周期函数的傅里叶级数

1、1 Fourier series 周期函数的傅里叶级数周期函数的傅里叶级数 上一节详细研究了一种重要的函数项级数上一节详细研究了一种重要的函数项级数: : 幂级数幂级数. . 下面研究另一种重要的函数项级数下面研究另一种重要的函数项级数: : 这种级数是由于这种级数是由于研究周期现象的需要而研究周期现象的需要而 产生产生的的. 它在电工、力学和许多学科中都有很它在电工、力学和许多学科中都有很 重要的应用重要的应用. 傅里叶傅里叶 级数级数. . 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 1757年年, 法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动法国数学家克莱罗在

2、研究太阳引起的摄动 时时, 大胆地采用了大胆地采用了三角级数三角级数表示函数表示函数: ,cos2)( 1 0 n n nxAAxf 1759年年, 拉格朗日在对声学的研究中也使用了拉格朗日在对声学的研究中也使用了三三 角级数角级数. 1777年年, 欧拉在研究天文学的时候欧拉在研究天文学的时候, 用三角用三角 函数的正交性得到了将函数表示成三角级数时的系函数的正交性得到了将函数表示成三角级数时的系 数数, 也就是现今教科书中傅里叶级数系数也就是现今教科书中傅里叶级数系数. 历史朔源历史朔源 2 0 dcos)( 2 1 xnxxfAn 在历史上在历史上, 三角级数的出现和发展与求解微分方三角

3、级数的出现和发展与求解微分方 程是分不开的程是分不开的. 1753年年, 丹丹 贝努利首先提出将弦振动贝努利首先提出将弦振动 方程的解表示为三角级数的形式方程的解表示为三角级数的形式, 这为函数的傅里叶这为函数的傅里叶 展开这个纯数学问题奠定了物理基础展开这个纯数学问题奠定了物理基础, 促进了分析学促进了分析学 的发展的发展. 1822年年, 傅里叶在傅里叶在热的解析理论热的解析理论一书中对一书中对 于欧拉和贝努利等人就一些孤立的特殊的情形所采用于欧拉和贝努利等人就一些孤立的特殊的情形所采用 的三角级数方法进行加工处理的三角级数方法进行加工处理, 发展成一般理论发展成一般理论. 傅里叶傅里叶(

4、Fourier)级数级数 在自然界和人类的生产实践中在自然界和人类的生产实践中, 周期运动很常见周期运动很常见. 如行星的飞转如行星的飞转, 飞轮的旋转飞轮的旋转, 蒸气机活塞的往复运动蒸气机活塞的往复运动, 数学上数学上, 用周期函数来描述它们用周期函数来描述它们. 最简单最基本最简单最基本 的周期函数是的周期函数是 )sin( tA谐函数谐函数 周期周期 2 振幅振幅时间时间 角频率角频率 初相初相 简谐波简谐波 简谐振动简谐振动 正弦型函数正弦型函数 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 物体的振动物体的振动, 声、光、电的波动等声、光、电的波动等. 问题的提出问题的提出 如矩形波如矩

5、形波 t t tu 0 , 1 0 , 1 )( 当当 当当 除了正弦函数外除了正弦函数外,常遇到的是常遇到的是非正弦周期函数非正弦周期函数, 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 O t u 1 1 tusin 4 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 1 1 O t u 2 2 2 2 2 3 2 3 O t u 1 1 )3sin 3 1 (sin 4 ttu 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 O t u 1 1 2 2 2 2 2 3 2 3 O t u 1 1 )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 tttu 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 O t u

6、1 1 2 2 2 2 2 3 2 3 O t u 1 1 )7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 ttttu 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 O t u 1 1 2 2 2 2 2 3 2 3 O t u 1 1 )9sin 9 1 7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 tttttu 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 O t u 1 1 2 2 2 2 2 3 2 3 O t u 1 1 12 )9sin 9 1 7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 ttttt )0 ,( tt 傅里叶傅

