁通的方向相反，即磁通 相消，如图5-3所示，耦合电感的电压、电流关系 方程式为： dt di L 1 1 dt di L 2 2 dt di M 2 dt di M 1 10 图5-3 磁通相消的耦和电感 dt di M dt di L dt d u 21 1 1 1 dt di M dt di L dt d u 12 2 2 2 11 对以上磁通相助、相消两种情况进行归纳总结， 可以得出：自感电压 、 取正还是取负， 取决于本电感的u、i的参考方向是否关联，若关 联，自感电

7、压取正；反之取负。而互感电压 、 的符号这样确定：当两线圈电流均从同名端流入 （或流出）时，线圈中磁通相助，互感电压与该 线圈中的自感电压同号。即自感电压取正号时互 感电压亦取正号，自感电压取负号时互感电压亦 取负号；否则，当两线圈电流从异名端流入（或 流出）时，由于线圈中磁通相消，故互感电压与 自感电压异号，即自感电压取正号时互感电压取 负号，反之亦然。 dt di L 1 1 dt di L 2 2 dt di M 2 dt di M 1 12 5.1.3 同名端同名端 线圈的同名端是这样规定的：具有磁耦合的 两线圈，当电流分别从两线圈各自的某端同时流 入（或流出）时，若两者产生的磁通相助

8、，则这 两端叫作互感线圈的同名端，用黑点“”或星号 “*”作标记。 例如，对图5-4 (a)，当i1、 i2分别由端纽a和d流入 （或流出）时，它们各 自产生的磁通相助，因 此a端和d端是同名端 （当然b端和c端也是同 名端）；a端与c端（或 b端与d端）称异名端。 图 5-4 同 名 端 13 有了同名端规定后，像图5-4(a)所示的互感线 圈在电路中可以用图5-5(b)所示的模型表示， 在图5-5(b)中，设电流i1、i2分别从a、d端流入， 磁通相助，如果再设各线圈的 u、i为关联参 考方向，那么两线圈上的电压分别为 dt di M dt di Lu 21 11 dt di M dt d

9、i Lu 12 22 如果像图5-5(c)所示， 设i1仍从a端流入，而i2从 d端流出，可以判定磁通 相消，那么两线圈上的 电压分别为 dt di M dt di Lu 21 11 dt di M dt di Lu 12 22 14 图 5-5 (b) (d) 磁通相助； (c) (e) 磁通相消 15 对于已标定同名端的耦合电感，可根据u、i的 参考方向以及同名端的位置写出其u-i关系方程。 也可以将耦合电感的特性用电感元件和受控电 压源来模拟，例如图5-5 (b)、(c) 电路可分别用 (d)、(e) 电路来代替。可以看出：受控电压源（ 互感电压）的极性与产生它的变化电流的参考方 向对同

10、名端是一致的。 这样，将互感电压模拟成受控电压源后，可直 接由图5-5(d)、 (e)写出两线圈上的电压，使用这 种方法，在列写互感线圈ui关系方程时，会感 到非常方便。 16 5.2 耦合电感的去耦等效耦合电感的去耦等效 5.2.1 耦合电感的串联等效耦合电感的串联等效 耦合电感的串联有两种方式顺接和反接。 顺接就是异名端相接，如图5-6（a）所示。 图 5-6 耦合电感顺接串联 17 把互感电压看作受控电压源后得电路如图5-6(b) 所示，由该图可得 dt di L dt di MLL2 21 dt di M dt di L dt di M dt di Lu 21 其中 L=L1+L2+2

11、M 由此可知，顺接串联的耦合电感可以用一个等 效电感L来代替，等效电感L的值由式上式来定。 耦合电感的另一种串联方式是反接串联。反 接串联是同名端相接，如图5-7(a)所示，把互感 电压看作受控电压源后得电路如图5-7(b)所示， 由图(b)图可得 18 dt di M dt di L dt di M dt di Lu 211 dt di L dt di MLL2 21 其中 L=L1+L2-2M 图 5-7 耦合电感的反接串联 由此可知，反 接串联的 耦 合 电感可以 用 一 个等效电感L代 替，等效电感L 的值由上 式 来 定。 19 5.2.2 耦合电感的耦合电感的T型等效型等效 1、互

12、感线圈的同名端连在一起 如图5-8所示，为三支路共一节点、其中有两 条支路存在互感的电路，由图可知，L1的b端与 L2的d端是同名端且连接在一起，两线圈上的电 压分别为 图 5-8 同名端相连的T型去耦等效电路 20 dt di M dt di Lu 21 11 dt di M dt di Lu 12 22 将以上两式经数学变换，可得 dt iid M dt di ML dt di M dt di M dt di M dt di Lu 211 1 2111 11 dt iid M dt di ML dt di M dt di M dt di M dt di Lu 212 2 1222 22 画

