大学物理竞赛力学辅导2016

1、力力 学学 基基 本本 概概 念念 及及 补补 充充 力学部分力学部分主要公式主要公式： （1). 牛顿第二定律牛顿第二定律 F dt Pd （2). 角动量定理角动量定理 M dt Ld 对于质点对于质点,角动量角动量PrL 对于刚体对于刚体,角动量角动量 JL (3). 保守力与势能关系保守力与势能关系 p EF (4). 三种势能三种势能 重力势能重力势能mgzE p 弹性势能弹性势能 2 2 1 kxE p 万有引力势能万有引力势能 r Mm GE p (5). 保守力的特点保守力的特点 0 L rdF 作功与路径无关作功与路径无关 (6). 势能的定义势能的定义 某个位置处的势能计算

2、：某个位置处的势能计算： 从这个位置移动到势能零点处，保守力所做的功。从这个位置移动到势能零点处，保守力所做的功。 0 0 0 = abpapb pbpaaC a AEE If EEAFdr ， o )(hEp h k E p E H H E 重力势能重力势能 k E p E E )(xEp x A B o 弹性势能弹性势能 x p E E o 0k E k E p E 引力势能引力势能 ( ) p Ehmgh 2 1 ( ) 2 p Exkx ( ) p Mm ErG r 势能曲线的作用：势能曲线的作用： （1 1）根据势能曲线的形状可以）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动讨论物体的运动。

3、 （2 2）利用势能曲线，可以）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向所受保守力的大小和方向。 ppp EEEA)( 12 p EAdd xFAdcosdx E F p x d d 表明：表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此 坐标的导数的负值坐标的导数的负值。 (7).转动动能转动动能 2 1 2 J (8).转动定律转动定律 FrM vr d d MJJ t 2 1 () N ii i Jrm (9).转动惯量转动惯量 mrJd 2 ddml ddmS ddmV ar 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动 一、刚体

4、的平面平行运动一、刚体的平面平行运动 定义：定义：当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保 持一定的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平持一定的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平 面运动，这就叫刚体的平面平行运动。面运动，这就叫刚体的平面平行运动。 根据平面运动的定义，刚体平面运动的自由度根据平面运动的定义，刚体平面运动的自由度 有三个，两个坐标决定质心位置，一个坐标决定转有三个，两个坐标决定质心位置，一个坐标决定转 动角度。动角度。 刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相 对于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加

5、。对于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。 主要讨论圆形物体在平面上或曲面上的滚动。通常主要讨论圆形物体在平面上或曲面上的滚动。通常 质心就在圆的中心。质心就在圆的中心。 二、滚动二、滚动 几种滚动的形式：几种滚动的形式： 有滑滚动有滑滚动：接触面之间有相对滑动的滚动：接触面之间有相对滑动的滚动 无滑滚动（纯滚动）无滑滚动（纯滚动）：接触面之间无相对滑动的滚动。：接触面之间无相对滑动的滚动。 车轮的纯滚动车轮的纯滚动 对于纯滚动，除了要满足前面的两个公式以外，还对于纯滚动，除了要满足前面的两个公式以外，还 应该满足应该满足约束条件约束条件： C vR C aR 对于平面上的滚动，上式中对于平

6、面上的滚动，上式中 、 是圆心（通常就是圆心（通常就 是质心）的速度和加速度大小；是质心）的速度和加速度大小； 和和 为滚动物体的角为滚动物体的角 速度和角加速度（物体在质心参考系中的角速度和角加速度和角加速度（物体在质心参考系中的角速度和角加 速度）；速度）； 是滚动物体的圆半径。是滚动物体的圆半径。 对于曲面上的滚动，式中的对于曲面上的滚动，式中的 应理解为圆心的切向应理解为圆心的切向 加速度。加速度。 C v C a R C a 车轮的纯滚动车轮的纯滚动 C v A R G R B R A B G A RB R 车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系车轮中心前进的距离与质心转过的角度的

7、关系 Rx 则则 Rvc 总结总结 I Fh IFh m F amaF 00 此时：这样看待圆柱体的运动：此时：这样看待圆柱体的运动： O点以过点以过O 点为瞬心轴转动。点为瞬心轴转动。 若：若： ，即：相对运动趋势向前，即：相对运动趋势向前， 向后。向后。 ra 0 0 f 1 2 r h ，即：相对运动趋势向后，即：相对运动趋势向后， 向前。向前。 ra 0 0 f 1 2 r h ，即：无相对运动趋势，即：无相对运动趋势， ra 0 0 0 f 1 2 r h 关于关于“纯滚动纯滚动”问题，问题，判断静摩擦力方向判断静摩擦力方向：静摩擦力与相对运动趋势相反。：静摩擦力与相对运动趋势相反。

