毕业论文广义逆矩阵与线性方程组的求解

1、广广义义逆逆矩矩阵阵与与线线性性方方程程 组组的的求求解解 The solution of linear equations by the generalized inverse matrix 专 业: 数学与应用数学 作者: 指导老师: 学校 二一一 摘摘 要要 本文首先对矩阵的广义逆进行定义及其分类, 然后主要对一些重要的广义逆的性 质和求解进行详细的讨论, 其中包括对减号逆的求解、Moore-Penrose 逆的存在性与唯 一性的证明、左逆与右逆的性质与求解等等. 通过对这些重要的广义逆矩阵的性质和 求解方法的研究, 最后探讨矩阵的广义逆在解线形方程组中的应用. 关键词: 广义逆矩阵；

2、线性方程组； 相容方程组； 通解 Abstract This article first to define the generalized inverse matrix and its classification, and then mainly on some important properties of generalized inverses and solution of a detailed discussion, including a minus sign for solving inverse, Moore-Penrose inverse of the existence

3、 and uniqueness of proof, the left inverse and right inverse of the nature of and solution and so on. On these important properties of generalized inverse matrix of the theory and method, the last of the generalized inverse matrix in the solution of linear equations. Keywords: generalized inverse ma

4、trix； linear equations； compatibility equations； general solution 目 录 摘 要 .I ABSTRACT .II 0 引言 .1 1 矩阵的几种广义逆 .1 1.1 的定义与计算.3 )1( A 1.5 加号逆的性质及计算 .4 A 1.6 左逆与右逆的定义 .5 2 用广义逆矩阵求解线性方程组 .7 2.1 左右逆的应用 .7 2.2 相容方程组的通解与的应用 .8 A 2.3 的应用 .11 A 参考文献 .14 0 引言 广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广, 推广的必要性, 首先是从线性方程组的求解问 题出发的, 设有线性方程组

5、 （0.1）bAx 当是阶方阵, 且时, 则方程组（0.1）的解存在, 并唯一.An0detA （0.2） 1 xA b 但是, 在许多实际问题中所遇到的矩阵往往是奇异方阵或是任意的矩阵 Anm （一般）, 显然不存在通常的逆矩阵, 这就促使人们去想象能否推广逆的概nm 1 A 念, 引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵, 使得其解仍可以表示为类似于式G （0.2）的紧凑形式? 即 （0.3）Gbx 1920 年摩尔（E.H.Moor）首先引进了广义逆矩阵这一概念, 其后三十年未能引起 人们的重视, 指直到 1955 年, 彭诺斯（R.Penrose）以更明确的形式给出了 Moore 的 广义

6、逆矩阵的定义后, 广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期, 由于广义逆矩阵在 数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用为人们所 认识,因而大大推动了对广义逆矩阵的研究, 使得这一学科得到迅速的发展, 已成为矩 阵的一个重要分支. (见参考文献12) 1 矩阵的几种广义逆 1955 年, 彭诺斯（R.Penrose）指出, 对任意复数矩阵, 如果存在复矩阵, nm A mn A 满足 (1.1) AAXA (1.2) XXAX (1.3) AXAX H )( (1.4) XAXA H )( 则称为的一个 MoorePenrose 广义逆, 并把上面四个方程叫做 Moore

7、Penrose 方XA 程, 简称 MP方程. 由于 MP 的四个方程都各有一定的解释, 并且应用起来各有方便之处， 所以出 于不同的目的, 常常考虑满足部分方程的 X, 叫做弱逆, 为引用的方便, 我们给出如 下的广义逆矩阵的定义. 定义 1 1. .1 1 设, 若有某个, 满足 MP 方程（1.1）（1.4）中的 nm CA mn CX 全部或其中的一部分, 则称为的广义逆矩阵.(见参考文献3)XA 例如有某个, 只要满足式（1.1） , 则为的广义逆, 记为； 如XXA11AX 果另一个, 满足式(1.1), (1.2)则为的广义逆, 记为； 如果YYA 2 , 1 2 , 1AY ,

