线性连续系统的离散化

1、Ch.3 Ch.3 线性系统的时域分析线性系统的时域分析 目录目录(1/1) 目目 录录 q 概述概述 q 3.1 线性定常连续系统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解 q 3.2 状态转移矩阵及其计算状态转移矩阵及其计算 q 3.3 线性时变连续系统状态方程的解线性时变连续系统状态方程的解 q 3.4 线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化 q 3.5 线性定常离散系统状态方程的解线性定常离散系统状态方程的解 q 3.6 Matlab问题问题 q 本章小结本章小结 线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化(1/5) 3.4 线性连续系统状态空间模型的离散

2、化线性连续系统状态空间模型的离散化 q 离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。 整个系统工作于单一的离散状态。 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量全 部是离散量,如现在的全数字化设备、计算机集成制 造系统等。 系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量既 有连续时间型的模拟量,又有离散时间型的离散量， 如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。 线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化(2/5) 对于第2种情况的系统,其状态方程既有一阶微分方程组 又有一阶差分方程组。 为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计

3、 方法,要求整个系统统一用离散状态方程来描述。 v由此,提出了连续系统的离散化问题。 在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机 分析求解连续系统的状态方程,或者进行计算机控制 时,都会遇到离散化问题。 线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化(3/5) q 图3-3所示为连续系统化为离散系统的系统框图。 连续系统 保持器 保持器 数字 计算机 D/A A/D u(k) y(k) u(t) y(t) x(t) x(k) 图图 3-3 连续系统离散化的实现连续系统离散化的实现 线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化(4/5) q 线性连续系统的

4、时间离散化问题的数学实质,就是在一定的采 样方式和保持方式下,由系统的连续状态空间模型来导出等价 的离散状态空间模型,并建立起两者的各系数矩阵之间的关系 式。 q 为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程,必须满足如 下条件和假设。 在离散化之后,系统在各采样时刻的状态变量、输入变量 和输出变量的值保持不变。 保持器为零阶的,即加到系统输入端的输入信号u(t)在采 样周期内不变,且等于前一采样时刻的瞬时值,故有 u(t)=u(kT) kTt(k+1)T 线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化(5/5) 采样周期T的选择满足申农(Shannon)采样定理,即 采样频率

5、2/T大于2倍的连续信号x(k)的上限频率。 q 满足上述条件和假设,即可推导出连续系统的离散化的状态空 间模型。 下面分别针对 线性定常连续系统线性定常连续系统和 线性时变连续系统线性时变连续系统 讨论离散化问题。 线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化(1/3) 3.4.1 线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化 q 本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散化,即 研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化,建立 相应的线性定常离散系统的状态空间模型。 q 主要讨论的问题为两种离散化方法: 精确法和 近似法 q 线性定常连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在

6、采 样周期T下,将状态空间模型 线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化(2/3) uxy uxx DC BA 变换成离散系统的如下状态空间模型: )()()()()( )()()()() 1( kTTDkTTCkT kTTHkTTGTk uxy uxx 由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言, 输出方程为静态的代数方程,其离散化后应保持不变,即 C(T)=C D(T)=D 离散化主要针对连续系统状态方程(A,B)如何通过采样 周期T,变换成离散系统状态方程(G,H)。 q 在上述的条件和假设下,即可推导出连续系统离散化的状态 空间模型。 下面介绍两种离散化方法: 精确法精确

7、法、 近似法近似法。 线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化(3/3) 主要推荐? 精确离散化方法精确离散化方法(1/4) t t Bttttt 0 d)()()()()( 00 uxx 现在只考虑在采样时刻t=kT和t=(k+1)T时刻之间的状态响 应,即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是 Tk kT BTkkTTTk ) 1( d)() 1()()() 1(uxx 1. 精确离散化方法精确离散化方法 q 所谓线性定常连续系统的状态方程的精确离散化方法,就是 利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状 态方程和离散化状态方程有相同的解来进行离散化。 q 连续系统的

8、状态方程的求解公式如下: 精确离散化方法精确离散化方法(2/4) 考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定,所以有 将上式与线性定常离散系统的状态方程 x(k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT) 比较,可知两式对任意的x(kT)和u(kT)成立的条件为 G(T)=(T)=eAT )(d) 1()()() 1( )1( kTBTkkTTTk Tk kT uxx 对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,则上式可记为 )(dt)()()() 1( 0 kTBtkTTTk T uxx BBtTH T At T 00 dtedt)()( 上两式即为精确离散化法的计算式。 精确离散化方法精确