7、里叶(Fourier)级数级数 O t u 1 1 t t tu 0 , 1 0 , 1 )( 当当 当当 把一个周期运动把一个周期运动 (如矩形波如矩形波) 分解为简谐振动的分解为简谐振动的 迭加迭加, 反映在数学上反映在数学上, 是把一个是把一个周期函数周期函数 f(t) 表示为表示为 各类正弦函数的迭加各类正弦函数的迭加, 即即 1 0 )sin()( n nn tnAAtf 谐波分析谐波分析 即即 1 0 )sincoscossin()( n nnnn tnAtnAAtf 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 , 2 0 0 A a 令令,sin nnn Aa ,cos nnn Ab

8、 . xt 三角级数三角级数 1 0 )sincos( 2n nn nxbnxa a 1 0 )sincoscossin( n nnnn tnAtnAA 函数函数 f (t) 满足什么条件满足什么条件, 系数系数 nn baa, 0 才能展为才能展为 如何确定如何确定? ).( 2 ,xf为为周周期期的的函函数数考考虑虑以以为为简简便便计计 1 三角级数三角级数? 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 , 1 基本三角函数系的正交性基本三角函数系的正交性 的的正交性正交性是指是指:其中任何两个其中任何两个不同的函数的乘积不同的函数的乘积 ,上的积分为零上的积分为零 在一个周期长的区间在一个周

9、期长的区间 而任而任 一个函数的自乘一个函数的自乘 (平方平方) 在在 ,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cosnx,sinnx . ,上的积分非零上的积分非零 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 (orthogonality) 基本三角函数系基本三角函数系 nmxnxmx , 0dsinsin 0dcossin xnxmx , 2 , 1 , nm其中其中 xnxdcos 2 xnxdsin 2 xnxmxdcoscos 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 , 1,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cosnx,sinnx 0dsin1dcos1

10、xnxxnx,2d12 x 傅里叶系数傅里叶系数 (Fourier coefficient) 1 0 )sincos( 2 )( k kk kxbkxa a xf设有设有 . )1( 0 a求求 0 a xxfad)( 1 0 x a d 2 0 三角函数系的正交性三角函数系的正交性 两边积分两边积分 1 )dsindcos( k kk xkxbxkxa 0 0 xkxbkxax a xxf k kk d )sincos(d 2 d)( 1 0 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 . )2( n a求求 xnxxfdcos)( dcossindcoscos 1 xnxkxbxnxkxa k

11、 k k 1 0 )sincos( 2 )( k kk kxbkxa a xf xnxandcos 2 n a ) , 3 , 2 , 1( dcos)( 1 nxnxxfan 逐项积分得逐项积分得到到并从并从两边同时乘以两边同时乘以 cos nx xnx a dcos 2 0 时非零时非零 nk 0 0 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性 19 . )2( n b求求 xnxxfdsin)( dsinsindsincos 1 xnxkxbxnxkxa k k k 1 0 )sincos( 2 )( k kk kxbkxa a xf xnxbndsin

12、 2 n b ) , 3 , 2 , 1( dsin)( 1 nxnxxfbn 逐项积分得逐项积分得到到并从并从两边同时乘以两边同时乘以 in nxs xnx a dsin 2 0 0 0 时非零时非零 nk 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性 的傅里叶级数的傅里叶级数设设)( ,)( 2 xxxxf 则则展开式为展开式为)sincos( 2 1 0 nxbnxa a n nn ).( 3 b系数系数 3 2 xnxxfbndsin)( 1 解解 由由傅里叶系数公式傅里叶系数公式 , 3 n xxxxbd3sin)( 1 2 3 xxxxxxd3sin

13、d3sin 1 2 dxxx 3sin 3 2 偶偶 奇奇 0 2 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 0 ) , 2 , 1(,dsin)( 1 ) , 2 , 1 , 0( ,dcos)( 1 nxnxxfb nxnxxfa n n 其中其中 函数函数 f (x) 的的傅里叶级数傅里叶级数 1 0 )sincos( 2 n nn nxbnxa a 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 . 2/3 , 2/ ,2 0, , 2 等等例如例如的值不变的值不变与与 的区间的区间任一个长度为任一个长度为定积分的积分区间换成定积分的积分区间换成 nn ba 注注 称为函数称为函数 f (x)

