2020版高考数学一轮复习第八章第一节空间几何体的表面积与体积教案文（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精第一节 空间几何体的表面积与体积1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式s圆柱侧2rls圆锥侧rls圆台侧（rr)l2空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)s表面积s侧2s底vsh锥体（棱锥和圆锥)s表面积s侧s底vsh台体(棱台和圆台）s表面积s侧s上s下v(s上s下)h球s4r2vr3小题体验1一个球的表面积是16，那么这个球的体积为_解析:设球的半径为r，因为表面积是16，所以4r216，解得r2。所以体积为r3.答案：2（2018南京高三年级学情调研)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得

2、圆柱的体积为27 cm3，则该圆柱的侧面积为_cm2。解析：设正方形的边长为a cm，则a2a27,得a3，所以侧面积23318 cm2。答案:183（2018海安高三质量测试)已知正三棱锥的体积为36 cm3，高为4 cm,则底面边长为_cm。解析：设正三棱锥的底面边长为a cm，则其面积为sa2，由题意知a2436，解得a6.答案：61求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积问题易出错2易混侧面积与表面积的概念小题纠偏1圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为_，球的表面积与圆柱的侧面积之比为_答案:23112已知正四棱柱的底面边长为3 cm,侧面的对角线长为3 cm

3、,则这个正四棱柱的侧面积是_cm2。解析：正四棱柱的高为6 cm，所以侧面积是43672 cm2.答案:72题组练透1棱长为2的正四面体的表面积是_解析：每个面的面积为：22。所以正四面体的表面积为4.答案：42一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_解析：由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h。由题意,得622h2，所以h1,所以斜高h2，所以s侧62212。答案：123已知在梯形abcd中，abbc，adbc,bc2ad2ab2,将梯形abcd绕ad所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为_解析:由题意得几何体如图所示，

4、几何体是底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩下的部分，所以几何体的表面积为一个圆柱底面与圆柱侧面、圆锥侧面之和，即122121(5).答案:（5）谨记通法几何体的表面积的求法（1）求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题,即空间图形平面化,这是解决立体几何的主要出发点（2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积典例引领1（2018苏州高三暑假测试）如图,正四棱锥p。abcd的底面一边ab的长为2 cm，侧面积为8 cm2，则它的体积为_cm3。解析：记正四棱锥p。a

5、bcd的底面中心为点o，棱ab的中点为h，连结po，ho，ph,则po平面abcd,因为正四棱锥的侧面积为8 cm2，所以842ph，解得ph2，在rtpho中，ho，所以po1，所以vp。abcds正方形abcdpo4 cm3.答案：42(2019高邮模拟）如图,在正三棱柱abc a1b1c1中，已知abaa13,点p在棱cc1上，则三棱锥p aba1的体积为_解析：因为saba133，点p到平面aba1的距离h为abc的高,所以三棱锥p 。aba1的体积v saba1h. 答案：由题悟法有关几何体体积的类型及解题策略常见类型解题策略球的体积问题直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题

6、意作出图形，构造直角三角形确定球的半径锥体、柱体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解不规则几何体的体积问题常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则,也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形,易于求解即时应用1现有一个底面半径为3，母线长为5的圆锥状实心铁器,将其高温熔化后铸成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径是_解析：因为圆锥底面半径为3,母线长为5，所以圆锥的高为4，其体积为 32412。设铁球的半径为r，则r312，解得r，所以该铁球的半径是 。答案：2(2018南通调研）如图，在正三棱柱abc。a1b1c1中，若各棱长

7、均为2，且m为a1c1的中点，则三棱锥m。ab1c的体积是_解析：在正三棱柱abca1b1c1中,aa1平面a1b1c1,则aa1b1m。因为b1m是正三角形的中线，所以b1ma1c1.因为a1c1aa1a1,所以b1m平面acc1a1,则vm。ab1cvb1.acmacaa1b1m22。答案：锁定考向与球有关的切、接问题是每年高考的热点，也是难点,题型多为填空题常见的命题角度有：(1)球与柱体的切、接问题；(2）球与锥体的切、接问题 题点全练角度一：球与柱体的切、接问题1已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_解析:设该球的半径为r，根据正四棱柱的外接球