9、离散化方法(3/4)例例3-11 uxx 1 0 20 10 t t s s LAsILt 2 2 1 111 e0 2/ )e-1 (1 20 1- )-()( q 解 首先求出连续系统的状态转移矩阵: q 例3-11 试用精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系 统的状态方程: 精确离散化方法精确离散化方法(4/4)例例3-11 q 根据精确法计算式有 q 于是该连续系统的离散化状态方程为 )e-1 ( 2 )e-1 ( -2 4 1 1 0 dt e0 2/ )e-1 (1 dt)()( e0 2/ )e-1 (1 )()( 2 2 0 2 2 0 2 2 T T T t t T T T

10、 T BtTH TTG )( 2/ )e-1 ( 4/ )e-1 ( -2/ )( e0 2/ )e-1 (1 ) 1( 2 2 2 2 k T kk T T T T uxx 近似离散化方法近似离散化方法(1/6) 2. 2. 近似离散化方法近似离散化方法 q 所谓线性定常连续系统状态方程的近似离散化方法是指 在采样周期较小, 且对离散化的精度要求不高的情况下, 用状态变量的差商代替微商差商代替微商来求得近似的差分方程。 即,由于 x(kT)=LimT0 x(k+1)T)-x(kT)/T 故当采样周期较小时,有 x(kT)x(k+1)T)-x(kT)/T 近似离散化方法近似离散化方法(2/6)

11、 将上式代入连续系统的状态方程,有 x(k+1)T)-x(kT)/T=Ax(kT)+Bx(kT) 即 x(k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT) 将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比 较,则可得如下近似离散化的计算公式: G(T)=I+AT H(T)=BT q 将上述近似离散法和精确离散法比较知, 由于I+AT和BT分别是eAT和eAtdtB的Taylor展开式中的一 次近似,因此近似离散化方法其实是取精确离散化方法 的相应计算式的一次Taylor近似展开式。 近似离散化方法近似离散化方法(3/6)例例3-12 q 由上述推导过程可知,一般说来,采样周期T越小,则离散

12、化精 度越高。 但考虑到实际计算时的舍入误差等因素,采样周期T不宜 太小。 q 例3-12 试用近似离散化方法写出下列连续系统的离散化系 统的状态方程: uxx 1 0 20 10 q 解 由近似离散化法计算公式,对本例有 近似离散化方法近似离散化方法(4/6)例例3-12 于是该连续系统的离散化状态方程为 T BTTH T T ATITG 0 )( 210 1 )( )( 0 )( 2-10 1 ) 1(k T k T T kuxx 近似离散化方法近似离散化方法(5/6)例例3-12 近似法的计算结果为 432332. 0 283834. 0 0.1353350 432332. 01 HG

13、1 0 10 11 HG 2. 当T=0.001s时,精确法的计算结果为 000999. 0 105 . 0 0.9980020 000999. 01 6 HG q 对上述近似离散化法的精度可检验如下: 1. 当T=1s时,精确法的计算结果为 近似离散化方法近似离散化方法(6/6)例例3-12 近似法的计算结果为 001. 0 0 998. 00 001. 01 HG q 从上述计算结果可知,近似离散法只适用于较小的采样周期。 线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统的离散化(1/6) 3.4.2 线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统的离散化 q 线性时变连续系统状态空间模型的离散化,实际

14、上是指在指定 的采样周期T下,将连续系统的状态方程 ( )( ) ( )( ) ( )tttttxAxBu 变换成线性时变离散系统的如下状态方程: (1)( ) ( )( ) ( )kkkkkxGxHu q 线性时变连续系统的状态方程的离散化,就是利用时变系统 的状态轨迹求解公式来进行离散化。 由3.3节可知,连续系统状态方程的解可表示为: 线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统的离散化(2/6) 0 00 ( )( , ) ( )( , ) ( ) ( )d t t tt ttt B xxu 现在只考虑在采样时刻t=kT和t=(k+1)T时刻之间的状态 响应,即对于上式,取t0=kT,t=

15、(k+1)T,于是 (1) (1)(1) , ( )(1) , ( ) ( )d kT kT kkT kTkkT B xxu 考虑到u(t)在采样周期内保持不变,所以有 (1) (1)(1) , ( )(1) , ( )d( ) kT kT kkT kTkkT B k xxu 线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统的离散化(3/6) 比较下述两式 可得线性时变连续系统离散化模型各矩阵如下 (1) ( )(1) , ( )(1) , ( )d kT kT G kkT kT H kkT B (1) (1)(1) , ( )(1) , ( )d( ) kT kT kkT kTkkT B k xxu (1)( ) ( )( ) ( )kkkkkxGxHu 线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统的离散化(4/6) q 例例3-13 试写出下列线性时变连续系统的离散化系统的状态 方程。 p 解解 由例3-9,该系统的转移矩阵函数为 0 00 1 (1)(1)( ,) 01 tt ttt t 2 1 01 (1) 1 00 t xxu 线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统的离散化(5/6) 因此,由上述离散化计算公式，可分别计算 (1) (1) 2 1 (1)(