2020版高考数学二轮复习专题三立体几何第3讲立体几何中的向量方法练习理

1、学必求其心得，业必贵于专精第3讲立体几何中的向量方法a组夯基保分专练1（2019重庆市七校联合考试）如图，三棱柱abc.a1b1c1的所有棱长都是2,aa1平面abc，d,e分别是ac，cc1的中点（1）求证：ae平面a1bd；(2）求二面角d.beb1的余弦值解:(1)证明：因为abbcca，d是ac的中点，所以bdac，因为aa1平面abc，所以平面aa1c1c平面abc，所以bd平面aa1c1c，所以bdae。又在正方形aa1c1c中，d,e分别是ac,cc1的中点，所以a1dae。又a1dbdd，所以ae平面a1bd。(2）以da所在直线为x轴，过d作ac的垂线,以该垂线为y轴,db所

2、在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则d(0，0，0），e(1，1，0)，b（0，0，）,b1(0,2，)，（0，0,)，（1,1，0)，（0，2,0)，（1，1，）,设平面dbe的法向量为m（x，y，z)，则，即，令x1，则m(1，1,0），设平面bb1e的法向量为n（a，b，c），则，即，令c,则n(3，0，),设二面角d.be。b1的平面角为，观察可知为钝角，因为cos.所以直线am与平面pbc所成角的正弦值为。3。 （2019高考天津卷)如图，ae平面abcd，cfae，adbc，adab，abad1，aebc2.（1)求证:bf平面ade;(2)求直线ce与平面bde所成角的

3、正弦值；（3)若二面角ebd。f的余弦值为,求线段cf的长解：依题意,可以建立以a为原点,分别以，,的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图），可得a（0，0，0）,b(1，0,0），c（1，2，0），d（0，1,0),e(0，0，2)设cfh（h0）,则f(1，2,h)(1）证明：依题意,（1，0，0)是平面ade的法向量,又（0，2，h），可得0，又因为直线bf平面ade，所以bf平面ade。(2）依题意，（1,1,0），(1，0，2）,（1，2，2）设n（x，y，z)为平面bde的法向量，则即不妨令z1，可得n(2,2，1)因此有cos。由图知所求二面角ape。c为钝角，所以

4、二面角a.pe。c的余弦值为。b组大题增分专练1(2019高考浙江卷）如图，已知三棱柱abc.a1b1c1，平面a1acc1平面abc,abc90,bac30,a1aa1cac，e，f分别是ac，a1b1的中点（1)证明：efbc；（2）求直线ef与平面a1bc所成角的余弦值解：法一：(1)证明:如图，连接a1e，因为a1aa1c，e是ac的中点，所以a1eac。又平面a1acc1平面abc，a1e平面a1acc1，平面a1acc1平面abcac,所以，a1e平面abc,则a1ebc。又因为a1fab，abc90，故bca1f。所以bc平面a1ef。因此efbc。（2）取bc的中点g，连接eg

5、，gf，则egfa1是平行四边形由于a1e平面abc，故a1eeg，所以平行四边形egfa1为矩形连接a1g交ef于o,由（1)得bc平面egfa1，则平面a1bc平面egfa1，所以ef在平面a1bc上的射影在直线a1g上则eog是直线ef与平面a1bc所成的角（或其补角）不妨设ac4，则在rta1eg中，a1e2，eg.由于o为a1g的中点，故eoog，所以coseog.因此，直线ef与平面a1bc所成角的余弦值是。法二：（1）证明：连接a1e，因为a1aa1c，e是ac的中点，所以a1eac.又平面a1acc1平面abc，a1e平面a1acc1,平面a1acc1平面abcac，所以，a1

6、e平面abc.如图，以点e为原点，分别以射线ec,ea1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系exyz。不妨设ac4，则a1（0，0，2）,b（，1，0）,b1(，3，2），f（，2），c（0，2，0)因此，,（，1，0)由0得efbc.(2)设直线ef与平面a1bc所成角为。由（1)可得（,1，0），（0,2，2）设平面a1bc的法向量为n(x,y，z）由得取n(1，1）故sin cos,n|.因此，直线ef与平面a1bc所成角的余弦值为。2(2019长沙市统一模拟考试）如图,矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直，becf，bcf90,ad，be3，cf4，ef2.(1)求证：ae平面

7、dcf；(2)当ab的长为何值时，二面角aef.c的大小为60？解：因为平面abcd平面befc，平面abcd平面befcbc，dc平面abcd，且dcbc，所以dc平面befc.以点c为坐标原点，分别以cb，cf,cd所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系c.xyz。设aba，则c(0，0，0)，a（,0，a）,b（,0，0)，e(，3，0)，f(0，4，0)，d(0，0，a)(1）证明：因为（0，3，a)，（,0，0)，（0，4，0)，（0，0，a)，所以0，0，又cdcfc，所以cb平面cdf，即为平面cdf的一个法向量又0，所以cbae，又ae平面cdf，所以ae平面

8、dcf。（2)设n(x，y，z）与平面aef垂直，（0，3，a），(,1，0)，由，得，取x1，则n。ba平面befc,（0,0，a）,由cos0），则f(0,0,a），所以（1,0，a)设平面bdef的法向量为n1(x，y，z），由,得，令xa，得n1（a,a，)易得平面abcd的一个法向量为n2（0,0，1)因为二面角f。bdc的大小为,所以|cosn1，n2|，解得a.设直线ae与平面bdef所成的角为，因为(2，0，0），且n1，所以sin cos，n1|。故直线ae与平面bdef所成角的正弦值为。4（2019湖南省湘东六校联考）如图，abedfc为多面体，平面abed与平面acfd垂

9、直,点o在线段ad上，oa1，od2,oab，oac,ode，odf都是正三角形（1)证明:直线bc平面oef。(2)在线段df上是否存在一点m,使得二面角m.oe。d的余弦值是？若不存在，请说明理由；若存在,请求出m点所在的位置解：（1)证明：依题意，在平面adfc中，caofod60,所以acof，又of平面oef，所以ac平面oef。在平面abed中，baoeod60，所以aboe，又oe平面oef，所以ab平面oef。因为abaca，ab平面oef,ac平面oef，ab平面abc,ac平面abc，所以平面abc平面oef.又bc平面abc，所以直线bc平面oef。（2)设od的中点为g，如图，连接ge，gf，由题意可得ge，gd,gf两两垂直,以g为坐标原点,ge，gd,gf所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知，o(0，1,0)，e（，0,0），f(0，0，）,d（0，1，0）假设在线段df上存在一点m，使得