流体动力学基础工程流体力学

1、1 流体动力学基础流体动力学基础 雷诺输运定理雷诺输运定理 运动微分方程运动微分方程 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用 系统与控制体系统与控制体 动量方程动量方程 连续方程式连续方程式 微分方程的求解微分方程的求解 角动量方程角动量方程 能量方程能量方程 引言 Introduction 3 流体动力学流体动力学研究流体在外力作用下的运动规律研究流体在外力作用下的运动规律 ，即，即流体的运动参数与所受力之间的关系流体的运动参数与所受力之间的关系。 本章主要介绍流体动力学的基本知识，推导出本章主要介绍流体动力学的基本知识，推导出 流体动力学中的几个重要的基本方程：流体动力学中的几个重要的基本方

2、程：连续性方程连续性方程 、动量方程和能量方程、动量方程和能量方程，这些方程是分析流体流动，这些方程是分析流体流动 问题的基础，问题的基础，与工程流体力学的各部分均有一定的与工程流体力学的各部分均有一定的 关联，因而本章是整个课程的重点。关联，因而本章是整个课程的重点。 简单地说，就是简单地说，就是三大守恒定律：质量，动量，三大守恒定律：质量，动量， 能量守恒在流体力学中的体现形式能量守恒在流体力学中的体现形式 4 三大守恒定律三大守恒定律 质量守恒动量守恒能量守恒 连续方程能量方程动量方程 动力学三大方程动力学三大方程 推推 广广 到到 流流 体体 中中 4-1 系统与控制体 System

3、and Control Volume 6 系统系统( (体系体系) ) 工程热力学闭口系统或开口系统 理论力学质点、质点系和刚体 研研 究究 对对 象象 7 系统系统( (质量体质量体) ) 在流体力学中，系统是指由在流体力学中，系统是指由确定的流体质点所组成的流确定的流体质点所组成的流 体团体团。如图所示。如图所示。 系统以外的一切统称为系统以外的一切统称为外界外界。 系统和外界分开的真实或假象的表面称为系统和外界分开的真实或假象的表面称为系统的边界系统的边界。 A D B C 系统 定义：定义： Lagrange 方法！ 8 (1) 一定质量的流体质点的合集一定质量的流体质点的合集 (2)

4、 系统的边界随流体一起运动，系统的边界随流体一起运动，系统的体积、边界面的系统的体积、边界面的 形状和大小形状和大小可以随时间变化。可以随时间变化。 (3) 系统的边界处系统的边界处没有质量交换没有质量交换，即没有流，即没有流 体流进或流出体流进或流出 系统的边界。系统的边界。 (4) 在系统的边界上受到外界作用在系统上的在系统的边界上受到外界作用在系统上的表面力表面力。 (5) 在系统的边界上可以在系统的边界上可以有能量交换有能量交换，即可以有能量输入，即可以有能量输入 或输出系统的边界。或输出系统的边界。 特点：特点： 9 多数流体力学实际问题中，对个别流体质点或流 体团的运动及其属性并不

5、关心，而更关心流体对流场 中的物体或空间中某体积的作用和影响。 系 统拉格朗日观点 应采用欧拉观点处理上述问题！应采用欧拉观点处理上述问题！ 10 控制体的边界面称为控制面。它总是封闭表面。控制体的边界面称为控制面。它总是封闭表面。 定义：定义：相对于某个坐标系来说，有流体流过的固相对于某个坐标系来说，有流体流过的固 定不变的任何空间的体积称为控制体。定不变的任何空间的体积称为控制体。 控制体控制体( (开系统开系统) ) Euler 方法！ 11 控制面的几何外形和体积是控制面的几何外形和体积是相对流动情况和边界相对流动情况和边界 条件选定的条件选定的 控制面控制面相对于坐标系是固定的相对于

6、坐标系是固定的。 在控制面上可以有在控制面上可以有质量交换质量交换，即可以有流体流进，即可以有流体流进 或流出控制面。或流出控制面。 在控制面上受到控制体以外物体施加在控制体内在控制面上受到控制体以外物体施加在控制体内 流体上的力流体上的力(动量交换）动量交换）。 在控制面上可以有在控制面上可以有能量交换能量交换，即可以有能量输入，即可以有能量输入 或输出控制面。或输出控制面。 控制面的特点：控制面的特点： 12 x y z II o II z x y n v n v o III I t t时刻时刻 t+t+ t t时刻时刻 系统系统 控制体控制体 13 定义：控制体内某物理量的总和随时间的增

7、长率称为定义：控制体内某物理量的总和随时间的增长率称为局部导数局部导数 定义：质量体内某物理量的总和随时间的增长率称为定义：质量体内某物理量的总和随时间的增长率称为随体导数随体导数 随体导数局部导数 质量体 控制体 经典定理应用方便 研究实际问题方便 输运公式 随体导数和局部导数随体导数和局部导数 14 4-2雷诺输运定理 Reynolds Transport Equation 16 回忆：回忆：物质导数是反映流体质点某一物理量对时间的物质导数是反映流体质点某一物理量对时间的 变化率，即观察者随流体质点一起运动时看到的物理量变变化率，即观察者随流体质点一起运动时看到的物理量变 化率。也可称为质