8、 （1）求质心的运动求质心的运动。 利用质心运动定律，设质心在利用质心运动定律，设质心在Oxy平面内运动，平面内运动， 则有平动方程则有平动方程 Cxx maF Cyy maF zC MJ 刚体平面平行运动的求解刚体平面平行运动的求解: （2）在质心坐标系中讨论刚体绕通过质心并垂直于在质心坐标系中讨论刚体绕通过质心并垂直于 空间固定平面的轴转动空间固定平面的轴转动。 zC LJ （3）纯滚动约束方程纯滚动约束方程。 C vR C aR 例题例题 讨论一匀质讨论一匀质 实心的圆柱体在斜面实心的圆柱体在斜面 上的运动。上的运动。 N aCx G=mg r x y O fr 解解 圆柱体所受的力共有

9、三个：圆柱体所受的力共有三个： 重力重力G ，斜面的支承力，斜面的支承力N 和和 摩擦力摩擦力f r，如图所示。设圆柱体的质量为，如图所示。设圆柱体的质量为m，半径，半径 为为r，那么，它对其几何的转动惯量，那么，它对其几何的转动惯量 2 2 1 mrJ 这样可得这样可得 rC fmgma x sin cosmgNma y C rfJ r 以上三式中，以上三式中，aCx x和和aCy是圆柱体质心在是圆柱体质心在x x轴和轴和y y轴方轴方 向的加速度，向的加速度， 是圆柱体对其通过质心的几何轴转是圆柱体对其通过质心的几何轴转 动的角加速度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑动的角加速度。因斜面粗糙

10、，圆柱体下降时没有滑 动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时 0 y C ma 解上列五个式子，得解上列五个式子，得 0 y C ma 我们取和斜面平行而向下的方向为我们取和斜面平行而向下的方向为x轴的方向，和轴的方向，和 斜面垂直而向上为斜面垂直而向上为y轴的方向轴的方向 ， 2 1 sin mr J g a x C r mr J g 2 1 sin ，sin 2 mg Jmr J fr cosmgN 代入上式得代入上式得因因 2 2 1 mrJ r g sin 3 2 ，sin 3 1 mgfr ，sin 3 2 ga x C 如果这圆柱体从静止开始沿斜面

11、滚下一段距离如果这圆柱体从静止开始沿斜面滚下一段距离x ，与之相应，下降的竖直距离是，与之相应，下降的竖直距离是h=xsin ，这时质心，这时质心 的速度由的速度由 ghgxxav x C 3 4 sin 3 4 2 2 求得求得ghv 3 4 如果斜面是光滑的，对圆柱体没有摩擦力，即如果斜面是光滑的，对圆柱体没有摩擦力，即 fr=0，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是 singa x C 而圆柱体对质心的角加速度与角速度为而圆柱体对质心的角加速度与角速度为 ，0 0 如果圆柱体从静止沿斜面下滑的距离也是如果圆柱体从静止沿斜面下滑的距离也是 x x，则质心所获得的速度由

12、，则质心所获得的速度由 ghgxxav x C 2sin22 2 求得求得ghv2 在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中，在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中， 我们看到，两者加速度之比是我们看到，两者加速度之比是2/32/3，两者速度，两者速度 之比是之比是 3 2 本题也可用机械能守恒定律讨论本题也可用机械能守恒定律讨论。圆柱体在斜面。圆柱体在斜面 上作纯粹滚动下落时，所受到的斜面的摩擦力和正压上作纯粹滚动下落时，所受到的斜面的摩擦力和正压 力都不作功，满足机械能守恒的条件。圆柱体从静止力都不作功，满足机械能守恒的条件。圆柱体从静止 滚下，它没有初动能，只有重力势能滚下，它没有初动能，只有重力

13、势能mgh，当它滚动当它滚动 下降这段高度时，全部动能是下降这段高度时，全部动能是 22 2 1 2 1 Ck JmvE C 对纯粹滚动而言，对纯粹滚动而言，vc=r ，以此代入得，以此代入得 2 2 1 2 1 C v mr J mE C k 由机械能守恒定律得由机械能守恒定律得 2 2 1 2 1 C v mr J mmgh C 求得求得 2 1 2 mr J gh v C C 代入上式得代入上式得因因 2 2 1 mrJ ghv 3 4 和以前的结果完全一致。和以前的结果完全一致。 例例 一质量为一质量为m、半径为、半径为R R 的均质圆柱，在水平外力的均质圆柱，在水平外力 作用下，在粗

14、糙的水平面上作纯滚动，力的作用线作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线 与圆柱中心轴线的垂直距离为与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所示。求质心，如图所示。求质心 的加速度和圆柱所受的静摩擦力。的加速度和圆柱所受的静摩擦力。 解：设静摩擦力解：设静摩擦力f f 的方向如图所示，则由质心运的方向如图所示，则由质心运 动方程：动方程： C mafF 圆柱对质心的转动定律圆柱对质心的转动定律 C JRflF 纯滚动条件为纯滚动条件为 RaC 圆柱对质心的转动惯量为圆柱对质心的转动惯量为 F aC 2 2 1 mRJ C 联立以上四式，解得联立以上四式，解得 mR lRF aC 3 )(2 F

