根轨迹绘制的基本法则

1、例例4-2-2 )2)(1( )5( )()( sss sK sHsG r 要求画出根轨迹。要求画出根轨迹。 某单位反馈系统某单位反馈系统 分析：分析：1个开环零点，个开环零点，3个开环极点，个开环极点， , 5 1 z, 0 1 p, 1 2 p2 3 p 0 j -5 -2-1 0 3 绘制根轨迹图的基本规则绘制根轨迹图的基本规则 规则一、规则一、 根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数n。 根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特 征方程的根（即闭环极点）在征方程的根

2、（即闭环极点）在s平面上的分布，那么，根轨迹的平面上的分布，那么，根轨迹的 分支数就应等于系统特征方程的阶数。分支数就应等于系统特征方程的阶数。 )()(1sHsG 闭闭环环特特征征方方程程0 )2)(1( )5( 1 sss sK r 0)5()2)(1( sKsss r 闭环系统的阶次为闭环系统的阶次为3 ，有，有3条根轨迹条根轨迹 。 闭环极点数闭环极点数 = 闭环特征方程的阶次闭环特征方程的阶次 = 开环传递函数的阶次开环传递函数的阶次= 开环极点数开环极点数 例例 阶阶3 )2)(1( )5( )()( sss sK sHsG r 规则二、规则二、 根轨迹的起点和终点：每条根轨迹都起

3、始根轨迹的起点和终点：每条根轨迹都起始 于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。 根轨迹是根轨迹是Kr从从0时的根变化轨迹，因此必须时的根变化轨迹，因此必须 起始于起始于Kr=0处，终止于处，终止于Kr=处处。 观察幅值条件：观察幅值条件： m n r zszszs pspsps K 21 21 njpsK jr .,2 , 1 , 0 必必有有 mizsK ir ,.,2 , 1 , 必有必有 )2)(1( )5( )()( sss sK sHsG r 分三种情况讨论：分三种情况讨论： 如果如果n = m，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终，即开

4、环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终 点均有确定的值。点均有确定的值。 如果如果n m, m条根轨迹趋向开环的条根轨迹趋向开环的m 个零点（称为有限零点）个零点（称为有限零点）, 而另而另n-m条根轨迹趋向无穷远处（称为有限零点）。条根轨迹趋向无穷远处（称为有限零点）。 对于例题，对于例题，3条根轨迹始于条根轨迹始于3个开环极点，一条止个开环极点，一条止 于开环零点，另两条（于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处。趋于无穷远处。 如果如果n m, 即开环零点数大于开环极点数时，除有即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起条根轨迹起 始于开环极点始于开环极点(称为有限极点称为有限

5、极点)外，还有外，还有m-n条根轨迹起始于无穷条根轨迹起始于无穷 远点远点(称为无限极点称为无限极点)。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现， 但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。 *规则三、规则三、 根轨迹的对称性：根轨迹各分支是连续的，根轨迹的对称性：根轨迹各分支是连续的， 且对称于实轴。且对称于实轴。 证明：（证明：（1）连续性）连续性 系统开环根轨迹增益系统开环根轨迹增益 Kr (实变量）与复变量实变量）与复变量s有一一有一一 对应的关系，当对应的关系，当Kr由零到无穷大连续变化时，

6、描述系由零到无穷大连续变化时，描述系 统特征方程根的复变量统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的，在平面上的变化也是连续的， 因此，根轨迹是因此，根轨迹是n条连续的曲线。条连续的曲线。 证明：（证明：（2）对称性）对称性 由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征 方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此, 根轨迹总是对称于实轴的。根轨迹总是对称于实轴的。 规则四、规则四、 实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根 轨迹的条件是：其右边开环零点和开环极点数目

7、之和轨迹的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和 为奇数。为奇数。 例如系统的开环零、极点分布如图。例如系统的开环零、极点分布如图。 j 0 125 1 2 4 p 5 p 0 s 要判断要判断 和和 之间的线段是否存之间的线段是否存 在根轨迹，取实验点在根轨迹，取实验点 3 p 1 z 0 s q 开环共轭极点和零点提供的相角开环共轭极点和零点提供的相角 相互抵消，相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的的相角由实轴上的 开环零极点决定。开环零极点决定。 q 处在处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度均左边的开环零极点提供的角度均 为零，为零， 相角条件由其右边的零极点决定。相角条件由其右边

