高等数学之空间曲线及其方程

1、空间曲线及其方程空间曲线及其方程 0),( 0),( zyxG zyxF 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程. x o z y 1 S 2 S C 空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线. 特点特点： 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程 例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 6332 1 22 zyx yx 解解 1 22 yx 表示圆柱面，表示圆柱面， 6332 zyx

2、表示平面，表示平面， 6332 1 22 zyx yx 交线为椭圆交线为椭圆. 例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 4 ) 2 ( 2 22 222 a y a x yxaz 解解 222 yxaz 上半球面上半球面, 4 ) 2 ( 2 22 a y a x 圆柱面圆柱面, 交线如图交线如图. )( )( )( tzz tyy txx 当当给给定定 1 tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点 ),( 111 zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全 部部点点. 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 二、空间曲线的参数方程二、空

3、间曲线的参数方程 动点从动点从A点出点出 发，经过发，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 例例 3 3 如果空间一点如果空间一点M在圆柱面在圆柱面 222 ayx 上以上以 角速度角速度 绕绕z轴旋转，同时又以线速度轴旋转，同时又以线速度v沿平行于沿平行于z 轴的正方向上升（其中轴的正方向上升（其中 、v都是常数），那么点都是常数），那么点 M构成的图形叫做构成的图形叫做螺旋线螺旋线试建立其参数方程试建立其参数方程 A M M M在在xoy面面的的投投影影)0 ,(yx M tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程 取时间取时间t为参数，为参数， 解解 x

4、 y z o 螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bz ay ax sin cos ),( v bt 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质： ,: 00 ,: 00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比 即即 上升的高度上升的高度 bh2 螺距螺距 ,2 0),( 0),( zyxG zyxF 消去变量消去变量z后得：后得： 0),( yxH 曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面xoy 设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面. 投影柱面的投影柱面的特征特征： 三

5、、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影 如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程. 空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT 面上的面上的投影曲线投影曲线,yoz面上的面上的投影曲线投影曲线,xoz 0 0),( z yxH 空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线xoy 例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. 2 1 1 222 z zyx 解解 （1）消去变量）消去变量z后得后得 , 4 3

6、22 yx 在在 面上的投影为面上的投影为 xoy , 0 4 3 22 z yx 所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.xoz ; 2 3 |, 0 2 1 x y z （3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yoz . 2 3 |, 0 2 1 y x z （2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上， 2 1 z 例例5 5 求抛物面求抛物面xzy 22 与平面与平面 02 zyx 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. 截线方程为截线方程为 02 22 zyx xzy 解解 如图如图, （2）消消去去y得得投投影影, 0 0

7、425 22 y xxzzx （3）消消去去x得得投投影影. 0 02 22 x zyzy （1）消消去去z得得投投影影 , 0 045 22 z xxyyx 补充补充: : 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. . 空间立体空间立体 曲面曲面 例例6 . ,)(3 4, 22 22 面上的投影面上的投影 求它在求它在锥面所围成锥面所围成和和 由上半球面由上半球面设一个立体设一个立体 xoyyxz yxz 解解 半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 , )(3 ,4 : 22 22 yxz yxz C , 1 22 yxz 得得投投影影柱柱面面消消去去 面面上上的的投投影影为为在在则则交交线线xoyC . 0 , 1 22 z yx 一个圆一个圆, 面面上上的的投投影影为为所所求求立立体体在在 xoy . 1 22 yx 空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程 四、小结四、小结 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),( 0),( zyxG zyxF )( )( )( tzz tyy txx 0 0),( z yxH 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT 思考题思考题 求椭圆抛物面求椭圆抛物面zxy 22 2与抛物柱面与抛物柱面 zx 2 2的交线关于的交线关于xoy面的投影柱面和面的投影柱面