哈工程3系自控原理B--chap3

1、第三章第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法 系统的时域性能指标系统的时域性能指标1 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析2 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析3 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析4 线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算5 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法 引引 言言 自动控制系统好？差自动控制系统好？差? ? 系统分析系统分析 典型的输入信号典型的输入信号 时域性能指标时域性能指标 动态性能动态性能 指标指标 稳态性能稳态性能 指标指标 稳定性稳定性 时域分析时域分析 复域分析复域分析 频域分析频域分析 单位脉冲单位脉冲 阶跃阶跃 斜坡斜坡

2、 正余弦正余弦 ( ) ( ) ( ) C s s R s ( )( ) ( )C ss R s 1 ( )( ) ( )c tLs R s 时域分析方法时域分析方法 求解过程：求解过程： 优点：优点：直观、准确直观、准确 n 定义：定义： 输入某一信号，输入某一信号，在在时域中时域中研究分析系统研究分析系统 的输出。的输出。 根据输出量的时域表达式，分析系统的根据输出量的时域表达式，分析系统的 稳定性、动态性能和稳态性能稳定性、动态性能和稳态性能。 缺点：缺点：繁琐繁琐 工程应用中常用的输入信号工程应用中常用的输入信号 阶跃函数阶跃函数 斜坡斜坡(速度速度)函数函数 加速度加速度(抛物线抛物

3、线)函数函数 正（余）弦函数正（余）弦函数 脉肿函数脉肿函数 1、典型输入信号、典型输入信号 一、系统的时域性能指标一、系统的时域性能指标 阶跃函数阶跃函数 0 ( ) 00 Rt r t t R 常数 单位阶跃函数：R1，记做1(t)。 s tL 1 )( 1 斜坡函数（匀速函数）斜坡函数（匀速函数） 0 ( ) 00 Rtt r t t 单位斜坡函数：单位斜坡函数：R1 R 常数 ( )r tt 2 1 s tL 匀加速函数（加速度函数）匀加速函数（加速度函数） 2 0 ( ) 00 Rtt r t t R 常数 3 2 1 2 1 s tL 单位匀加速函数：单位匀加速函数：R1/2 正弦

4、函数正弦函数 ( )sin()r tAt A 振幅 角频率 初相 单位正弦函数：单位正弦函数：A1 22 sin s tL t 0 1 tsin 22 cos s s tL 脉冲函数脉冲函数 00 ( ) 0 t t t 00, ( ) 1 0 h tth t ht h 理想脉冲函数：理想脉冲函数： 实际脉冲数：实际脉冲数： 1)(tL 如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐渐如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐渐 增加的信号，则选用增加的信号，则选用斜坡函数。斜坡函数。 如果是工作在舰船上的一类控制系统经常受到如果是工作在舰船上的一类控制系统经常受到 海浪的干扰，由于海浪的特性接近正弦，则

5、选海浪的干扰，由于海浪的特性接近正弦，则选 取取正弦函数正弦函数。 如果作用到系统输入端的信号具有突变性质的，如果作用到系统输入端的信号具有突变性质的， 则选用则选用阶跃函数。阶跃函数。 典型输入信号的选取典型输入信号的选取 2、动态过程与稳态过程、动态过程与稳态过程 系统的系统的时间响应时间响应由由动态过程动态过程和和稳态过程稳态过程两部分组成。两部分组成。 动态过程：动态过程：指系统在典型输入信号作用下，系统输指系统在典型输入信号作用下，系统输 出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称过渡过出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称过渡过 程、瞬态过程。程、瞬态过程。 稳态过程：稳态过程：指

6、系统在典型输入信号作用下，当时间指系统在典型输入信号作用下，当时间t 趋于无穷时，系统输出量的表现方式趋于无穷时，系统输出量的表现方式,又称稳态响应，又称稳态响应， 表征系统输出量最终复现输入量的程度。表征系统输出量最终复现输入量的程度。 性能指标性能指标分为分为动态性能动态性能和和稳态性能稳态性能。 稳定的随动系统（不计扰动）的单位阶跃响应稳定的随动系统（不计扰动）的单位阶跃响应 函数有衰减振荡和单调变化两种。函数有衰减振荡和单调变化两种。 2.1 动态性能指标动态性能指标 描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态 过程随时间过程随时间 t 的变化状况

