材料力学 第八章 应力状态分析

1、1 8 8 应力状态分析应力状态分析 2 8 8 应力状态分析应力状态分析 8.18.1 应力状态的概念应力状态的概念 8.28.2 用解析法分析二向应力状态用解析法分析二向应力状态 8.3 8.3 用图解法分析二向应力状态用图解法分析二向应力状态 8.4 8.4 三向应力状态下的应力分析三向应力状态下的应力分析 8.5 8.5 广义胡克定律广义胡克定律 8.6 8.6 三向应力状态下的比能三向应力状态下的比能 3 低碳钢低碳钢 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？ 铸铸 铁铁 8.1 应力状态的概念应力状态的概念 1.1.问题的提出问题的提出 4 脆性材料扭转

2、时为什么沿脆性材料扭转时为什么沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？ 低碳钢低碳钢 铸铸 铁铁 8.1 应力状态的概念应力状态的概念 5 为了分析这些破环现象，为了建立组合变为了分析这些破环现象，为了建立组合变 形构件的强度条件，我们必须分析通过危险点的形构件的强度条件，我们必须分析通过危险点的 斜截面上的应力情况，也就是说我们必须要研究斜截面上的应力情况，也就是说我们必须要研究 一点处的应力状态。一点处的应力状态。 2.2.一点的应力状态一点的应力状态 通过构件内某一点的各个不同方位的截面通过构件内某一点的各个不同方位的截面 上的应力的大小和方向，通常称为上的应力的大小和方向，通常称为点的应力状

3、态点的应力状态。 8.1 应力状态的概念应力状态的概念 6 F 构件上同一点在各个不同方位的截面上，应构件上同一点在各个不同方位的截面上，应 力的大小和方向不尽相同力的大小和方向不尽相同应力是截面方位的函应力是截面方位的函 数数。 8.1 应力状态的概念应力状态的概念 FF A A F F 7 3.3.一点应力状态的表示方法一点应力状态的表示方法 单元体法：单元体法：围绕一点取微小的正六面体，这围绕一点取微小的正六面体，这 一无穷小的单元体就代表这个点。一无穷小的单元体就代表这个点。 当一个材料单元体的三个坐标平面上的应力当一个材料单元体的三个坐标平面上的应力 都已知时，总可以用截面法求出任意

4、方位截面上都已知时，总可以用截面法求出任意方位截面上 的应力，于是当单元体三个坐标平面的应力确定的应力，于是当单元体三个坐标平面的应力确定 时，就称该单元体的应力状态已确定。时，就称该单元体的应力状态已确定。 8.1 应力状态的概念应力状态的概念 8 4.截取单元体的原则截取单元体的原则 一般来说，三对平行面的应力是可求的或给定的；一般来说，三对平行面的应力是可求的或给定的； 通常截取的一对平行平面是横截面。通常截取的一对平行平面是横截面。 8.1 应力状态的概念应力状态的概念 A 横截面横截面 A FF 9 横截面横截面 8.1 应力状态的概念应力状态的概念 A 横截面横截面 B A B 材

5、料单元体上相对坐材料单元体上相对坐 标面上的应力大小相标面上的应力大小相 等，方向相反。等，方向相反。 材料单元体上任意材料单元体上任意 方向面上应力均匀方向面上应力均匀 分布。分布。 10 y x z x y z xy yx yz zy zx xz 单元体上没有切应力的面称为单元体上没有切应力的面称为主平面主平面；主平面上的正应力；主平面上的正应力 称为称为主应力，主应力，分别用分别用 表示，并且表示，并且 该单元体称为该单元体称为主应力单元。主应力单元。 321 , 321 5.5.主平面、主应力主平面、主应力 8.1 应力状态的概念应力状态的概念 1 2 3 11 空间（三向）应力状态：

6、三个主应力均不为零空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 6.6.应力状态的分类应力状态的分类 8.1 应力状态的概念应力状态的概念 1 2 3 12 空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态：一个主应力为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零 应力状态的分类应力状态的分类 8.1 应力状态的概念应力状态的概念 1 2 13 空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态：一个主应力为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零 单向应力状态：两个主应力为零单向应力状态：两个主应力