8、点导数或随体导数。化率。也可称为质点导数或随体导数。 DV Dt V t ()VV =+ 流体质点的物质导数的欧拉变量表达式：流体质点的物质导数的欧拉变量表达式： 借助借助雷诺输运定理雷诺输运定理 如何用欧拉变量表达式来表示如何用欧拉变量表达式来表示 对系统体积分的物质导数？对系统体积分的物质导数？ 17 定理：任意时刻，质量体内物理量的定理：任意时刻，质量体内物理量的随体导数随体导数等于该时刻等于该时刻 形状、体积相同的控制体内物理量的形状、体积相同的控制体内物理量的局部导数局部导数与通过该控与通过该控 制体表面的制体表面的输运量输运量之和。之和。 * 0 ( )DtCVCS t t d B

9、dVBdvBdA dtt V n * ( )D t CV B n 质量体 控制体 任一物理量 控制体表面外法向单位向量 雷诺输运定理雷诺输运定理 18 II z x y n v n v o III I 将将拉格朗日法拉格朗日法求系统内物理求系统内物理 量的时间变化率转换为按量的时间变化率转换为按欧欧 拉法拉法去计算的公式去计算的公式 推导过程：推导过程： 符号说明符号说明 B: t时刻该系统内流体所时刻该系统内流体所 具有的某种物理量（如具有的某种物理量（如 质量、动量等）质量、动量等） : 单位质量流体所具有的单位质量流体所具有的 物理量物理量 系统所占有系统所占有 的空间体积的空间体积 控

10、制体所占有控制体所占有 的空间体积的空间体积 t时刻时刻 t+ t时刻时刻 II II+III II II+I 雷诺输运定理雷诺输运定理 19 0 0 lim lim IIII ttt t IIII ttt t dVdV dB dtt dVdV t II z x y n v n v o III I 0 lim VV ttt t V dVdV dBd dV dtdtt V=II+III, V=II+I t0, II II 20 II z x y n v n v o III I 0 lim IIII ttt dVdV t t dV t 22 0 limcos III tt dV nt t CSCS

11、 vdAv dA 11 0 limcos I t dV nt t CSCS vdAv dA n CVCSCVCS dB dVv dAdVv n dA dttt 21 II z x y n v n v o III I 第一项就是控制体内的当地时间变化率第一项就是控制体内的当地时间变化率 第二项是第二项是t时间内，流体通过控制面随着流体流入而时间内，流体通过控制面随着流体流入而 带进来的相应物理量除以带进来的相应物理量除以t 第二项是第二项是t时间内，流体通过控制面随时间内，流体通过控制面随 着流体流出而带出去的相应物理量除以着流体流出而带出去的相应物理量除以 t 22 CVCS dB dVv n

12、 dA dtt 控制体内物理控制体内物理 量的变化率量的变化率 流进流出控流进流出控 制体的净流制体的净流 通量通量 物理量物理量 的总导的总导 数数 Reynolds输运定理表明，某个瞬间时刻，以某个控输运定理表明，某个瞬间时刻，以某个控 制体作为体系的系统中，某物理量的总量，其随流制体作为体系的系统中，某物理量的总量，其随流 导数等于控制体内的该总量的当地时间变化率，加导数等于控制体内的该总量的当地时间变化率，加 上从控制面上净输出的该物理量的通量。上从控制面上净输出的该物理量的通量。 23 推导：推导： 另一种证明另一种证明 24 把一个有限体积内流体的把一个有限体积内流体的质点导数转化

13、为质点导数转化为Euler描描 述下的控制体导数述下的控制体导数 提供了一个提供了一个Lagrange描述的描述的质点力学向质点力学向Euler描描 述的流体力学述的流体力学转换的桥梁转换的桥梁 系统内部的系统内部的某一物理量的时间变化率是由两部分某一物理量的时间变化率是由两部分 组成组成，等于，等于控制体内的该物理量的时间变化率加控制体内的该物理量的时间变化率加 上单位时间内通过控制面的该物理量的净通量上单位时间内通过控制面的该物理量的净通量。 雷诺输运定理的作用雷诺输运定理的作用 25 在在定常流动定常流动条件下，有条件下，有 也就是说，系统内物理量的变化只与也就是说，系统内物理量的变化只

14、与通过通过 控制面的流动控制面的流动有关，而与控制内的流动无有关，而与控制内的流动无 关。大大简化了研究内容。关。大大简化了研究内容。 * 0 ( )Dtcs t t d BdVBdA dt V n 4-3连续性方程 Continuity Equation 27 n当流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，当流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时， 可以断定：可以断定： 1. 若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相 等时，则这封闭曲面内一定会有等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化流体密度的变化，以便使流，以便使流

15、体仍然充满整个封闭曲面内的空间；体仍然充满整个封闭曲面内的空间； n 连续性方程是连续性方程是质量守恒定律质量守恒定律在流体力学中的应用。在流体力学中的应用。 n前提：流体是前提：流体是连续介质连续介质，它在流动时连续地充满，它在流动时连续地充满 整个流场。整个流场。 28 2. 如果流体是不可压缩的，则如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流出的流体质量必然等于 流入的流体质量。流入的流体质量。 n上述结论可以用上述结论可以用数学方程式数学方程式来表达，称为连续来表达，称为连续 性方程。性方程。 由哈维发现的人体血液循环理论是流体连续由哈维发现的人体血液循环理论是流体连续 性原理的例