7、的指标，称为动态的变化状况的指标，称为动态 性能指标。性能指标。 延迟时间延迟时间td： 响应曲线第一次达到其终值一半所需时间响应曲线第一次达到其终值一半所需时间 误差带误差带 h(t) td 0 h() t 稳态误差稳态误差(t) 0.5h() 衰减振荡衰减振荡 上升时间上升时间tr： 误差带误差带 tr h(t) 0 h() t 稳态误差稳态误差(t) 0.1h() 0.9h() 响应从终值响应从终值10%10%上升到终值上升到终值90%90%所需时间；对有振荡系统亦所需时间；对有振荡系统亦 可定义为响应从零到第一次上升到终值所需时间。上升时可定义为响应从零到第一次上升到终值所需时间。上升

8、时 间是响应速度的度量。间是响应速度的度量。 误差带误差带 h(t) tp 0 h() t 稳态误差稳态误差(t) 0.1h() 峰值时间峰值时间t tp p： 响应超过其终值到达第一个峰值所需时间。响应超过其终值到达第一个峰值所需时间。 调节时间调节时间ts： 响应到达并保持在终值响应到达并保持在终值 5%(5%(2%)2%) 内所需内所需 时间。时间。 误差带误差带 h(t) 0 h() ts t 稳态误差稳态误差(t) 超调量超调量 %： %100 )( )()( % h hth p 误差带误差带 h(t) tp 0 h() t 稳态误差稳态误差(t) 超调量超调量 响应的最大偏离量响应

9、的最大偏离量h(th(tp p) )与与 终值终值h()h()之差的百分比，之差的百分比， 上述五项性能指标基本上可以反映系统的动上述五项性能指标基本上可以反映系统的动 态过程的特征。常用态过程的特征。常用上升时间上升时间tr或或峰值时间峰值时间tp 评价系统的响应速度；用评价系统的响应速度；用超调量超调量 评价系评价系 统的阻尼程度；统的阻尼程度；调节时间调节时间ts则同时反映出系则同时反映出系 统的阻尼程度和响应速度的综合指标。统的阻尼程度和响应速度的综合指标。 单调变化单调变化 单调变化响应曲线如图 所示： 这种系统就无需采用峰值时间和超调量这两个 指标。此时最常用的是调节时间这一指标来

10、表 示瞬态过程的快速性。有时也采用上升时间这 一指标。 y )(y 2 )(y t tstd )(05. 0y )(02. 0y或或 tr 稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能 指标，通常在阶跃函数、斜坡函数或加速指标，通常在阶跃函数、斜坡函数或加速 度函数作用下进行测定或计算。度函数作用下进行测定或计算。 若时间趋于无穷时，系统的输出量不等于若时间趋于无穷时，系统的输出量不等于 输入量或输入量的确定函数，则系统存在输入量或输入量的确定函数，则系统存在 稳态误差稳态误差 ess。 2.2 稳态性能稳态性能 ess=被控量的期望值被控量的期望值-被控量的实际值

11、被控量的实际值 从输出端定义的稳态误差。从输出端定义的稳态误差。 稳态误差和稳态偏差稳态误差和稳态偏差 从输入端定义的稳态误差。从输入端定义的稳态误差。 ess=r()-b() 如果反馈通道传递函数为如果反馈通道传递函数为1，则系统的，则系统的 输入就是被控量的期望值输入就是被控量的期望值 R(s) C(s) E(s) G(s) H(s) - - B(s) 系统应该是稳定的； 系统达到稳态时，应满足给定的稳态误 差的要求； 系统在瞬态过程中应有好的快速性。 简称为：稳、准、快稳、准、快 对一个控制系统的要求对一个控制系统的要求 二、二、 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 1、一阶系统、一阶

