2021届高考数学二轮总复习 层级二 专题三 数列 第一讲 等差数列与等比数列学案

1、2021届高考数学二轮总复习 层级二 专题三 数列 第一讲 等差数列与等比数列学案2021届高考数学二轮总复习 层级二 专题三 数列 第一讲 等差数列与等比数列学案年级：姓名：专题三数列第一讲等差数列与等比数列1(2019全国卷)记sn为等差数列an的前n项和已知s40，a55，则()aan2n5 ban3n10csn2n28n dsnn22n解析：选a设首项为a1，公差为d.由s40，a55可得解得所以an32(n1)2n5，snn(3)2n24n.故选a2(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3()a16 b8c4 d2解析：选c由题意知

2、解得a3a1q24.故选c3(2018全国卷)记sn为等差数列an的前n项和，若3s3s2s4，a12，则a5()a12 b10c10 d12解析：选b设等差数列an的公差为d，由3s3s2s4，得32a1d4a1d，将a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.故选b4(2019全国卷)记sn为等比数列an的前n项和，若a11，s3，则s4_.解析：设等比数列的公比为q，则ana1qn1qn1.a11，s3，a1a2a31qq2，即4q24q10，q，s4.答案：5(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记sn为an的前n项和，若

3、sm63，求m.解：(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，则sn.由sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则sn2n1.由sm63得2m64，解得m6.综上，m6.6(2019全国卷)已知数列an和bn满足a11，b10，4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式解：(1)证明：由题设得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)又因为a1b11，所以anbn是首项为1

4、，公比为的等比数列由题设得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1，所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n. 明 考 情 等差数列与等比数列是高考必考内容，主要考查以下几个方面：(1)等差、等比数列通项的性质的应用，主要包括利用等差、等比数列通项的性质求指定项、公差或公比(2)利用等差、等比数列前n项和性质求和(3)数列的单调性及应用，主要包括与等差数列、等比数列的单调性有关的问题常考查“二小”或“一小一大”，难度中等偏下，解答题放在第1个解答

5、题位置.考点一等差、等比数列的基本量的运算|析典例|【例】(1)(一题多解)(2019广东六校第一次联考)记sn为等差数列an的前n项和，若s52s4，a2a48，则a5()a6 b7c8 d10(2)(一题多解)(2019四省八校联考)在公差不为0的等差数列an中，4a3a113a510，则a4()a1 b0c1 d2(3)(一题多解)(2019长春市高三第一次质量监测)设等比数列an的前n项和为sn.若s23，s415，则s6()a31 b32c63 d64解析(1)解法一：设等差数列an的公差为d，由题意，得解得故a5a14d21210，故选d解法二：因为s52s4，所以a5s5s4s4

6、s5.因为a1a5a2a48，所以s520，所以a5s52010，故选d(2)解法一：设数列an的公差为d(d0)，由4a3a113a510，得4(a12d)(a110d)3(a14d)10，即a13d5，故a45，所以a41，故选c解法二：设数列an的公差为d(d0)，因为anam(nm)d，所以由4a3a113a510，得4(a4d)(a47d)3(a4d)10，整理得a45，所以a41，故选c解法三：由等差数列的性质，得2a73a33a510，所以4a5a33a510，即a5a310，则2a410，即a45，所以a41，故选c(3)解法一：在等比数列an中，s2，s4s2，s6s4也成等

7、比数列，故(s4s2)2s2(s6s4)，则(153)23(s615)，解得s663.故选c解法二：设等比数列an的首项为a1，公比为q.若q1，则有snna1，显然不符合题意，故q1.由已知可得两式相除得1q25，解得q24.故q2或q2.若q2，代入解得a11，此时s663.若q2，代入解得a13，此时s663.故选c解法三：因为数列an为等比数列，若q1，则有snna1，显然不符合题意，故q1.设其前n项和为snaqna.由题意可得两式相除得1q25，解得q24.代入解得a1.故snqn1.所以s6q61(q2)3143163，故选c解法四：设等比数列的公比为q.则s2a1a23，s4a