7、为零 应力状态的分类应力状态的分类 8.1 应力状态的概念应力状态的概念 1 14 例例1 下图下图a所示钢轨的轨头受车轮的静荷作用时，所示钢轨的轨头受车轮的静荷作用时， 其应力状态即为图其应力状态即为图b所示三向压应力状态。所示三向压应力状态。 11 3 3 2 2 (b)(a) F 8.1 应力状态的概念应力状态的概念 15 1.1.决定一点的应力状态有哪些因素？决定一点的应力状态有哪些因素？ 讨讨 论论 8.1 应力状态的概念应力状态的概念 2.2.研究一点应力状态的意义是什么？研究一点应力状态的意义是什么？ 16 8.2 8.2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 应力状态分

8、析：应力状态分析：已知材料已知材料 单元体的三对互相垂直的单元体的三对互相垂直的 外表面上的应力，求任意外表面上的应力，求任意 方向面上的应力。方向面上的应力。 九个应力分量，六个独立九个应力分量，六个独立( (切应力切应力 互等互等) ) 有一对方向面上的应力为零，有有一对方向面上的应力为零，有 一个主应力肯定为一个主应力肯定为0 0，点处于平面应力状态。，点处于平面应力状态。 y x z x y z xy yx yz zy zx xz 17 x y y x 0 n F 0 t F 1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力 y x x y 已知：已知： x ， y ， x， y ； 求：任意斜截

9、面的应力（求：任意斜截面的应力（ 面面 ） 8.2 8.2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 dA n t x y 18 0 n F 0sin)sin(cos)sin( cos)cos(sin)cos( dAdA dAdAdA yy xx 0 t F 0cos)sin(sin)sin( sin)cos(cos)cos( dAdA dAdAdA yy xx 8.2 8.2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 y x x y dA n t 19 利用三角函数公式利用三角函数公式 )2cos1( 2 1 cos2 )2cos1( 2 1 sin 2 2sincossin2 并注

10、意到并注意到 化简得化简得 xy 2sin2cos 22 x yxyx 2cos2sin 2 x yx 8.2 8.2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 20 使微元顺时针方向使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。转动为正；反之为负。 a角：由角：由x 轴正向逆时针转轴正向逆时针转 到斜截面外法线时为正；反到斜截面外法线时为正；反 之为负。之为负。 8.2 8.2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 x y y x x y y x x y n t x 21 如图所示单元体，求指定截面上的正应力和如图所示单元体，求指定截面上的正应力和 切应力。切应力。 8.2 8.2 解析

11、法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 MPa40 60 x n MPa20 MPa80 22 解：由题示条件知：解：由题示条件知： MPa80 x MPa40 y MPa20 x MPa20 y 30 8.2 8.2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 MPa40 60 x MPa20 MPa80 y 30 23 MPa3 .67 2 3 20 2 1 2 4080 2 4080 60sin60cos 22 30 x yxyx MPa9 .41 2 1 20 2 3 2 4080 60sin60sin 2 30 x yx 8.2 8.2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状

12、态 MPa40 60 x MPa20 MPa80 y 30 7.3MPa6 MPa9 .41 24 2sin2cos)( 2 1 )( 2 1 xyxyx 确定正应力极值确定正应力极值 2cos22sin)( xyx d d 设设 时，上式值为零，即时，上式值为零，即 02cos22sin)( 00 xyx 3. 正正应力极值和方向应力极值和方向 022cos2sin 2 2 0 00 x yx )( 8.2 8.2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 0 即即 时，切应力为零时，切应力为零 0 25 yx x 2 2tan 0 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别由上式可以确定

13、出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为：所以，最大和最小正应力分别为： 2 2 max 22 x yxyx 2 2 min 22 x yxyx 主应力按代数值排序：主应力按代数值排序：1 1 2 2 3 3 8.2 8.2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 26 4. 切切应力极值和方向应力极值和方向 2cos2sin 2 x yx 采用同样的方法：采用同样的方法： 0 d d 令 x yx 2 2tan 1 从中解出从中解出 ，进而可得到，进而可得到 的极值。的极值。1 8.2 8.2 解析法