12、系统 T时间常数，代表系统惯性。时间常数，代表系统惯性。 )()( )( tutu dt tdu CR rc c ( )11 ( )11 c r Us UsR C sTs R i(t) C )(tur )(tuc R(s) C(s) E(s) (- -) 1/Ts 传递函数传递函数: 结构图结构图 ： 微分方程：微分方程： 一般地，把微分方程为一般地，把微分方程为 传递函数为传递函数为 的系统叫做一阶系统。的系统叫做一阶系统。 )()( )( trtc dt tdc T ( )1 ( ) ( )1 C s s R sTs 单位阶跃响应单位阶跃响应 ( )1( )r tt输入 ，求系统的响应过程

13、c(t) 11 ( )( ) ( ) 1 C ss R s Tss 1 10 t T c tLC set A T 斜率1/T 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 t=0时 c(0)=0; 特殊值：特殊值： t= 时 c()=1; t=T时，c(T)=1e-1=0.632 【说明说明】 当时间由t=0过了一个时间常数T后，系统输 出已达到响应过程总变化量的63.2。 【应用应用】 用实验方法测定一阶系统的时间常数。 h(t) 0.632 0.8650.95 0.982 初始斜率为初始斜率为1/T h(t)=1-e-t/T 0 t T2T3T4T 1 单位阶跃响应曲线 斜率斜率 (2) 如果系统一直

14、保持速度如果系统一直保持速度1T不变，则在不变，则在t=0T 时间里响应过程可以完成总变化量，时间里响应过程可以完成总变化量，C(T)=1； 【说明说明】： (1) 当当 t=0，斜率，斜率1/T； 1 t T e T dc t dt (3) 斜率随着时间增加而单调下降；斜率随着时间增加而单调下降； 单位阶跃响应完成全部变化量所需的时间单位阶跃响应完成全部变化量所需的时间 为无限长，即有为无限长，即有c(t)|t=l 1 0.368 t T T dc t dt 0 t dc t dt 调节时间调节时间ts t3T时, C()-C(t)/ C()4T时，C()-C(t)/ C()98%； 如果要

15、求误差不超过2，则 ts=4T 时间常数时间常数T（反映系统的惯性）（反映系统的惯性） T越小，惯性小，响应过程进行的越快；越小，惯性小，响应过程进行的越快； T越大，惯性大，响应过程进行的越慢；越大，惯性大，响应过程进行的越慢； 求取一阶系统的传函求取一阶系统的传函 求求 T a) 阶跃响应的阶跃响应的0.632 对应的对应的T b) t=0处的斜率处的斜率=1/T 【方法方法】： s 1 R(s) C(s) K - + c(t) 1(t) t 0 K=1 K=4 1 2 3 4 例:一阶系统如图所示，K=1，计算调节时 ts 。如果要 实现ts1秒，确定前置放大器增益K 。 解： ts1秒

16、 K=4 1 1 444 sK tTs K 1 1 333 sK tTs K 2、单位脉冲响应、单位脉冲响应 1 1 ( )( ) ( ) 1 1 T C ss R s Ts s T 一阶系统的脉冲响应为： 1 1 1 0 1 t TT c tLet T s T ( )( ) ,( ) 1r ttR s输入 单位脉冲响应曲线单位脉冲响应曲线 0 1 t c t T 2 0 1 T t dc t dt T 1 0.386 T t c t 0 t c t 0 t dc t dt 2 T 1 0.386 T t dc t dt 1/T T 0.3681/T 斜率1/T2 一单调下降的指数曲线；一单调

17、下降的指数曲线； ts4T，此时，误差不超过，此时，误差不超过2 T越小，惯性小，响应过程的持续时间短，越小，惯性小，响应过程的持续时间短， 快速性好；快速性好； 实际脉冲信号，近似以具有一定宽度和有限实际脉冲信号，近似以具有一定宽度和有限 幅值的实际脉冲代替理想脉冲，要求：幅值的实际脉冲代替理想脉冲，要求：h输出也是输出也是导数导数关系关系 输入输入积分积分关系关系输出也是输出也是积分积分关系关系 例:已知某单位反馈系统的单位阶跃响应为 求: (1)闭环传递函数 (2)单位脉冲响应 (3)开环传递函数 at eth 1)( 例：已知系统结构图 如右。其中： 12 . 0 10 )( s sG