14、的的傅里叶系数傅里叶系数. 函数函数 f (x)的的傅里叶级数傅里叶级数常记为常记为 f (x) 1 0 )sincos( 2 n nn nxbnxa a 注注 f (x) 的傅里叶级数不见得收敛；的傅里叶级数不见得收敛； 即使收敛，即使收敛， 级数的和也不一定是级数的和也不一定是 f (x).不能无条件的不能无条件的 傅里叶级数收敛定理傅里叶级数收敛定理解决了这些问题解决了这些问题. 所以所以, 把符号把符号“ ” 它的傅里叶级数收敛，它的傅里叶级数收敛， 当当 f (x) 满足什么条件时，满足什么条件时， 并收敛于并收敛于 f (x) 本身本身. 换为换为 “=”. 傅里叶傅里叶(Four

15、ier)级数级数 狄利克雷狄利克雷 (Dirichlet) 收敛定理收敛定理 满足满足为周期的函数为周期的函数是以是以设设 , 2 )( xf ;)1(有有限个第一类间断点有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只在一个周期内连续或只 .)2(在一个周期内逐段单调在一个周期内逐段单调 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 , )( , 2 )()( )( ),( )( 的第一类间断点的第一类间断点为为若若 的连续点，的连续点，为为若若 xfx xfxf xfxxf xs , )( 的傅里叶级数处处收敛的傅里叶级数处处收敛则则xf 且且 . )( )( 的傅里叶级数的和函数的傅里叶级数的和函数为

16、为其中其中xfxs (1) 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 (2) 周期函数的三角级数展开是唯一的周期函数的三角级数展开是唯一的, 就是就是 (3) 要注明要注明傅氏级数的和函数与函数傅氏级数的和函数与函数 f (x) 相等相等 注注 幂级数的条件低幂级数的条件低得得多多; 其其傅里叶级数傅里叶级数; 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 的的 x 的取值范围的取值范围. 解解, )( 满足狄利克雷条件满足狄利克雷条件函数函数xf因为因为 )( f )( f 收敛于收敛于的傅里叶级数在点的傅里叶级数在点所以所以 )( xxf 2 )()( ff ,1)1

17、(lim 22 x x , 1)1(lim x 2 2 , 0 ,1 , 0 , 1 )( 2 2 时时当当 时时当当 的函数的函数周期为周期为 xx x xf _. 处收敛于处收敛于的傅里叶级数在的傅里叶级数在 x 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 )( f 周期函数的周期函数的傅里叶级数解题程序傅里叶级数解题程序 并验证是否满足狄氏条件并验证是否满足狄氏条件 (画图目的画图目的: 验证狄氏条件验证狄氏条件;由图形写出收敛域由图形写出收敛域; 易看出奇偶性可减少求系数的工作量易看出奇偶性可减少求系数的工作量); (2) 求出傅氏系数求出傅氏系数; (3) 写出傅氏级数写出傅氏级数, 并

18、注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于 f (x). 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 (1) 画出画出 f (x)的图形的图形, 解解 u(t) 的图象的图象 计算傅里叶系数计算傅里叶系数 tnttudcos)( 1 ) , 2 , 1 , 0( n 奇奇 0 的傅里叶级数的傅里叶级数. 例例 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 Ot u m E m E 0 , 0 , )( 2 tE tE tu m m 的矩形脉冲波的矩形脉冲波求周期为求周期为 xnxxfandcos)( 1 tnttubndsin)( 1 )cos1( 2 n n Em )1(1 2 nm n E 偶偶 tnt

19、 Em dsin 0 cos 2 nt n Em , 4 n Em , 0 , 5 , 3 , 1 n , 6 , 4 , 2 n 0 2 tn n E tu n m )12sin( 12 14 )( 1 )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 ttt Em 1 0 )sincos( 2 )( n nn nxbnxa a xf 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 故故 u(t) 的傅里叶级数为的傅里叶级数为 时时当当 kt 由于由于u(t)满足狄利克雷条件满足狄利克雷条件, ,), 2, 1, 0(处处不不连连续续在在点点 kkt 2 mm EE 收敛于收敛于 2 )( mm