8、 则同时满足四个方程, 它就是 MoorePenrose 广义逆, 等等. 总之, 4 , 3 , 2 , 1AX X 按照定义 1.1 可推得, 满足 1 个, 2 个, 3 个, 4 个 MoorePenrose 方程的广义逆矩阵 共有种, 但应用较多的事一下五种15 4 4 3 4 2 4 1 4 CCCC , , , , .1A 2 , 1A 3 , 1A 4 , 1A4 , 3 , 2 , 1A 其中每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵, 分述如下: 1: 其中任意一个确定的广义逆, 称作减号逆, 或 逆, 记为； 1Ag A 2: 其中任意一个确定的广义逆, 称作自反广义逆, 记为；

9、 2 , 1A r A 3: 其中任意一个确定的广义逆, 称作最小范数广义逆, 记为； 3 , 1A m A 4: 其中任意一个确定的广义逆, 称作最小二乘广义逆, 记为； 4 , 1A i A 5: 唯一，称作加号逆, 或伪逆, 或 Moore-Penrose 逆, 记为. 4 , 3 , 2 , 1A A 为叙述简单起见, 下面我们以 及实矩阵为例进行讨论, 对于及复的矩阵也有 n R n C 相应结果. 本文着重介绍减号逆和加号逆以及左逆与右逆的性质及计算, 并讨论它 A A 们在解线性方程组中的应用. 1.1 (1) A 的定义与计算 定义 1.1.1 设, 若满足, 则称为的记为 m

10、 n AC mn CG AGAAGA1逆 ,由定义可知. (1) A mn CGAAGAGA ,|1 例如设, 则就是的, 这里可以任取. 不难看出 11 00 A 1 00 a G A1逆a 的逆并不唯一.A1 定理 1.1.1 设, , 分别为阶与阶非奇异方阵, 且 m n r AC PQmn 则 . （证明见参 0 00 r I PAQ 12 2122 1( ,1,2) r ij IG AQP G i j GG 为任意阶数的矩阵 考文献7） 例 1 求矩阵的广义逆. 1010 0222 1453 A )1( A 解 构造分块矩阵, 通过适当变化, 将进行行列变换化为形 3 4 0 AI

11、B I A 0 00 r I 式, 并求出变换, .PQ 31 31 41 101 11001000100 02220100222010 14530010444001 10000001011000 01000000100000 00100000010000 00010000001000 rr cc cc , 32 32 42 2 2 1/2 1000100 010001 20 0000121 1011000 0111000 0010000 0001000 rr cc cc r 因此有 , . 100 01/ 20 121 P 1011 0111 0010 0001 Q 于是我们取, , 均为

12、0 得 12 G 21 G 22 G . 000 000 0 2 1 0 001 000 000 010 001 1 PQA 1.2 加号逆的性质及计算 A 定义 1.2.1 设, 若存在 阶矩阵 , 它同时满足： nm RA mnX 1) 2） AAXA XXAX 3） 4）AXAX T XAXA T 则称为 的加号逆, 或伪逆, 或 Moore-Penrose 逆, 记为.XA A 从定义中可看出, 加号逆必同时是减号逆、自反广义逆、最小范数广义逆和最小 二乘广义逆, 在四个条件中, 与 完全处于对称地位. 因此也是的加号逆, 即XA A A 有; 另外可见, 加号逆很类似于通常的逆阵,

13、因为通常的逆也有下列四 AA 1 A 个类似的性质: 1. 2. AAAA 1111 AAAA 3. 4. IAA 1 IAA 1 由定义 1.2.1 中的条件 3）和 4）还可看出, 与都是对称矩阵. AAAA 前面已经介绍了什么样的矩阵称为广义逆矩阵, 下面将讨论广义逆矩MPMP 阵的唯一性. 定理 1.2.1 对任意, 存在且唯一. m n AC A 证明 设, 若则是阶零矩阵, 显然阶零矩阵满足条件. ( )rank Ar0r Am nn m 若则的满秩分解为, 其中, , 于是0r AAFG m r r FC r n r GC 11 () () HHHH BGGGF FF 即为所求的