16、证：性原理的例证： 动脉系统动脉系统 毛细管系统毛细管系统 静脉系统静脉系统 心脏心脏 29 雷诺输运公式可用于雷诺输运公式可用于任何分布函数任何分布函数B，如密度分布、动量分，如密度分布、动量分 布、能量分布等。布、能量分布等。 令令1，由系统的质量不变可得连续性方程，由系统的质量不变可得连续性方程 积分形式的连续性方程积分形式的连续性方程 CV D dV Dt CVCS dVdA0 t v n 由流体系统满足质量守恒得，由流体系统满足质量守恒得， 0 sys DMD dV DtDt 30 系统质量变化率系统质量变化率 流出控制体的质量流率流出控制体的质量流率 控制体内质量变化率控制体内质量

17、变化率 CV D dV Dt CVCS dVdA0 t v n 上式表明：通过上式表明：通过控制面净流出的质量流量控制面净流出的质量流量等于控等于控 制体内制体内流体质量随时间的减少率流体质量随时间的减少率。 在推导上式的时候，在推导上式的时候，未作任何假设未作任何假设，因此只要满，因此只要满 足连续性假设，上式总是成立的足连续性假设，上式总是成立的 31 固定的控制体固定的控制体 对固定的对固定的CVCV，积分形式的连续性方程可化为，积分形式的连续性方程可化为 CSCV ()dAdV t v n 运动的控制体运动的控制体 将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只将控制体随物体一起运动

18、时，连续性方程形式不变，只 要将速度改成相对速度要将速度改成相对速度v vr r ( CVCS dVdA0 t r vn) 32 1、对于均质不可压流体：、对于均质不可压流体： =const 可适用于均质不可压流体的定常及非定常流动！可适用于均质不可压流体的定常及非定常流动！ 连续方程的简化连续方程的简化 连续方程简化为：连续方程简化为： 0 CV dV t 00 CSCS V n dAV n dA 33 可适用于可压、不可压流体的定常流动！可适用于可压、不可压流体的定常流动！ 连续方程简化为：连续方程简化为： 0 CV d t 2、对于定常流动：、对于定常流动： 0 CS V ndS 34

19、出、入口截面上的质流量大小为出、入口截面上的质流量大小为 设设A 0 inout mV VdAVdA ()() outin VAVA outin mm 有多个出入口有多个出入口 一般式一般式 3、沿流管的定常流动沿流管的定常流动 35 设出入口截面上的体积流设出入口截面上的体积流 量大小为量大小为 QVA ()() outin QQ VAVA outin 4、沿流管的不可压缩流动沿流管的不可压缩流动 一般式一般式 有多个出入口有多个出入口 36 5、一维流一维流 一维定常流一维定常流 不可压不可压 为什么河道窄的地方水流湍急？为什么河道窄的地方水流湍急？ 为什么水管捏扁了速度快？为什么水管捏扁

20、了速度快？ m QAVAV 222111 V QAVAV 2211 37 Ql+Q2=Q3 Ql=Q2+Q3 有汇流或分流的情况：有汇流或分流的情况： 38 解题的一般方法和步骤解题的一般方法和步骤 1.选取选取恰当的坐标系恰当的坐标系，使得在该坐标系中相对流动，使得在该坐标系中相对流动 是定常的；是定常的； 2.选取选取恰当的控制体恰当的控制体： 控制体的界面上包括要求的未知量和尽可能多控制体的界面上包括要求的未知量和尽可能多 的已知量；的已知量； 一般可选固体壁面或流面作为控制面，使得在一般可选固体壁面或流面作为控制面，使得在 其上输运量为零或可求。其上输运量为零或可求。 积分型守恒方程的

21、应用积分型守恒方程的应用 39 解题的一般方法和步骤解题的一般方法和步骤 3.在控制面上物理量均匀分布，易求积分。在控制面上物理量均匀分布，易求积分。 4.动量方程是矢量方程，三个坐标方向三个动量方程是矢量方程，三个坐标方向三个 方程。方程。 5.完整写出控制体上受外力，外力具有代数完整写出控制体上受外力，外力具有代数 正负，与坐标方向一致为正。正负，与坐标方向一致为正。 40 【4.3-14.3-1】所有管截面均为圆形所有管截面均为圆形, ,d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm, 平均流量分别为平均流量分别为Q1=6 l/min,

22、Q 3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q 5= 0.78Q1 求：求： Q2 及各管的平均速度及各管的平均速度 【解解】取图中虚线所示控制体，有多个出取图中虚线所示控制体，有多个出 入口。液按不可压缩流体处理入口。液按不可压缩流体处理 可得可得 inout QQ Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5 Q2 = Q 1(Q 3 + Q 4 + Q 5）= Q 1(0.07+0.04+0.78)Q = 0.11Q1= 0.66 l / min 41 各管的平均速度为各管的平均速度为 20.4cm/s 602.5 1000644 2 2 1 1 1 d Q V cm/s

23、8.0 600.8 100060.044 4 2 2 4 4 4 d Q V 24.8cm/s 602.0 100060.784 4 2 2 5 5 5 d Q V 18.2cm/s 600.7 100060.074 4 2 2 3 3 3 d Q V 11.6cm/s 601.1 10000.6644 2 2 2 2 2 d Q V 42 【例例4.3-2】 思考题思考题 要使注射器稳定地以要使注射器稳定地以300cm3/min注射，问推进速度注射，问推进速度 Vp=? 已知已知 Ap= =500mm2 关键：关键： 选控制体选控制体 43 利用利用Gauss 公式来证明公式来证明 dd D