20、EE 0 所以所以 tn n E n m )12sin( 12 14 1 ),(tu 时时当当 kt , 0 tn n E tu n m )12sin( 12 14 )( 1 ),2, 0;( tt 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 u(t)的图象的图象 Ot u m E m E 和函数图象和函数图象 Ot u m E m E 且且为周期为周期以以函数函数 , 2 )( xf ,0, 0 , 0, )( x xx xf 解解 计算傅里叶系数计算傅里叶系数 xxfad)( 1 0 0 d 1 xx 2 例例 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 2 3 2 3 Ox y 将将 f (x)

21、 展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数. f (x) 的图象的图象 xnxxfandcos)( 1 0 dcos 1 xnxx )cos1( 1 2 n n 0 2 cossin1 n nx n nxx , 2 2 n , 0 , 5 , 3 , 1 n ;, 6 , 4 , 2 n )1(1 1 2 n n xnxxfbndsin)( 1 0 dsin 1 xnxx 0 2 sincos1 n nx n nxx n n cos . )1( 1 n n 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 1 1 2 sin )1( cos)1(1 1 4 n n n nx n nx n )(xf 傅里叶傅里叶

22、(Fourier)级数级数 故故 f (x) 的傅里叶级数的傅里叶级数 , 2 2 n , 0 , 5 , 3 , 1 n ;, 6 , 4 , 2 n n a. )1( 1 n b n n )3sin 3 1 3cos 3 2 ( 2 xx x2sin 2 1 x4sin 4 1 )5sin 5 1 5cos 5 2 ( 2 xx )sincos 2 ( 4 xx 由于由于 f (x) 满足狄利克雷充分条件满足狄利克雷充分条件, , ) , 2 , 1 , 0( )12( 处处不不连连续续在在点点 kkx 2 )()( ff 收敛于收敛于 ).( )12( xfkxx处处收收敛敛于于在在连连

23、续续点点 22 0 由由收敛定理收敛定理得得 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 2 3 2 3 Ox y 的图象的图象)(xf和和函函数数的的图图象象 2 2 3 2 3 Ox y )(xf )3sin 3 1 3cos 3 2 ( 2 xx x2sin 2 1 x4sin 4 1 )5sin 5 1 5cos 5 2 ( 2 xx ). ,3 , ;( xx )sincos 2 ( 4 xx 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 :)( )( )1(xFxf作周期延拓得周期函数作周期延拓得周期函数对函数对函数 (2) F(x) 展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数; 注注 , ; )(

24、, )()3( 的傅里叶级数展开式的傅里叶级数展开式 内便是内便是的傅里叶级数限制在的傅里叶级数限制在xfxF , )4(处处 x 作作 法法 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 对于非周期函数对于非周期函数,如果如果 f (x)只在区间只在区间 上有定义上有定义, 并且满足狄氏充分条件并且满足狄氏充分条件,也可展开成 也可展开成 傅氏级数傅氏级数. ).()( 2 1 ff级数收敛于级数收敛于 2 )( ),()( ), 周期为周期为且且内内在在xFxfxF 解解 , 例例 将函数将函数 xx xx xf 0 , 0 , )(展开为傅氏级数展开为傅氏级数. 延拓后的周期函数延拓后的周期函

25、数连续连续, 其傅氏级数展开式在其傅氏级数展开式在 xxfad)( 1 0 0 d 2 xx 下面计算傅里叶系数下面计算傅里叶系数. 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 Ox y 2 2 收敛于收敛于 f (x). xnxxfandcos)( 1 )1(cos 2 2 nx n 1)1( 2 2 n n |x|x|xf ,)( 0 dcos 2 xnxx 偶函数偶函数 , 6 , 4 , 2, 0 , 5 , 3 , 1, 4 2 n n n xnxxfbndsin)( 1 0 奇函数奇函数 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 1 2 )12cos( )12( 14 2 )( n xn