14、.A 因为 (1) ； 11 () () HHHH ABAFG GGGF FFFGFGA (2) 1111 () ()() () HHHHHHHH BABGGGF FF FGGGGF FF ； 11 () () HHHH GGGF FFB (3) 111 ()() ()( () HHHHHHHHH ABFGGGGF FFF F FF ； 1 () HH F F FFAB (4) 111 ()() ()() HHHHHHHHH BAGGGF FF FGGGGG . 1 () HH GGGGBA 由此说明了广义逆的存在性.PM 又设则有,1,2,3,4X YA ()()() () HHHHH XX

15、AXX AXXXAYAX AXAYXAY .() ()() () HHHHHHH XAYAYXAYAYA XA Y YYAYY 这便说明了的唯一性.A 定理 1.2.2 设为秩为 的矩阵, 其满秩分解为, 其中, Arm nAFG m r r FC , 则. r n r GC 11 () () HHHH AGGGF FF 的唯一性前面已经作出了说明, 此定理的证明见参考文献7A 1.3 左逆与右逆的定义 定义 1.3.1 设是矩阵, 若有矩阵满足(或), 则称Am nn mG m AGI n GAI 为的右逆(或左逆), 记为(或).GA 1 R A 1 L A 定理 1.3.1 设是的矩阵,

16、 有右(左)逆()的充要条件是Am nA 1 R A 1 L A ().( )rank Am( )rank An 若有右(左)逆, 则其中一个右(左)逆是(), 通式为A 11 () HH R AAAA 11 () HH L AA AA () 11 () HH R AVAAVA 11 () HH L AA VAA V 其中是任意满足V ( )()( )() HH rank Arank AVArank Arank A VA 的矩阵. 证明 充分性: 已知, 则, 是可逆矩阵, 若记( )rank Am() H rank AAm H AA , 则, 因此是的右逆. 1 () HH GAAA 1 (

17、) HH m AGAAAAI GA 必要性: 设是的一个右逆, 则. 由于GAAG m I ,()()( ) m mrank Irank AGrank Am 因此.( )rank Am 设是任意满足的矩阵, 最后证明右逆的通式可以表示成为V( )() H rank Arank AVA 的形式. 11 () HH R AVAAVA 由于, 因此是的右逆. 设是的任意右逆, 1 () HH m AVAAVAI 1 () HH VAAVA AGA 记, 则因此. 又因为 H VGG HHH m AVAAGG AI( )() H rank Arank AVAm =, 1 () HH VAAVA HH

18、mm GG A IGIG 由上分析可知的任意右逆都可找到使其表示为的形式.AGV 1 () HH GVAAVA 因此矩阵的右逆的通式为.A 11 () HH R AVAAVA 对于左逆同理证明. 例 2 求矩阵的左逆. 11 10 00 A 1 L A 解 由于 , 11 1 1021 10 10011 00 H A A 所以我们有 1 11 211 10010 () 11100110 HH L AA AA 例 3 设 ,试求其右逆. 210 121 A 解 易知 rank,即是最大秩矩阵，有2AA 1 1 2 1 0 1 2 1 210 121 2 1 0 1 2 1 R A =. 8 2

19、4 3 6 5 14 1 2 用广义逆矩阵求解线性方程组 考虑非齐次线性方程 （2.1）bAx 其中, 给定, 而为待定向量. 若, 则方程 nm CA m Cb m Cx rankAbArank （2.1）有解, 或称方程组相容, 否则, , 则方程（2.1）无解, 或称 rankAbArank 方程组不相容或矛盾方程组. 2.1 左右逆的应用 定理 2.1.1 设是相容性线形方程组, 是行满秩矩阵, 是它的一个右逆. AxbA 1 R A 显然, 因此是线形方程组的解. 又若为列满秩矩阵, 是 11 () RR A A bAA bb 1 R A b A 1 L A 它的一个左逆, 则是线形

20、方程组的解. 1 L A b 例 4 求方程组的解其中, .Axb 11 10 00 A 2 1 0 b 解 显然方程组是相容的. 由于从前面已经知道 , 1 010 110 L A 因此方程组的解为 . 1 2 0101 1 1101 0 L xA b 2.2 相容方程组的通解与的应用 A 线性方程组相容时, 若系数矩阵, 且非奇异（即）, 则有唯一 nm CA 0detA 的解 （2.2）bAX 1 但当为奇异方阵或长方矩阵时, 它的解不是唯一的, 此时不存在或无意义，A 1 A 那么我们自然会想到, 这时是否能用某个矩阵把一般解（无穷多）表示成G （2.3）GbX 的形式呢? 这个问题是