8、的零极点决定。 q 奇数个奇数个，无论如何加减组合，总能无论如何加减组合，总能 使使l(l=1,3,)成立。成立。 对于例题，对于例题， 在实轴上的根轨迹：在实轴上的根轨迹： 一条始于开环极点，止于开环零点，一条始于开环极点，止于开环零点， 另两条始于开环极点，止于无穷远处。另两条始于开环极点，止于无穷远处。 )2)(1( )5( )()( sss sK sHsG r 规则四、规则四、实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根轨迹实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根轨迹 的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数 0 j 125 渐近线：根轨迹有

9、渐近线：根轨迹有n-m条渐进线。条渐进线。 渐近线与实轴的夹角为：渐近线与实轴的夹角为： .5 , 3 , 1 1800 l mn l 渐近线与实轴的交点为：渐近线与实轴的交点为： mn zp n j m i ij 11 l l 它们是针对它们是针对n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的条趋向无穷远点的根轨迹而设立的 l l 如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状 规则五、规则五、 证明：证明： 见图见图4-5。 对于位于根轨迹上某一动点对于位于根轨迹上某一动点s0， 从各开环零极点到这一点的向从各开环零极点到这一点的向 量的相角随量的相角随

10、s0轨迹的变化而变化，轨迹的变化而变化， 当当s0到达无穷远处，各相角相等，到达无穷远处，各相角相等， 令其为令其为，可写成：可写成： 180lnm 进而求出渐近线夹角：进而求出渐近线夹角：,.3 , 1, 180 l mn l j 图图45 0 125 1 2 4 P 5 P 0 S 由对称性知，由对称性知， 渐近线一定交于实轴上，其交点实际渐近线一定交于实轴上，其交点实际 上相当于零极点的质量重心。上相当于零极点的质量重心。 按照重心的求法，可求知交点的坐标按照重心的求法，可求知交点的坐标 mn zp n j m i ij 11 对例对例4-2-2， mn l 180 ), 3 , 1(

11、2 180 l l ,900 )270(90 00 交点坐标为：交点坐标为：,1 2 )5(21 即（即（1，j0）。）。 渐近线与实轴夹角为：渐近线与实轴夹角为： )2)(1( )5( )()( sss sK sHsG r 1 0 125 j 规则六、规则六、 当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离 点或会合点，点或会合点，大多发生在大多发生在实轴实轴上（仅讨论实根）。上（仅讨论实根）。 性质：性质： q 在此点上必出现在此点上必出现重根重根。 q 利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴 上两相邻极点

12、间时，必有一上两相邻极点间时，必有一分离点分离点。 q 若当根轨迹出现在两相邻零点间（包括无穷远零若当根轨迹出现在两相邻零点间（包括无穷远零 点）时，必有一点）时，必有一会合点会合点。 根轨迹的分离点与会合点：分离点与会根轨迹的分离点与会合点：分离点与会 合点是方程式合点是方程式 的根。的根。 0 ds dK r q 根轨迹在该点上对应的根轨迹在该点上对应的Kr取这段实轴区域的极值。取这段实轴区域的极值。 分离点最大值，会合点最小值。分离点最大值，会合点最小值。 Kr=0Kr=0Kr=Kr= 分离点分离点 会合点会合点 由求极值的公式求出：由求极值的公式求出： 它们可以利用它们可以利用代数重根

13、法代数重根法或或极值法极值法求出。求出。(介绍后者介绍后者) 0 )( )( 1)()(1 sa sb KsGsH r 在实轴根轨迹上，求使在实轴根轨迹上，求使Kr达到最大（最小）值的达到最大（最小）值的s 值值: 0 )( )( )()()( 2 sb sbsasbsa ds dK r 0)( )()()( sbsasbsa 注意：注意：求出结果，需经判断，保留合理解。求出结果，需经判断，保留合理解。 如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。 )( )( sb sa K r mn 0 180 求出重根角为求出重根角为: 在例题在例题4-2-2中，中，