15、R lR f 3 2 由此可见由此可见 l0, 静摩擦力向后静摩擦力向后 lr/2, f 0 ) 观察者接收到的频率：观察者接收到的频率： R u u /n + = v 观察者观察者向向波源运动波源运动 s Rs R u u v R R u v u u R v 观察者观察者远离远离波源波源 R Rs u u v 观察者观察者相对波源运动时相对波源运动时 u u R R RsRs v 若观察者接近波源若观察者接近波源 R R 为正，远离为负为正，远离为负 2. 观察者不动，波源相对介质以速度观察者不动，波源相对介质以速度 s v运动运动 A s s T s v T s s v 波源波源向向观察者

16、运动观察者运动 观察者接收到的频率观察者接收到的频率 () s uTv s s u v Rs s u u v uu u wsws s s v RwRw 3. 波源与接收器同时相对介质运动波源与接收器同时相对介质运动 u u R R RsRs s s v v 观察者接收到的频率观察者接收到的频率 波源和观察者波源和观察者相向相向运动时运动时 R R v S S v和和均取正值均取正值 波源和观察者波源和观察者相背相背运动时运动时 R R v S S v 和和均取负值均取负值 波源波源远离远离观察者观察者Rs s u u v s u u R Rs s v 波源波源相对相对观察者观察者运动时运动时

17、若波源接近观察者若波源接近观察者 s s 为正，远离为负为正，远离为负 例例 一个观察者站在铁路附近，听到迎面开来的一个观察者站在铁路附近，听到迎面开来的 火车汽笛声为火车汽笛声为A4音音(频率为频率为440 Hz)，当火车驶过，当火车驶过 他身旁后，汽笛声降为他身旁后，汽笛声降为 G4 音音(频率为频率为392 Hz)，问，问 火车的速率为多少火车的速率为多少 ? 已知空气中的声速为已知空气中的声速为 330 m/s。 解：设汽笛原来的频率为解：设汽笛原来的频率为 0， 当火车驶近观察者时，接收到的频率为当火车驶近观察者时，接收到的频率为 ， = V 0 / ( V - u ) 当火车驶过观

18、察者后，接收到的频率为当火车驶过观察者后，接收到的频率为 ， = V 0 / ( V + u ) / = ( V + u ) / ( V- u ) 火车速率火车速率 u = ( - ) V/ ( + ) = 19 m/s kHz110 1 ms330 u.已知空气中的声速为已知空气中的声速为的频率为的频率为 R v 解：解：1）车为接收器）车为接收器 u u R v 例题例题12 利用多普勒效应监测车速，固定波源发出利用多普勒效应监测车速，固定波源发出 求车速求车速 . kHz100频率为频率为的超声波，当汽车向波源行驶时，的超声波，当汽车向波源行驶时， 与波源安装在一起的接收器接收到从汽车反

19、射回来的波与波源安装在一起的接收器接收到从汽车反射回来的波 2）车为波源）车为波源 S vu u R S u u v v 车速车速 RS vv 1 8 .56 hkmu 电磁波的传播不依赖弹性介质，波源和观测者电磁波的传播不依赖弹性介质，波源和观测者 之间的相对运动速度决定了接听到的频率。电磁波之间的相对运动速度决定了接听到的频率。电磁波 以光速传播，在涉及相对运动时应考虑相对论时空以光速传播，在涉及相对运动时应考虑相对论时空 变换关系。变换关系。 当波源和观测者在同一直线上运动时，得到当波源和观测者在同一直线上运动时，得到 c vv c R RS S v v 波源和接收器之间相对运动的速度波

20、源和接收器之间相对运动的速度。v 振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用 下所作的振动，称为下所作的振动，称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动。 在回复力和阻力作用下的振动称为在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动阻尼振动。 对在流体对在流体( (液体、气体液体、气体) )中运动的物体，当物体速度中运动的物体，当物体速度 较小时，阻力大小正比于较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示为速度，且方向相反，表示为 f d d x Fv t ：阻力系数阻力系数 物体的形状、大小、和介质的性质决定物体的形状、大小、和介质的性质决定 在阻力作用下的弹簧振子在

21、阻力作用下的弹簧振子 受力：受力： 运动方程运动方程: : 引入引入固有角频率固有角频率 2 0 k m 在在小阻尼条件小阻尼条件下下 ，微分方程的解为，微分方程的解为: :)( 0 其中其中 阻力阻力 f Fkx弹性恢复力弹性恢复力 2 2 dd dd xx mkx tt 2 2 0 2 dd 20 dd xx x tt 00 ecos() t xAt 22 0 2 m ，阻尼系数阻尼系数 余弦项余弦项表征了表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动在弹性力和阻力作用下的周期运动； 反映了反映了阻尼对振幅的影响阻尼对振幅的影响。 t e t A e 0 t x O 00 ecos() t xAt