21、肯定的. 我们将会发现的减号逆充当了这一小角色.AA 对于一个阶相容的线性方程组, 不论系数矩阵是方阵还是长方矩阵, 是满m nA 秩的还是降秩的, 我们都有一个标准的求解方法, 并且能把它的解表达成非常简洁的 形式. 下面定理形式给出. 定理 2.2.1 如果线性方程组（2.1）是相容的, 是的任一个减号逆, 则线性 AA 方程组（2.1）的一个特解可表示成 bAX 而通解可以表示成 （2.4）zAAIbAX 其中是与同维的任意向量.(见参考文献6)zX 证 因为相容, 所以必有一个维向量, 使bAX n bAW 成立, 又由于是是的一个减号逆, 所以 AA , AAAA 则有 . AWAW

22、AA 亦即 .bbAA 由此得出 bAX （2.5） 是方程组（2.1）的一个特解. 其次, 在式子（2.4）两端左乘. 则有A bAAZAAIAbAAAX )( 由于, 所以式（2.4）确定的是方程组（2.1）的解, 且当为任意一个bbAA )(Xx 解时, 令, 有bAXZ ) )()(bAXAAIZAAI =AbAXAAbAX =bAbAbAX =bAX 从而得 ZAAIbAX 证毕. 这表明由式（2.4）确定的解时方程组（2.1）的通解. 例 5 求解 22 12 32 321 xx xxx 解 将方程组写成矩阵形式 bAX 其中 , 210 121 A 2 1 b 由于=2, 所以方

23、程组是相容的, 现在只要要求得的一个减号就 rankAbArankA 可以了, 由例 1.3.2 知矩阵的一个减号逆为A 83 26 45 14 1 1 R A 利用公式（2.4）, 我们就可立即求得方程组的通解： ZAAIbAX RR 11 321 321 321 21319 24610 36913 14 1 zzz zzz zzz 也即 3213 3212 3211 2319 14 1 24610 14 1 36913 14 1 zzzx zzzx zzzx 其中 为任一向量. 3 2 1 z z z Z 例 6 求方程组其中, 的解.Axb 101 1 0222 1453 A 1 0 1

24、 b 解 不难看出, 该方程组是相容的, 由于前面已经求得， (1) 100 01 20 000 000 A 所以方程组的通解为 134 234 33 44 11001000100 1101 1 01 20010001 20 00222 0000010000 11453 0000001000 yyy yyy x yy yy 其中, 为任意实数. 3 y 4 y 2.3 的应用 A （一）判别线性方程组有解. 普通线性代数中判别方程组有解的方法是用矩阵的秩，即 bAX 时有解;而有了广义逆矩阵理论之后, 便可用广义逆矩阵的方法判别, rankAbArank 并可同时求出解. 结论 1: 线性方程

25、组有解bAX bAAb 证 若线性方程组有解不妨设其解为，则bAX a bAAAaAAaAAAAab 反之, 若有, 则bAAb bAXAbAXbAXAbAAbAX 000 即为线性方程组的一个解bAX （二）求齐次线性方程组的解空间 利用广义逆矩阵可以求出齐次方程组的一切解 结论 2: 齐次线性方程组的解空间为任意列向量0AXWYYAAE 证 任取, 有, 则为齐次WAAEa 0 AAAAAAEAAaa 线性方程组的解. 反之.若为方程组的解, 即 a (2.3.1)0Aa 两边左乘以, 得AA (2.3.2 ) 0 AAaA 联立以上两式有 (2.3.3) 0 aAAEA 由（2.3.3）

