第2章 单自由度课件修改

1、1 2.1 振动系统的组成振动系统的组成 2.2 振动微分方程建立振动微分方程建立 2.3 自由振动自由振动 2.4 强迫振动强迫振动 2.5 隔振原理隔振原理 2.6 非周期激励下的响应非周期激励下的响应 2 质量元件质量元件 无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件 xmF m 平动：平动： 力、质量和加速度的单位分别力、质量和加速度的单位分别 为为N、kg和和m / s 2。 JTm 转动：转动： 力矩、转动惯量和角加速度的单力矩、转动惯量和角加速度的单 位分别为位分别为Nm、kg m 2和和rad / s 2 2.1 振动系统的组成振动系统的组成 3 弹

2、性元件弹性元件 无质量、不耗能，储存势能的元件无质量、不耗能，储存势能的元件 xkF s 平动：平动： 力、刚度和位移的单位分别为力、刚度和位移的单位分别为 N、N / m和和m 。 ts kT 转动：转动： 力矩、扭转刚度和角位移的单位力矩、扭转刚度和角位移的单位 分别为分别为Nm、 Nm / rad和和rad 4 阻尼元件阻尼元件 无质量、无弹性、线性耗能元件无质量、无弹性、线性耗能元件 xcF d 平动：平动： 力、阻尼系数和速度的单位分力、阻尼系数和速度的单位分 别为别为N、N s/ m和和m/s。 td cT 转动：转动： 力矩、扭转阻尼系数和角速度的力矩、扭转阻尼系数和角速度的 单

3、位分别为单位分别为Nm、 Nms / rad和和 rad/s 5 2.2振动微分方程的建立 3种方法：种方法： （1）牛顿第二定律）牛顿第二定律 （2）拉格朗日法）拉格朗日法 （3）能量法）能量法 6 （1）牛顿第二定律）牛顿第二定律 图 单自由度无阻 尼质量-弹簧系统 7 （2 2）拉格朗日法）拉格朗日法 ：系统自由数 ), 2 , 1(0)(njQ q U q T q T dt d j jjj n j q U T j Q ：第j个广义坐标 ：弹性元件提供的系统势能 ：惯性元件提供的系统动能 ：广义力，它包括阻尼力和外加激振力 8 9 （3 3）能量法）能量法 10 2.3 等效单自由系统等

4、效单自由系统 （1）等效质量）等效质量 等效原则：等效前后系统的动能相等。等效原则：等效前后系统的动能相等。 11 等效前系统动能： 2 222 22 1212 2 12 111 ()() 222 ll Tm xmxmm x ll 前 等效后系统动能： 2 1 () 2 e TMx 后 TT 后前 2 2 12 2 1 e l Mmm l 12 （2）等效刚度）等效刚度 等效原则：等效前后系统的势能相等。等效原则：等效前后系统的势能相等。 等效前势能： 2 222 33 1212 2 11 111 ()() 222 ll Uk xkxkkx ll 前 等效后势能： 2 1 () 2 e UKx

5、 后 UU 后前 2 3 12 2 1 e l Kkk l 13 等效弹簧刚度等效弹簧刚度 斜向布置的弹簧斜向布置的弹簧 2 e cos/kxFk xx 串联弹簧串联弹簧 并联弹簧并联弹簧 n i i kk 1 e n i i kk 1 e 11 n i i cc 1 e n ii cc 1e 11 并联系统并联系统串联系统串联系统 等效阻尼系数等效阻尼系数 传动系统的等效刚度传动系统的等效刚度 2 1 t e 1 t /ikk 传动系统的等效阻尼传动系统的等效阻尼 ct1e= ct1 / i 2 2 1e1 /iJJ 等效质量等效质量 传动系统的等效惯量传动系统的等效惯量 14 15 令令

6、x 为位移，以质量块的静平衡位置为位移，以质量块的静平衡位置 为坐标原点，为坐标原点，为静变形。为静变形。 当系统受到初始扰动时，由牛顿第当系统受到初始扰动时，由牛顿第 二定律，得：二定律，得： )(xkmgxm kmg 在静平衡位置：在静平衡位置： 固有振动或自由振动微分方程固有振动或自由振动微分方程 ： 0 kxx m 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 0 m x 静平衡位置静平衡位置 弹簧原长位置弹簧原长位置 k 0 x 静平衡位置静平衡位置 弹簧原长位置弹簧原长位置 m k 16 17 18 固有振动或自由振动微分方程固有振动或自由振动微分方程 ： 0kxx m 令令 ： m