14、分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 27 根据切应力成对性，根据切应力成对性，可解出两个相差可解出两个相差p/2的极值平的极值平 面，一个面上为极大值，另一个面上为极小值。面，一个面上为极大值，另一个面上为极小值。 2 max2 min 2 xy x 8.2 8.2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 28 2 2 max 22 x yxyx 2 2 min 22 x yxyx 5.过一点所有方向面中的最大切过一点所有方向面中的最大切应力应力 maxmin 2 2 2 max 2 xy x 即：xy平面内最大切应力为： 单元体内的最大切应力为： max13 1 2 maxmaxm

15、in 1 2 8.2 8.2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 29 试求试求（1） 斜面上的应力；斜面上的应力； （2）主应力、主平面；）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。 例例3 3 一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。 。 30 MPa，60 x MPa,30 x ,MPa40 y 已知已知 8.2 8.2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 y x n x x 30 解：解： （1） 斜面上的应力斜面上的应力 2sin2cos 22 x yxyx )60sin(30)60cos( 2 4060 2 4060 MP

16、a02. 9 2cos2sin 2 x yx )60cos(30)60sin( 2 4060 MPa3 .58 8.2 8.2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 y x n x x 31 （2 2）主应力、主平面）主应力、主平面 2 yx x yx 22 ) 2 ( max MPa3 .68 2 yx x yx 22 ) 2 ( min MPa3 .48 MPa3 .48, 0MPa,3 .68 321 8.2 8.2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 y x n x x 32 主平面的方位：主平面的方位： yx x 2 2tan 0 6 . 0 4060 60 ,5

17、.15 0 5 .105905 .15 0 代入代入 表达式可知表达式可知 主应力主应力 方向：方向： 1 5 .15 0 主应力主应力 方向：方向： 3 5 .105 0 8.2 8.2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 y x n x x 33 （3 3）主应力单元体：）主应力单元体： 8.2 8.2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 y x n x x 5 .15 1 3 3 1 34 1.1.最大正应力所在面上的切应力一定为最大正应力所在面上的切应力一定为 零，最大切应力所在面上的正应力是否零，最大切应力所在面上的正应力是否 也一定为零？也一定为零？ 讨讨 论论

18、 8.2 8.2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 35 2sin2cos)( 2 1 )( 2 1 xyxyx 2cos2sin)( 2 1 xyx 2222 ) 2 () 2 ( x yxyx 这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆应力圆 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 36 2222 ) 2 () 2 ( x yxyx 1. 1. 应力圆应力圆 O C 2 2 2 x yx 2 yx ) ,( 单元体斜截面上应力（单元体斜截面上应力（ ， ） 和应力圆上点的坐标（和应力圆上点的坐标（ ， ） 一一对应，因此可通

19、过确定应力一一对应，因此可通过确定应力 圆上相应点的坐标来求斜截面上圆上相应点的坐标来求斜截面上 应力（应力（ ， ）。）。 因为圆心一定在因为圆心一定在 轴上，只要知轴上，只要知 道应力圆上的两点（即单元体两道应力圆上的两点（即单元体两 个面上的应力），即可确定应力个面上的应力），即可确定应力 圆。圆。 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 37 2. 2. 应力圆的画法应力圆的画法 D( x , x) D/ ( y , y) c xy 2 R 22 ) 2 ( x yx R y y x A D x 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 38

20、xx D, 1 yy D, 2 已知已知 x、 y、 x、 y，如右，如右 图，假定图，假定 x y。 在在 、 坐标系内按比例尺确定两点：坐标系内按比例尺确定两点： xx D, 1 yy D, 2 da b c e f x y x x n x x y y y y (1(1）作图）作图 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 39 以以C为圆心，线段为圆心，线段CD1或或CD2为半径作圆，即为应为半径作圆，即为应 力圆。力圆。 连接连接D1、D2两点，线段两点，线段D1D2与与 轴交于轴交于C点。点。 xx D, 1 yy D, 2 C xx D, 1 yy D, 2 C