8、的直径长为正四棱柱的体对角线长，可得(2r)2(）21212，解得r1，所以该球的体积vr3.答案：2(2017江苏高考)如图，在圆柱o1o2内有一个球o，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱o1o2的体积为v1，球o的体积为v2，则的值是_解析：设球o的半径为r，因为球o与圆柱o1o2的上、下底面及母线均相切,所以圆柱的底面半径为r、高为2r,所以.答案:角度二：球与锥体的切、接问题3已知正三棱锥的高为1，底面边长为2,内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为_解析:如图，过点p作pd平面abc于点d,连接ad并延长交bc于点e，连接pe，因为abc是正三角形，所以ae是bc边上

9、的高和中线，d为abc的中心因为ab2,所以sabc3，de1，pe.所以s表32333。因为pd1，所以三棱锥的体积v31.设球的半径为r,以球心o为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个 小棱锥，则r1.答案：14（2017全国卷）已知三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上,sc是球o的直径若平面sca平面scb，saac，sbbc，三棱锥s 。abc的体积为9，则球o的表面积为_解析：如图，连接ao，ob，因为sc为球o的直径，所以点o为sc的中点，因为saac，sbbc，所以aosc，bosc,因为平面sca平面scb，平面sca平面scbsc，所以ao平面scb，设球o的半

10、径为r，则oaobr,sc2r.所以vs abcvasbcssbcaoao，即9r，解得 r3，所以球o的表面积为s4r243236.答案：36通法在握“切“接”问题处理的注意事项(1)“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作(2）“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径演练冲关1(2018太湖高级中学检测)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个

11、球面上,则该球的体积为_解析：由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r1,其高h1，所以球半径为r ，所以该球的体积vr33。答案：2三棱锥p.abc中，abbc,ac6，pc平面abc，pc2，则该三棱锥的外接球表面积为_解析：由题可知,abc中ac边上的高为,球心o在底面abc的投影即为abc的外心d，设dadbdcx，所以x232(x)2,解得x，所以r2x221（其中r为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积s4r2.答案：3(2019南京四校联考)已知在三棱锥sabc中,sab，sbc，sac都是以s为直角顶点的等腰三角形,且abbcca，则三棱锥s-abc的内切球的半径为_解析

12、：由题意知，sasbsc。设sasbsca,则a，a1。设三棱锥s-abc的内切球的半径为r，则由等体积法可得，vsabcvasbc1，解得r，即三棱锥sabc的内切球的半径为。答案:一抓基础，多练小题做到眼疾手快1（2018徐州高三年级期中考试）各棱长都为2的正四棱锥的体积为_解析：由题意得,底面对角线长为2，所以正四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积vsh22.答案：2(2018苏锡常镇调研)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为v1，s1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为v2，s2，若，则的值为_解析：法一：由题意知v1a3,s16a2，v2r3，s2r2，由得,得ar,从而.法

13、二：不妨设v127，v29，故v1a327,即a3，所以s16a254.如图所示,又v2hr2r39，即r3,所以lr，即s2l2rr29,所以。答案：3（2018南京二模)如图，正三棱柱abc。a1b1c1中，ab4,aa16。若e，f分别是棱bb1，cc1上的点，则三棱锥a。a1ef的体积是_解析：因为在正三棱柱abc。a1b1c1中,aa1bb1,aa1平面aa1c1c,bb1平面aa1c1c，所以bb1平面aa1c1c，从而点e到平面aa1c1c的距离就是点b到平面aa1c1c的距离,作bhac，垂足为点h，由于abc是正三角形且边长为4，所以bh2，从而三棱锥aa1ef的体积vaa1