22、0 A 0 其中其中和和为积分常数为积分常数, ,由初始条件决定。由初始条件决定。上式中的上式中的 阻尼振动的阻尼振动的准周期性振动准周期性振动 阻尼振动阻尼振动不是周期性振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因位，更不是简谐振动，因位 移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。 位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振阻尼振 动的周期动的周期，有，有 显而易见，显而易见，由于阻尼，振动变慢了由于阻尼，振动变慢了。 阻尼振动的振幅为：阻尼振动的振幅为： 阻尼振动振幅的衰减程度。阻尼振动振幅的衰减程度。 22

23、0 0 222 T 0 e t AA 振幅随时间作指数衰减振幅随时间作指数衰减。阻尼。阻尼大小决定了大小决定了 000 00000000 cos cossinsin xA vAAxA 00 ecos() t xAt 0 A 0 其中其中和和为积分常数为积分常数, ,由初始条件决定。由初始条件决定。 22 00 00 00 0 0 () () tan vx Ax vx x 即得即得 的所在象限可由的所在象限可由 的符号确定的符号确定。 0 0 cos 阻尼振动阻尼振动的能量仍然等于动能与势能之和，但的能量仍然等于动能与势能之和，但总总 能量不再是常量能量不再是常量： 22 11 22 Ekxmx

24、 00 ecos() t xAt 00 00 ecos() esin() t t xAt At 0 00 esin() t xAt 222 00 2222 00 1 cos () 2 1 sin () 2 t t EkA et mA et 22 0 222222 0000 11 22 tt kmm EmA eE emA 可见可见阻尼很小时阻尼很小时，能量仍然与，能量仍然与 时刻的振幅平方时刻的振幅平方 成正比。成正比。 t 0 t AA e 其中 2 E Q E 阻尼系数阻尼系数的大小反映了阻尼的大小。也可以用一的大小反映了阻尼的大小。也可以用一 周中振子损失的能量在总能量中所占的比例来描写阻

25、周中振子损失的能量在总能量中所占的比例来描写阻 尼的大小。通常定义时刻尼的大小。通常定义时刻 振子的能量振子的能量 与经过一周与经过一周 后损失的能量后损失的能量 之比的之比的 倍为振子的倍为振子的品质因数品质因数 。 Q tE E2 2 1 2 1 t Q e 0 2 22 Q t 小阻尼（小阻尼（ 欠阻尼欠阻尼）情况下，由上式可得）情况下，由上式可得 0 阻尼振动的三种情形：阻尼振动的三种情形： 临界阻尼临界阻尼 过阻尼过阻尼 欠阻尼欠阻尼 欠阻尼欠阻尼 过阻尼过阻尼 临界阻尼临界阻尼 0 0 0 x O t 通过控制阻尼的大小，通过控制阻尼的大小， 以满足不同实际需要。以满足不同实际需要

26、。 应用应用：1、机器加大摩擦阻尼、机器加大摩擦阻尼 3、灵敏电流计临界阻尼灵敏电流计临界阻尼 2、弦乐器加大辐射阻尼、弦乐器加大辐射阻尼 解：解：第一宇宙速度（环绕速度）第一宇宙速度（环绕速度） 设在地球表面外某一高度的设在地球表面外某一高度的P 点发射飞行器，发射速度为点发射飞行器，发射速度为v1，方方 向和地面平行。当向和地面平行。当v1的值使机械能的值使机械能 E0; 因此有因此有, 0 0 0 )0(xeeexx cc t exx 0 t exxa 0 22 由此可得由此可得 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 解解 210 PPghPP 液 GNN

27、21 容器对地面的压力等于液体的重力容器对地面的压力等于液体的重力, 对面对容器的支持力等于压力对面对容器的支持力等于压力, 因而也等于液体的重力因而也等于液体的重力. 所以有所以有 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 解解: (1) 对物块对物块A和和B分别列牛顿第二定律方程分别列牛顿第二定律方程 A T a B mBg T a a0 amTA A :)(: 0 aamgmTB BB )( 0 aamgmam BBA gmamamam BBBA 0 )( 0 0 ga mm m mm gmam a BA B BA BB 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞

28、赛全国部分地区大学物理竞赛 解解: (2) (i) 对物块对物块A和和B(向下运动向下运动)分别列牛顿第二定律方程分别列牛顿第二定律方程 )(: 0 aamTA A 0 ;:amFamfTgmB BBB Ff BA BAB mm ammgm a 0 )( B mBg T A T a a a0 f F 由上述三个方程可得由上述三个方程可得, amamaamgm BBAB 00) ( 0 )(ammgmamam BABAB BA B mm gm aaB 0 0不向下运动则要 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 (ii) 对物块对物块A和和B(向上运动向上运动)分别列