7、k 0 单位：弧度单位：弧度/秒（秒（rad/s） 0 2 0 xx 则有则有 ： 通解通解 ： )sin()cos()( 0201 tctctx ： 21,c c 任意常数，由初始条件决定任意常数，由初始条件决定 )sin( 0 tA 2 2 2 1 ccA 2 11 c c tg 振幅振幅 ： 初相位初相位 ： 固有频率固有频率 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 19 0 kxx m m k 0 0 2 0 xx 2 2 2 1 ccA 2 11 c c tg )sin()cos()( 0201 tctctx )sin( 0 tA 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 x t

8、0 A 0 0 /2T 20 0 kxx m m k 0 0 2 0 xx 2 2 2 1 ccA 2 11 c c tg 系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如 何进行振动的方式都毫无关系何进行振动的方式都毫无关系 ： 0 不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到 过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关 ：,A )sin()cos()( 0201 tctctx )sin( 0 tA 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 21 考虑系统在初始扰

9、动下的自由振动考虑系统在初始扰动下的自由振动 )sin()cos()( 0201 tctctx )sin( 0 tA 设设 的初始位移和初始速度为：的初始位移和初始速度为： t xx )( xx )( )sin()cos( 02011 bbc )cos()sin( 02012 bbc 令令 ： )(sin)(cos)( 0201 tbtbtx 有有 ： xb 1 0 2 x b 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 22 时刻以后的自由振动解为：时刻以后的自由振动解为： t x txtx 0 0 0 sincos 零时刻的初始条件：零时刻的初始条件： 0 )0(xx 0 )0(xx 2 0

10、 0 2 0 x xA 0 001 x x tg )sin()cos()( 0 0 0 00 t x txtx 零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动： )sin( 0 tA 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 23 )sin()cos()( 0 0 0 00 t x txtx 零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动： )sin( 0 tA 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。为振动频率的简谐振动，并且永无休止。 0 初始条件的说明：初始条件的说明： 初始条件是外界能量转

11、入的一初始条件是外界能量转入的一 种方式，有初始位移即转入了种方式，有初始位移即转入了 弹性势能，有初始速度即转入弹性势能，有初始速度即转入 了动能。了动能。 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 x t 0 A 0 0 /2T 0 x 24 )sin()cos()( 0 0 0 00 t x txtx 零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动： )sin( 0 tA 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。为振动频率的简谐振动，并且永无休止。 0 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振

12、动 25 26 固有频率计算的另一种方式：固有频率计算的另一种方式： 0 kxx m m k 0 kmg 在静平衡位置：在静平衡位置： g m k 0 则有：则有： 对于不易得到对于不易得到 m 和和 k 的系统，若能测出静变形的系统，若能测出静变形 ，则用，则用 该式计算是较为方便的该式计算是较为方便的 。 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 0 m x 静平衡位置静平衡位置 弹簧原长位置弹簧原长位置 k 27 例：例： 提升机系统提升机系统 重物重重物重 量量NW 5 1047. 1 钢丝绳的弹簧刚度钢丝绳的弹簧刚度 cmNk/1078. 5 4 重物以重物以 的速度均匀下降的速度均

13、匀下降 min/15mv 求：求： 绳的上端突然被卡住时，（绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，）重物的振动频率， （2）钢丝绳中的最大张力。）钢丝绳中的最大张力。 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 W v 28 解：解： srad W gk /6 .19 0 振动频率振动频率 重物匀速下降时处于静平衡位重物匀速下降时处于静平衡位 置，若将坐标原点取在绳被卡置，若将坐标原点取在绳被卡 住瞬时重物所在位置住瞬时重物所在位置 则则 t=0 时，有：时，有： 0 0 xvx 0 )()6 .19sin(28. 1)sin()( 0 0 cmtt v tx )sin()cos()( 0

14、 0 0 00 t x txtx 振动解：振动解： 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 W 静平衡位置静平衡位置 k x W v 29 )( )6 .19sin(28. 1)sin()( 0 0 cmtt v tx 振动解：振动解： 绳中的最大张力等于静张力与因振动引起绳中的最大张力等于静张力与因振动引起 的动张力之和的动张力之和 ： )(1021. 2 1074. 01047. 1 5 55 max N kAWkATT s 动张力几乎是静张力的一半动张力几乎是静张力的一半 由于由于 kmv v kkA 0 为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度为了减少振动引起的动张力，应当降