24、 AV n aa D dAdV naa D dAdV n 微分形式的连续方程微分形式的连续方程 44 在流场内取一固定不动的平行六面体微元控制体，并建立在流场内取一固定不动的平行六面体微元控制体，并建立 合适的坐标系。合适的坐标系。 选取适当的微元控制体选取适当的微元控制体 分析系统（微元控制体）的流动、受力等情况分析系统（微元控制体）的流动、受力等情况 分析包括控制体内的物理量变化及受力，控制面上流入、分析包括控制体内的物理量变化及受力，控制面上流入、 流出的物理量流率以及受力等，并注意各物理量的正负号。流出的物理量流率以及受力等，并注意各物理量的正负号。 列出守恒方程列出守恒方程 整理、简

25、化整理、简化 如质量守恒方程、动量定理方程及能量守恒方程等。如质量守恒方程、动量定理方程及能量守恒方程等。 微分形式的连续方程的推导二微分形式的连续方程的推导二 45 在流场的任意点处取微元六面体，如图所示。六面体中在流场的任意点处取微元六面体，如图所示。六面体中 的质量随空间和时间变化。的质量随空间和时间变化。 udydz dxudydz x udydz x y z o dx dz dy 连续方程示意图 微分形式的连续方程的推导二微分形式的连续方程的推导二 46 （1）空间变化）空间变化 对于对于x轴方向，单位时间流入微元六面体的质量为轴方向，单位时间流入微元六面体的质量为 流出的质量为流出

26、的质量为 X方向其质量增加为方向其质量增加为 dydzu x dx x dydzu dydzu x x )( dx x dydzu x 47 同样同样y、z 轴方向的质量增加分别为轴方向的质量增加分别为 , y z u dxdz u dxdy dydz yz （2）时间变化）时间变化 设任意时刻微元六面体内的质量力为设任意时刻微元六面体内的质量力为 ，单位时，单位时 间内变为间内变为 ，所以由于密度，所以由于密度 的变的变 化单位时间内微元六面体内增加的质量为化单位时间内微元六面体内增加的质量为 dxdydz t dxdydz dxdydz 。tdxdydz 微元控制体内流体质量增长率：微元控

27、制体内流体质量增长率：tdxdydz 48 （3）根据质量守恒定律）根据质量守恒定律 流体运动的连续方程式流体运动的连续方程式为：为： 0 dz z dxdyu dy y dxdzu dx x dydzu t dxdydz z y x 0 z u y u x u t z y x 0 t V 49 0 z u y u x u t z y x 物理意义：物理意义： 空间上流入流出质量的增加量空间上流入流出质量的增加量应该等于应该等于由于密度由于密度 变化而引起的质量增加量变化而引起的质量增加量。 0 t V 连续方程两种形式：连续方程两种形式： ()0 Duvw Dtxyz 0 D V Dt 50

28、 简化简化 （1）定常压缩性流体，）定常压缩性流体， /t=0，则连续方程变为，则连续方程变为 0; () ()() 0 y xz v u uu xyz 适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。 51 （2）非压缩性流体，）非压缩性流体，常数，则连续方程变为常数，则连续方程变为 上式为不可压缩流体三维流动的连续性的方程。它的物理意上式为不可压缩流体三维流动的连续性的方程。它的物理意 义是：义是：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等 于零；于零；也就是说，在也就是说，在同一时间内流入的

29、体积流量与流出的体同一时间内流入的体积流量与流出的体 积流量相等积流量相等。 0 z u y u x u z y x 上式三项之和为流体的体积变形率上式三项之和为流体的体积变形率(膨胀率或收缩率膨胀率或收缩率)，即单位，即单位 时间内单位流体的膨胀量或缩小量。也就是说不可压缩流体的时间内单位流体的膨胀量或缩小量。也就是说不可压缩流体的 体积变形率为零，它的体积不会发生变化。体积变形率为零，它的体积不会发生变化。 52 在在柱坐标系柱坐标系中，连续方程式为中，连续方程式为 式中式中 ur, u, uz 是速度是速度 u 在在 r, , z 坐标上的分量。坐标上的分量。 0 tr u z u r

30、u r u rzr 0 sin cot2 r u r u r u r u r u t rr 在在球坐标系球坐标系中，连续方程式为中，连续方程式为 其它坐标系的连续方程其它坐标系的连续方程 4-7 动量方程 Moment Equation 54 动量方程是动量方程是动量定理（牛顿第二定律）动量定理（牛顿第二定律）在流体力学中的具在流体力学中的具 体体现，它反映了流体运动的动量变化与作用力之间的关系。体体现，它反映了流体运动的动量变化与作用力之间的关系。 对于积分形式的动量方程其优点在于对于积分形式的动量方程其优点在于不必知道流动范围内部的不必知道流动范围内部的 过程过程，而只需要知道边界面上的流

31、动情况即可。，而只需要知道边界面上的流动情况即可。 根据牛顿定律，质量体内动量的变化率等于该瞬间作用在质根据牛顿定律，质量体内动量的变化率等于该瞬间作用在质 量体上的外力之和。量体上的外力之和。 * ( )( )( )DtDtt d vdVFdVdA dt n fT 只适用于惯性系！只适用于惯性系！ () d mvF dt 55 将雷诺输运定理应用于流体系统的动量定理公式中将雷诺输运定理应用于流体系统的动量定理公式中 动量方程动量方程 fs sysCVCS d vdvdv v n dAFF dtt 系统动量变化率系统动量变化率 流出控制体的净动量流率流出控制体的净动量流率 控制体内动量变化率控