18、 H KK , 0 加上 环节，使 减小为原来的0.1倍， 且总放大倍数不变。 求: s t H KK , 0 三、二阶系统的时域分析三、二阶系统的时域分析 1、二阶系统、二阶系统 ( ) (1) K G s s Ts 2 ( ) ( ) 1( ) G sK s G sTssK T时间常数时间常数 K开环增益开环增益 开环传递函数：开环传递函数： 闭环传递函数：闭环传递函数： 定义：由二阶微分方程描述的系统。定义：由二阶微分方程描述的系统。 转换成标准形式：转换成标准形式： 2 222 1 ( ) 2 K nT K nnTT s ssss n K T 无阻尼自振角频率；无阻尼自振角频率； 1

19、2 TK 相对阻尼系数（或阻尼比）。相对阻尼系数（或阻尼比）。 特征方程式：特征方程式： 22 20 nn ss 两个闭环极点：两个闭环极点： 2 1 2 1 nn s ， s平面 1 j s1s20 =1 s1 s2 0 1 s1 s2 =0 s2 s1 0 变化率变化率0； t= 变化率变化率0；最后响应趋于常数；最后响应趋于常数1 3、与过阻尼情况形状差不多，无超调量。、与过阻尼情况形状差不多，无超调量。 l 过阻尼过阻尼 1 特征方程有两个不相等的负实根 分布位置：负实轴上 2 1 1 nn s 2 2 1 nn s 12 2 22 1 ( )( ) ( ) (1)(1) n nnnn

20、 TT C ss R s s ss 2 12 ()() n s sTsT 单位阶跃响应：单位阶跃响应： 0 1A 1 22 1 0 21(1) A 2 22 1 0 21(1) A ， ， 式中： 012 12 AAA ssTsT 12 1 012 ( ) ( ) T tT t c tLC sAAeA e 1 22 1 0 21(1) A 2 22 1 0 21(1) A 2 1 1 nn T 2 2 1 nn T 12 TT 12 AA 系统响应由三部分组成。系统响应由三部分组成。 【讨论讨论】 1. c(t)由三项组成，其中有两个衰减指数项； 2. 当 ，1 2 2 ( )1 T t C

21、tA e 因此，衰减指项 将比 衰减的快得多，也就是响应 主要由 决定，忽略由S1决定的衰减指数项 将二阶系统 可以近似为一阶系统 1 1 Tt Ae 2 2 T t A e 1 1 Tt Ae 2 2 T t A e 2 1 1 nn s 2 2 1 nn s s1将比s2距离 虚轴远的多 12 TT 12 AA 2 0510152025 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 2 sys=tf(1,1 2 1);%kesai=1 y1,t1=step(sys); sys=tf(1,1 4 1);%kesai=2 y2,t2=step(sys);

22、figure plot(t1,y1,t2,y2) 二阶系统阶跃响应： l 负阻尼负阻尼10 特征方程的两个根为具有正实部的共轭复根：特征方程的两个根为具有正实部的共轭复根： 2 1,2 1 nn sj 2 1sin0 1 nt d e c ttt 2 2 1 1,0 dn arctg 式中：式中： 2、单位阶跃响应具有发散正弦振荡的形式。、单位阶跃响应具有发散正弦振荡的形式。 【讨论讨论】 位置：位置：S平面右半部平面右半部 1、系统响应与欠阻尼相同，但由于阻尼比、系统响应与欠阻尼相同，但由于阻尼比 为负，为负， 因此指数因子因此指数因子 具有正的幂指数。具有正的幂指数。 nt e =1，响应