26、 n xf )( x 所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为 )5cos 5 1 3cos 3 1 (cos 4 2 22 xxx 利用傅氏展开式求级数的和利用傅氏展开式求级数的和 , 0)0( , 0 fx时时当当 22 2 5 1 3 1 1 8 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 |x|x|xf ,)( , 4 1 3 1 2 1 1 222 设设 85 1 3 1 1 2 22 1 , 6 1 4 1 2 1 222 2 222 3 4 1 3 1 2 1 1 4 2 , 24 2 21 , 6 2 . 12 2 , 4 21 3 1 2 3 21 傅里叶傅里叶(Fourie

27、r)级数级数 2 )( 2 , 2 , )( 以以写出写出设设xf |x|/x /|x|x xf 为周期的傅氏级数的为周期的傅氏级数的和函数和函数 s(x) 在在 上的上的, 解解 s(x) = , x 2 x , x x 2 , 0 , 2 x 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 表达式表达式. 由由 f (x) 周期延拓后的函数图像可知周期延拓后的函数图像可知 , 6 1 2 1 2 n n 已知级数已知级数 则级数则级数 的和的和 1 2 12 1 n n 等于等于8 2 1 2 2 1 6 n n 1 2 )12( 1 n n 1 2 1 2 1 4 1 )12( 1 nn nn

28、解解 64 1 )12( 1 2 1 2 n n 2222 4 1 3 1 2 1 1 1 1 2 )2( 1 n n 8)12( 1 2 1 2 n n 所以所以, 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 由奇函数与偶函数的积分性质由奇函数与偶函数的积分性质 系数的公式系数的公式,易得下面的结论易得下面的结论. 和傅里叶和傅里叶 n a n b 此时称傅里叶级数为此时称傅里叶级数为nxb n n sin 1 即即 xnxxfandcos)( 1 ), 2 , 1 , 0( n 0 ), 2 , 1( n xnxxfbndsin)( 1 2 0 xnxxfdsin)( (sine series

29、) 正弦级数正弦级数, 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 sine series and cosine series 四、正弦级数和余弦级数四、正弦级数和余弦级数 它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 ,)( 2 . 1展展成成傅傅里里叶叶级级数数时时的的奇奇函函数数当当周周期期为为xf n b 此时称傅里叶级数为此时称傅里叶级数为 nxa a n n 1 0 cos 2 即即 ), 2 , 1( n ), 2 , 1( n n a 0 dcos)( 2 xnxxf xnxxfandcos)( 1 xnxxfbndsin)( 1 0 注注 将函数展为傅里叶级数时将函数展为傅里叶级数时, 先要

30、考查函数先要考查函数 这是非常有用的这是非常有用的.是否有奇偶性是否有奇偶性, 0 a 0 d)( 2 xxf (cosine series)余余弦级数弦级数, 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 ,)( 2 . 2展展成成傅傅里里叶叶级级数数时时的的偶偶函函数数当当周周期期为为xf xx xx xf 0, 0, )( 2 的函数的函数试将周期为试将周期为 解解 函数的图形如图函数的图形如图,电学上称为 电学上称为 偶函数偶函数 0 a 0 d)( 2 xxf 0 d 2 xx 0 dcos)( 2 xnxxfan )1(cos 2 2 nx n 1)1(

31、 2 2 n n 0 dcos 2 xnxx 的的图图象象)(xf 例例 展为傅里叶级数展为傅里叶级数. 锯齿波锯齿波. 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 O x y 2 2 3 , 6 , 4 , 2, 0 , 5 , 3 , 1, 4 2 n n n ,)(处处处处连连续续由由于于xf所以所以 1 2 )12cos( )12( 14 2 )( n xn n xf x xxx5cos 5 1 3cos 3 1 cos 4 2 22 0 n b nxa a n n 1 0 cos 2 余余弦级数弦级数 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 O x y 2 2 3 解解 所给函数满足狄利