32、制体内动量变化率 系统所受合外力系统所受合外力 () sysCVCS d vdVvdVv v n dA dtt Ff 质量力；质量力； Fs 表面力表面力 56 注意：注意： 1. 1. 动量方程是三维的动量方程是三维的 2. 2. 外力的各分量、以及各速度分量均有正、负，外力的各分量、以及各速度分量均有正、负， 其取决于坐标轴方向的选择！其取决于坐标轴方向的选择！ 3. 3. 矢量点积矢量点积 (Vn)ds 也存在正负之分，流出为正也存在正负之分，流出为正 ，流入为负。，流入为负。 在在dt时间内，作用在控制体内时间内，作用在控制体内流体上的合外力流体上的合外力 等于同时间间隔内从控制体等于

33、同时间间隔内从控制体净流出的流体动量净流出的流体动量与控与控 制体内流体制体内流体动量对时间的变化率动量对时间的变化率之和。之和。 57 ) 1 ( ) 2( 1 A 2 A 在流场中选择一个控制体，如图中在流场中选择一个控制体，如图中 虚线所示。使它的一部分控制面与虚线所示。使它的一部分控制面与 要计算作用力的固定边界重合，其要计算作用力的固定边界重合，其 余控制面则视取值方便而定。控制余控制面则视取值方便而定。控制 体一经选定，其形状、体积和位置体一经选定，其形状、体积和位置 相对于坐标系是不变的。相对于坐标系是不变的。 控制体动量定理另一种证明方法控制体动量定理另一种证明方法 58 A

34、tt V AA tt V dAuutdVu dAuutdAuutdVu 21 设设 t 时刻流体系统与控制体时刻流体系统与控制体V重合，且控制体内任意空间重合，且控制体内任意空间 点上的流体质点速度为点上的流体质点速度为 ，密度为，密度为 ，则流体系统在，则流体系统在 t 时刻时刻 的初动量为的初动量为 ，经过，经过 时刻以后，原流体系时刻以后，原流体系 统运动到实线所示位置，这个流体系统在统运动到实线所示位置，这个流体系统在 时刻的末动时刻的末动 量为量为 u t V dVu t tt 59 式中式中 V tt udVtt 时刻控制体中所有质点的动量； 1 A dAuut 非原流体系统经控制

35、面非原流体系统经控制面A1流入的动量流入的动量; 2 A dAuut 原流体系统经控制面原流体系统经控制面 A2流出的动量；流出的动量； 21 AAA 控制体的全部控制面。控制体的全部控制面。 于是于是 A t V tt V t dAuutdVudVu tdt nmd F 1 lim 0 VA FudVuudA t 欧拉法表示的动量方程。欧拉法表示的动量方程。 60 式中式中 F 作用在控制体内流体上所有外力的合力；作用在控制体内流体上所有外力的合力； dVu t V 控制体内流体动量对时间的变化率。当定控制体内流体动量对时间的变化率。当定 常流动时，该项为零。它反映了流体运动常流动时，该项为

36、零。它反映了流体运动 的非定常性；的非定常性； A dAuu 单位时间内通过全部控制面的动量代数和。因单位时间内通过全部控制面的动量代数和。因 为从控制体流出的动量为正，流出控制体的动为从控制体流出的动量为正，流出控制体的动 量为负，所以该项也可以说是单位时间内控制量为负，所以该项也可以说是单位时间内控制 体流出动量与流入动量之差（净流出的流体动体流出动量与流入动量之差（净流出的流体动 量）。量）。 61 fs FFF () p cs FpdA n 1. 合力：合力：是指作用在控制体上的质量力、正应力是指作用在控制体上的质量力、正应力 的和除正压力、质量力之外的一切外力之和的和除正压力、质量力

37、之外的一切外力之和 动量方程各项的简化动量方程各项的简化 质量力质量力 f cv Fd f 不考虑剪切力，也就是表面力只有正应力不考虑剪切力，也就是表面力只有正应力 62 2. 净动量流率量：净动量流率量： 动量流进流出控制体的总和动量流进流出控制体的总和 outin A V V n dAV V n dAV V n dA 一般流动是三维的，但可以简化为二维、一维一般流动是三维的，但可以简化为二维、一维 流动加修正流动加修正 0 D dV t V 3. 定常流动：定常流动： 63 定常总流流束如图所示。把流线方定常总流流束如图所示。把流线方 向取为自然坐标向取为自然坐标 s 的正向，取如图中虚的

38、正向，取如图中虚 线所示的总流流束为控制体，则总控制线所示的总流流束为控制体，则总控制 体表面上有动量交换。令这两个过流断体表面上有动量交换。令这两个过流断 面上的平均速度为面上的平均速度为 v1，v2 x y z 0 1 A 2 A 1 1 2 21 u 2 u s 定常总流的动量方程定常总流的动量方程 动量方程的简化动量方程的简化 去掉时间偏导数去掉时间偏导数 FdAvnv 64 由于按平均流速计算得到的动量变化量和以实际流速计算的由于按平均流速计算得到的动量变化量和以实际流速计算的 动量变化量是不同的，故引入一个动量修正系数动量变化量是不同的，故引入一个动量修正系数加以修正。加以修正。