15、低升降系统的刚度 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 W v 30 例：例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞 梁长梁长 L，抗弯刚度，抗弯刚度 EJ 求：求： 梁的自由振动频率和最大挠度梁的自由振动频率和最大挠度 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 m h 0 l/2l/2 31 解：解： 由材料力学由材料力学 ： 自由振动频率为自由振动频率为 ： EJ mgl 48 3 g 0 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 取平衡位置取平衡位置 以梁承受重物时的静平以梁承受重物时的静平 衡位置为坐标原点建立衡位置为坐标原点建立 坐标系坐标系 静变

16、形静变形 3 48 ml EJ m h 0 l/2l/2 x 静平衡位置静平衡位置 32 撞击时刻为零时刻，则撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：时，有： 0 x 则自由振动振幅为则自由振动振幅为 ： 2 0 0 2 0 x xA 梁的最大扰度：梁的最大扰度： A max )sin()cos()( 0 0 0 00 t x txtx 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 h2 2 ghx2 0 m h 0 l/2l/2 x 静平衡位置静平衡位置 33 例：圆盘转动例：圆盘转动 圆盘转动惯量圆盘转动惯量 I 在圆盘的静平衡位置上任意选一根在圆盘的静平衡位置上任意选一根 半径作为角位移的起点

17、位置半径作为角位移的起点位置 0 kI Ik / 0 扭振固有频率扭振固有频率 0 2 0 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘 产生单位转角所需的力矩产生单位转角所需的力矩)/(radmN k k I 由牛顿第二定律：由牛顿第二定律： 34 由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动角振动与与直线振直线振 动动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将 m、 k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完称为广义质量及广义刚度，则

18、弹簧质量系统的有关结论完 全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广 义的义的 。 0 kxx m mk / 0 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 0 kI Ik / 0 k I 0 m x 静平衡位置静平衡位置 弹簧原长位置弹簧原长位置 k 35 从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着 惯性元件惯性元件和和弹性元件弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度两种基本元件，惯性元件是感受加速度 的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产的元件，它表现为

19、系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产 生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度 或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使 固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 0 kxx m mk / 0 0 kI Ik / 0 k I 0 m x 静平衡位置静平衡位置 弹簧原长位置弹簧原长位置 k 36 例：复摆（物理摆）例：复摆（物理摆） 刚体质量刚体质量 m 对悬点的转动惯量对悬点的转

20、动惯量 0 I 重心重心 C 求：求： 复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 mg 0 I a 0 C 37 解：解： 由动量矩定律由动量矩定律 ： 0sin 0 mgaI 因为微振动：因为微振动：sin 则有则有 ： 0 0 mgaI 00 /Imga固有频率固有频率 ： 实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法 若已测出物体的固有频率若已测出物体的固有频率 ，则可求出，则可求出 ，再由移轴定，再由移轴定 理，可得物质绕质心的转动惯量：理，可得物质绕质

21、心的转动惯量： 0 0 I 2 0 maII c 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 mg 0 I a 0 C 38 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 例：弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动例：弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动 斜面倾角斜面倾角 300 质量质量 m=1kg 弹簧刚度弹簧刚度 k=49N/cm 开始时弹簧无伸长，且速度为零开始时弹簧无伸长，且速度为零 求：求： 系统的运动方程系统的运动方程 m 300 k 重力角速度取重力角速度取 9.8 39 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 解：解： x 0 以静平衡位置为坐标原点以静平衡位置为坐标原点 建立坐标系建立坐

22、标系 振动固有频率：振动固有频率： )/(70 1/1049 / 2 0 srad mk 振动初始条件：振动初始条件： 0 0 30sin mgkx)(1 . 0 0 cmx 考虑方向考虑方向 )sin()cos()( 0 0 0 00 t x txtx 0 0 x 初始速度：初始速度： 运动方程：运动方程：)()70cos(1 . 0)(cmttx m 300 k 40 能量法能量法 对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以 利用利用能量守恒原理能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系建立自由振动的微分方程，或直接求出系