13、出两式T型等效电路如图5-8(b)所示。在图 （b）中因有3个电感相互间无互感，它们的自感 系数分别为L1-M、L2-M和M，又连接成T型结构 形式，所以称之为互感线圈的T型去耦等效电路。 21 2、互感线圈的异名端连接在一起 图5-9(a) 与图5-8(a) 两电路相比较结构一样， 只是具有互感的两支路 的异名端连接在一起， 两线圈上的电压分别为 dt di M dt di Lu 21 11 dt di M dt di Lu 12 22 图5-9 异名端相连的T型去耦等效电路 22 同样将以上两式经数学变换，可得 dt iid M dt di ML dt di M dt di M dt di

14、 M dt di Lu 211 1 2111 11 dt iid M dt di ML dt di M dt di M dt di M dt di Lu 212 2 1222 22 画得T型等效电路如图5-9(b) 所示，这里(b) 图中-M为一等效的负电感。 利用上述等效电路，可以得出如图5-10(a) 和 (c) 所示的耦合电感并联的去耦等效电路，分别 如图5-10 (b) 和 (d) 所示。由图 (b) (d)应用无互 感的电感串、并联关系，可以得到同名端、异 名端连接时耦合电感并联的等效电感为 23 MLL MLL MLML MLML ML 2 21 2 21 21 21 MLL ML

15、L MLML MLML ML 2 21 2 21 21 21 图 5-10 两个耦和电感的并联 24 5.3 空芯变压器电路的分析空芯变压器电路的分析 变压器是利用电磁感应原理传输电能或电信号 的器件。通常有一个初级线圈和一个次级线圈， 初级线圈接电源，次级线圈接负载，能量可以通 过磁场的耦合，由电源传递给负载。 常用的实际变压器有空芯变压器和铁芯变压 器两种类型。所谓空芯变压器是由两个绕在非铁 磁材料制成的芯子上并且具有互感的线圈组成的， 其耦合系数较小，属于松耦合。 因变压器是利用电磁感应原理而制成的，故 可以用耦合电感来构成它的模型。这一模型常用 于分析空芯变压器电路。 设空芯变压器电路

16、如图5-11(a) 所示，其中R!、 R2分别为变压器初、次级绕组的电阻，RL为负载 电阻，设uS为正弦输入电压。 25 互感的作用可以在电路中用增添受控电压源来计 及，如图 5-11(b)所示。 图 5-11 空心变压器电路 由图5-11 (b) 所示的相量模型图 可列出回路方程为 26 SUIMjILjR 21 11 02 22 1 IRLjRIMj L 或写为 SUIZIZ 2 12 1 11 02 22 1 21 IZIZ 式中 Z11= R1 +jL1 称为初级回路自阻抗； Z22=R2 +jL2 +RL 称为次级回路自阻抗； Z12=Z21=jM 称为初次级回路互阻抗。 可求得图5

17、-11(b)所示耦合电感的初级、次 级电流相量分别为 ： 27 21122211 22 2221 1211 22 12 1 0 ZZZZ UZ ZZ ZZ Z ZU I S S S L L U MRLjRLjR RLjR 22 2211 22 )()( S L U MRLjRLjR Mj I 22 2211 2 )()( 是由次级中的感应电压产生的，根据图5- 11(b)中所示的感应电压极性，不难理解第二式中 负号的来历。显然，如果同名端的位置不同或电 流参考方向不同，互阻抗的符号将会改变。 2 I 28 对初级电流 来说，由于式中的jM以平方形式出 现，不管jM的符号为正还是为负，得出的 都

18、是 一样的。 求得由电源端看进去的输入阻抗为 1 I ref L S i ZZ RLjR M LjR I U Z 11 22 22 11 1 由此可见，输入阻抗由两部分组成： Z11=R1+jL1，即初级回路的自阻抗； 22 22 22 22 Z M RLjR M Z L ref Zref即次级回路在初级回路的反映阻抗 1 I 29 这就是说，次级回路对初级回路的影响可以用反 映阻抗来计及。因此，由电源端看进去的等效电 路，也就是初级等效电路应如图5-12所示。当我 们只需要求解初级电流时，可利用这一等效电路 迅速求得结果。 图 5-12 初级等效电路 反映阻抗的算法 是很容易记住的， 把2M