14、)2)(1( )5( )()( sss sK sHsG r )5( )2)(1( s sss Kr 5 23 23 s sss ds dK r 01030182 23 sss 0 2 232 )5( )23()5)(263( s ssssss 2 23 )5( 1030182 s sss 解出：解出： 94. 6,61. 1,447. 0 321 sss 对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐 标为（标为（-0.447,j0）处。处。 - -0.447 0 0 90 180 mn 求出重根角为求出重根角为: j 0 125 1 规则七、规则

15、七、 根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的Kr值值 利用劳斯判据求出。利用劳斯判据求出。 根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统 出现虚根。出现虚根。 在例在例4-2-2中，系统闭环特征方程式为：中，系统闭环特征方程式为： , 0 )2)(1( )5( 1 sss s Kr 0)5()2)(1( sKsss r 即：即： 0)5(23 23 sKsss r r r r r Ks K s Ks Ks 5 0 3 26 53 21 0 1 2 3 劳斯行列式劳斯行列式 q当当6-2Kr=0时，特征方程出现时，特征方程

16、出现 共轭虚根，求出共轭虚根，求出Kr=3。 q虚根可利用虚根可利用s2行的辅助方程求出：行的辅助方程求出： 015353 22 sKs r 5js 与虚轴的交点与虚轴的交点 j 0125 1 与虚轴的交点为与虚轴的交点为。5j 例例4-2-2的根轨迹如图。的根轨迹如图。 Kr=.084 .447 )2)(1( )5( )()( sss sK sHsG r 1、画出开环零极点、画出开环零极点2、确定根轨迹根数、确定根轨迹根数 3、画出实轴上的根轨迹、画出实轴上的根轨迹 4、求渐进线（、求渐进线（nm） 5、求分离点、求分离点6、求与虚轴交点、求与虚轴交点 3,5 r Kj 3,5 r Kj 7

17、、画出根轨迹、画出根轨迹8、求出特殊点对应的、求出特殊点对应的Kr值值 m i i n j j r zs ps K 1 1 规则九：规则九：Kr值由根轨迹幅值条件求出：值由根轨迹幅值条件求出： 如分离点（如分离点（-0.447，j0）处的处的Kr值：值： 5447. 0 2447. 01447. 00447. 0 r K 084. 0 规则八、规则八、根轨迹的出射角：根轨迹的出射角： 在开环复数在开环复数极点极点px处，根轨迹的处，根轨迹的出射角出射角为：为： n xj j jx m i ixx ppzp 11 )()(180 出出 在开环复数在开环复数零点零点zy处，根轨迹的处，根轨迹的入射

18、角入射角为：为： m yi i iy n j jyy zzpz 11 )()(180 入 若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此 点出发（进入）的方向角度。可根据相角条件求出。点出发（进入）的方向角度。可根据相角条件求出。 证明：证明： 设一系统的开环零、极点分布如图所示，设一系统的开环零、极点分布如图所示， j 0 1 P 2 P 3 P 4 P 1 Z 1P 3P 2P 4P z l ppppz 0 4321 180)( 0 s 3 p 点为从点为从 出发的根轨迹上一点。出发的根轨迹上一点。 该点到所有零极点的应符合相角条件：该点到所有零极

19、点的应符合相角条件： )(180 421 0 3pppzp l 当当s0一点点趋近一点点趋近p3时，可认为时，可认为 3p 3 p 。 出 为为 处的出射角处的出射角 l l 而而p1、 、p2、p4、z都分别趋近于各开环零 都分别趋近于各开环零 极点相对于极点相对于P3点的向量的相角。点的向量的相角。 出出 此时，出射角此时，出射角 可以计算：可以计算： )()()( )(180 432313 13 pppppp zpl 出 )()()()(180 43231313 ppppppzp 同理可证明入射角。同理可证明入射角。 )(180 421 0 3pppzp l 1 p 2 p 3 p 4