23、 统的固有频率。统的固有频率。 无阻尼系统为无阻尼系统为保守系统保守系统，其，其机械能守恒机械能守恒，即动能，即动能 T 和势能和势能 V 之和保持不变之和保持不变 ，即：，即： constVT 0VT dt d 或：或： 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 41 42 弹簧质量系统弹簧质量系统 动能：动能： 2 2 1 xmT 势能：势能：mgx （重力势能）（重力势能）（弹性势能）（弹性势能） dxxk x 0 )( 0VT dt d 0)( xkxxm dxxkmgxV x 0 不可能恒为不可能恒为 0 x 0 kxx m 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 kmg 2 2

24、1 kxxkmgx 2 2 1 kx 0 m x 静平衡位置静平衡位置 弹簧原长位置弹簧原长位置 k 43 如果将坐标原点不是取在系统的静平衡如果将坐标原点不是取在系统的静平衡 位置，而是取在弹簧为自由长时的位置位置，而是取在弹簧为自由长时的位置 动能：动能： 2 2 1 xmT 势能：势能： x kxdxmgxV 0 0 xkxxmgxxm 0VT dt d mgkxxm 设新坐标设新坐标 k mg xy0 kyy m 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 2 2 1 kxmgx x 0 m x 静平衡位置静平衡位置 k 44 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 45 考虑两个特殊

25、位置上系统的能量考虑两个特殊位置上系统的能量 静平衡位置上，系统势静平衡位置上，系统势 能为零，动能达到最大能为零，动能达到最大 0 2 1 max 2 maxmax V xmT 最大位移位置，系统动最大位移位置，系统动 能为零，势能达到最大能为零，势能达到最大 2 maxmax max 2 1 0 kxV T constVT )sin()( 0 tAtx mk / 0 max0max xx 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 maxmax VTmax0max 对于转动：对于转动： x 是广义的是广义的 0 m x 静平衡位置静平衡位置 k 静平衡位置静平衡位置 最大位移位置最大位移位置

26、 xmax 0 m x k 46 例：如图所示是一个倒置的摆例：如图所示是一个倒置的摆 摆球质量摆球质量 m 刚杆质量忽略刚杆质量忽略 每个弹簧的刚度每个弹簧的刚度 2 k 求求: (1) 倒摆作微幅振动时的固有频率倒摆作微幅振动时的固有频率 (2) 摆球摆球 时，测得频率时，测得频率 为为 ， 时，测时，测 得频率为得频率为 ， 问摆球质量为多少千克时恰问摆球质量为多少千克时恰 使系统处于不稳定平衡状态？使系统处于不稳定平衡状态？ kgm9 . 0fHZ5 . 1kgm8 . 1 HZ75. 0 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 l m a k/2 k/2 47 解法解法1： 广义坐

27、标广义坐标 动能动能 222 2 1 2 1 mlIT 势能势能 maxmax UT max0max 2 2 0 ml mglka 平衡位置平衡位置1 cos1 2 1 2 1 2 2 mglakV 零平衡位置零平衡位置1 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 )( 2 1 222 mglka 2 222 2 sin211 2 1 2 1 mglka 22 )( 2 1 mglka l m a k/2 k/2 48 解法解法2： 平衡位置平衡位置2 动能动能 222 2 1 2 1 mlIT 势能势能cos 2 1 2 1 2 2 mglakV 0)(22 22 mglkaml 0 UT

28、dt d 0)(22 22 mglkaml 2 2 0 ml mglka 零平衡位置零平衡位置2 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 2 sin21 2 1 222 mglka 222 2 1 2 1 mglmglka mglmglka 22 )( 2 1 l m a k/2 k/2 49 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 例：均质圆柱例：均质圆柱 质量质量m，半径，半径R 与地面纯滚动与地面纯滚动 在在A、B点挂有弹簧点挂有弹簧 确定系统微振动的固有频率确定系统微振动的固有频率 k1 a b R k1 k2 k2 A B 50 平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能 刚体的平面运

29、动可以分刚体的平面运动可以分 解为随质心的平移和相对于质心平移参考系的转动。解为随质心的平移和相对于质心平移参考系的转动。 根据柯希尼定理根据柯希尼定理 22 2 1 2 1 zC JmvT 平面运动刚体的动能等于刚体随质心平移的动平面运动刚体的动能等于刚体随质心平移的动 能与相对于质心平移参考系的转动动能之和。能与相对于质心平移参考系的转动动能之和。 i riiCi vmvmT 22 i 2 1 )( 2 1 51 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 解：解： k1 a b R k1 k2 k2 A B 广义坐标：圆柱微转角广义坐标：圆柱微转角 圆柱做一般运动，由柯希圆柱做一般运动，由