23、呈单调上升的特性，响应呈单调上升的特性， 越小，上升时越小，上升时 间越快。间越快。 2、0 1，响应是衰减的正弦振荡过程，响应是衰减的正弦振荡过程， 越小，越小， 振荡特性加强；当振荡特性加强；当 0时，响应呈现等幅振荡；时，响应呈现等幅振荡； 当当 0时，响应呈现发散振荡。时，响应呈现发散振荡。 合适的工作状态：合适的工作状态：一般希望二阶系统工作在的欠阻一般希望二阶系统工作在的欠阻 尼状态，因为在这种状态下将获得一个振荡特性适度、尼状态，因为在这种状态下将获得一个振荡特性适度、 调整时间较短的响应过程。调整时间较短的响应过程。 3、在欠阻尼响应中，当、在欠阻尼响应中，当 0.40.8 时

24、，响应过程时，响应过程 不仅具有较不仅具有较 1时更短的调整时间，而且振荡特性时更短的调整时间，而且振荡特性 也并不严重。也并不严重。 2、二阶系统欠阻尼响应过程分析、二阶系统欠阻尼响应过程分析 评价控制系统的性能指标评价控制系统的性能指标 上升时间上升时间tr 单位阶跃响应单位阶跃响应c(t)第一次达到其稳态值第一次达到其稳态值c()1所需时间所需时间 峰值时间峰值时间tp 单位阶跃响应单位阶跃响应c(t)达到第一个峰值所需的时间达到第一个峰值所需的时间 p 超调量超调量 100% p p c tc c 调整时间调整时间ts 单位阶跃响应单位阶跃响应c(t)进行到使下式成立所需的时间进行到使

25、下式成立所需的时间 r c tcctt 一般取0.020.05。 【讨论讨论】 1、评价系统的响应速度：用、评价系统的响应速度：用tr(或或tp)，其值小，其值小， 响应速度快。响应速度快。 2、评价系统的阻尼程：用、评价系统的阻尼程：用 ，其值小，阻，其值小，阻 尼特性强。尼特性强。 p 3、 ts则是同时反映响应速度与阻尼程度的综合则是同时反映响应速度与阻尼程度的综合 性指标。性指标。 3、性能指标计算、性能指标计算 上升时间上升时间tr 根据定义当根据定义当ttr时，时， c(tr)1 2 1 sin0 1 n r t d r et 2 110 0 n r t e d r tr d t

26、2 1arctg其中 一定时，一定时，n越大，越大，tr 越小；越小； n一定时，一定时， 越大，越大，tr 越大。越大。 峰值时间峰值时间tp ( ) 0 p t t dc t dt 2 1 sincos0 1 n pn p p tt nd pdd p t t dh t etet dx 2 1 d p tgt 根据三角函数定义， dp tk0, ,2 , d p t 根据峰值定义，取 d p t 2 1 p dd n t 阻尼振荡周期的一半：2 d 一定时一定时，n 越大越大，tp 越小；越小； n一定时，一定时， 越大，越大，tp 越大。越大。 仅与阻尼比仅与阻尼比 有关。有关。 越大，越

27、大， 越小，系统的平稳性越好。越小，系统的平稳性越好。 = 0.40.8 = 25.4%1.5% d p t %100% 2 1 e %100)sin( 1 2 pd t t e pn %100 )( )()( % c ctc p 超调量超调量 )sin( 1 1)( 2 t e tc d t n 1 1 1 2 snt e n s t 2 1lnln 调节时间调节时间ts 当当0 0.8时时 2 3.5 ,0.05 lnln 1 4.4 ,0.02 n s n n t 当当 一定时，一定时，n越大，越大，ts 越小，系统响应越快。越小，系统响应越快。 2 ( )1sin()0.5 1 n d

28、 t dd d e c tt nn d t 7 . 012 . 06 . 01 2 一定时，一定时，n越大，越大，td 越小；越小； n一定时，一定时， 越大，越大，td 越大。越大。 2 () 1sin() 1 nt d e ctt (t0) 2 1 nd 2 1 1 tg 延迟时间延迟时间td d 1、二阶欠阻尼系统的动态性能由n和 决定。 2、增加 降低振荡，减小超调量 ，系统快 速性降低,tr和tp增加； 3、一定，n越大，系统响应快速性越好，tr、tp、 ts越小； 4、与有关，而tr、tp、ts与和n有关，通常 根据允许的最大超调量来确定。一般选择在 0.4-0.8之间，然后再调整