39、根据实验测定值约为根据实验测定值约为1.021.05，近似于，近似于l，所以为计算方便，所以为计算方便， 在工程计算中通常取在工程计算中通常取 1 21 2211 2121 AA A Fv n vdAvvn dAv v n dA Q vvQ vv 不可压缩流体，控制体动量方程可化简为不可压缩流体，控制体动量方程可化简为 65 一维流一维流 12 2 111 2 222 VVmF VAVAF 具有多个一维出入口的控制体具有多个一维出入口的控制体 FVV iiiniouti mm)()( 66 注意注意: : (1) (1) 控制体的选取控制体的选取 (2) (2) 或或 代表流出平均速度代表流出

40、平均速度矢量矢量 2 V out V 或或 代表流入平均速度代表流入平均速度矢量矢量 1 V in V (3) (3) 动量方程中的动量方程中的负号负号是方程本身具有的是方程本身具有的, , 和和 在坐标轴上投影式的正负与在坐标轴上投影式的正负与 坐标系选择有关坐标系选择有关 out V in V (4) (4) 包含所有外力包含所有外力( (大气压强大气压强) )F 67 定常时定常时 匀速运动控制体匀速运动控制体 坐标系固定在匀速运动的控制体上坐标系固定在匀速运动的控制体上 rr vv (是相对速度是相对速度),),输运公式为输运公式为 有多个一维出入口时有多个一维出入口时 Fnvvv r

41、rr dA(d t CSCV ) ()() rroutrrin m vm vF 为作用在控制体上的合外力为作用在控制体上的合外力 F Fnvv rr dA( CS ) 68 在定常流动中，可以有某一段流体进、出口的流速变化，在定常流动中，可以有某一段流体进、出口的流速变化， 而不需要知道这一流段的内部情况，就可以求出流体所受而不需要知道这一流段的内部情况，就可以求出流体所受 外力的合力，即管壁对流体的作用力，从而求出流体对管外力的合力，即管壁对流体的作用力，从而求出流体对管 壁的作用力。壁的作用力。 动量方程是一个矢量方程，所以应用投影方程比较方便。动量方程是一个矢量方程，所以应用投影方程比较

42、方便。 应用时应注意：适当地选择控制面，完整地表达出控制体应用时应注意：适当地选择控制面，完整地表达出控制体 和控制面上的外力，并注意流动方向和投影的正负等。和控制面上的外力，并注意流动方向和投影的正负等。 动量定理的应用动量定理的应用 69 控制体应包括动量发生的全部流段，即应对总流取控制体；控制控制体应包括动量发生的全部流段，即应对总流取控制体；控制 体的两端断面要紧接所要分析的流段；控制体的边界一般沿流向体的两端断面要紧接所要分析的流段；控制体的边界一般沿流向 由固体边壁、自由液面组成，垂直于流向则由过流断面组成。由固体边壁、自由液面组成，垂直于流向则由过流断面组成。 注意速度、流率的正

43、、负注意速度、流率的正、负 动量方程的应用步骤动量方程的应用步骤 选取适当的过流断面与控制体选取适当的过流断面与控制体 建立适当的坐标系建立适当的坐标系 投影轴可任意选取，以计算方便为宜。投影轴可任意选取，以计算方便为宜。 分析系统（控制体）的受力情况分析系统（控制体）的受力情况 注意：不要遗漏，并以正负号表明力的方向；横界面压力的计算。注意：不要遗漏，并以正负号表明力的方向；横界面压力的计算。 分析控制体动量变化，列动量方程分析控制体动量变化，列动量方程 结合使用连续性方程及伯努利方程等求解结合使用连续性方程及伯努利方程等求解 70 如下图表示一水平转弯的管路，由于液流在弯道改变了流如下图表

44、示一水平转弯的管路，由于液流在弯道改变了流 动方向，也就改变了动量，于是就会产生压力作用于管壁动方向，也就改变了动量，于是就会产生压力作用于管壁 。因此在设计管道时，在管路拐弯处必须考虑这个作用力。因此在设计管道时，在管路拐弯处必须考虑这个作用力 ，并设法加以平衡，以防管道破裂。，并设法加以平衡，以防管道破裂。 y 1 1 2 2 1 P 2 p 2 u 1 u x R 水 平 弯 管 1、流体作用于弯管的力、流体作用于弯管的力 71 现在我们用动量方程来确定这种作用力现在我们用动量方程来确定这种作用力 在在x，y方向上分别应用动量方程。首先看方向上分别应用动量方程。首先看x轴轴： 12 2

45、111 2 222 VVmF VAVAF 沿沿 x 轴方向轴方向的动量变化为（的动量变化为（以流出动量为正，流入为负）：以流出动量为正，流入为负）： 1截面动量截面动量 2截面动量截面动量 总动量变化总动量变化uuQvm cos 111111 QuuAuvm coscos 222222 QuuAuvm 72 x RApApF cos 21 沿沿 x 轴方向的作用力轴方向的作用力 上面应用了连续性方程：上面应用了连续性方程： u1=u2=u 沿沿 x 轴方向的作用力总和为轴方向的作用力总和为 1截面所受力截面所受力 2截面所受力截面所受力 壁面对水的作用力壁面对水的作用力 x R 111 APF