26、知: 为方程组的解, 且.aAAE WaAAE (三) 判别齐次线性方程组有唯一解 一般由个方程以及个未知数组成的齐次线性方程组有唯一解的充分必要条0AX 件是. 但是当方程组的个数与未知数的个数不相等时, 不是方阵, 不能有用行列0A 式判别. 可以用广义逆矩阵的方法判别如下： 结论 3: 齐次线性方程组有唯一解0AXEAA 证 若齐次线性方程组有唯一解, 则唯一解即为零解. 若, 则EAA 0 AAE 由结论 2 知, , 使得, 为方程组的解, 这与方程组有唯一零0Y0 YAAEa 解矛盾. 所以.EAA 若, 则, 由结论 2 知此时解空间有唯一零解.EAA 0 AAE （四）求非齐次

27、线性方程组的解空间 结论 4: 非齐次线性方程组的解空间为任意bAX HYYAAEbA 列向量. 事实上, 由线性方程组的一般理论知, 非齐次方程组的通解应该为对应齐次 的通解和自身的一个特解之和. 结论 1、2 告诉我们: 为其自身的一个特解； 而bA 为对应齐次的通解(取任意列向量). 显然即为其解空间.YYAAE Y 例 7 求的通解. bAX 2 0 1 , 42 00 21 bA 解 因为 , , , 2 , 1 2 0 1 FGA5 H GG5FF H 所以 bbAA A 2 0 1 2 0 1 20010 000 1005 25 1 2 0 1 402 201 25 1 42 0

28、0 21 402 201 25 1 2 , 0 , 155 2 1 11 通解为 .YYAAEX 12 24 5 1 2 1 5 1 2 1 5 1 其中为任意列向量Y 致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对汪教授表示衷心的感谢! 参考文献 1 姜同松编. 高等代数解题方法M. 石油大学出版社. 2001. 2 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编. 高等代数M. 北京：高等教育出版社， 1988 3 蔡剑芳. 高等代数综合题解M. 湖北科学技术出版社. 1986. 4 王品超. 高等代数新方法M. 济南：山东教育出版社. 1989. 5 黄有度, 狄成恩, 朱士信. 矩阵理论及其

29、应用M. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 1995. 6 林升旭. 矩阵论学习辅导与典型题解析M. 武汉: 华中科技大学出版社, 2003. 7 苏育才, 姜翠波, 张跃辉. 矩阵理论M. 北京: 科学出版社, 2006. 8 李新, 何传江. 矩阵理论及其应用M. 重庆: 重庆大学出版社, 2005. 9Verler.W.J.Vectors Structures and Solutions of linear Matrix Equation, linear Algebra Appl；1975. 180-187 10 Dai Hua.On the symmetric Solutions of

30、 linear Matrix Equation, linear Algebra Appl.19 90(131)1-7 下面是经典古文名句赏析！不需要的朋友，下面是经典古文名句赏析！不需要的朋友， 可以下载后编辑删除！谢谢可以下载后编辑删除！谢谢 经典古文名篇（一）；1.陋室铭刘禹锡（唐）字梦得刘梦得文集；山不在高 ，有仙则名；2马说韩愈（唐）字退之昌黎先生集；世有伯乐，然后有千里马； 马之千里者，一食(sh)或尽粟一石（dn）；策之不以其道，食(s)之不能尽其材（ 才），鸣之；3师说韩愈（唐）；古之学者必有师；嗟乎！师道之不传也久矣！欲人 之无惑也难矣！古之圣；圣人无常师；李氏子蟠，年十七 经

31、典古文名篇（一） 1. 陋室铭 刘禹锡（唐）字梦得 刘梦得文集 山不在高，有仙则名。水不在深，有龙则灵。斯是陋室，惟吾德馨。苔痕上阶绿 ，草色入帘青。谈笑有鸿儒，往来无白丁。可以调素琴，阅金经。无丝竹之乱耳，无 案牍之劳形。南阳诸葛庐，西蜀子云亭。孔子云：何陋之有？ 2马说 韩愈（唐） 字退之昌黎先生集 世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，只辱于奴 隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。 马之千里者，一食(sh)或尽粟一石（dn）。食(s)马者不知千里而食(s)也。 是马也，虽有千里之能，食(sh)不饱，力不足，才美不外见（现），且欲与常马等不 可得，安求其能千里也