14、efvea1af sa1afbh6428.答案：84（2018海安期中)如图,在棱长为2的正方体abcd .a1b1c1d1中，o为底面abcd的中心，则三棱锥o a1bc1的体积为_解析：连结ac，因为几何体是正方体,所以bo平面a1oc1，bo是三棱锥b a1oc1的高，则三棱锥o 。a1bc1的体积为22。答案：5（2018盐城模拟)若一圆锥的底面半径为1,其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为_解析：设圆锥的母线长为l，高为h，则1l312，解得l3，则h 2,故该圆锥的体积v122。答案:6(2018苏锡常镇一调）如图，正方体abcd.a1b1c1d1的棱长为1，p是棱bb1的中点

15、,则四棱锥paa1c1c的体积为_解析：四棱锥paa1c1c可看作:半个正方体割去三棱锥p。abc和p。a1b1c1.所以vp.aa1c1cvabcd.a1b1c1d1vpabcvpa1b1c1.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1（2019扬州模拟)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3,圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为_解析:设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r。由s（r3r）384，解得r7。答案：72（2018常州期中)如图，一个实心六角螺帽毛坯(正六棱柱)的底边长为4，高为3，若在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为_解析：设孔的半径为

16、r，此正六棱柱的底边长为4，高为3,在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，2r22r3，解得r3，孔的半径为3.答案：33(2018常州期末）以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高,则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比值为_解析：如图，由题意可得圆柱的侧面积为s12rh2r2。圆锥的母线lr，故圆锥的侧面积为s22rlr2，所以s2s12.答案：4（2018苏北四市一模）将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是_解析：因为等腰直角三角形的斜边长为4,所以斜边上的高为2,故旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥

17、的组合体,圆锥的底面半径为2，高为2，因此,几何体的体积为v2222.答案： 5(2018泰州中学高三学情调研)在正方体abcda1b1c1d1中，p为aa1中点，q为cc1的中点，ab2,则三棱锥b。pqd的体积为_解析：如图，连结pq，则pqac,取pq的中点g，连结bg，dg，可得bgpq，dgpq，又bgdgg，则pq平面bgd，在rtbpg中，由bp，pg,可得bg，同理可得dg，则bdg边bd上的高为1，所以sbdg21，则vb.pqd2。答案：6（2019盐城检测）有一个用橡皮泥制作的半径为4的球，现要将该球所用的橡皮泥制作成一个圆柱和一个圆锥,使圆柱和圆锥有相同的底面半径和相等

18、的高，若它们的高为8，则它们的底面半径为_解析：由已知可得球的体积为v43.设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆柱和圆锥的体积和为8r2r2，解得r2。答案：27(2018启东调研)如图,rtabc的外接圆o的半径为5,ce垂直于o所在的平面，bdce，ce4，bd2，ed2,若m为ed的中点，则vmacb_。解析：如图，过d作dhce于h，则bcdh，在rtedh中，由ed2，ehecdb2，得bcdh6，所以在rtabc中，ab10，bc6,所以ac8,即sabc24,又因为ce垂直于o所在的平面,bdce,m为ed的中点,所以m到平面abc的距离为3，所以vmacbsabc324.答案：24

19、8（2018连云港调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_解析：如图，正四棱锥p。abcd的外接球的球心o在它的高po1上,设球的半径为r，因为底面边长为2，所以ac4。在rtaoo1中，r2（4r）222，所以r，所以球的表面积s4r225。答案：259（2018苏州期末)如图,在体积为v1的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为v2，则_。解析：设圆锥与圆柱的底面面积为s，高为h,所以v1sh，v2shshsh,则。答案：10一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切将球取出后，容器内的水深是多少？解：如图,作轴截面，设球未取出时，水面高pch，球取出后，水面高phx.根据题设条件可得acr,pc3r，则以ab为底面