30、柯希 尼定理，动能：尼定理，动能： 22 ) 2 3 ( 2 1 mRT C点为运动瞬心点为运动瞬心 势能：势能： C A点速度：点速度： )(aRvA B点速度：点速度： )(bRvB )(aRxA )(bRxB 22 2 22 1 )(2( 2 1 )(2( 2 1 bRkaRkU 任何质点组的总动能都可以等于质点组全任何质点组的总动能都可以等于质点组全 部质量集中质心而运动时的动能与质点组部质量集中质心而运动时的动能与质点组 中各质点相对质心运动时的动能之和中各质点相对质心运动时的动能之和 52 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 解：解： k1 a b R k1 k2 k2 A

31、B 动能：动能： 22 ) 2 3 ( 2 1 mRT 势能：势能： C 22 2 22 1 )(2( 2 1 )(2( 2 1 bRkaRkU max0maxmaxmax , UT )1 ()1 ( 3 4 2/3 )()( 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 0 R b k R a k mmR bRkaRk )1 ()1 ( 3 4 2 2 2 10 R b k R a k m 53 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 k1 R k2 M m 例：例：铅垂平面内一个滑轮铅垂平面内一个滑轮- -质量质量- - 弹簧系统弹簧系统 确定系统微振动的固有频率确定系统微振动的固有频率

32、滑轮为匀质圆柱滑轮为匀质圆柱 ，绳子不可伸，绳子不可伸 长，且与滑轮间无滑动，绳右下长，且与滑轮间无滑动，绳右下 端与地面固结。端与地面固结。 54 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 解：解： k1 R k2 M m 广义坐标：质量块的垂直位移广义坐标：质量块的垂直位移 x 动能：动能： x 2222 ) 2 )( 2 1 ( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 2 1 R x MRxMxmT 2 ) 8 1 4 1 ( 2 1 xMMm 2 ) 8 3 ( 2 1 xMm 2 1 2 2 ) 2 1 ( 2 1 2 1 xkxkU 势能：势能： 2 12 ) 4 1 ( 2 1 xkk

33、55 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 解：解： k1 R k2 M m 广义坐标：质量块的垂直位移广义坐标：质量块的垂直位移 x 动能：动能： x 2 ) 8 3 ( 2 1 xMmT 势能：势能： 2 12 ) 4 1 ( 2 1 xkkU mM kk 83 82 21 2 0 max0maxmaxmax , UT mM kk 83 82 21 0 56 瑞利法瑞利法 利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑 了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动 能，

34、因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方法在能，因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方法在 许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本 身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算 出的固有频率明显偏高。出的固有频率明显偏高。 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 m k x 0 57 例如：弹簧质量系统例如：弹簧质量系统 设弹簧的动能设弹簧的动能: 2 2 1 xmT tt 系统最大动能：系统最大动能： 2 max 2 maxmax 2 1 2 1 xmxm

35、T t 系统最大势能：系统最大势能： 2 maxmax 2 1 kxV max0max xx t mm k 0 若忽略若忽略 ，则，则 增大增大 t m 0 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 2 max )( 2 1 xmm t t m 弹簧等效质量弹簧等效质量 mt m k x 0 58 等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度 方法方法1： 选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式： 2 2 1 xMT e 2 2 1 xKV e 当当 、 分别取最大值时：分别取最大值时： x x 则可得出：则可得出： max TT max

36、 VV ee MK / 0 Ke：简化系统的等效刚度：简化系统的等效刚度Me：简化系统的等效质量：简化系统的等效质量 这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势 能分别相等能分别相等 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 59 动能动能 22 2 1 mlT 势能势能 2 2 0 ml mglka 22 )( 2 1 mglkaV 2 mlM e mglkaKe 2 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 零平衡位置零平衡位置1 l m a k/2 k/2 60 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 k1 a b R k1 k2 k2 A B

37、 动能动能 势能势能 22 ) 2 3 ( 2 1 mRT 2 2 3 mRM e 22 2 2 1 )(2()(2( 2 1 bRkaRkU 2 2 2 1 )(2()(2(bRkaRkKe 2/3 )()( 2 2 2 2 2 1 2 0 mR bRkaRk 61 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 k1 R k2 M m x 动能动能 势能势能 2 ) 8 3 ( 2 1 xMmT 2 12 ) 4 1 ( 2 1 xkkU mM kk 83 82 21 2 0 MmM e 8 3 12 4 1 kkKe 62 方法方法2：定义法：定义法 等效刚度：等效刚度：使系统在选定的坐标上产