21、 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 40 (2(2）证明）证明 对下图所示应力圆可见对下图所示应力圆可见C点点 的横坐标为：的横坐标为： 从从D1点按斜截面角点按斜截面角 的转向转动的转向转动2 得到得到E点，该点的坐标值即为斜截面点，该点的坐标值即为斜截面 上的应力分量值。上的应力分量值。 xx D, 1 yy D, 2 C 2 E O C 2 FA1B1 B2A2 D1 D2 E x y y x 1 20 2 CBOBOC 22 由于由于 CBDCBD 1122 可得可得： CBCB 12 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 41 2

22、2 2/ 212 yx yx y BBOBOC 因此，因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且点坐标为应力圆圆心坐标，并且 2 2 2 11 2 21 1 22 x yx DB BB CD 该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述圆该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述圆 确为应力圆。确为应力圆。 则则： 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 O C 2 F A1B1 B2A2 D1 D2 E x y y x 1 20 2 42 另外，另外，E点横坐标为：点横坐标为： 2sin2sin2cos2cos 22cos 00 0 CECEOC CEOCCFOCOF E 2sin2c

23、os 22 x yxyx E 即：即： 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 O C 2 F A1B1 B2A2 D1 D2 E x y y x 1 20 2 43 2cos2sin 2 x yx E EF 可见，可见，E点坐标值即为点坐标值即为 斜截面上的应力分量值。斜截面上的应力分量值。 同理可得同理可得E点的纵坐标为：点的纵坐标为： 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 O C 2 F A1B1 B2A2 D1 D2 E x y y x 1 20 2 44 由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量

24、 值一一对应，因此，按比例作图，可通过直接用尺子值一一对应，因此，按比例作图，可通过直接用尺子 量出坐标值来求任意斜截面上的应力分量，此即称为量出坐标值来求任意斜截面上的应力分量，此即称为 图解法图解法。 解：按一定比例画出应力圆。解：按一定比例画出应力圆。 0MPa7 .63 x 0 y MPa7 .35 yx 例例4 用图解法求图示用图解法求图示 = 30斜截面上的应力值。斜截面上的应力值。 因为图示应力状态有：因为图示应力状态有： 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 x 30 x=35.7MPa x=63.7MPa y n 45 按一定比例，作出应按一定比例，作

25、出应 力圆，并找到斜截面对应力圆，并找到斜截面对应 的点，量取其坐标可得：的点，量取其坐标可得： MPa17 30 MPa46 30 7 .357 .63， x D 7 .35 0， y D 则则x、y截面在应力圆上两点为：截面在应力圆上两点为： E Dy(0, 35.7) Dx(63.7,-35.7) 60 -30 -30 ， ) 20MPa 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 46 点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某应力圆上某一点的坐标值对应着微元某 一截面上的正应力和切应力一截面上的正应力和切应力 3. 3. 几种对应关系几种对应关系 D( x

26、, x) D ( y , y) c xy 2 y y x x H ),( aa H 2 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 47 两倍角对应两倍角对应单元体某方向转过某个角度到另一单元体某方向转过某个角度到另一 个方向面时，应力圆上对应点的半径转过该角度的个方向面时，应力圆上对应点的半径转过该角度的 两倍达到另一个方向面对应的点。两倍达到另一个方向面对应的点。 D( x , x) D ( y , y) c xy 2 ),( aa H 2 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 y y x x H 48 4. 4. 主应力与主平面主应力与主平面 对

27、图对图a a所示应力状态，作出应力圆（图所示应力状态，作出应力圆（图b b）。）。 1 0 1 2 2 0, max1 A 0, min2 A 主平面：剪应力主平面：剪应力 =0的平面；的平面； 主应力：主平面上的正应力。主应力：主平面上的正应力。 321 321 可证明：可证明： 并规定：并规定： 可见：可见： O Dy Dx C A2A1 20 (b) 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 x y (a) x 49 ； 2211 OAOA0 3 具体值可在应力圆上量取，即：具体值可在应力圆上量取，即： 主平面位置：图主平面位置：图a中中 1主平面的方位角主平面的方位