29、牛顿第二定律方程分别列牛顿第二定律方程 )(: 0 aamTA A 0 ;:amFamfgmTB BBB Ff BA BBA mm gmamm a 0 )( B mBg T A T a a a0 f F 由上述三个方程可得由上述三个方程可得, amamgmaam BBBA 00 )( 动说明物体不可能向上运;0amm AB amamgmamam ABBBA 00 综合以上综合以上(i)和和(ii)的分析的分析, 可得要可得要B不动必须不动必须 BA B mm gm a 0 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 BA BBA mm gmamm a 0 )( B mB

30、g T A T a a a0 f F 综合以上综合以上(i)和和(ii)的分析的分析, 可得要可得要B不动必须不动必须 BA B BA B mm gm a mm gm 0 (iii) 如果没有题设的条件如果没有题设的条件 B A m m 则物体则物体B有可能有可能会向上运动会向上运动, 此时有此时有a0 要使物体要使物体B不向上运动不向上运动, 则必须则必须 a0; 即即 gmamm BBA 0 )( BA B mm gm a 0 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 解解: 1、2间的线剪断后间的线剪断后, 1和和2 向左运动向左运动, 3向右运动向右运动. )

31、2( 4 3 )2(44 2 2 1 2 1 2 1 0 2 0 2 0 2 2 3 2 2 2 1 l q l q l q mmm 运动过程中只有静电场力做功运动过程中只有静电场力做功, 因此能量守恒因此能量守恒, 即即 3 1 2 v3 v1 v2 当三个小球在竖直方向成一直线时当三个小球在竖直方向成一直线时, 3的速度为最大的速度为最大. ) 1 (;0 21321 且mmm 三个小球组成的系统所受合外力为零三个小球组成的系统所受合外力为零, 动量守恒动量守恒, 即即 由由(1)式得式得, 123 22 代入代入(2)式得式得, l q mm 0 2 2 3 2 3 42 1 2 1 4

32、 1 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 3 1 2 v3 v1 v2 l q mm 0 2 2 3 2 3 42 1 2 1 4 1 l q m 0 2 2 3 42 1 4 3 由此可得球由此可得球3的最大速度的最大速度, lm q 0 2 max3 6 3 1 2 v3 v1 v2 3 1 2 3 1 2 v3 v1 v2 系统在运动过程中系统在运动过程中, 合外力为零合外力为零, 质心不动质心不动. 因此因此3运动的最大距离为运动的最大距离为 ll m lm s 3 32 2 3 3 4 3 30cos2 2 0 max CCC 第第 25 届届 全国部

33、分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 解解 (1) 设设B在在t时间内从时间内从A点运动到点运动到C点点 22 1 )( cos tL t SC AC B在在C与与S的连线方向的速度为的连线方向的速度为 S A C v v1 B 根据多普勒效应根据多普勒效应, 观察者观察者B远离波源远离波源S, 因此因此B接收的频率为接收的频率为 方向的速度是观察者在与波源连线 00 0 u u 代入代入v1得得, 0 22 0 1 ) )( 1 ( tL t uu u 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 解解 (2) B在在t时间内接收到的振动次数为时间内接收到的振动次

34、数为 tt dt tL t u dttN 0 0 220 ) )( 1 ()( S A C v v1 B t td tL t u t 022 0 0 )() )( t tL u t 0 22 0 0 )( )( 22 0 0 LtL u t 0 22 ) )( ( u LtL t 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 4 L xc解解(1) 滑动前滑动前, 软绳的质心坐标软绳的质心坐标 L xLxLxx xc )(2/)()2/( 滑动后滑动后, 软绳的质心坐标为软绳的质心坐标为 )22( 2 1 2 )( 2 1 22 2 2 xLxL LL xL x L 质心

35、下落的高度为质心下落的高度为 4 )22( 2 1 22 L xLxL L xxxh ccc L x xL 2 4 1 x 0 x 0 C C 解题方法见解题方法见 上册上册P56 例例2 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 质心下落的高度为质心下落的高度为 L x xLh 2 4 1 MghM 2 2 1 由能量守恒得由能量守恒得 )44( 4 2) 4 1 (22 22 2 2 xLxL L g L x xLggh 2 )2( 2 xL L g L g xLxL L g 2 )2()2( 2 2 由此可得软绳的速度为由此可得软绳的速度为 此时此时, 软绳的总

36、动量为软绳的总动量为 xxLPPP xxL )( L g L M xL L g xLxL L M 2 )2( 2 )2)(2( 2 x 0 x 0 C C Mg N由动量定理由动量定理 dt dP F 合 可得在坚直方向有可得在坚直方向有, 2 )2( 2 L g L M xL dt d dt dP NMg L g L M xL 2 )2(4 L g L M dt dx xL 2 )2)(2(2 L g L M xL L g xL 2 )2( 2 )2(4 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 L g L M xL L g xLNMg 2 )2( 2 )2(4 M

