华中科技大学 流体力学第五章_2

1、习习 题题 过热蒸汽： =1.33，R = 462 J/(kgK) 5.3 5.3 一元等一元等熵流动的基本关系熵流动的基本关系 1 1滞止状态滞止状态 沿着流线，各流动参数是变化的，但在等熵条件下 焓与动能之和为常数。下面考察几种特殊的流动状态。 滞止状态滞止状态 - 气体流动速度为零的状态 动能为零，焓达到最大值，此时气体 的焓就是流体的总能量。 例例 大容器中的气体就近似处于滞止状态。 滞止参数滞止参数 - 滞止状态下的流动参数 p0，0，T0，c0 等 2 2 p u c TC 2 0 2 pp u c Tc T 能量方程 由于 cpT0 就是总能量，所以 T0 也称为总温。 2 0

2、1 1 2 p Tu Tc T 2 1 p c c T u Ma c 2 0 1 1 2 T Ma T 2 2 p u c TC 对于等熵流动 1 1 2 0 1 1 2 Ma 1 2 0 1 1 2 p Ma p 1 1 2 1 2 1 T T 1 2 1 2 1 T T p p 2 0 1 1 2 T Ma T 150 0.4410 1.4 287 288 u Ma RT 2 0 2 1 1 2 1.4 1 28810.441 K299.2 K 2 TTMa 例例 一元等熵空气气流某点流动参数为： u = 150 m/s， T = 288 K, p = 1.3105 Pa，求此气流的滞止参

3、数 p0 、0、T0 和 c0。 4 . 1K)J/(kg 287R 解解 空气 ， ，所以 1.4 11.4 1 00 299.2 1.1429 288 pT pT 55 0 1.14291.1429 1.3 10 Pa1.4858 10 Papp 5 33 0 0 0 1.489 10 kg/m1.7303 kg/m 287299.2 p RT 00 1.4287299.2 m/s346.73 m/scRT 例例 飞机在海拔11000 m高度以马赫数 Ma = 2.5飞行， 当地大气温度 T = 216.7 K。假设流动绝热，求机 翼表面气流的最高温度。 2 0 2 1 1 2 1.4 1

4、 216.712.5 K487.6 K 2 TTMa 解解 机翼固定，空气以 Ma = 2.5流向机翼，机翼前缘 驻点温度最高，也就是滞止温度 T0 。 高超声飞行器表面会产生严重的烧蚀问题， 这里只涉及压缩产生的温度，不涉及摩擦。 2 2 0 u pp 1 2 0 1 1 2 ppMa 不考虑质量力，伯努利方程为 现在考虑流体的压缩性，分析不同马赫数情况下 它的误差。 伯努利方程C g u g p z 2 2 是在忽略压缩性的前提下推导的。 2 0 2 ppu ggg 1 2 0 1 1 2 p Ma p 224 0 2 24 2 24 12 11 2424 12 11 2424 12 1

5、2424 ppMaMaMa u pMaMa p u pMaMa 2 1 1 2 Ma 在马赫数较低时， , 可将上式展开为无穷级数， 忽略流体压缩性则相当于忽略括号中-部分。 1 2 0 1 1 2 ppMa 2 2 0 u pp 222 2 2 222 2 uuu Ma p cp 马赫数确实可以被作为判断气体压缩性大小的 指标，对于 Ma 0.2 的低速气流，通常可以忽 略气体的压缩性。 24 12 0.01 424 MaMa 当 Ma 0.2，采用不可压缩伯努利方程计算压强所 产生的相对误差小于约 1%。 例例 当 Ma = 0.2 2 24 0 12 1 2424 u ppMaMa 2

6、2临界状态临界状态 临界参数临界参数 - 临界状态下的流动参数 临界状态临界状态 - 气体流动等于当地声速的状态 u*= c*，p*，*，T* 等 222 20 1 12121 cuc c 能量方程 u*= c* 2 2 00 2 1 Tc Tc 1 1 0 1 2 1 0 1 2 p p 2 20 1 121 c c 1 1 2 1 2 1 T T 1 2 1 2 1 T T p p 152 0.4155 1.4 287 333 u Ma RT 例例 空气在管道中作绝热无摩擦流动，已知某截面上流 动参数为 T = 333 K ， p = 207 kPa，u = 152 m/s，求 临界参数