28、角 0对应于应对应于应 力圆（图力圆（图b）上的圆心角）上的圆心角2 0。 主应力值和主应力平面的计算：主应力值和主应力平面的计算： 由图由图b可见，可见，A1、A2两点的横坐标为：两点的横坐标为： 11 CAOCOA 22 CAOCOA 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 O Dy Dx C A2A1 20 (b) 50 yx x CB BD 2 2tan 1 11 0 2 2 1 22 x yxyx 2 2 2 22 x yxyx 由此可得两个主应力值为：由此可得两个主应力值为： 因为因为 1主平面方位角的两倍主平面方位角的两倍对应于应力圆上对应于应力圆上2 0，

29、而，而 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 51 0 2tan IV象限。象限。 0 2tan 0 2tan 0 2tan 注意：注意：2 0的值与其所在的象限有关，而其所在象限的值与其所在的象限有关，而其所在象限 与计算式中分子、分母的正负有关，即：与计算式中分子、分母的正负有关，即： I象限；象限；II象限；象限； III象限；象限； 所以，所以， 1主平面方位角主平面方位角 0为：为： yx x 2 arctan 2 1 0 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 52 例例 5 求图求图a所示应力状态的主应力及方向。所示应力状态的主应力及

30、方向。 MPa100 x MPa40 x MPa30 y MPa40 y 40,100 x D 40,30 y D 解：解：(1)应力圆图解法：应力圆图解法： 因为：因为： 所以：所以： 按一定比例作出应力圆（图按一定比例作出应力圆（图b）。）。 y x 30MPa 100MPa =40MPa x (a) Dx Dy A3 A120 (b) 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 531 0 1 y x (c) MPa40 3 MPa110 1 0 2 16302 0 815 0 由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大 小关系可得：小

31、关系可得： 由此可得：由此可得： 主应力单元体以及主平面的方位如图主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：所示： 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 54 (2)(2)解析法解析法 MPa110 22 2 2 1 x yxyx MPa40 22 2 2 3 x yxyx 13 8 30100 4022 2tan 0 yx x 16302 0 0 2 815 0 所以：所以： 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 55 例例6 6 图图(a)(a)示为一单元体。试求：示为一单元体。试求：(1) (1) 主应力的值；主应力的值； (2)(2)主应力

32、作用面的位置；主应力作用面的位置；(3) (3) max max和 和min min的值。 的值。 x y x 20MPa 10MPa 20MPa 解：根据正、切应力的正负号规定，有解：根据正、切应力的正负号规定，有 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 MPa10 MPa20 MPa20 a 56 max2 min 22 xyxy x 30 MPa 20 (1)(1)求求max max和 和min min，确定主应力的值 ，确定主应力的值 MPa20, 0,MPa30 321 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 MPa10 MPa20 MPa

33、20 a 57 (2)(2)求主应力作用面的方位角求主应力作用面的方位角 0 2 tan2 x xy 0 26.6 0 9063.4 max 0101 tan0.5,26.6 x x min 0202 tan2,63.4 x x 01 26.6 或或 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 MPa10 MPa20 MPa20 a 58 (3)(3)求主切应力求主切应力 max min 2 2 2 xy x 25MPa 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 MPa20 MPa30 6 .26 x y 59 1.1.试定性画出轴向拉伸、轴向压缩、扭试定

34、性画出轴向拉伸、轴向压缩、扭 转圆轴、一般受弯杆件危险点处的应力转圆轴、一般受弯杆件危险点处的应力 单元体及其对应的应力圆？单元体及其对应的应力圆？ 讨讨 论论 8.3 8.3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态 60 1.1.定义定义 2 3 1 三个主应力都不为零的应力状态三个主应力都不为零的应力状态 8.4 8.4 三向应力状态下的应力分析三向应力状态下的应力分析 61 考虑图考虑图a所示主单元体中斜截面上的应力。所示主单元体中斜截面上的应力。 对与对与 3平行的斜截面平行的斜截面： 同理：同理：和和 2平行的斜截面上平行的斜截面上 应力与应力与 2无关，由无关，由 1、 3的