46、 cos 222 ApF 73 cos1cos coscos 21 21 QuAppR uuQRApAp x x 同理，对于同理，对于 y 轴方向有轴方向有 sinsin 2 QuApR y 从以上公式可求出 与 ，从而可以计算R。 x R y R 代入动量方程有代入动量方程有 x y yx R R RRR 1 -22 tg , 74 注意：若求解所取流体系统对壁面的作用力，则取注意：若求解所取流体系统对壁面的作用力，则取 绝对压强，若求管（板）的受力，则选择表压强！绝对压强，若求管（板）的受力，则选择表压强！ 必须注意，如果要考虑弯管的受力，因为弯管必须注意，如果要考虑弯管的受力，因为弯管

47、放置在大气中，所以管外侧受到大气压的作用。放置在大气中，所以管外侧受到大气压的作用。 考虑互相抵消的问题！考虑互相抵消的问题！ 根据反作用力原理，流体对管壁的作用力为：根据反作用力原理，流体对管壁的作用力为： RR 75 弯管受力分析的扩展弯管受力分析的扩展 已知：无粘理想流体，已知进、出口的P, V, A 不计重力 求水对弯头的作用力 (x，y方向分别考虑） 22 1222211 1x x x FPPFmVAVAV 76 如左图的容器在液面下深度如左图的容器在液面下深度 等于等于 h 处有一比液面面积小得多处有一比液面面积小得多 的出流孔，其面积为的出流孔，其面积为A，在出流，在出流 孔很小

48、的前提下，假使只就一段孔很小的前提下，假使只就一段 很短的时间来看，其出流过程就很短的时间来看，其出流过程就 可以当作近似的稳定流看待。可以当作近似的稳定流看待。 这时理想流体的出流速度是这时理想流体的出流速度是 2 AuQu 2 、 射流的背压（反推力）射流的背压（反推力） 2ugh F A u h 射 流 的 背 压 这一瞬时，容器由流体水平方向的动量变化将决定于单位这一瞬时，容器由流体水平方向的动量变化将决定于单位 时间内由容器流出来的动量时间内由容器流出来的动量 77 表明：表明： 射流反推力（背压）的大小恰好等于出流孔处的流体静压射流反推力（背压）的大小恰好等于出流孔处的流体静压 力

49、的两倍。如果容器能够运动，射流就可能克服容器移动力的两倍。如果容器能够运动，射流就可能克服容器移动 的阻力，而使容器向流体射出速度的反方向运动。的阻力，而使容器向流体射出速度的反方向运动。 火箭、卫星、飞机等运动原理火箭、卫星、飞机等运动原理 AghAuF2 2 根据动量定理，这一动量变化当然在大小上、方向上、位根据动量定理，这一动量变化当然在大小上、方向上、位 置上恰好等于器壁在水平方向加在流体上的压力合力。流置上恰好等于器壁在水平方向加在流体上的压力合力。流 动流体则反过来对容器壁上作用一个方向与出流速度相反动流体则反过来对容器壁上作用一个方向与出流速度相反 的水平推力。这个力的大小也就等

50、于容器内流体的动量变的水平推力。这个力的大小也就等于容器内流体的动量变 化率，即化率，即 78 3、求射流对弯曲对称叶片的冲击力计算公式、求射流对弯曲对称叶片的冲击力计算公式 解解: （1）对于喷嘴和叶片均为固定的情况： 射流的压强等于周围气体的压强，根据 能量方程式，如果不计水头损失，各断面流 速值应保持不变。 )cos1 ( )cos( QRF QR QA 故射流的推力为： 的反力为根据动量方程式，叶片 ，叶片转角为，流量为，流速为设射流断面为 u d 79 依此原理进行设计的。汽轮机的叶片形状就是 以提高射流的推力，如片的转角都大于因此在工程中有许多叶 倍。时射流推力的时射流产生的推力是

51、为影响很大， 对推力片的转角推力公式可以看出，叶结论：由推导出的射流）（ 功率为：这时，叶片运动输出的 流量和流速计算： 对于叶片的向后退的情况，可用相度对喷嘴固定，叶片以速 , 90 2 90 180 3 )cos1 ()( )cos1 ()( )cos1)( )2( 0 oo 2 2 uuAFuN uA uQF u 80 4、喷嘴的受力、喷嘴的受力 已知：无粘不可压流体p1、V1、A1 和Ae，不计流体重力 1.求气体对喷嘴的冲击力 2.求螺栓受力 思考： 如何确定速度Ve？ 4-4 理想流体的运动微分方程 The moment equation of idea fluid 82 考虑如下

52、图所示的边长为考虑如下图所示的边长为dx,dy,dz的微元直角六面体，其的微元直角六面体，其 中角点中角点A坐标为坐标为 A(x,y,z) ，作用在此直角六面体上的外力有两，作用在此直角六面体上的外力有两 种：种：表面压力和质量力表面压力和质量力。 对于理想流体，忽略对于理想流体，忽略剪切力，只有正压强剪切力，只有正压强 体积力一般只考虑体积力一般只考虑重力重力，设在，设在x，y，z轴方向上的单位质轴方向上的单位质 量力为量力为 fx，fy，fz 理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程 积分形式的动量方程，不涉及流体内部受力。现在我们分析积分形式的动量方程，不涉及流体内部受力。现在我们分