7、T*、p*、*。 解解 绝热无摩擦流动就是等熵流动。先求马赫数，再求 T*、p*、* 。 4 . 1K)J/(kg 287R对于空气， ， 。 33 123.15 kg/m1.4947 kg/m 287287.08 p RT 22 0 0 11.41 110.4155 / 22 0.8621 11.41 / 22 Ma TTT TTT 0.86210.8261 333 K287.08 KTT 1.4 1 1.4 1 207 0.8621 kPa123.15 kPa T pp T 速度系数速度系数 - 流体流动速度与临界声速之比。 u c 22 2220 22 0 Tu cTT MaMa TT

8、Tc c 0 2 1 T T 2 0 1 1 2 T Ma T 2 2 2 1 21 Ma Ma 2 2 2 2 11 Ma 或者 2 2 2 1 21 Ma Ma 2 2 2 2 11 Ma 或者 Ma 1 1 当 Ma ， Ma 对于亚声速流动： ， ； 对于声速流动： ， ； 对于超声速流动： ， 。 1 1 1 1Ma 1Ma 1Ma 3 3最大速度状态最大速度状态 最大速度状态最大速度状态 - 气体流动达到最大值的状态 动能达到最大值，焓为零，此时气体的动能 就是流体的总能量。它是相对于滞止状态的 另一极端状态。 2 max 0 21 uR T 能量方程 22 max 122 uRu

9、 T 或者 2 2 0max 1 Tu Tu 1 2 1 2 0max 1 u u 2 1 2 0max 1 pu pu 22 max 0 22 pp uu c Tc T 1 1 2 1 2 1 T T 1 2 1 2 1 T T p p 5.4 5.4 一元等一元等熵气流在变截面管中的流动熵气流在变截面管中的流动 研究变截面管中平均物理量沿流动方向的变化。 1 1气流参数与通道截面积之间的关系气流参数与通道截面积之间的关系 xu A(x) 连续性方程 ddd 0 uA uA 2 22 ddd1 dd d d ppuu uMa pccu 2 dd 1 uA Ma uA 运动方程 1 ddu u

10、p ddd 0 uA uA 该式描述了气流速度随通道截面积变化的规律。 亚声速流动 Ma 1： 2 10Ma 2 dd 1 uA Ma uA du 和 dA 符号相反， 当 A 增大时， u 减小； 当 A 减小时， u 增大。 按照不同的马赫数范围讨论。 Ma 1： 2 10Ma du 和 dA 符号相同， 当 A 增大时， u 增大； 当 A 减小时， u 减小。 2 dd 1 uA Ma uA Ma 1 慢慢快快 声速流动 Ma = 1： 2 10Ma 2 dd 1 uA Ma uA 必有 dA = 0 声速流动只有可能出现在管截面积的极小处。 Ma 1 Ma = 1 Ma = 1 Ma

11、 1 亚声速气流在收缩管中作加速运动，但其极限值是 声速，在扩散管中作减速运动。这与不可压缩流体 管道流动的变化趋势相同。 超声速气流在收缩管中作减速运动，在扩散管中 作加速运动。这与不可压缩流体管道流动的变化 趋势相反。 声速流动只有可能出现在管截面积的极小处。 如果要把亚声速气流加速到超声速，只能采用缩 放管；在收缩段亚声速气流加速，并在管喉部达 到声速，随后，气流进入扩散段后继续加速，从 而达到超声速。 ddp p 管道截面积变化对与定常等熵气流中各流动参数的影响。 ddd 0 uA uA 2 2 1ddMaA MaA 2 2 1ddMapA MapA d d pp 2 ddu Ma u dddd 1 Tp Tp TRp ddp p 2 2 1dd 1 MaTA MaTA dp、d 和 dT 都与 du 的符号相反。 2 2 1ddMaA MaA u p、 、T Ma 1 管道截面积与定常等熵气流中马赫数的关系: cRT 1 1 11 22 T T 等熵 1 2 11 111 22 222 uMacMaT uMa cMaT 211 122 Au Au 连续性 1 11222 u Au A 1 21 21111 12222