35、的应力应力 圆确定；和圆确定；和 1平行的斜截面上应平行的斜截面上应 力与力与 1无关无关，由由 2、 3的的应力圆应力圆 确定。确定。 c a b 1 3 3 (b) 2 1 2 1 3 3 2 (a) 进一步研究表明，一般斜截进一步研究表明，一般斜截 面面abc面上应力位于图面上应力位于图c所示的阴所示的阴 影部分内。影部分内。 由图由图b可知，该面上应力可知，该面上应力 、 与与 3无关，由无关，由 1、 2的应力圆来的应力圆来 确定。确定。 8.4 8.4 三向应力状态下的应力分析三向应力状态下的应力分析 62 1max 3min 2 31 max max作用面为与作用面为与 2平行，

36、与平行，与 1或或 3成成45角角的的 斜截面斜截面。 所以，由所以，由 1、 3构成的应构成的应 力圆最大，力圆最大， max作用点位于作用点位于 该圆上，且有：该圆上，且有： 因为：因为： O 3 2 1 max B D A max (c) 注意：注意： max作用面上，作用面上， 0。 8.4 8.4 三向应力状态下的应力分析三向应力状态下的应力分析 63 例例7 用应力圆求图用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，所示应力状态的主应力、主平面， 最大切应力最大切应力 max及作用面。及作用面。 解：由图示应力状态可知解：由图示应力状态可知 z=20MPa为一主应力，则为一主应力，则

37、 与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。可由图与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。可由图b 所示的平面应力状态来确定另两个主应力。所示的平面应力状态来确定另两个主应力。 (a) 20MPa 20MPa 40MPa 20MPax y z 8.4 8.4 三向应力状态下的应力分析三向应力状态下的应力分析 MPa20 MPa20 MPa40 b 64 MPa46 1 MPa20 2 MPa26 3 图图b所示平面应力状态对应的应力圆如图所示平面应力状态对应的应力圆如图c。 最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。 O 31 A C D2 D1 (c)

38、 O max 3 2 1 B A C D2 D 1 20 (d) 由此可得：由此可得： 8.4 8.4 三向应力状态下的应力分析三向应力状态下的应力分析 65 MPa36 max BC 作用面与作用面与 2平行而与平行而与 1成成45角，如图角，如图e所示。所示。 最大切应力对应于最大切应力对应于B点的纵坐标，即点的纵坐标，即 x (e) 3 2 1 max 45 17 8.4 8.4 三向应力状态下的应力分析三向应力状态下的应力分析 66 1.1.试举出单向应力状态、二向应力状态、试举出单向应力状态、二向应力状态、 三向应力状态的工程实例。三向应力状态的工程实例。 讨讨 论论 8.4 8.4

39、 三向应力状态下的应力分析三向应力状态下的应力分析 2.2.一个二向应力状态与另一个二向应力状一个二向应力状态与另一个二向应力状 态叠加的结果是什么应力状态？态叠加的结果是什么应力状态？ 67 1.1.基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律 xx E E x xy x y x (1(1）轴向拉压胡克定）轴向拉压胡克定 律律 横向变形横向变形 (2(2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 G 8.5 8.5 广义胡克定律广义胡克定律 68 2.2.三向应力状态的广义胡克定律三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法 2 3 1 3211 1 E 1 2 3 1 E 1 E 2 E 3 8.5 8.5

40、广义胡克定律广义胡克定律 69 2 3 1 3211 1 E 1322 1 E 2133 1 E 8.5 8.5 广义胡克定律广义胡克定律 70 )( 1 zyxx E G xy xy 3. 3. 广义胡克定律的一般形式广义胡克定律的一般形式 )( 1 xzyy E )( 1 yxzz E G yz yz G zx zx 8.5 8.5 广义胡克定律广义胡克定律 y x z x y z xy yx yz zy zx xz 71 例例8 截面为截面为 20mm 40mm的矩的矩 形截面拉杆受力如图所示。已形截面拉杆受力如图所示。已 知：知：E=200GPa，v=0.3， u=270 10 6。求