38、生单位位移而需要在此使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此 坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的 等效刚度等效刚度 等效质量：等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在 此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上 的等效质量的等效质量 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 63 例：串联系统例：串联系统 1 1 k P 2 2 k P 总变形：总变形： P kk ) 11 ( 21 21 21 21 kk kkP Ke 21 111 kkKe 在

39、质量块上施加力在质量块上施加力 P 弹簧弹簧1变形：变形： 弹簧弹簧2变形：变形： 根据定义：根据定义： 或或 P m k1 k2 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上 施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度 64 例：并联系统例：并联系统 两弹簧变形量相等：两弹簧变形量相等： 受力不等：受力不等： 11 kP 22 kP 在质量块上施加力在质量块上施加力 P 由力平衡：由力平衡：)( 2121 kkPPP 根据定义：根据定义： 21 kk P

40、 Ke 并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和 P m k1 k2 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 m k1 k2 使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上 施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度 65 例：杠杆系统例：杠杆系统 杠杆是不计质量的刚体杠杆是不计质量的刚体 求：求： 系统对于坐标系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度的等效质量和等效刚度 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 k1 k2 m1 m2 l1 l2 l3 x 66

41、 解法解法1：能量法：能量法 动能：动能： 2 1 2 2 2 1 )( 2 1 2 1 x l l mxmT 势能：势能： 2 1 3 2 2 1 )( 2 1 2 1 x l l kxkV 2 2 1 2 2 1 m l l mM e 2 2 1 2 3 1 k l l kKe ee MK / 0 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 2 2 2 1 2 2 1 )( 2 1 xm l l m 2 2 2 1 2 3 1 )( 2 1 xk l l k 等效质量：等效质量： 等效刚度：等效刚度： 固有频率：固有频率： k1 k2 m1 m2 l1 l2 l3 x 67 解法解法2：定义

42、法：定义法 设使系统在设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力方向产生单位加速度需要施加力P 2 1 2 2111 )() 1(l l l mlmPl 2 2 1 2 2 1 m l l mPM e 设使系统在设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力坐标上产生单位位移需要施加力P 3 1 3 2111 )() 1(l l l klkPl 2 2 1 2 3 1 k l l kPKe 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 则在则在m1、m2上产生惯性力，对支座取矩：上产生惯性力，对支座取矩： 则在则在k1、k2处将产生弹性恢复力，对支点取矩：处将产生弹性恢复力，对支点取矩： P 1 2 2

43、l l m 1 1 m 1 x 1 1 k 1 3 2 l l k P 1x k1 k2 m1 m2 l1 l2 l3 x 68 阻尼自由振动阻尼自由振动 前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统 的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振 动中将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻动中将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻 尼和结构阻尼。尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方尼和结构阻尼。尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方 法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然

44、极难确定。法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。 最常用的一种阻尼力学模型是最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼粘性阻尼。在流体中低速运。在流体中低速运 动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 69 70 粘性阻尼力与相对速度称正比，即：粘性阻尼力与相对速度称正比，即： cvP d c：为粘性阻尼系数，或阻尼系数：为粘性阻尼系数，或阻尼系数 msN/单位：单位： 0kxxcxm 动力学方程：动力学方程： 02 2 00 xxx 或写为：或写为： m k 0 km c 2 固有频率固有频

45、率 相对阻尼系数相对阻尼系数 m k c 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 建立平衡位置，并受力分析建立平衡位置，并受力分析 m x c x m x 0 kx 71 动力学方程：动力学方程： 02 2 00 xxx m k 0 km c 2 令：令： t ex 特征方程：特征方程： 02 2 00 2 特征根：特征根：1 2 002, 1 三种情况：三种情况： 1 1 1 欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 72 第一种情况：第一种情况：1欠阻尼欠阻尼 动力学方程：动力学方程： 02 2 00 xxx 特征方程：特征方程： 02 2 00

46、 2 特征根：特征根：1 2 002, 1 d i 02, 1 特征根：特征根： 2 0 1 d 阻尼固有频率阻尼固有频率 有阻尼的自由振动频率有阻尼的自由振动频率 )sincos()( 21 0 tctcetx dd t 振动解：振动解： c1、c2：初始条件决定：初始条件决定 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 两个复数根两个复数根 73 1欠阻尼欠阻尼 )sincos()( 21 0 tctcetx dd t 振动解：振动解： 设初始条件：设初始条件： 0 )0(xx 0 )0(xx )sincos()( 000 0 0 t xx txetx d d d t 则：则： )sin()

