高数127傅里叶级数

1、一、三角函数系的正交性与三角级数一、三角函数系的正交性与三角级数 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 第十二章第十二章 12.7 12.7 傅里叶级数傅里叶级数 一一 、 三角函数系的正交性与三角级数三角函数系的正交性与三角级数 1三角函数系的正交性三角函数系的正交性 若函数若函数f(x),g(x)在在a,b上可积，且上可积，且 ( ) ( )0. b a f x g x dx 则称则称f(x),g(x)在在a,b上是正交的上是正交的. 函数列：函数列： 1,cos ,sin ,cos,sin,xxnxnx 在在-,上是两两正交的上是

2、两两正交的. 定义：定义： (1) 三角级数三角级数 以三角函数系（）为基础作成的函数项级数以三角函数系（）为基础作成的函数项级数 0 11 cossincossin 2 nn a axbxanxbnx 称为三角级数，简记为称为三角级数，简记为 0 1 cossin 2 nn n a anxbnx （）（） 三角级数的一般形式三角级数的一般形式 0 0 11 sin()cossin 2 nnnn nn a AAn xan xbn x 其中，其中， 0 0 ,sin,cos 2 nnnnnn a A aAbA a0, an, bn称为三角级数的系数（它们都是常数）称为三角级数的系数（它们都是常数

3、） 对于幂级数我们主要研究了两方面的问题：对于幂级数我们主要研究了两方面的问题： 求幂级数的和函数求幂级数的和函数12.3； 将函数展开成幂级数将函数展开成幂级数12.4 对于三角级数，一般我们不研究求和函数的问题对于三角级数，一般我们不研究求和函数的问题 但是我们要研究其相反的问题，即：但是我们要研究其相反的问题，即： 函数函数f(x)满足什么满足什么 条件时？条件时？ f(x)可以展开成三角级数，可以展开成三角级数， 怎样展开怎样展开 怎么求？）怎么求？） （即系数（即系数 二、二、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数 0 1 (cossin) 2 nn n a anxbnx n a

4、n b 1 ( )cosd(,10,)f xnx xn 1 ( )sind(1, 2,)f xnx xn 只要函数只要函数f(x)在在-,上可积上可积,按公式按公式计算计算 称为称为f(x)的的傅里叶系数傅里叶系数, nn a b 称为称为f(x)的傅里叶级数的傅里叶级数, 在什么条件下收敛于在什么条件下收敛于f(x)? 而三角级数而三角级数 (见下面的狄利克雷定理见下面的狄利克雷定理) 定理定理 (收敛定理收敛定理, 狄利克雷定理狄利克雷定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数周期函数, 并满足条件并满足条件 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第

5、一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点, 则则 f (x) 的傅的傅里里叶级数收敛叶级数收敛 , 且有且有 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a , )(xf , 2 )()( xfxf x 为间断点为间断点 其中其中 nn ba ,( 证明略证明略 )为为 f (x) 的傅的傅里里叶系数叶系数 . x 为连续点为连续点 注意注意: 函数展成函数展成 傅傅里里叶级数的条叶级数的条 件比展成幂级数件比展成幂级数 的条件低得多的条件低得多. (充分条件充分条件): 例例1. 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在

6、它在 上的表达式为上的表达式为 ), x x xf 0,1 0,1 )( 解解: 函数图像如图函数图像如图: xnxxfandcos)( 1 0 将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. o y x 1 1 (0,1, 2,)n 计算傅计算傅里里叶系数叶系数 (f (x) 的傅里叶级数无常数项和余弦项的傅里叶级数无常数项和余弦项) xnxxfbndsin)( 1 0 0 dsin1 1 dsin) 1( 1 xnxxnx 0 cos1 n nx 0 cos1 n nx n n cos1 2 n n ) 1(1 2 4 1 , n ,0 ,5,3,1n当 ,6,4,2n当 xxfsin

7、4 )( x3sin 3 1 xk k ) 12sin( 12 1 (,)xxkkz x x xf 0,1 0,1 )( (,)xxkkz 7 7sin x 9 9sin x 1) 根据收敛定理可知根据收敛定理可知, 时时, ,级数收敛于级数收敛于 0 2 11 2) 傅氏级数的部分和逼近傅氏级数的部分和逼近 3 3sin sin 4 )( x xxf 5 5sin x o y x 1 1 说明说明: ), 2, 1, 0(kkx当 f (x) 的情况见右图的情况见右图. x o y 例例2. 上的表达式为上的表达式为 ), x xx xf 0,0 0, )( 将将 f (x) 展成傅展成傅里