41、力。求力F的大小。的大小。 8.5 8.5 广义胡克定律广义胡克定律 60 u F 72 解：在解：在A点取一单元体如图所示点取一单元体如图所示 A F 对如图所示坐标系有对如图所示坐标系有 00 xyx , A F , vu zvuu E E 1 1 60 8.5 8.5 广义胡克定律广义胡克定律 60 u F x y u v A 73 A F A F A F x yxyx u 4 3 2 1 22 2 1 22 120sin120cos 22 60 A F A F A F x yxyx v 42 1 22 2 1 22 300sin300cos 22 150 8.5 8.5 广义胡克定律广

42、义胡克定律 x y u v A 74 A F A F E E E vu zvuu 44 31 1 1 60 64kN1064 3 . 03 10402041020010270 3 4 3 696 - AE F u 8.5 8.5 广义胡克定律广义胡克定律 x y u v A 75 讨讨 论论 8.5 8.5 广义胡克定律广义胡克定律 1.1.二向应力状态单元体二向应力状态单元体 ， 已知主应变已知主应变 ，材料泊松比为，材料泊松比为 ， 其主应变其主应变 是否是是否是 ？ 0, 0, 0 321 0, 0 21 3 21 76 8.6 8.6 三向应力状态下的比能三向应力状态下的比能 在线弹性

43、范围和小变形条件下，应变能与加载在线弹性范围和小变形条件下，应变能与加载 顺序无关，只取决于外力顺序无关，只取决于外力( (变形变形) )的最终值。的最终值。 V V u d d 单位体积的应变能，称为应变能密度，即：单位体积的应变能，称为应变能密度，即： 1.1.单向应力状态单向应力状态 2 2 22 1 2 1 d d E EV V u xd yd zd 77 zyx zyx yxxzyV ddd 2 1 ddd 2 1 ddzd 2 1 ddd 2 1 d 332211 33 2211 2.2.三向应力状态三向应力状态 比例加载：比例加载：图示主单元体中，各面图示主单元体中，各面 上的应

44、力按同一比例增加直至最终值。上的应力按同一比例增加直至最终值。 此时，对每一主应力，其对应的应变能仅与对应的主应此时，对每一主应力，其对应的应变能仅与对应的主应 变有关，而与其它主应力在该主应变上不作功，同时考虑三变有关，而与其它主应力在该主应变上不作功，同时考虑三 个主应力，有：个主应力，有： 8.6 8.6 三向应力状态下的比能三向应力状态下的比能 1 xd yd zd 2 3 78 332211 2 1 d d V V u 由前述广义虎克定律由前述广义虎克定律 2133 3122 3211 1 1 1 E E E 有：有： 313221 2 3 2 2 2 1 2 2 1 E u 则应变

45、能密度为：则应变能密度为： zyxVdddd而主单元体体积为：而主单元体体积为： 8.6 8.6 三向应力状态下的比能三向应力状态下的比能 79 321 3 1 m 3.3.形状改变比能形状改变比能 一般情况，单元体有体积改变，也有形状改变。一般情况，单元体有体积改变，也有形状改变。 = + 主单元体分解为图示两种单元体的叠加，有主单元体分解为图示两种单元体的叠加，有 平均应力：平均应力： 8.6 8.6 三向应力状态下的比能三向应力状态下的比能 1 2 3 m m m 11 m 22 m 33 m 80 则体积不变，仅发生形状改变。则体积不变，仅发生形状改变。 0 321 在在 m作用下，图作用下，图b无形状改变，且其体积应变同无形状改变，且其体积应变同 图图a，而对图，而对图c，因为：，因为： 8.6 8.6 三向应力状态下的比能三向应力状态下的比能 = + 1 2 3 m m m 11 m 22 m 33 m 81