2020版高考数学一轮复习第七章不等式第一节一元二次不等式及其解法教案理（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精第一节 一元二次不等式及其解法“三个二次的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0）的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0）的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根一元二次不等式ax2bxc0 （a0）的解集xxx1或xx2r一元二次不等式ax2bxc0 (a0）的解集xx1xx2小题体验1不等式3x2x40的解集是_解析：由3x2x40，得(3x4）(x1)0，解得1x。答案：2(2018南京、盐城二模）已知函数f（x）则不等式f（x）1的解集是_解析:不等式f（x)1或解得4x0或0x2，故不等式f（x)1的解集是4，

2、2答案：4,23已知不等式ax2bx10的解集是,则不等式x2bxa0的解集是_解析：由题意知，是方程ax2bx10的根，所以解得不等式x2bxa0，即为x25x60，解得2x3.答案：x|2x31对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形2当0时,ax2bxc0(a0)的解集为r还是，要注意区别3含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论小题纠偏1已知不等式x22xk230的解集为r，则实数k的取值范围是_解析：由44（k23)0，解得k2或k2.答案：(,2)（2，)2若不等式（a2）x22(a2)x40对xr恒成立，则实数a的取值范围是_解析：当a20，即a2时,原不等

3、式为40，所以a2时成立，当a20,即a2时，由题意得即解得2a2.综上所述，2a2。答案:(2,2题组练透1(2018南通中学检测)不等式3x26x2的解集为_解析：将不等式3x26x2转化为3x26x20，所以不等式的解集是答案：2(2019东湖中学检测)已知函数f（x）则不等式f（f(x)）3的解集为_解析：当x0时，f（f(x）f（x2）(x2）22x23，即(x23）（x21）0，解得0x；当2x0时，f(f（x）)f（x22x）(x22x）22（x22x）3,即（x22x1)（x22x3）0，即2x0；当x2时，f(f(x)）f（x22x)(x22x)23，解得x 2.综上，不等式

4、的解集为x|x 答案:x|x3解下列不等式：（1）(易错题）3x22x80；(2)0x2x24。解：（1)原不等式可化为3x22x80，即(3x4)（x2）0。解得2x，所以原不等式的解集为。（2）原不等式等价于借助于数轴，如图所示,所以原不等式的解集为.谨记通法解一元二次不等式的4个步骤典例引领（2019天一中学检测)解关于x的不等式:ax2(a2）x20。解：当a0时，原不等式化为x10,解得x1。当a0时，原不等式化为(x1)0，解得x或x1.当a0时，原不等式化为(x1)0。当1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1;当1，即a2时,解得x1。综上所述，当a0时，不等式的解集为

5、xx1；当a0时，不等式的解集为;当2a0时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为xx1；当a2时,不等式的解集为.由题悟法解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据（1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0,还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与0的关系（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式提醒当不等式中二次项的系数含有参数时,不要忘记讨论其等于0的情况即时应用1(2019苏州实验中学检测)已知x2pxq0的解集为,则不等式qx2px10的解集为_解析:x2

6、pxq0的解集为，是方程x2pxq0的两实数根，则解得不等式qx2px10可化为x2x10，即x2x60，解得2x3，不等式qx2px10的解集为x|2x3答案：x2x32求不等式12x2axa2（ar)的解集解：原不等式可化为12x2axa20，即(4xa）（3xa）0，令(4xa）(3xa)0,解得x1，x2.当a0时，不等式的解集为；当a0时,不等式的解集为（,0）(0,）;当a0时,不等式的解集为。锁定考向一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换对于一元二次不等式恒成立问题,常根据二次函数图象与x轴的

7、交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的取值范围常见的命题角度有：（1）形如f(x)0(f(x)0）（xr）确定参数范围;（2)形如f(x）0（xa，b)确定参数范围；(3）形如f（x)0（参数ma,b）确定x的范围 题点全练角度一：形如f(x）0（f(x）0)(xr)确定参数范围1（2019南通中学测试）已知函数f(x）ax2bxc(a,b，cr且a0），若对任意实数x，不等式2xf（x）(x1）2恒成立(1)求f（1）的值;（2）求a的取值范围解:（1)令x1,由2xf（x）(x1)2，可得2f(1）2,所以f(1）2。(2)由f(1）2，可得abc2,即b2（ac），因为对一切实数x，f

