考研高数总复习Fourier积分(讲义)

1、 一、Fourier级数 二、Fourier积分定理 三、小结 一、 Fourier级数 傅里叶(17681830) 法国数学家 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. 法国数学家Fourier JBJFourier 1804年，法国数学家Fourier提出： 在有限区间上由任意图形定义的任意 函数都可以表示为单纯的正弦与余弦之和. 1822年， Fourier在研究热传导理论 时发表了热的解析理论，提出并证明了 将周期函数展开为正弦级数的原理. 一、 Fourier级数 一、Fourier级数 1829年，德国数学家Dirichlet证明 了下面的定理，奠定了Fourier级数的理论基 础.

2、 狄利克雷（18051859） 德国数学家 P. G. L. Dirichlet 一个以T 为周期的函数fT(t),如果在 上满足Dirichlet条件, 即在区间 上 满足: , 22 TT , 22 T T , 22 TT 1. Fourier级数展开 1) 连续或只有有限个第一类间断点; 2) 只有有限个极值点. 则在区间 可以展开成Fourier级数. 在fT(t)的连续点处, 级数的三角形式如下: 其其中中， 2 T 0 1 ( )(cossin) 2 Tnn n a ftantbnt 2.Fourier级数的三角形式 2 2 ( )sind1,2,3, T TnT bf tn t

3、tn （) ) 2 2 ( )cosd1,2,3, T TnT aftn ttn （) ) 2 2 0 2 ( )d T TT aftt T 0 1 (0)(0) cossin 22 TT nn n aftft an tbn t t在间断点 处成立： 0 1 (0)(0) cossin2 2 ( ) TT nn n T ftft a an tbn t ft 即 2.Fourier级数的三角形式 1) 级数复指数表示形式: 在在其其连连续续点点处处，利利用用Euler公Euler公式式： jjjj cos,sinj 22 e ee ee ee e 0 1 ( )(cossin) 2 Tnn n

4、a ftan tbn t jjjj 0 1 j 222 n tn tn tn t nn n a ab e ee ee ee e 2.Fourier级数的三角形式 eeee jj0 1 jj 222 n tn tnnnn n aabab 如如果果令令 ， 2 2 0 0 1 ( )d 2 T TT a cftt T 1)级数复指数表示形式 系数的确定 j j j j j j e e j j e e 2 2 2 2 1 ( )d (1,2,3,) 2 1 ( )d (1,2,3,) 2 T T T T n tnn nT n tnn nT ab cftt n T ab cftt n T 2 2 1

5、( )d (1, 2, 3,) T T n t nT cftt n T j j e e 1)级数复指数表示形式 若令 (n=0,1,2, ), 0 1 ( ) nnn ttt Tnnn nn f tcccc j jj jj j e ee ee e 级数的复指数表示 2 2 11 ( )( )d T nn T tt TT n ftf TT j jj j e ee e 1) 级数复指数表示形式 n n 00 1 (0)(0) 2 TT ftft 在在其其间间断断点点 处处， 0 t jjjj eeee 2 2 11 ( )d T nn T tt T n f TT 1)级数复指数表示形式 nt n

6、n c j j e e 1)级数复指数表示形式 2 2 11 ( )d T nn T tt T n f TT jjjj eeee 即 00 1 (0)(0) 2 ( ) TT T ftft ft 2)级数正弦和余弦表示形式 0 1 ( )cos() 2 Tnn n a ftCn t 1 ( )sin() Tnn n ftCn t 级数正弦表示形式: 级数余弦表示形式 22 ,arctan n nnnn n a Cab b 任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由 某个周期函数fT(t)当T+时转化而来的. 作 周期为T的函数fT(t),使其在 之内等于 f(t), 而在 之外按周期T延拓到整个

7、数轴上, 显然, T 越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当T+时 周期函数fT(t)便可转化 为f(t), 即有 lim( )( ) T T ftf t 二、Fourier积分定理 1)Fourier积分公式 , 22 TT , 22 TT eeee， 2 2 jj 1 ( )( )d T nn T t TT n ftf T e ee e 2 2 jj 1 ( )lim( )d T nn T t T T n f tf T 令令 ，由由 1) Fourier积分公式 当当 取取一一切切整整数数时时所所对对应应的的点点便便均均匀匀 分分布布在在整整个个数数轴轴上上 两两个个相相

