同济高数12_7傅里叶级数

1、目录 上页 下页 返回 结束 第七节第七节 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 第十二章 傅里叶级数傅里叶级数 目录 上页 下页 返回 结束 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 :)sin(tAy (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 :)sin( 1 0n n n tnAAy tnAtnA nnnn sincoscossin 令 , 2 0 0 A a ,sin nnn Aa,cos nnn Abxt 得函数项级数

2、)sincos( 2 1 0 xnbxna a nn k 为角频率, 为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 目录 上页 下页 返回 结束 xxnkxnkd)cos()cos( 2 1 定理定理 1. 组成三角级数的函数系 ,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx 证证: 1 xnxdcos 1 xnxdsin0 xnxk coscos )(nk xxnxkdcoscos 0 0sinsin xxnxkd 同理可证 : ),2, 1(n xnkxnk)(cos)(cos 2 1 上在,正交 , ,上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的

3、函数之积在 0sincos xxnxkd )(nk 目录 上页 下页 返回 结束 上的积分不等于 0 . , 2d11 x xxn dsin 2 xxn dcos2 ),2, 1(n , 2 2cos1 cos 2 xn xn 2 2cos1 sin 2 xn xn 且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数 定理定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 )sincos( 2 )( 1 0 nxbnxa a xf nn n 右端级数可逐项积分, 则有 ), 1,0(dcos)( 1 nxn

4、xxfan ),2, 1(dsin)( 1 nxnxxfbn 证证: 由定理条件, 1 0 dsindcosd 2 d)( n nn xxnbxxnax a xxf 0 a ,对在 逐项积分, 得 目录 上页 下页 返回 结束 xxk a xxkxfdcos 2 dcos)( 0 1n xxnxkandcoscos xxnxkbndsincos xxkakdcos 2 k a xxkxfakdcos)( 1 ),2, 1(k (利用正交性) ),2, 1(dsin)( 1 kxxkxfbk xxfad)( 1 0 类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得 目录 上页 下页 返

5、回 结束 叶系数为系数的三角级数 称为 的傅傅里里叶系数叶系数 ; 1 0 sincos 2 )( n nn xnbxna a xf ), 1,0(dcos)( 1 nxnxxfan 由公式 确定的 nn ba , 以)(xf )(xf ),2, 1(dsin)( 1 nxnxxfbn 的傅里里 的傅傅里里叶级数叶级数 . 称为函数 )(xf 简介 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理)设 f (x) 是周期为2 的 周期函数, 并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个

6、周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a , )(xf , 2 )()( xfxf x 为间断点 其中 nn ba ,( 证明略证明略 )为 f (x) 的傅里里叶系数 . x 为连续点 注意注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多. 简介 目录 上页 下页 返回 结束 y x 例例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为 ), 0,1 0,1 )( x x xf 解解: 先求傅里叶系数 dcos)( 1 xnxxfan 0 0 dcos1 1 dcos) 1(

7、 1 xnxxnx ),2,1,0(0n 将 f (x) 展成傅里叶级数. O 1 1 目录 上页 下页 返回 结束 dsin)( 1 xnxxfbn 0 0 11 ( 1)sind1 sin d nxxnx x 0 1cos nx n 0 1cos nx n 2 1 cos n n 2 1 ( 1) n n 4 , n ,0 ,5,3,1n当 ,6,4,2n当 4 ( )sin f xxx3sin 3 1 xk k ) 12sin( 12 1 (,0,2 ,)xx 目录 上页 下页 返回 结束 y x 1 1 O ),2,0,(xx 7 7sin x 9 9sin x 1) 根据收敛定理可知

8、, 时,级数收敛于 0 2 11 2) 傅氏级数的部分和逼近 3 3sin sin 4 )( x xxf 5 5sin x 说明说明: ), 2, 1, 0(kkx当 f (x) 的情况见右图. O y x 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 上的表达式为 ), 0,0 0, )( x xx xf 将 f (x) 展成傅里叶级数. 解解: 0 d)( 1 xxfa 0 dcos 1 xxnx dcos)( 1 xnxxfan 0 d 1 xx 02 2 1 x 2 0 2 cossin 1 n nx n nxx 2 1 cos n n 它在 x