29、n以获得合适的动态 响应时间。 小结小结: ) 1(sTs K m R(s) (- -) C(s) KsTs K sG sG s m )1()(1 )( )( 22 2 2 2/ / )( nn n mm m ssTKTss TK s %3 .16%100% 2 1 e 秒秒73. 0 1 2 n d p t 秒秒486. 0 d r t 3.5 1.4 s n t 秒 化为标准形式化为标准形式 即有即有 2 n=1/Tm=5, n2=K/Tm=25 解：解： 系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为 解得解得 n=5, =0.5 例例: 已知图中已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指

30、标。，求系统单位阶跃响应指标。 例：例：设单位负反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，设单位负反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示， 试确定其开环传递函数。试确定其开环传递函数。 由图知所求系统为一欠阻尼系统由图知所求系统为一欠阻尼系统 %100e3 . 0%30% 2 1/ 36. 0 st n d p 1 . 0 1 2 0 t(s) 1 1.3 0.1 h(t) 1 2 6 .33 934. 0 4 .31 1 4 .31 s n 解：解： 2 222 1130 ( ) 224.21130 ( ) 1( )( ) n nn s ssss G s G s H s 2 ( )1130

31、 ( ) 1( )(2)(24.2) n n s G s ss ss s 闭环传递函数：闭环传递函数： 开环传递函数：开环传递函数： 例：分析由两个惯性环节构成的二阶系统中例：分析由两个惯性环节构成的二阶系统中K K的作用的作用 1 1 sT K 1 1 2 sT )(sR)(sC 212121 2 21 21 2 21 /1/ / 1)()( )( TTKsTTTTs TTK KsTTsTT K sR sC 21 1 TT K n 21 21 12TTK TT 4、二阶系统性能的改善、二阶系统性能的改善 引入误差信号的比例微分控制引入误差信号的比例微分控制 (1) ( )= (1) s K

32、G s s sT 2 n 2 22 n nn (1)(1) ( )= (1) 2() 2 ss K s TsK sk ss 增加了系统的阻尼比增加了系统的阻尼比! 引入输出量的速度负反馈控制引入输出量的速度负反馈控制 1)2/( 1 2 )( 2 nn n n ss sG nt nnt n ss s 2 1 , 2 )( 2 2 2 n n K 2 例例:控制系统如图所示，设控制系统如图所示，设K=10，求系统的单位阶跃响应，求系统的单位阶跃响应h(t)， 并计算系统单位阶跃响应的超调量和峰值时间。并计算系统单位阶跃响应的超调量和峰值时间。 103.16/ n rad s 解：解： 2 10

33、( ) 10 s ss n n 1 210.158 2 系统的单位阶跃响应为：系统的单位阶跃响应为： n 0.5 d 2 11 ( )1esin()1esin(3.1281 ) 0.987 1 tt c ttt 超调量：超调量： 2 1 %e100%60.5% p M 峰值时间：峰值时间： p 2 d n =1 1 ts 引入微分反馈，要求系统单位阶跃响应的超调量为引入微分反馈，要求系统单位阶跃响应的超调量为16.4%， 确定参数确定参数 ，并求出峰值时间。，并求出峰值时间。 2 10 ( ) (101)10 s ss 103.16/ n rad s n 101 2101 6.32 2 1 %

34、e100%16.4% p M 0.50.216求得： 峰值时间：峰值时间： p 2 d n =1.148 1 ts 四、线性系统的稳定性分析四、线性系统的稳定性分析 稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判 定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是 自动控制理论的基本任务之一。自动控制理论的基本任务之一。 定义：在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状定义：在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状 态，如果扰动消除后，系统能够以足够的准确态，如果扰动消除后，系统能够以足够的准确 度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；

35、度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的； 否则，系统不稳定。否则，系统不稳定。 1、系统稳定性概念、系统稳定性概念 设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲 (t)，这时系统的输出增量为脉冲响应，这时系统的输出增量为脉冲响应c(t)。这相当于系统在。这相当于系统在 扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的问题。若扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的问题。若 t时，时，c(t)0，则系统是稳定的。，则系统是稳定的。 设线性定常系统的闭环传递函数为：设线性定常系统的闭环传递函数为： 2、稳定性的数学条件、稳定性的数学条件 r k kk