32、克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. 为为周周期期的的是是以以时时 2)()12(xfkx ), 2 , 1 , 0(, 0 nan 奇函数奇函数 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 2 2 3 3x y O 设设 f (x)是周期为是周期为 的周期函数的周期函数,它在它在例例 2上上), 上的表达式为上的表达式为,)(xxf 将将 f (x)展开成傅氏级数展开成傅氏级数. f (x)的图形的图形 2 )0()0( ff 收敛于收敛于 2 )( , 0 ),()12(xfkxx处收敛于处收敛于在连续点在连续点 0 dsin)( 2 xnxxfbn 0 dsin 2 xnxx 0 2

33、sincos 2 n nx n nxx n n cos 2 1 )1( 2 n n ), 2 , 1( n ,), 2, 1, 0()12(处不连续处不连续在点在点 kkx 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 的的图图形形)(xf 2 2 3 3x y O 和函数图象和函数图象 2 2 3 3x y O )3sin 3 1 2sin 2 1 (sin2)( xxxxf 1 1 sin )1( 2 n n nx n ),3,;( xx nxb n n sin 1 正弦级数正弦级数 1 )1( 2 n n n b), 2 , 1( n 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 例例 在无线电设备

34、中在无线电设备中,常用电子管整流器将交流电常用电子管整流器将交流电 转换为直流电转换为直流电.已知电压已知电压 t为时间为时间 试将试将E(t)展为傅氏级数展为傅氏级数. |sin|)(ttE 解解 为为)(tE , 0 n b), 2 , 1( n 在整个数轴上连续在整个数轴上连续. ttad |sin| 2 0 0 0 4 dsin 2 tt 偶函数偶函数, , 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 2 2 1 t E O 所给函数满足狄利克雷充分条件，所给函数满足狄利克雷充分条件， 0 dcossin 2 tnttan 0 1 )1cos( 1 )1cos(1 n tn n tn )1

35、( n n为奇数为奇数 n为偶数为偶数 0 1 dcossin 2 ttta0 0 d)1sin()1sin( 1 ttntn , 0 . )1( 4 2 n )( t (n=1时也对时也对) 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 )6cos 35 1 4cos 15 1 2cos 3 1 ( 42 ttt )(tE 上上函数定义在函数定义在, 0 上上函函数数延延拓拓到到一一个个周周期期, 数数轴轴上上函函数数按按周周期期延延拓拓到到整整个个 级数级数上的函数展开成傅立叶上的函数展开成傅立叶定义在定义在, 0 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 上上的的使使函函数数成成为为,. 1 上

36、上有有上上的的函函数数延延拓拓到到把把, 0 上上的的使使函函数数成成为为,. 2 奇延拓奇延拓 偶延拓偶延拓 两种两种: 正弦级数正弦级数. 偶函数偶函数, 奇函数奇函数, 余弦级数余弦级数; 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 因而展开成因而展开成 因而展开成因而展开成 上有定义上有定义., 0 作法作法 3. F(x)可展开为傅氏级数可展开为傅氏级数, 这个级数必定是这个级数必定是 )()(xfxF 得到得到 f (x)的的正弦级数正弦级数 的展开式的展开式. 上，上，在在限制限制, 0(. 4 x ,( (偶函数偶函数)的的奇函数奇函数 正弦级数正弦级数(余弦级数余弦级数) (余弦级数余弦级数) 注注 其实也不必真正实施这一手续其实也不必真正实施这一手续. 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 满足收敛定理的条件满足收敛定理的条件1. f (x)在在 2. 在开区间在开区间 内补充定义内补充定义,得到定义在得到定义在 上的函数上的函数F(x), ),( 使它成为使它成为 在上在上 )0 ,( 解解(1) 求正弦级数求正弦级数. .进行进行对对)(xf 0 dsin)1( 2 xnxx )coscos1( 2 nn n 0 n a n 22 , 5 , 3 , 1 n n 2 , 6 , 4 , 2 n 奇延拓奇延拓, nxb n n sin 1 正弦级数正弦级数