9、 y O 2332 目录 上页 下页 返回 结束 ), 2, 1(n dsin)( 1 xnxxfbn n n 1 ) 1( ),2,1(k 12 kn kn2, 0 0 dsin 1 xnxx )(xf 4 cos x 2 xsinx2sin 2 1 3sin 3cos xx 3 2 2 3 1 x4sin 4 1 5sin 5cos xx 5 2 2 5 1 cos1 2 n n an , ) 12( 2 2 k ),2,1,0,) 12(,(kkxx 说明说明: 当) 12(kx时, 级数收敛于 2 2 )(0 目录 上页 下页 返回 结束 , )(xxf 周期延拓 )(xF 傅里里叶展

10、开 ,)(在xf上的傅里叶级数 定义在定义在 , 上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法 ), )(xxf , )2(kxf其它 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 将函数 0, 0, )( xx xx xf 则 0 d)( 1 xxFa d)( 1 xxf 0 d 2 xx 0 2 2 2 x dcos)( 1 xnxxFan dcos)( 1 xnxxf 0 dcos 2 xnxx 0 2 cossin 2 n nx n nxx 解解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里叶级数. 2为周期的函数 F(x) , y x O 目录 上页 下页 返回 结束 x3cos 3

11、 1 2 n a )1cos( 2 2 n n 12 kn kn2,0 ),2,1(k , ) 12( 4 2 k dsin)( 1 xnxxFbn dsin)( 1 xnxxf0 )(xf 2 4 xcosx5cos 5 1 2 )(x 当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得 222 2 ) 12( 1 5 1 3 1 1 8 n 说明说明: 利用此展式可求出几个特殊的级数的和. 目录 上页 下页 返回 结束 4 2 , 4 21 3 1 2 24 2 设, 4 1 3 1 2 1 1 222 222 1 7 1 5 1 3 1 1 , 6 1 4 1 2 1 222 2 已知 8

12、 2 1 222 3 4 1 3 1 2 1 1 又 21 213 6 24 8 222 12 24 8 222 目录 上页 下页 返回 结束 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 1. 周期为周期为2 的的奇、偶函数的傅里叶级数奇、偶函数的傅里叶级数 定理定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为 周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 , 0 2 ( )cosd(0,1, 2,) n af xnxxn ),3,2,1( 0nbn ),2,1,0( 0nan 0 2 ( )sind(1, 2,3,) n bf xnxxn 它的傅里叶系数为 正

13、弦级数,它的傅里叶系数为 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设 的表达式为 f (x) x , 将 f (x) 展成傅里里叶级数. f (x) 是周期为2 的周期函数,它在 上), 解解: 若不计),2, 1,0() 12(kkx 是则)(xf 周期为 2 的奇函数, 0 dsin)( 2 xnxxfbn ),2,1,0(0nan ),3,2,1(n 0 dsin 2 xnxx 因此 0 2 sincos2 n nx n nxx n n cos 2 1 ) 1( 2 n n y xO 目录 上页 下页 返回 结束 n1 根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数: )(xf ,(x )3s

14、in 3 1 2sin 2 1 (sin2xxx 1 2 n nx n n sin ) 1( 1 (21) ,0,1 ,)xkk 级数的部分和 , ) 在上 逼近 f (x) 的情况见右图. y xO n2n3n4n5 O x y 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 将周期函数tEtusin)(展成傅里里叶级数, 其中 E 为正常数 . 解解:)(tu ; ),2,1(0nbn 0 a 0 dsin 2 ttE 4 E ttntuan 0 dcos)( 2 0 2 sin cosd Etntt 0 sin(1)sin(1)d E ntntt 是周期为2 的 周期偶函数 , 因此 0 d)(

15、 2 ttu 为便于计算, 将周期取为2 y 2xO2 目录 上页 下页 返回 结束 t 2cos 3 1 0 sin(1)sin(1)d n E antntt kn2 12, 0 kn ),2,1(k 1 a0 )(tu )(t 2 4 , (41) E k 0 sin2 d E tt 2 1 t 4cos 15 1 t6cos 35 1 2 E 4 E 2 1 41 cos2 41 k E kx k 目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义在定义在0, 上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数 ( ),0,f xx )(xF 周期延拓 F (x) )(xF f (x)