20、p 1 z 1P 3P 2P 4P z j 例例4-2-3 设系统开环零极点图如图设系统开环零极点图如图4-7。 其中其中,85)( 0 13 zp 0 13 135)(pp ,45)( 0 23 pp 0 43 90)(pp 确定根轨迹离开共轭复数根的出射角。确定根轨迹离开共轭复数根的出射角。 根据公式：根据公式： 5904513585180 00000 出 考虑到根轨迹的对称性考虑到根轨迹的对称性 出射角出射角p3= -5，p4= 5 n xj j jx m i ixx ppzp 11 )()(180 出 1 p 2 p 3 p 4 p 1 z 1P 3P 2P 4P z j 图图4-7

21、例例 ) 5 . 15 . 0)(5 . 15 . 0)(5 . 2( )2)(2)(5 . 1( )( jsjsss jsjssK sG 根轨迹起始角根轨迹起始角 3 1 4 2 1 22 )()() 12 ( 2 i j j jip ppzph (21)56.51959108.59037 (21)101 79(0) h h h 取 -1 -2 1=108.5 90 59 37 19 56.5 P2 P3 P4 P1 Z3 Z2 Z1 0 1 p 5 . 1 1 zjz 2 3 , 2 5 . 15 . 0 3,2 jp 5 . 2 4 p 4 1 3 2 1 22 )()() 12( 2

22、j i i ijz zzpzh (21511790 (21)329.5 h h 5 .149 90 121 153 199 63.5 117 P2 P3 P4 P1 Z3 Z2 Z1 根轨迹终止角根轨迹终止角 （k=-1） 0 1 p 5 . 1 1 zjz 2 3 , 2 5 . 15 . 0 3,2 jp 5 . 2 4 p 根轨迹示例根轨迹示例1 j 0 j 0 j 0 j 0 j 0 j 00 j 0 j 0 j j 0 0 j 根轨迹根轨迹示例示例2 j 0 j 0 j 0 0 j j 0 j 0 j 0 j 0 0 j j 00 jj 0 n=1;d=co

23、nv(1 2 0,1 2 2);rlocus(n,d)n=1 2;d=conv(1 2 5,1 6 10);rlocus(n,d) j 0 例例4-2-4 作作 的根轨迹。的根轨迹。 16)4( )( 2 0 ss K sG r 开环极点开环极点3个：个： 44, 0 3,21 jpp 分析：分析：n=3，m=0, 没有开环零点没有开环零点。 (在在s平面上的极点处标以平面上的极点处标以“”) 根据根据规则一、二规则一、二 、三、三 ： 根据根据规则四规则四，实轴上，实轴上0-为根轨迹。为根轨迹。 分别起始于分别起始于3个开环极点，个开环极点， 均终止于无穷远处。均终止于无穷远处。 根轨迹有三

24、个分支：根轨迹有三个分支： 图图4-8 根据根据规则五规则五，求渐近线，求渐近线:n-m=3条条 例例4-2-4 mn l 180 渐近线与实轴夹角：渐近线与实轴夹角： 60 1 渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点： mn zp n j m i ij 11 180 2 )300(60 3 5 , 3 , 1, 03 180 l l 03 080 767. 2 -2.767 44, 0 3,21 jpp 60 没有分离点。没有分离点。 j 0 j 0 例例4-2-4 根据根据规则七规则七：求出根轨迹与虚轴的交点。：求出根轨迹与虚轴的交点。 闭环特征方程：闭环特征方程： 0328 23 r K

25、sss 0 32 3 256 8 1 0 1 2 3 r r r K K K s s s s Kr=256，必对应于一对纯虚根必对应于一对纯虚根 2 s以以 的系数构成辅助方程的系数构成辅助方程: 025688 22 sKs r 32 2 s66. 532jjs 16)4( )( 2 0 ss K sG r -j5.66 j5.66 例例4-2-4 根据根据规则八规则八求出射角：求出射角： 对对P2，根轨迹的出射角为：根轨迹的出射角为： 135900180 2 由对称性知：由对称性知：-4-j4处的射角为处的射角为45 )1( 1 tg 135 1 tg 4 4 45 2 3 44, 0 3,