8、(x）2x0恒成立，所以ax2(b2)xc0(a0）对一切实数x恒成立,所以即可得(ac)20，但(ac）20，即有ac0，则f（x)ax2bxa,f（x）(x1）2恒成立，即x2(b1)x0恒成立，所以a0，且（b1)2420，由b112a，即有0成立综上可得a的取值范围是.角度二:形如f（x）0(xa，b）确定参数范围2已知函数f(x)x2axb2b1（ar,br)，对任意实数x都有f（1x）f(1x)成立,若当x1，1时，f(x）0恒成立，求b的取值范围解:由f(1x)f(1x)知f(x)的图象关于直线x1对称，即1，解得a2.又因为f（x)开口向下,所以当x1,1时，f(x）为增函数，

9、所以f（x）minf(1）12b2b1b2b2，f（x）0恒成立,即b2b20恒成立，解得b1或b2。所以b的取值范围为（,1）（2,）角度三:形如f（x)0(参数ma,b)确定x的范围3对任意m1,1，函数f（x)x2(m4）x42m的值恒大于零，求x的取值 范围解：由f（x）x2（m4）x42m（x2)mx24x4，令g（m）(x2)mx24x4。由题意知在1,1上,g（m）的值恒大于零，所以解得x1或x3.故当x（，1）（3,）时，对任意的m1,1，函数f（x）的值恒大于零通法在握一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法方法解读适合题型判别式法(1)ax2bxc0对任意实数x恒成立的条件

10、是（2）ax2bxc0对任意实数x恒成立的条件是二次不等式在r上恒成立分离参数法如果不等式中的参数比较“孤单”,分离后其系数与0能比较大小,便可将参数分离出来，利用下面的结论求解：af(x)恒成立等价于af（x)max；af（x）恒成立等价于af(x)min适合参数与变量能分离且f（x)的最值易求主参换位法把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解常见的是转化为一次函数f(x)axb(a0)在m,n恒成立问题,若f(x）0恒成立若f(x)0恒成立若在分离参数时会遇到讨论参数与变量，使求函数的最值比较麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时演练冲关1(2018盱眙二

11、模）若对于任意的a，br,存在r使不等式a2mb2b(ab）成立，则实数m的取值范围为_解析:a2mb2b(ab)对于任意的a，br恒成立，a2mb2b（ab)0对于任意的a，br恒成立，即a2（b）a（m)b20恒成立,由二次不等式的性质可得，2b24（m）b20,即244m0,又存在r使得上述不等式恒成立，1616m0，解得m1。答案：1,）2设函数f(x)mx2mx1（m0），若对于x1,3,f(x)m5恒成立，求m的取值范围解：要使f（x)m5在1,3上恒成立,则mx2mxm60，即m2m60在x1,3上恒成立因为x2x120，又因为m(x2x1）60，所以m。因为函数y在1,3上的最

12、小值为，所以只需m即可因为m0，所以m的取值范围是（,0）.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019扬州模拟)不等式2x2x10的解集为_解析：不等式2x2x10可化为(2x1)（x1）0，解得x1或x，则原不等式的解集为(1，）答案：（1,）2（2018靖江中学期末)若集合ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是_解析：由题意知a0时，满足条件a0时，由得0a4，所以实数a的取值范围是0,4答案：0,43（2019昆明模拟)不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为_解析：x22x5(x1）24的最小值为4，所以x22x5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，

13、解得1a4.答案：1，44不等式x(x2)|x(x2)的解集是_解析:不等式|x(x2）|x（x2)的解集即x（x2)0的解集，解得0x2。答案：（0,2）5（2019南通月考）关于x的不等式x2x10(a1)的解集为_解析：不等式x2x10可化为(xa)0,又a1，a，不等式的解集为.答案：6（2018如东中学测试）已知函数f（x)则不等式f（x)x2的解集为_解析：当x0时，x2x2，解得1x0；当x0时，x2x2，解得0x1. 由得原不等式的解集为x1x1答案：1，1 二保高考，全练题型做到高考达标1(2019常州检测）若关于x的不等式x23ax20的解集为x|x1或xm，则am_.解析