47、( 0 tAetx d t 或：或： 2000 2 0 )( d w xx xA 000 01 xx x tg d 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 74 1欠阻尼欠阻尼 振动解：振动解： 2 0 1 d 阻尼固有频率阻尼固有频率 阻尼自由振动周期：阻尼自由振动周期： d d T 2 T0：无阻尼自由振动的周期：无阻尼自由振动的周期 阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 2 0 1 2 2 0 1 T )sin()sincos()( 00 000 0 tAet xx txetx d t d d d

48、 t 75 t Ae 0 t Ae 0 d T t )(tx A A 0 1欠阻尼欠阻尼 响应图形响应图形 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 振动解：振动解：)sin()sincos()( 00 000 0 tAet xx txetx d t d d d t 欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动 =0 1 时间时间 位置位置 76 不同阻尼，振动衰减的快慢不同不同阻尼，振动衰减的快慢不同 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 不同阻尼大小下的振动衰不同阻尼大小下的振动衰 减情况减情况 ：阻尼小：阻尼小 ：阻尼大：阻尼大 阻尼大，则振动衰减快阻尼大，则振动衰减

49、快 阻尼小，则衰减慢阻尼小，则衰减慢 77 评价阻尼对振幅衰减快慢的影响评价阻尼对振幅衰减快慢的影响 1 i i 与与 t 无关，任意两个相邻振幅之比均为无关，任意两个相邻振幅之比均为 衰减振动的频率为衰减振动的频率为 ，振幅衰减的快慢取决于，振幅衰减的快慢取决于 ，这两个重要，这两个重要 的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部 d 0 d i 02, 1 减幅系数减幅系数 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 定义为相邻两个振幅的比值：定义为相邻两个振幅的比值： )( 0 0 di i Tt t Ae Ae d T e 0 )sin()sinco

50、s()( 00 000 0 tAet xx txetx d t d d d t t Ae 0 t Ae 0 d T t )(tx A A 0 78 d di i T Tt t i i e Ae Ae 0 0 0 )( 1 减幅系数：减幅系数： 含有指数项，不便于工程应用含有指数项，不便于工程应用 实际中常采用实际中常采用对数衰减率对数衰减率 ： d i i T 0 1 lnln 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 t Ae 0 t Ae 0 d T t )(tx A A 0 79 实验求解实验求解 利用相隔利用相隔 j 个周期的两个个周期的两个 峰值峰值 进行求解进行求解 ji i ji

51、 i j ln 1 得：得： 2 0 0 1 2 d i i T 0 1 lnln 2 0 1 22 d d T 当当 较小时（较小时（ ） 2 . 0 2 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 )()( 1 2 1 1ji ji i i i i j 2 d T i i e 0 1 2 1 2 t Ae 0 t Ae 0 d T t )(tx A A 0 80 第二种情况：第二种情况：1 过阻尼过阻尼 动力学方程：动力学方程： 02 2 00 xxx 特征方程：特征方程： 02 2 00 2 特征根：特征根：1 2 002, 1 * 02, 1 特征根：特征根： 1 2 0 * 两个不等的

52、负实根两个不等的负实根 振动解：振动解： c1、c2：初始条件决定：初始条件决定 )()( * 2 * 1 0 tshctchcetx t 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 2 xx ee shx 2 xx ee chx 81 1 过阻尼过阻尼 振动解：振动解： 设初始条件：设初始条件： 0 )0(xx 0 )0(xx 则：则： )()( * 2 * 1 0 tshctchcetx t )()( * * 000* 0 0 tsh xx tchxetx t 一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动

53、响应图形响应图形 )(tx 0 x t 0 82 第三种情况：第三种情况：1 临界阻尼临界阻尼 动力学方程：动力学方程： 02 2 00 xxx 特征方程：特征方程： 02 2 00 2 特征根：特征根：1 2 002, 1 02, 1 特征根：特征根：二重根二重根 振动解：振动解： c1、c2：初始条件决定：初始条件决定 )()( 21 0 tccetx t 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 83 振动解：振动解：)()( 21 0 tccetx t 1 临界阻尼临界阻尼 0 )0(xx 0 )0(xx 则：则： 仍然是按指数规律衰减仍然是按指数规律衰减 的非周期运动的非周期运动 )