26、21 jpp 根轨迹完成。根轨迹完成。 n xj j jx m i ixx ppzp 11 )()(180 出 16)4( )( 2 0 ss K sG r j5.66 -j5.66 j 0 例例4-2-5 作作 的根轨迹。的根轨迹。 )12( ) 1( )( 2 0 ss sK sG r 该系统该系统 n=3 ，m=1。 根据根据规则一、二、三规则一、二、三： ,12, 0 32, 1 pp 1z一个零点：一个零点：有三个开环极点：有三个开环极点： 该根轨迹有三个分支该根轨迹有三个分支, 分别起始于分别起始于p = 0(两条两条)和和p = -12处，处， 有一个分支终止于有一个分支终止于z

27、 = -1, 另两个分支趋于无穷远。另两个分支趋于无穷远。 根据根据规则四规则四： 实轴上存在根轨迹是从实轴上存在根轨迹是从-12到到-1之间。之间。 -2-4-6-12 j 0 例例4-2-5 根据根据规则五规则五：渐近线有：渐近线有2条，条，n-m2。 -5.5 渐近线夹角：渐近线夹角： mn l 180 3 , 1 l 90 1 )270(90 0 2 渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点： mn zp n j m i ij 11 2 )1(12 2 11 5 . 5 )12( ) 1( )( 2 0 ss sK sG r -2-4-6-12 j 0 -2-4-6-12 例例4-2-5

28、 根据根据规则七规则七、 求根轨迹与虚轴的交点。求根轨迹与虚轴的交点。 闭环特征方程是：闭环特征方程是：012 23 rr KsKss 0 0 12 12 12 1 0 1 2 3 r rr r r Ks KK s Ks Ks Kr0时，第一列元素都为时，第一列元素都为 正值，根轨迹与虚轴交点正值，根轨迹与虚轴交点 于于Kr=0处。处。 )12( ) 1( )( 2 0 ss sK sG r -2-4-6-12 j 0 -2-4-6-12 例例4-2-5 根据根据规则六规则六、求分离点和会合点、求分离点和会合点 1 12 23 s ss K r 0 ds dKr 0 ) 1( 24152 2

29、23 s sss ds dKr 则：则： 024152 23 sss s1 =-5.18, s2= -2.31，s30。 可知一部分根轨迹为圆。可知一部分根轨迹为圆。 据此，可画出根轨迹。据此，可画出根轨迹。 均在根轨迹上。均在根轨迹上。 大大Kr分离点，分离点， 小小Kr会合点。会合点。 )12( ) 1( )( 2 0 ss sK sG r 0 0 90 180 mn 求出重根角为求出重根角为: -2-4-6-12 j 0 -2-4-6-12 例例4-2-5 利用幅值条件，可求出分离点和会合点处的利用幅值条件，可求出分离点和会合点处的Kr值。值。 ,78.43 1 )12(00 1 111

30、 s sss Kr 代代入入幅幅值值条条件件：把把处处在在18.5s, 11 s 47.39 1 12 23 s ss Kr s1是分离点，是分离点，s2是会合点。是会合点。 完整的绘出根轨迹如图完整的绘出根轨迹如图4-9所示。所示。 )12( ) 1( )( 2 0 ss sK sG r m i i n j j r zs ps K 1 1 表表达达式式：代代入入把把处处在在 r22 K31.2s, s 图图4-9 作业：作业：4-1，4-2，4-3 看书看书p151，表表4-1常规根轨迹。常规根轨迹。 s1 =-5.18, s2= -2.31，s30。 -2-4-6-12 j 0 -2-4-6-12 例例4-2-6 的根轨迹作 4) 1)(2( )( 2 0 sss K sG r 根据根据规则一、二、三规则一、二、三、有四个极点：、有四个极点： p1=0, p2= -2, p3,4= -1j2 分析：分析：n=4，m=0。 该根轨迹共有四个分支，该根轨迹共有四个分支， -2P1 P2 P3 P4 根据根据规则四规则四、实轴上存在、实轴上存在 根轨迹是从根轨迹是从-2到到0之间。之间。 终止于无穷远。终止于无穷远。 分别起始于分别起始于p1, p2, p3,4， 0 j 例例4-2-6 根据根据规则五规则五、n-m=