36、k q i i m j j ssps zsK s 1 22 1 1 )2()( )( )( nrq2式中： 1)(sR 22 11 ( )( ) ( ) -2 qr ikk ik ikkk ab sc C ss R s s pss 1 2 1 ( ) sin(1) i kk q p t i i r t kkkk k c ta e et 系统所有闭环特征根即闭环极点必须为系统所有闭环特征根即闭环极点必须为负值负值， 或者实部为或者实部为负的共轭复数负的共轭复数。也可以说，系统。也可以说，系统 所有的特征根必须位于所有的特征根必须位于S S 平面的左半平面平面的左半平面。 系统稳定的充要条件：系统

37、稳定的充要条件： l闭环传递函数为： 的系统是稳定的，因为该系 统的闭环极点 都在s左半平面。 21 21 ss， l闭环传递函数为： 的系统是不稳定的， 因为 为正实数极点，位于 右半平面，与此相对应的时间 响应分量按 的规律随时间无限增大。 3ss t e 3 l闭环传递函数为： 的系统是临界稳定系统，它有一 对虚轴上的闭环极点 ，其零输入响应为频率 的等 幅振荡，因此在工程上认为该系统不稳定。 js 2 , 1 1 例子：例子： ) 2)(1( ) 1( 2 )( ss s s ) 4)(3)(1( ) 2(10 )( sss s s 1 1 )( 2 s s 注意：注意：稳定性是线性定

38、常系统的一个属性，只与系统本身的结稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结 构参数有关，与输入输出信号无关；只与极点有关，与零点无构参数有关，与输入输出信号无关；只与极点有关，与零点无 关。关。 l 对于一阶系统， 只要 都大于零， 系统是稳定的。 , 0 1 0 01 a a sasa 10,a a l 对于二阶系统， 2 02 2 11 2, 101 2 2 2 4 , 0 a aaaa sasasa 只有 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负） 210 ,aaa l对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描 述的稳定性判据。 l 特征方程的系数同号是系统稳定的必要条

39、件。若特征方程的 系数不同号或有缺项，则系统不稳定。因此对于特征方程系数 同号的系统，还要通过特征根来判断系统的稳定性。 设线性系统的特征方程为 则该系统稳定的充要条件为： 0 01 1 1 asasasa n n n n 劳思阵的前两行由特 征方程的系数组成。 第一行为1，3，5， 第二行为2，4，6， 项系数。 劳思阵如右： 24 1 135 2 123 3 123 4 123 0 1 n nnn n nnn n n n s aaa s aaa s bbb sccc ddd s g s 劳思判据（劳思判据（Routh)Routh)：不必求解闭环特征方程的根，利不必求解闭环特征方程的根，利

40、用闭环特征方程的系数判别稳定性。用闭环特征方程的系数判别稳定性。 q 特征方程的全部系数为正值； q 由特征方程系数组成的劳思阵的第一列也为正。 3、稳定性判据、稳定性判据 1 1 321 321 321 531 42 g f ddd ccc bbb aaa aaa nnn nnn 0 1 4 3 2 1 s s s s s s s n n n n n 1 321 1 31 2 1 n nnnn n nn nn a aaaa a aa aa b 1 541 1 51 4 2 n nnnn n nn nn a aaaa a aa aa b 1 761 1 71 6 3 n nnnn n nn n

41、n a aaaa a aa aa b 出现空位补零出现空位补零 1 1 321 321 321 531 42 g f ddd ccc bbb aaa aaa nnn nnn 0 1 4 3 2 1 s s s s s s s n n n n n 1 1231 1 21 31 1 b abab b bb aa c nn nn 1 1351 1 31 51 2 b abab b bb aa c nn nn 1 1471 1 41 71 3 b abab b bb aa c nn nn 1 4141 3 1 3131 2 1 2121 1 c cbbc d c cbbc d c cbbc d 依次类