32、？ 策之不以其道，食(s)之不能尽其材（才），鸣之而不能通其意，执策而临之， 曰：“天下无马！”呜呼！其真无马邪(ye)？其真不知马也。 3师说 韩愈（唐） 古之学者必有师。师者，所以传道受（授）业解惑也。人非生而知之者，孰能无 惑？惑而不从师，其为惑也，终不解矣。生乎吾前，其闻道也固先乎吾，吾从而师之 ；生乎吾后，其闻道也亦先乎吾，吾从而师之。吾师道也，夫庸知其年之先后生于吾 乎？是故无贵无贱，无长无少，道之所存，师之所存也。 嗟乎！师道之不传也久矣！欲人之无惑也难矣！古之圣人，其出人也远矣，犹且 从师而问焉；今之众人，其下圣人也亦远矣，而耻学于师。是故圣益圣，愚益愚。圣 人之所以为圣，愚人

33、之所以为愚，其皆出于此乎？爱其子，择师而教之；于其身也， 则耻师焉，惑矣。彼童子之师，授之书而习其句读（d?u）者，非吾所谓传其道解其惑 者也。句读之不知，惑之不解，或师焉，或不(fu)焉，小学而大遗，吾未见其明也。 巫医乐师百工之人，不耻相师。士大夫之族，曰师曰弟子云者，则群聚而笑之。问之 ，则曰：“彼与彼年相若也，道相似也，位卑则足羞，官盛则近谀。”呜呼！师道之 不复，可知矣。巫医乐师百工之人，君子不齿，今其智乃反不能及，其可怪也欤！ 圣人无常师。孔子师郯(tn)子、苌(chng)弘、师襄、老聃(dn)。郯子之徒，其 贤不及孔子。孔子曰：三人行，则必有我师。是故弟子不必不如师，师不必贤于弟

34、子 ，闻道有先后，术业有专攻，如是而已。 李氏子蟠，年十七，好古文，六艺经传皆通习之，不拘于时，学于余。余嘉其能 行古道，作师说以贻之。 4.爱莲说 周敦颐（北宋） 字茂叔周元公集 水陆草木之花，可爱者甚藩(fn)。晋陶渊明独爱菊。自李唐来，世人甚爱牡丹。 予独爱莲之出淤泥而不染，濯清涟而不妖，中通外直，不蔓不枝，香远益清，亭亭净 植，可远观而不可亵玩焉。 予谓菊，花之隐逸者也；牡丹，花之富贵者也；莲，花之君子者也。噫！菊之爱 ，陶后鲜有闻。莲之爱，同予者何人？牡丹之爱，宜乎众矣！ 5.得道多助，失道寡助 孟子?公孙丑（战国）名轲 字子舆 天时不如地利，地利不如人和。 三里之城，七里之郭，环而

35、攻之而不胜。夫还而攻之，必有得天时者矣，然而不 胜者，是天时不如地利也。 城非不高也，池非不深也，兵革非不坚利也，米粟非不多也，委而去之，是地利 不如人和也。 故曰，域民不以封疆之界，固国不以山溪之险，威天下不以兵革之利。得道者多 助，失道者寡助。寡助之至，亲戚畔（叛）之。多助之至，天下顺之。以天下之所顺 ，攻亲戚之所畔，故君子有不战，战必胜矣。 6生于忧患，死于安乐 孟子?告子 舜发于畎亩之中，傅说(yua)举于版筑之间，胶鬲举于鱼盐之中，管夷吾举于士， 孙叔敖举于海，百里奚举于市。 故天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂 乱其所为，所以动心忍性，曾（增）益其

36、所不能。 人恒过，然后能改；困于心，衡于虑，而后作；征于色，发于声，而后喻。入则 无法家拂(b)士，出则无敌国外患者，国恒亡。然后知生于忧患，而死于安乐也。 7鱼我所欲也 孟子 鱼，我所欲也，熊掌，亦我所欲也，二者不可得兼，舍鱼而取熊掌者也。生，亦 我所欲也，义，亦我所欲也，二者不可得兼，舍生而取义者也。生亦我所欲，所欲有 甚于生者，故不为苟得也。死亦我所恶，所恶有甚于死者，故患有所不避也。如使人 之所欲莫甚于生，则凡可以得生者何不用也？使人之所恶莫甚于死者，则凡可以避患 者何不为也？由是则生而有不用也；由是则可以避患而有不为也。是故所欲有甚于生 者，所恶有甚于死者。非独贤者有是心也，人皆有之