16、在 0, 上展成 周期延拓 F (x) 余弦级数 奇延拓偶延拓 xO y 正弦级数 f (x) 在 0, 上展成 O x y ( ),(0, f xx 0, 0 x (),(, 0)fxx ( ),0, f xx (),(, 0)fxx 目录 上页 下页 返回 结束 x y O 1 例例6. 将函数)0(1)(xxxf分别展成正弦级 数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓, 0 dsin)(xnxxf 2 n b 0 dsin) 1( 2 xnxx 2 0 2cossincos xnxnxnx nnn 2 1coscos nn n 12 kn kn2

17、 ),2, 1(k 22 , 21 k , 1 k 目录 上页 下页 返回 结束 n b 12, 12 22 kn k kn k 2, 1 ),2, 1(k 2 1xxsin)2( x2sin 2 x3sin 3 2 x4sin 4 )0( x 注意注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 , 与给定函数 因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . x y O 1 目录 上页 下页 返回 结束 再求余弦级数. x y 将)(xf则有 O 0 a 0 2 (1)d xx n a 0 2 (1)cosd xnxx 2 0 2 2 x x 2 2 0 2sincossin xnxnxnx

18、 nnn 2 2 cos1 n n 2 4 ,21 (21) nk k kn2,0 ),2, 1(k 作偶周期延拓 , 1 目录 上页 下页 返回 结束 n a 12, ) 12( 4 2 kn k kn2,0 ),2, 1(k 11 2 x xcosx3cos 3 1 2 (0)x x5cos 5 1 2 说明说明: 令 x = 0 可得 2 22 11 1 358 2 2 1 1 (21)8 n k 即 4 1 2 2 1 41 (21) k k xk) 12cos( x y O 1 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 1. 周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理 )sin

19、cos( 2 )( 1 0 xnbxna a xf nn n )(间断点x 其中 1 ( )cosd n af xnx x 1 ( )sind n bf xnx x ),2, 1 ,0(n ),2, 1(n 注意注意: 若 0 x为间断点,则级数收敛于 2 )()( 00 xfxf 目录 上页 下页 返回 结束 2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数 3. 在 0, 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数 1. 在 0 , 上的函数的傅里里叶展开法唯一吗 ? 答答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 . 思

20、考与练习思考与练习 目录 上页 下页 返回 结束 , 处收敛于 2. )(xf 0 x ,1 0 x,1 2 x 则它的傅里里叶级数在x 在4x处收敛于 . 提示提示: ()() 2 ff () 2 f ()f 2 2 2 (4)(4) 2 ff 2 )0()0( ff 2 11 0 2 设周期函数在一个周期内的表达式为 x y O 1 1 目录 上页 下页 返回 结束 xO 3. 设,0,)( 2 xxxxf又设)(xS 求当( ,2 )( ) xS x的表达式 . 解解: 由题设可知应对 )(xf作奇延拓: )(xF xxx0, 2 0 x,0 0 x, 2 xx (, ), 在上; )(

21、)(xFxS由周期性:( ,2 ),在上 ( )(2 )S xS x 2(,0)x 2 (2 )(2 )xx 22 32xx )(xf是 (0, )2 以为周期的正弦级数展开式的和函数, 在 2 x f (x)的定义域 内 时 目录 上页 下页 返回 结束 x y O 1 1 )(xf 4. 写出函数)(xf 0, 1x x0, 1 上在, 傅氏级数的和函数 . )(xS 0, 1x x0, 1 0 x,0 x,0 答案: 定理3 目录 上页 下页 返回 结束 P313 1(1) , (3) ; 2 (1) , (2) ; 5 ; 6 ; 7 (2) 第八节 作业作业 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 2 ( )f xxx()x 叶级数展式为, )sincos( 2 1 0 n nn nxbnxa a 则其中系数 . 3 b 提示提示: 1 3 ( )sin3 d bf xxx 2 1 ()sin3 d xxxx x x3sin 0 x3cos 3 1 x3sin 9 1 2 (cos3