42、推。可求得依次类推。可求得,.)2 , 1,.(,igfe iii 一直进行到第一直进行到第n行，第行，第n+1行仅第一列有值，且等于特征方程行仅第一列有值，且等于特征方程 最后一项系数最后一项系数 0 a 432 23450ssss例 4 3 2 2 3 1 4 12 1 1 4 2 5 11 0 135 240 150 60 5 s s sb sc s 劳斯表第一列元素全部大于零，则系统稳定； 劳斯表第一列元素中出现小于零或者等于零， 则系统不稳定； 劳斯表第一列元素中符号改变次数等于闭环极 点在s平面右边个数； 判定依据判定依据 例1 判断系统稳定性 1、特征方程式： 32 12 ( )

43、1( )1650 (1)(5) kk D sG ssssK sss 2、列劳斯表： 1 5 0 6 K 0 30 6 K K 0 3、分析： 30 300 6 0 0 K K K K 稳定范围： 0K30, K=30临界稳定 : 特征方程不缺项，各系数均大于零，只要适当选择 K值，系统稳定结构稳定系统。 （有条件的稳定系统） 例 单位反馈，开环传递函数 2 ( ) (0.51) K G s ss 分析系统稳定性。 1、闭环传函： 32 ( ) 0.5 K s ssK 特征方程式： 32 ( )0.50D sssK 2、列劳斯表： 0.5 0 1 K -0.5K 0 K 3、分析 不稳定（因为K

44、0）; 两个极点在s平面虚轴右边; D(s)缺项，不论K为何值，系统均不稳定，结构 不稳定系统。 【讨论讨论】 五、线性系统的稳态误差计算五、线性系统的稳态误差计算 稳态误差是系统的稳态性能指标，是系统控制精度的 度量。 这里讨论的只是系统的原理性误差，不包括非线性等 因素所造成的附加误差。 计算系统的稳态误差以系统稳定为前提条件。 1、误差与稳态误差、误差与稳态误差 )(sR( )C s )(sE ( )( )( )E sR sC s 误差定义:参考输入信号 与被控量输出信号 间的 差为控制系统的误差信号。记做 即： R(s) C(s) E(s) G(s) H(s) - - B(s) 系统的

45、误差有下列两种定义方式： 从输入端定义： 1( ) ( )( ) ( )E sR ss C s 从输出端定义： 2 ( ) ( )( ) ( ) R s E sC s s ( )( ) ( )R sH s C s ( ) ( ) ( ) R s C s H s )( )( )( 1 2 sH sE sE ( )( )( ) ( )1 ( ) ( )( )1( )( ) e E sR sH s C s s R sR sG s H s 在本课以后的叙述中，均采用从输入端定义系统的误差，则 系统的误差信号为： 11 ( ) ( )( ) ( ) e e tLE sLs R s 定义为误差传递函数：(

46、 ) e s 稳态误差稳态误差定义：定义：误差信号 在时间 趋于无穷大时的数值 定义为系统的稳态误差，记为 。即： )(tet ss e 00 ( ) lim ( )lim( )lim 1( )( ) ss tss sR s ee tsE s G s H s 例 系统结构图如图所示，当输 入信号为单位斜坡函数时，求系统 在输入信号作用下的稳态误差；调 整K值能使稳态误差小于0.1吗？ ) 12)(1( ) 15 . 0( sss sK )(sR )(sC - 解：只有稳定的系统计算稳态误差才有意义，所以先判稳： 系统特征方程为0)5 . 01 (32 23 KsKss 由劳斯判据知稳定的条件为：60 K ) 15 . 0() 12)(1( ) 12)(1( )()()(1 1 )( )( )( 21 sKsss sss sHsGsGsR sE s E 2 1 )( s sR 2 1 ) 15 . 0() 12)(1( ) 12)(1( )( ssKsss sss sE KssKsss sss sssEe ss ss 11 ) 15 . 0() 12)(1( ) 12)(1( lim)(lim 2 00 由稳定的条件知： 不能满足 的要求 6 1 ss e1 . 0 ss e 1 00