54、()( 0000 0 txxxetx t km c 2 临界阻尼系数临界阻尼系数 cr c kmccr2 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 设初始条件：设初始条件： 响应图形响应图形 )(tx 0 x t 0 84 t x(t) 2 . 0 1 4 . 1 临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些 三种阻尼情况比较：三种阻尼情况比较： 1 1 1 欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼 欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动 过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生过阻尼是一种按指数

55、规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 85 小结：小结：0kxxcxm 动力学方程动力学方程 1欠阻尼欠阻尼 1 过阻尼过阻尼 1临界阻尼临界阻尼 )sincos()( 000 0 0 t xx txetx d d d t 2 0 1 d )()( * * 000* 0 0 tsh xx tchxetx t 1 2 0 * 按指数规律衰减的非周期蠕动按指数规律衰减的非周期蠕动 )()( 0000 0 txxxetx t kmccr2按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快 振幅衰减振动振幅衰减振动 86 例：阻尼缓冲器例：阻尼缓冲器 静载荷静载荷 P

56、去除后质量块越过去除后质量块越过 平衡位置得最大位移为初始平衡位置得最大位移为初始 位移的位移的 10 求：求： 缓冲器的相对阻尼系数缓冲器的相对阻尼系数 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 k c x 0 x0 P m 平衡位置平衡位置 87 解：解： 由题知由题知 0)0( x 设设 0 )0(xx )sincos()( 000 0 0 t xx txetx d d d t 求导求导 ：te x tx d t d sin)( 0 0 2 0 设在时刻设在时刻 t1 质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为： 0sin)( 1 0 2 0 10

57、 te x tx d t d d t 1 即经过半个周期后出现第一个振幅即经过半个周期后出现第一个振幅 x1 2 10 1 0011 )( exextxx t 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 k c x 0 x0 P m 平衡位置平衡位置 88 由题知由题知 %10 2 1 0 1 e x x 解得：解得：59. 0 2 10 1 0011 )( exextxx t 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 89 例：例： 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 刚杆质量不计刚杆质量不计 求：求： （1）写出运动微分方程）写出运动微分方程 （2）临界阻尼系数，阻尼固有频率）临界阻尼

58、系数，阻尼固有频率 小球质量小球质量 m l a k cm b 90 解：解： 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 阻尼固有频率：阻尼固有频率： 无阻尼固有频率：无阻尼固有频率： m 广义坐标广义坐标 0bbkaacllm 力矩平衡：力矩平衡： 0 222 kbcaml 2 2 0 ml kb m k l b 0 2 2 2 ml ca 0 2 2 2 ml ca k m mlb ca 2 2 2 0 1 d 4222 2 4 2 1 aclkmb ml 1mk a bl ccr 2 2 受力分析受力分析 ac bk lm 02 2 00 xxx 0kxxcxm l a k cm b 9

59、1 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 阻尼在所有振动系统中是客观存在的阻尼在所有振动系统中是客观存在的 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 大多数是非粘性阻尼，其性质各不相同大多数是非粘性阻尼，其性质各不相同 非粘性阻尼的数学描述比较复杂非粘性阻尼的数学描述比较复杂 处理方法之一：处理方法之一： 采用能量方法将非粘性阻尼简化为等效粘性阻尼采用能量方法将非粘性阻尼简化为等效粘性阻尼 原则：原则： 92 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 通常假设在简谐激振力作用下非粘性阻尼系统的稳态响应仍然通常假设在简谐激振力作用下非粘性阻尼系统的稳态响应仍然 为简谐振动为简谐振动 该假设只有在非粘性阻尼比

60、较小时才是合理的该假设只有在非粘性阻尼比较小时才是合理的 粘性阻尼在一个周期内消耗的能量粘性阻尼在一个周期内消耗的能量 可近似地利用无阻尼可近似地利用无阻尼 振动规律计算出：振动规律计算出： E dxxcE )sin()( 0 tAtx T dttAc 0 0 222 0 )(cos 22 0 Ac 目的是为了采用该式计算等效粘性阻尼系数目的是为了采用该式计算等效粘性阻尼系数 讨论以下几种非粘性阻尼情况：讨论以下几种非粘性阻尼情况： 干摩擦阻尼干摩擦阻尼平方阻尼平方阻尼结构阻尼结构阻尼 2 0 T cx dt 0 T d EF dx 93 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 （1）干摩擦