37、g N 当当N=0时时, 有有 2 2 )2(2xL L Mg Mg 整理得整理得LLLLx)22( 4 1 ) 2 2 1 ( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 即当即当x 为为 时时, 细钉为软绳提供的向上的支持力为零细钉为软绳提供的向上的支持力为零.Lxx)22( 4 1 0 2 2 )2(2xL L Mg NMg 整理得整理得 xL L xLL2 2 )2(2 22 gL L g L L g xL x 2 1 22 2 2 )2( 0 0 N=0时时, x = x0 ; 此时软绳的速度为此时软绳的速度为 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 x 0 以右侧向

38、下运动的软绳为参照系以右侧向下运动的软绳为参照系S讨论问题讨论问题 当当x=x0时时, 在运动坐标在运动坐标S系中右侧向下初速度为零系中右侧向下初速度为零, 左侧左侧B点向上的初速度为点向上的初速度为 gL x 0 2 0 当当x=x0 时时软绳的质心坐标为软绳的质心坐标为 )22( 2 1 2 00 2 xLxL L xc 初始时刻初始时刻 (即即x = x0时时), 软绳的软绳的BC间的距离为间的距离为 )24( 2 1 )22( 2 1 2 00 2 0 2 00 2 0 xLxL L xxLxL L xxBC c )22( 2 1 22 xLxL L xc 静止坐标系中质心坐标为静止坐

39、标系中质心坐标为 xxxxc L x xL L 2 )(2)( 1 静止坐标系中质心的速度为静止坐标系中质心的速度为 对比伽利略变速变换公司对比伽利略变速变换公司, u 可得可得, 当当x=x0 时时, 质心质心C在运动坐标系在运动坐标系S中的相对速度为中的相对速度为 )( 2 0 0 0 负号表示方向向上 L x L x xc 即在即在S系里看质心系里看质心 是向上运动的是向上运动的. 撤去细钉后撤去细钉后, 软绳只受重力作用软绳只受重力作用, 因此软绳（参照系因此软绳（参照系S）将作自由落体运动）将作自由落体运动. 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 x 0

40、 软绳被拉直时软绳被拉直时, 所用时间为所用时间为t; BC间的距离为间的距离为 2 L BC 在在S系中系中, B点向上的速度为点向上的速度为v0; 质心向上的速度大小为质心向上的速度大小为vc, 且二者关系为且二者关系为 0 0 L x c S系作自由落体运动系作自由落体运动, 在在S系中观察系中观察, B和和C都作向上的匀速直线运动都作向上的匀速直线运动(因为因为 在在S系中观察时系中观察时, 软绳没有受力的作用软绳没有受力的作用 - 完全完全“失重失重”). 00 00 00 2 00 0 )( )2( )/1 ( /2 xL xxL Lx LxxBCBC t c 将将 代入上式得代入

41、上式得 gLLx 00 ,) 4 2 2 1 ( gLLLL LLLLL t ) 4 2 2 1 ( ) 4 2 2 1 )( 4 2 2 1 2( )24( 2 1 2 00 2 xLxL L BC t=0, 时时BC间距离为间距离为 g L gL L )22(4 )22)(26( ) 4 2 2 1 ( ) 4 2 2 1 )( 4 2 2 3 ( BCBCtt c 0 因此有因此有 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 g L t )22(4 )22)(26( g L 8 )226)(26( g L 4 )23)(26( g L 4 )2314( g L )

42、22)(22(4 )22)(26( 2 g L g L 44. 2 4 )2314( 不正确 g L t 4 )2914( 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 解解 分析分析: 本题中两个摆球是分别绕两个支点转动本题中两个摆球是分别绕两个支点转动. 因此因此, 本题需要用动量定理和角动量定理求解本题需要用动量定理和角动量定理求解. (2) 两个摆对每个转动点的总力矩也都不为零两个摆对每个转动点的总力矩也都不为零, 因此碰撞过程中的系统角动量也不守恒因此碰撞过程中的系统角动量也不守恒. (1) 两个摆球在碰撞过程中两个摆球在碰撞过程中, 所受合外力所受合外力 都不

43、为零都不为零, 因此系统的动量不守恒因此系统的动量不守恒; N2 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 如图所示如图所示, 碰撞过程两个摆所受的内外力分别为碰撞过程两个摆所受的内外力分别为N和和N1, N2 设碰撞时间为设碰撞时间为t, t很小很小. 对两个摆分别列动量定理方程对两个摆分别列动量定理方程 摆摆1: 摆的动量等于质心摆的动量等于质心(圆心圆心)的动量的动量. ) 1 (22 0111101111 RmRmmmtNtN 摆摆2: 摆的动量等于质心的动量摆的动量等于质心的动量. )2(3 22202222 RmmmtNtN ) 3()3()3(3 011

44、01111 cccc JRPJRPtRNtRN 摆摆1: 摆的角动量等于质心相对于摆的角动量等于质心相对于O2的角动量加上摆相对于质心的角动量的角动量加上摆相对于质心的角动量. 角动量方程角动量方程: 两个摆必须以同一点为参考点列方程两个摆必须以同一点为参考点列方程, 现以现以O2为参考点列方程为参考点列方程 )sin( 12 JLrpLLLtMMdt 或角动量定理角动量定理 动量方程动量方程(设向右为正设向右为正): 12 PPtFFdt 动量定理动量定理 N2 R v1c r1c v2c )4()3(3 222 cc JRPtRN 摆摆2: 摆的角动量等于质心相对于摆的角动量等于质心相对于