8、邻邻的的点点的的距距离离为为 , , n n 或或 1 2 , nnn n T T 1. Fourier积分公式 2 2 jj 0 1 ( )lim( )d 2 T nn T n t Tn n f tf eeee 0 n T 则则当当 ，时时， 2 2 jj 1 ( )lim( )d T nn T t T T n f tf T eeee 1. Fourier积分公式 2 2 jj 1 ( )d 2 T nn T t Tn f eeee是是参参数数为为的的函函数数， 当当 固固定定时时，t 2 2 jj 1 ()( )d 2 T nn T t TnT f e ee e () Tn 记记作作，即即

9、 1. Fourier积分公式 2 2 jj 0 1 ( )lim( )d 2 T nn T n t Tn n f tf eeee 0 ( )lim() n Tnn n ft () Tn 利利用用， 1. Fourier积分公式 0,()() nTnn T 当当即即时时 jj 1 ()( )d 2 nnt n f 又又e ee e ()d nn f t 则则（ ）= =， ( )df t 即即（ ）= =， 1. Fourier积分公式 Fourier积分公式 1 d 2 t f tf jjjj （ ）= =（ ） edeede 得得 1). Fourier积分公式 若 f(t) 在(-, +

10、)上满足下列条件: 1) f(t) 在任一有限区间上满足Dirichlet条件; 2)f(t) 在无限区间(-, +)上绝对可积.则有 （在在绝绝对对可可积积即即收收敛敛）(,)|( )|df tt 2. Fourier积分定理 一个非周期函数在什么条件下,可以用 Fourier积分公式来表示,有下面的收敛定理. 定理: jj 1 ( )( )dd 2 t f tf e ee e Fourier积分公式的复数形式 成成立立. . 2. Fourier积分定理 如如果果左左端端的的在在它它的的间间断断点点 处处 应应以以 来来代代替替 ( ), (0)(0) . 2 f tt f tf t jj

11、 (0)(0)1 ( )dd 22 t f tf t f e ee e 即即 2. Fourier积分定理 3. Fourier积分公式的三角形式 利利用用EulerEuler公公式式，有有 jj j() 1 ( )( )dd 2 1 ( )dd 2 t t f tf f e ee e e e 1 ( )cos()d 2 ( )sin() ft ft j jd dd d 1 ( )( )cos()dd 2 f tft ( )sin(),ft 又又d d 是是 的的奇奇函函数数 故故得得 0 1 ( )( )cos()ddf tft ( )cos(),ft 又又d d 是是 的的偶偶函函数数 故

12、故又又得得 Fourier积分公式的三角形式 3. Fourier积分公式的三角形式 当 为奇函数时,利用三角函数的和差公式,有 fx 0 1 ( )( )cos()ddf tft 0 1 ( )( ) coscosf tft 3. Fourier积分公式的三角形式 sinsinddt 由于 为奇函数,则 和 分别是关于 的奇函数和偶函数,因此 ( )cosf( )sinf fx Fourier正弦积分公式 00 2 ( )( )sinsindf tft d d 当 为偶函数时,同理可得 fx 00 2 ( )( )cosdcosdf tft Fourier余弦积分公式 4. Fourier正

13、弦和余弦积分公式 特别地,如果 仅在 上有定 义,且满足Fourier积分公式存在定理的条件,我 们可以采用类似于Fourier级数中奇延拓或者偶 延拓的方法,得到 相应的Fourier正弦积分 展开式或Fourier余弦积分展开式. ( )f t ，(0) ( )f t 注意: jj 1 ( )( )dd 2 t f tf eeee 1 j 1 1 cossindd 2 t tt jeje 11 ( ) 0 t f t ， 求求函函数数 的的FourierFourier积积分分表表达达式式. . ， 其其他他 根根据据FourierFourier积积分分公公式式的的复复数数形形式式，有有 1 j 0 1 cosdd t t e e 1sin cossindtt j j 0 2sincos d1t ( 10)( 10)1 22 ff f t（ ）为为偶偶函函数数，根根据据FourierFourier余余弦弦积积分分公公式式， 0 1 2sincos d 1 1 2 f tt t （ ）， ， 当当时时，1t 有有 f t（ ）应应以以 代代替替. . 0 1 2 sincos d1 4 01 t t t ， ， ， 即即 0t 当当时时，有有 Dirichlet积分 f t由由上上可可以以看看出出，利利用用的的F