53、析 一下流体微团的受力及运动之间的动力学关系，建立理想流一下流体微团的受力及运动之间的动力学关系，建立理想流 体动力微分方程，即体动力微分方程，即欧拉方程欧拉方程。 83 作用在流体微元上的力作用在流体微元上的力 流场中的分布力流场中的分布力 表面力表面力 A s d/dF 切向应力切向应力 重力场：重力场：)(gzgkf 重力势：重力势： gz 法向应力法向应力p 单位质量流体单位质量流体 f 体积力体积力 d/d b F 重力、惯性力重力、惯性力 单位体积流体单位体积流体 f 电磁力电磁力 84 设中心点设中心点M的坐标为的坐标为x、y、z，压强为，压强为p。 只考虑只考虑x 轴方向受力分

54、析：轴方向受力分析： 2 dx p p x 和和 2 dx p p x 表面力为：表面力为： 11 ()() 22 pp pdx dydzpdx dydz xx 质量力为：质量力为： x fdxdydz 利用泰勒级数，利用泰勒级数，ABCD和和EFGH中中 心点处的压强分别为：心点处的压强分别为： 惯性力为：惯性力为： x du dxdydz dt 欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程 85 根据牛顿第二定律得根据牛顿第二定律得 x 方向的运动方程式为方向的运动方程式为 dt du dxdydzdxdydz x p dxdydzf x x 上式简化后得上式简化后得 dt du z p f dt d

55、u y p f dt du x p f z z y y x x 1 1 1 同理可得同理可得 xx maF 86 展开随体导数，则有展开随体导数，则有 上面二式即是理想流体运动的微分方程式，也叫做欧拉上面二式即是理想流体运动的微分方程式，也叫做欧拉 运动微分方程式。运动微分方程式。 z u u y u u x u u t u z p f z u u y u u x u u t u y p f z u u y u u x u u t u x p f z z z y z x z z y z y y y x y y x z x y x x x x 欧拉方程组欧拉方程组 1dV fp dt 87 0

56、y xz u uu ttt 1 1 1 xxx xxyz yyy yxyz zzz zxyz uuup fuuu xxyz uuu p fuuu yxyz puuu fuuu zxyz 流动定常时Euler方程为 式中x，y，z，t为四个变量， 为x，y，z，t的函 数，是未知量。 也是x，y，z的函数，一般是已知的。 zyx uuu , , zyx fff, , 4-4 伯努利方程及其应用 Bernoulli Equation 89 在一般情况下，作用在流体上的质量力在一般情况下，作用在流体上的质量力fx、fy和和fz 是已知的，是已知的， 对理想不可压缩流体其密度对理想不可压缩流体其密度为

57、一常数。在这种情况下，上面方为一常数。在这种情况下，上面方 程组中有四个未知数程组中有四个未知数u、v、w和和p，而已有三个方程，再加上不可，而已有三个方程，再加上不可 压缩流体的连续性方程，从理论上就可以求解这四个未知数。压缩流体的连续性方程，从理论上就可以求解这四个未知数。 l运用上面得到的运动微分方程求解各种流动问题时，需要对运运用上面得到的运动微分方程求解各种流动问题时，需要对运 动方程进行积分，但由于数学上的困难，目前还无法在一般情动方程进行积分，但由于数学上的困难，目前还无法在一般情 况下进行。下面先讨论在况下进行。下面先讨论在恒定条件下理想流体运动方程沿流线恒定条件下理想流体运动

58、方程沿流线 的积分的积分。 Euler运动微分方程组 90 1. 无粘（理想）动量方程无粘（理想）动量方程 伯努利方程的导出伯努利方程的导出 uu t u pf . 1 uuuuuu 2 1 . 2. 定常流动定常流动 0 t u f p uu . 利用变换利用变换 91 改写成改写成 伯努利方程的导出伯努利方程的导出 f p uuuu 2 1 3. 沿流线。假设流体微团沿流线的微小位移沿流线。假设流体微团沿流线的微小位移dl在三在三 个坐标轴上的投影为个坐标轴上的投影为dx、dy和和dz l dfl d p l dul duu 2 1 0l du 成立条件：成立条件：沿同一流线沿同一流线；

59、无旋无旋w=0 92 注意到注意到 伯努利方程的导出伯努利方程的导出 4. 只考虑重力场只考虑重力场 l dfl d p l duu 2 1 gdzl df dp dz z p dy y p dx x p l d p 1 22 1 2 1 2222 u ddz z w dy y v dx x u l duu 93 积分积分 伯努利方程的导出伯努利方程的导出 5. 不可压不可压 0 2 2 gdz dpu d constgz dpu L 2 2 广义伯努利方程广义伯努利方程 constgz pu 2 2 伯努利方程伯努利方程 94 动能定理：某一运动物体在某一时段内的动能增量，等于在该时段内作用

60、于此物体动能定理：某一运动物体在某一时段内的动能增量，等于在该时段内作用于此物体 上所有的力所做的功之和。上所有的力所做的功之和。 元流段的动能增量元流段的动能增量: : 22 2121 221 1 () 2222 uuuu dA u dtdAu dtdQdt gg 重力所作的功为：重力所作的功为： 11122212 ()gdAds dtzgdA ds dtzdQdt zz 根据动能定理根据动能定理 压力所作的功为：压力所作的功为： 11 122212 ()p dAu dtp dA u dtdQdt pp 22 21 1212 ()()() 22 uu dQdtdQdt zzdQdt pp g