14、：关于x的不等式x23ax20的解集为x|x1或xm,则1与m是对应方程x23ax20的两个实数根,把x1代入方程得13a20，解得a1,不等式化为x23x20，其解集为xx1或x2，m2，am3.答案:32(2018清河中学检测）不等式（x2)0的解集为_解析：由题意或x290，即或x3，即x3或x3.答案：（,333(2019郑州调研）规定记号“表示一种运算，定义abab（a，b为正实数)，若1k23，则k的取值范围是_解析：因为定义abab（a,b为正实数），1k23,所以1k23，化为（|k|2）（|k1）0，所以k|1，所以1k1.答案：(1,1)4如果关于x的不等式5x2a0的正整

15、数解是1，2,3,4，那么实数a的取值范围是_解析：由5x2a0,得x，而正整数解是1，2，3,4，则4 5，所以80a125。答案:80,125)5(2019南通调研）已知关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集为(1,5)，其中a，b，c为常数则不等式cx2bxa0的解集为_解析：因为不等式ax2bxc0的解集为(1，5)，所以a(x1）（x5）0，且a0,即ax24ax5a0，则b4a，c5a,故cx2bxa0，即为5ax24axa0，从而5x24x10，故不等式cx2bxa0的解集为。答案:6(2018江阴期中）若关于x的不等式mx2mx10的解集为,则实数m的取值范围是_解析:当m

16、0时，原不等式化为10，其解集是空集；当m0时，要使关于x的不等式mx2mx10的解集为,则解得4m0.综上，实数m的取值范围是（4,0答案：（4，07(2018海门检测）已知一元二次不等式f(x）0的解集为，则f（ex）0的解集为_解析:由题意f（x）0的解集为，不等式f（ex)0可化为1ex,解得xln 3，即f（ex)0的解集为(，ln 3）答案：(,ln 3)8(2019金陵中学检测)如果关于x的不等式（1m2)x2（1m）x10的解集是r，则实数m的取值范围是_解析：令1m20，解得m1;当m1，不等式化为2x10,不满足题意;当m1时，不等式化为10,满足条件;当m1时，则有解得即

17、m1或m，综上,实数m的取值范围是(，1.答案：（，19已知f（x）3x2a(6a)x6.（1）解关于a的不等式f(1）0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1，3），求实数a,b的值解:（1）因为f（x）3x2a(6a)x6,所以f(1）3a(6a)6a26a3，所以原不等式可化为a26a30，解得32a32。所以原不等式的解集为a32a32（2)f（x)b的解集为(1，3)等价于方程3x2a（6a)x6b0的两根为1，3，等价于解得10(2018北京朝阳统一考试）已知函数f（x）x22ax1a，ar。(1)若a2，试求函数y（x0)的最小值；(2）对于任意的x0，2,不等式f(x）a成立，

18、试求a的取值范围解：（1）依题意得yx4。因为x0，所以x2。当且仅当x时，即x1时,等号成立所以y2.所以当x1时,y的最小值为2。(2)因为f(x)ax22ax1,所以要使得“x0，2，不等式f(x）a成立”，只要“x22ax10在0，2恒成立”不妨设g（x)x22ax1，则只要g（x)0在0，2上恒成立即可所以即解得a。则a的取值范围为。三上台阶，自主选做志在冲刺名校1（2019宿迁调研)若关于x的不等式ax26xa20的解集是(，1)(m,),则实数m_.解析：ax26xa20的解集是（,1)（m，)，a0，且1和m是方程ax26xa20的两个根，a6a20，即a2a60，解得a2或a3(舍去）不等式化为2x26x40,即x23x20，解得x1或x2，m2。答案：22(2018扬州中学检测）已知二次函数f（x）ax2(a2）x1（az），且函数f（x)在(2,1)上恰有一个零点，则不等式f（x）1的解集为_解析：因为f(x）ax2(a2）x1（a0)，（a2）24aa240，所以函数f（x）ax2（a2）x1必有两个不同