19、2除以次级回 路的阻抗即为反映 阻抗。显然，从以 上推导可以看出： 反映阻抗的概念不 能用于次级含有独 立源的耦合电感电 路。 30 可求得次、初级电流之比为 L RLjR Mj I I 22 1 2 22 1 22 1 2 Z IMj RLjR IMj I L 所以 其中 是初级电流 通过互感而在次级线 圈中产生的感应电压，次级电流就是这一电压作 用的结果。因此， 除以次级的总阻抗 即得次级电流。在算得 后，可 求出 。 1 IMj 1 I 1 IMj L RLjR 22 2 I 1 I 31 5.4 理想变压器理想变压器 理想变压器是铁芯变压器的理想化模型，它的 唯一参数只是一个称之为变比

20、的常数n，而不是L1、 L2、 M等参数，理想变压器满足以下3个理想条件： (1) 耦合系数K=1，即为全耦合； (2) 自感系数L1、L2为无穷大，但L1/L2为常数。 (3) 无任何损耗，这意味着绕线圈的金属导线无 任何电阻，做芯的铁磁材料的磁导率无穷大. 5.4.1 理想变压器两端口的电压、电流之间的关系理想变压器两端口的电压、电流之间的关系 图5-13 (a) 所示的铁芯变压器，其初、次级匝数 分别为N1和N2，可判定a、c为同名端，设i1、i2分别 从同名端流入（属磁通相助），设初、次级电压u1、 u2与各自线圈上的电流 i1、i2为关联参考方向。 32 由于为全耦合，则线圈的互感磁

21、通必等于自感 磁通，即 21=11，12=22，穿过初、次级线 圈的磁通相同，即 图 5-13 变压器示意图及其模型 11+12=11+22= 22+21=22+11= 上式中称为主磁通。 33 初、次级线圈交链 的磁链1、2分别 为 对1、2求导， 得初、次级 电压分别为 dt d N dt d u 1 1 1 dt d N dt d u 2 2 2 所以 n N N u u 2 1 2 1 21 nuu 或 上式为理想变压器初、次级电压之间的关系。式 中n称为匝比或变比，它等于初级与次级线圈的匝 数之比。理想变压器的电路模型如图5-13(b) 所示。 1=N1 2=N2 34 由安培环路定

22、律 l s l B HlNiNi 2211 由于为无穷大，磁通为有限值，因此 i1N1+i2N2=0 21 1 2 2 1 11 i n i nN N i i 或 上式反映了理想变压器初、次级电流之间的 关系。 通过以上分析，说明理想变压器具有变换电压 和电流的作用。在正弦稳态下，其相量形式为 即 35 n N N U U 2 1 2 1 nN N I I1 1 2 2 1 应该强调以下几点：应该强调以下几点： （1）对于变压关系 式取“+”还是取“-”，仅 取决于电压参考方向与同名端的位置。当u1、u2 参考方向在同名端极性相同时，则该式冠以 “+”号；反之，若u1、u2参考方向一个在同名端

23、 为“+”，一个在异名端为“+”，该式冠以“-” 号。 （2）对于变流关系式取“+”还是取“-”，仅取 决于电流参考方向与同名端的位置。当初、次级 电流 i1、i2分别从同名端同时流入（或同时流出） 时，该式冠以“-”号，反之若i1、i2一个从同名端 流入，一个从异名端流入，该式冠以“+”号。 36 （3）任意时刻，理想变压器吸收的功率恒等 于零。例如对图5-13所示的理想变压器，其瞬时 功率为 0) 1 ()( 22222211 iui n nuiuiutp 即理想变压器不消耗能量也不储存能量，从 初级线圈输入的功率全部都能从次级线圈输出 到负载。理想变压器不存储能量，是一种无记 忆元件。

24、5.4.2 理想变压器的阻抗变换性质理想变压器的阻抗变换性质 理想变压器在正弦稳态电路中，还表现出有 变换阻抗的特性，如图5-14所示理想变压器，次 级接负载阻抗ZL，由设出的电压、电流参考方向 及同名端位置，可得理想变压器在正弦电路里相 量形式为 37 2 1 2 1 2 2 1 1 I N N I U N N U 图5-14 理想变压器阻抗变换特性 由ab端看，输入 阻抗为 2 22 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 I U n I U N N I N N U N N I U Zi 因负载ZL上电压、电流为非关联参考方向，将 代入上式，即得 2 2 I U Z L 38 LLi ZnZ N N Z 2 2 2 1 上式表明，当次级接阻抗ZL，对初级来说， 相当于在初级接一个值为n2ZL的阻抗，即理想变 压