37、，贤者能勿丧耳。 一箪食，一豆羹，得之则生，弗得则死。呼尔而与之，行道之人弗受；蹴尔而与 之，乞人不屑也。 万钟则不辨礼义而受之，万钟于我何加焉！为宫室之美，妻妾之奉，所识穷乏者 得我欤？向为身死而不受，今为宫室之美为之；向为身死而不受，今为妻妾之奉为之 ；向为身死而不受，今为所识穷乏者得我而为之：是亦不可以已乎？此之谓失其本心 。 8劝学 荀子（战国）名况 君子曰：学不可以已。青，取之于蓝，而青于蓝；冰，水为之，而寒于水。木直 中(zh?ng)绳，以为轮，其曲中规。虽有(又)槁(go)暴(p)，不复挺者，使之然也。 故木受绳则直，金就砺则利，君子博学而日参(cn)省乎己，则知明而行无过矣。

38、吾尝终日而思矣，不如须臾之所学也；吾尝跂（q）而望矣，不如登高之博见也 。登高而招，臂非加长也，而见者远；顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。假舆马者 ，非利足也，而致千里；假舟楫者，非能水也，而绝江河。君子生(性)非异也，善假 于物也。 积土成山，风雨兴焉；积水成渊，蛟龙生焉；积善成德，而神明自得，圣心备焉 。故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不能十步；驽马十 驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。蚓无爪牙之利，筋骨之 强，上食埃土，不饮黄泉，用心一也。蟹六跪而二螯，非蛇鳝之穴无可寄托者，用心 躁也。 9问说 刘开（清）字明东、方来 号孟涂 君子学必好问。问

39、与学，相辅而行者也，非学无以致疑，非问无以广识。好学而 不勤问，非真能好学者也。理明矣，而或不达于事，识其大矣，而或不知其细，舍问 ，其奚决焉？ 贤于己者，问焉以破其疑，所谓就有道而正也。不如己者，问焉以求一得，所谓 以能问于不能，以多问于寡也。等于己者，问焉以资切磋，所谓交相问难(nn)，审问 而明辨之也。书不云乎？“好问则裕。”孟子论“求放心”，而并称曰“学问之 道”，学即继以问也。子思言“尊德性”，而归于“道问学”，问且先于学也。 古之人虚中乐善，不择事而问焉，不择人而问焉，取其有益于身而已。是故狂夫 之言，圣人择之，刍荛(ro)之微，先民询之，舜以天子而询于匹夫，以大知而察及迩 言，非

40、苟为谦，诚取善之弘也。三代而下，有学而无问，朋友之交，至于劝善规过足 矣，其以义理相咨访，孜孜焉唯进修是急，未之多见也，况流俗乎？ 是己而非人，俗之同病。学有未达，强(qing)以为知，理有未安，妄以臆度(duo)， 如是，则终身几无可问之事。贤于己者，忌之而不愿问焉，不如己者，轻之而不 屑问焉，等于己者，狎之而不甘问焉，如是，则天下几无可问之人。人不足服矣，事 无可疑矣，此唯师心自用耳。夫自用，其小者也；自知其陋而谨护其失，宁使学终不 进，不欲虚以下人，此为害于心术者大，而蹈之者常十之。 不然，则所问非所学焉：询天下之异文鄙事以快言论；甚且心之所已明者，问之 人以试其能，事之至难解者，问之人

41、以穷其短。而非是者，虽有切于身心性命之事， 可以收取善之益，求一屈己焉而不可得也。嗟乎！学之所以不能几(j)于古者，非此 之由乎？ 且夫不好问者，由心不能虚也；心之不虚，由好学之不诚也。亦非不潜心专力之 敌，其学非古人之学，其好亦非古人之好也，不能问宜也。 智者千虑，必有一失。圣人所不知，未必不为愚人之所知也；愚人之所能，未必 非圣人之不能也。理无专在，而学无止境也，然则问可少耶？周礼，外朝以询万 民，国之政事尚问及庶人，是故贵可以问贱，贤可以问不肖，而老可以问幼，唯道之 所成而已矣。孔文子不耻下问，夫子贤之。古人以问为美德，而并不见其有可耻也， 后之君子反争以问为耻，然则古人所深耻者，后世且