45、O2的角动量加上摆相对于质心的角动量的角动量加上摆相对于质心的角动量. 碰撞为弹性碰撞碰撞为弹性碰撞, 动能守恒动能守恒:)5( 2 1 2 1 2 1 2 22 2 11 2 01 JJJ 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 N2 R v1c r1c v2c 上述方程可化简为上述方程可化简为:)21 ()(2 011 mRtNtN )22( 2 9 22 mRtNtN 2 1 )3(2 2 1 )3(23 0 2 1011 2 1111 RmRRmRmRRmtRNtRN 2 1 6 2 1 63 0 2 1 2 01 22 11 RmRmmRRmtRNtRN

46、)23( 2 13 3 011 mRtNtN )24( 4 57 2 19 2 1 )3(33 2 2 222 2 222 RmRmRmRRmtN ) 1 (22 0111101111 RmRmmmtNtN )2(3 22202222 RmmmtNtN ) 3()3()3(3 01101111 cccc JRPJRPtRNtRN )4()3(3 222 cc JRPtRN )5( 2 1 2 1 2 1 2 22 2 11 2 01 JJJ 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 )3( 2 1 )2( 2 1 )2( 2 1 RmRmRmRmRmRm 第第 2

47、5 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 )3( 2 1 )2( 2 1 )2( 2 1 RmRmRmRmRmRm 解联立方程组解联立方程组(1-2)- (4-2) 即可求得即可求得 1和和 2: )25( 4 57 2 9 2 19 2 9 2 9 2 2 22 1 22 2 2 2 2 1 22 0 2 mRmRRmmRmR )21 ()(2 011 mRtNtN )23( 2 13 3 011 mRtNtN )24( 4 57 3 2 RmtN )25(19)(6 2 2 2 1 2 0 )22(

48、2 9 22 mRtNtN 由于由于N2只出现在只出现在(2-2)式中式中, 且不是所要求的量且不是所要求的量, 因此去除因此去除(2-2)式可式可. )6( 4 57 2 13 2011 RmmRtN(3-2)+(4-2)得得 3 (1-2)+(4-2)得得)7( 4 57 63 2011 RmmRtN 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 )6( 4 57 2 13 2011 RmmRtN )7( 4 57 63 2011 RmmRtN 由由(6)和和(7)得得 RmmRRmmR 201201 4 57 6 4 57 3 2 13 3 )8(919 102 2

49、4572136 01201 两边乘两边乘4除除mR2得得 )25(19)(6 2 2 2 1 2 0 由由(5-2)得得, 2 21010 19)(6 )9()(23 102 由由(8)/(9)得得 )(2 )(9 3 19 10 10 2 2 2 10 19 9 19 )(6 (8)式入得式入得 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 )(2 )(9 3 19 10 10 )(27)(38 1010 0011 38272738 01 65 11 由此解得由此解得, 0000102 65 36 65 76 19 9 65 11 19 9 19 9 1代入代入(8)式

50、得式得 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 解解 (1) 细杆在转动过程中机械能守恒细杆在转动过程中机械能守恒, 由此可得由此可得 sin 3 sin 23 1 2 1 2 1 222 L gL mgmLmghJ c C C hc mg (2) 转动过程的策略矩为转动过程的策略矩为cos 2 L mgM L g mL mgL J M JM 2 cos3 3 1 cos 2 1 2 由转动定律得由转动定律得 第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 解解 (1) 设在设在dt时间内有时间内有dm质量的水通过小孔流出水瓶质量的水通过小孔流出

51、水瓶, 则由机械能守恒得瓶里水则由机械能守恒得瓶里水 的势能减小等于流出去的水的动能的势能减小等于流出去的水的动能. C H / 2 2 2 1 2 1 2 gSHVgH H mgEp 瓶内水的势能瓶内水的势能 gSHdHdEp 流出的水的质量流出的水的质量 SdHdVdm 流出的水的动能流出的水的动能SdHdmdEk 2 1 2 1 2 1 2 1 由机械能守恒得由机械能守恒得SdHgSHdHdEdE kP 2 1 2 1 由此可得由此可得 gH2 1 (2) 水瓶抛出后水瓶抛出后, 瓶口的水与瓶口的水与 整个水瓶一样只受重力的作整个水瓶一样只受重力的作 用用, 初速度又相同初速度又相同,