8、1a2a3a4(1q2)(a1a2)(1q2)315，解得q24.故s6a1a2a3a4a5a6(1q2q4)(a1a2)(1442)363.故选c答案(1)d(2)c(3)c| 规 律 方 法 |等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量a1和公差d(公比q)(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，求出a1和d(q)后代入相应的公式计算提醒解决等差(比)数列基本运算的问题时，要注意等差(比)数列性质的应用注意整体思想，如在与等比数列前n项和有关的计算中，两式相除就是常用的计算方法，整体运算可以有效简化运算|练题点|1(2019东北三校联考)已知数列an的首项为

9、3，bn为等差数列，且bnan1an(nn*)，若b32，b212，则a8()a0 b109c181 d121解析：选b设等差数列bn的公差为d，则db3b214，因为an1anbn，累加得a8a1b1b2b7(b2d)(b25d)112，又a13，则a8109.2等比数列an的前n项和为sn.已知s3a210a1，a59，则a1()a bc d解析：选c由题知公式q1，则s3a1q10a1，得q29，又a5a1q49，则a1，故选c3(2019全国卷)记sn为等差数列an的前n项和若a10，a23a1，则_.解析：由a10，a23a1，可得d2a1，所以s1010a1d100a1，s55a1

10、d25a1，所以4.答案：44(创新题)(2019长春模拟)九章算术是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金菙(chu)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤问金菙重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤问金杖重多少？”答案是_解析：由题意可知等差数列中a14，a52，则s515，金杖重15斤答案：15斤考点二等差数列、等比数列的综合问题|析典例|【例】(2019贵阳模拟)设等比数列an的前n项和为sn，公比q0，a1a24，a3a26.(1)求数列an的通项公式；(2)若对任意的nn*，kan，sn，1都成等差数列，

11、求实数k的值解(1)a1a24，a3a26，q0，q3，a11.an13n13n1，故数列an的通项公式为an3n1.(2)由(1)知an3n1，sn，kan，sn，1成等差数列，2snkan1，即2k3n11，解得k3.| 规 律 方 法 |等差、等比数列的综合问题的解题技巧将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论|练题点|数列an的前n项和记为sn，a11，an12sn1(n1)(1)求an的通项公式；(2)等差数列bn的各项

12、为正，其前n项和为tn，且t315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，求tn.解：(1)由an12sn1，可得an2sn11(n2)，两式相减得an1an2an，则an13an(n2)因为a1s11，a22s113，所以a23a1.故an是首项为1，公比为3的等比数列，所以an3n1.(2)设等差数列bn的公差为d.由t315，即b1b2b315，可得b25，故b15d，b35d.又a11，a23，a39，且由a1b1，a2b2，a3b3成等比数列可得(15d)(95d)(35)2，解得d2或d10.因为等差数列bn的各项为正，所以d0，所以d2，b13，所以tn3n2n22n.考点三

13、等差数列、等比数列的判断与证明|析典例|【例】(2019贵州适应性考试)已知数列an满足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)求a2，a3；(2)证明：数列是等差数列，并求an的通项公式解(1)由已知得a22a14，则a22a14，又a11，所以a26.由2a33a212得2a3123a2，所以a315.(2)证明：由已知nan1(n1)an2n(n1)，得2，即2，又1，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列则12(n1)2n1，所以an2n2n.| 规 律 方 法 |判断和证明数列是等差(比)数列的两种方法(1)定义法：对于n1的任意自然数，验证an1an为与正整数n无关的一常数(2)中项法若2anan1an1(nn*，n2)，则an为等差数列；若aan1an1(nn*，n2)，则an为等比数列|练题点|已知数列an的前n项和sn，nn*.(1)求数列an的通项公式；(2)证明：对任意的n1，都有mn*，使得a1，an，a