42、行之而不以为耻者多矣，悲夫！ 10. 前赤壁赋 苏轼（北宋） 字子瞻 号东坡居士 壬戌之秋，七月既望，苏子与客泛舟游于赤壁之下。清风徐来，水波不兴。举酒 属客，诵明月之诗，歌窈窕之章。少焉，月出于东山之上，徘徊于斗牛之间。白露横 江，水光接天。纵一苇之所如，凌万顷之茫然。浩浩乎如冯虚御风，而不知其所止； 飘飘乎如遗世独立，羽化而登仙。 于是饮酒乐甚，扣舷而歌之。歌曰：“桂棹兮兰桨，击空明兮溯流光；渺渺兮予 怀，望美人兮天一方。”客有吹洞箫者，倚歌而和之。其声呜呜然，如怨，如慕，如 泣，如诉，余音袅袅，不绝如缕。舞幽壑之潜蛟，泣孤舟之嫠妇。 苏子愀然，正襟危坐而问客曰：“何为其然也？”客曰：“月

43、明星稀，乌鹊南 飞，此非曹孟德之诗乎？西望夏口，东望武昌，山川相缪，郁乎苍苍，此非曹孟德 之困于周郎者乎？方其破荆州，下江陵，顺流而东也，舳舻千里，旌旗蔽空，酾酒临 江，横槊赋诗，固一世之雄也，而今安在哉？况吾与子渔樵于江渚之上，侣鱼虾而友 麋鹿，驾一叶之扁舟，举匏樽以相属。寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟。哀吾生之须臾 ，羡长江之无穷。挟飞仙以遨游，抱明月而长终。知不可乎骤得，托遗响于悲风。” 苏子曰：“客亦知夫水与月乎？逝者如斯，而未尝往也；盈虚者如彼，而卒莫消 长也。盖将自其变者而观之，则天地曾不能以一瞬；自其不变者而观之，则物与我皆 无尽也，而又何羡乎？且夫天地之间，物各有主。苟非吾之所有，

44、虽一毫而莫取。唯 江上之清风，与山间之明月，耳得之而为声，目遇之而成色，取之无禁，用之不竭， 是造物者之无尽藏也，而吾与子之所共适。” 客喜而笑，洗盏更酌。肴核既尽，杯盘狼藉。相与枕藉乎舟中，不知东方之既白 。 11后赤壁赋 苏轼 是岁十月之望，步自雪堂，将归于临皋。二客从予，过黄泥之坂。霜露既降，木 叶尽脱。人影在地，仰见明月。顾而乐之，行歌相答。已而叹曰：“有客无酒，有酒 无肴，月白风清，如此良夜何？”客曰：“今者薄暮，举网得鱼，巨口细鳞，状如松 江之鲈。顾安所得酒乎？”归而谋诸妇。妇曰：“我有斗酒，藏之久矣，以待子不时 之需。” 于是携酒与鱼，复游于赤壁之下。江流有声，断岸千尺，山高月小

45、，水落石出。 曾日月之几何，而江山不可复识矣！予乃摄衣而上，履巉岩，披蒙茸，踞虎豹，登虬 龙，攀栖鹘之危巢，俯冯夷之幽宫，盖二客不能从焉。划然长啸，草木震动，山鸣谷 应，风起云涌。予亦悄然而悲，肃然而恐，凛乎其不可留也。反而登舟，放乎中流， 听其所止而休焉。时夜将半，四顾寂寥。适有孤鹤，横江东来，翅如车轮，玄裳缟衣 ，戛然长鸣，掠予舟而西也。 须臾客去，予亦就睡。梦一道士，羽衣蹁跹，过临皋之下，揖予而言曰：“赤壁 之游乐乎？”问其姓名，俯而不答。“呜呼噫嘻！我知之矣。畴昔之夜，飞鸣而过我 者，非子也耶？”道士顾笑，予亦惊寤。开户视之，不见其处。 12卖炭翁 白居易（唐） 字乐天 号香山居士白氏长庆集 卖炭翁，