52、因此它们因此它们 的运动完全一样的运动完全一样, 所以小孔没所以小孔没 有水流出有水流出. 即即 v2=0. 第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 解解: (1) 合成驻波的表达式为合成驻波的表达式为 321 ) 4 2 cos(2) 4 cos() 4 2 cos(2 00 xtAxtA 2 cos 2 cos2coscos ) 4 2 cos(2) 2 2 cos() 2 cos( 000 xtAxtAxtA ) 4 2 cos(2) 4 2 cos(2 00 xtAxtA) 2 cos() 4 cos(2 0 xtA ) 4 cos() 2 cos(2 0

53、txA (2) 驻波的振幅驻波的振幅 ) 2 cos(2)( 0 xAxA 波腹处坐标波腹处坐标 ,.2, 1, 0, 2 2 1) 2 cos(k k xkxx 第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 2 0 2 0 )/(11clll解解 (1)根据相对论根据相对论, 在在S系中空心管的长度为系中空心管的长度为: 因此在因此在S系中粒子不动系中粒子不动, 管的管的B端经过粒子时端经过粒子时t=0, 则管的则管的A端经过粒子的时刻端经过粒子的时刻t1为为 /)/(1/ 2 01 cllt 0 1 2 1 c S 粒子相对于粒子相对于S系的速度为系的速度为 2 2

54、2 1 2 1 c c S (2) 粒子在管内反射后相对管子的速度为粒子在管内反射后相对管子的速度为v, 则粒子相对于则粒子相对于S系的速度为系的速度为 在在S系粒子从系粒子从A端到端到B端所用时间为满足端所用时间为满足 )(1 2 2 0 2 22 c lltt S 第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 因此因此, 在在S系看粒子从系看粒子从B到到A再到端所用时间为再到端所用时间为 )(1/ )1 ()(1 2 2 2 2 0 2 2 0 212 cc l c l ttt /)/(1/ 2 01 cllt在在S系粒子从系粒子从B端到端到A端所用时间为端所用时间为

55、 )(1 2 )1 (1 )(1 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 c l cc c l )1/(2/)(1 2 2 2 2 0 2 22 cc lltt S )(1)1/(2 2 2 0 2 2 2 c lt c )(1)1 ()1 ()(1)1 ()1 (2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 cc lt ccc lt c 由此可得在由此可得在S系粒子从系粒子从A端到端到B端所用时间为端所用时间为 )(1/)1 ( 2 2 2 2 0 2 cc lt 第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 解解 : 初始状态初始状态AB内的压强

56、为内的压强为 P1AB= 76cm ; CD内的压强为内的压强为 P1CD= P1AB+76cm= 152cm ; 末状态末状态AB内的压强为内的压强为 P2AB; CD内的压强为内的压强为 P2CD; 则图则图2可得可得 ) 1 ()76( 2 1 (76 22ABCDAB lxxPP令 由气体状态方程可得由气体状态方程可得 CDCDCDCDABABAVAB VPVPVPVP 22112211 ; )2()276( 76 1 76 1 76 212121 xPPlPPSlPSP ABABABABABABABAB ) 3 ();276( 76 1 ;)762(76 2121 xPPSlPSP

57、CDCDABCDCD 第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 将将P1AB= 76cm, P1CD= 152cm代入代入(2)(3)式得式得 )276( )76( )276( 76 1 76 2 22 x PxP ABAB )276( 76152 )276( 76 1 152 22 x PxP CDCD 将上两式代入将上两式代入(1) )76( 276 76152 276 )76( 2 x xx )276)(276)(76()276(76152)276()76( 2 xxxxx ) 1 ()276(76 22 xlxPP ABCDAB 令 )2()276( 76 1

58、 21 xPP ABAB )3();276( 76 1 21 xPP CDCD )21 (76)21 (76)1 (76)21 (76152)21 ()76(76 33 yyyyyyx则有令 )21)(21)(1 ()21 (2)21 (yyyyy 化简得化简得 )44(142)21 ( 32 yyyyy02744 23 yyy )41)(1 ()21 (2)21 ( 2 yyyy AB ly代回去可求出求出 第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 解解 : 将坐标原点建在月心将坐标原点建在月心, 则月则月-地系统的地系统的 质心坐标质心坐标(即月球到质心的距离即月

59、球到质心的距离)为为 m Mm rM rc 8 2422 824 0 10794. 3 1098. 5103 . 7 1084. 31098. 5 月球绕质心月球绕质心C作圆周运动作圆周运动 2 0 2 r Mm GmrF cn 月球的运动周期为月球的运动周期为 天天秒24.27 243600 1035316. 2 1035316. 210 6701. 2 1416. 322 6 66 T rCr C 0 mM 288 2411 288 2411 2 0 )1084. 3(10794. 3 1098. 51067. 6 )1084. 3(10794. 3 1098. 51067. 6 rr GM c 16112 106701. 2101296. 7 ss 第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛 分析分析 : 由于地球和月球实际都不是一个质点由于地球和月球实际都不是一个质点, 且地球有自转和绕太阳的公转等且地球有自转和绕太阳的公转等, 因此将看到月球的形状发生变化因此将看到月球的形状发生变化. 出现出现“上