8、里叶级数叶级数. 解解:函数图像如图函数图像如图: xxfad)( 1 0 0 dcos 1 xxnx xnxxfandcos)( 1 0 d 1 xx 0 2 2 1x 2 0 2 cossin1 n nx n nxx 2 cos1 n n 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 傅里叶系数傅里叶系数 ), 2, 1(n xnxxfbndsin)( 1 n n 1 ) 1( ),2,1(k 12 kn kn2, 0 0 dsin 1 xnxx )(xf 4 cos x 2 xsin x2sin 2 1 3sin 3cos xx 2 3 2 3 1 x4si

9、n 4 1 5sin 5cos xx 2 5 2 5 1 2 cos1 n n an , 2 ) 12( 2 k (,(21),)xxkkz 说明说明: 当当) 12(kx时时, 级数收敛于级数收敛于 22 )(0 0 2 a x=0时时,得得 (0)f 4 222 2111 (1) 35(21)n 0= 所以所以 222 111 1 35(21)n 2 8 222 111 1 23n = = + S= 222 111 24(2 ) n = + 4 S 所以所以 222 111 1 23n 2 6 222 111 24(2 ) n 4 S 2 24 2 44 33 8 , )(xxf 周期延拓

10、周期延拓 )(xF 求傅求傅里里叶系数叶系数 ,)(在xf上的傅上的傅里里叶级数叶级数 定义在定义在 , 上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法 ), , )(xxf 2(),f xk(21) ,(21) )xkk (如图如图) 此表达式可省略此表达式可省略 写出写出 并由狄利克雷定理指出其收敛情况并由狄利克雷定理指出其收敛情况. (,(,)x 或或 ,) 例例3. 将函数将函数 xx xx xf 0, 0, )( 级数级数 . o y x 0 a 1 ( )df xx 0 d 2 xx 0 2 2 2 x 1 ( )cosd n af xnx x 0 dcos 2 xn

11、xx 0 2 cossin2 n nx n nxx 解解: 将将 f (x)延拓成以延拓成以 展成傅展成傅里里叶叶 2 为为周期周期的函数如图的函数如图 (a0常常单独计算常常单独计算) x3cos 3 1 2 n a)1cos( 2 2 n n 12 kn kn2,0),2,1(k , 2 ) 12( 4 k n b 1 ( )sindf xnx x 0 )(xf 2 4 xcos x5cos 5 1 2 )(x 0 a 2 1 3 (0)f 4 2 1 2 1 5 0= 222 111 1 35(21)n 2 8 0 1 cossin 2 nn n a anxbnx 2.函数函数f(x)的

12、傅的傅里里叶级数叶级数 注意注意: 1.函数有傅函数有傅里里叶级数的条件比有泰勒级数的条件叶级数的条件比有泰勒级数的条件 要低得多要低得多. 收敛于收敛于f(x)的条件也比函数的条件也比函数f(x)的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于 f(x)的条件低得多的条件低得多. 函数函数f(x)有傅有傅里里叶级数的条件是叶级数的条件是:可积可积 函数函数f(x)有泰勒级数的条件是有泰勒级数的条件是:任意阶可导任意阶可导 f(x)的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于f(x)的充要条件是余项的充要条件是余项0 f(x)的傅的傅里里叶级数叶级数 0 1 cossin 2 nn n a anxbnx 收敛于收敛于f(

13、x)的条件是的条件是: 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 1. 周期为周期为2 的的奇、偶函数的傅里叶级数奇、偶函数的傅里叶级数 若若f (x)为周期为为周期为 2 的的奇奇函数函数, 其傅里叶其傅里叶级数只含正弦项级数只含正弦项 若若f (x)为周期为为周期为 2 的的偶偶函数函数, 其傅里叶其傅里叶级数只含余弦项级数只含余弦项 ),2,1,0( dcos)( 2 0 nxnxxfan ),3,2,1( 0nbn ),2,1,0( 0nan 0 ),3,2,1(dsin)( 2 nxnxxfbn 它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为 称为正弦级数称为正弦级数, 它的傅它的傅里里叶系数

14、为叶系数为 称为余弦级数称为余弦级数, 例例4. 设设 的的表达式为表达式为 f (x)x ,将 将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. 是是周期为周期为2 的周期函数的周期函数,它在它在上), )(xf 解解: 若不计若不计),2, 1,0() 12(kkx 是则)(xf 周期为周期为 2 的奇函数的奇函数, y xo 0 dsin)( 2 xnxxfbn ),2,1,0(0nan ),3,2,1(n 0 dsin 2 xnxx 因此因此 0 2 sincos2 n nx n nxx n n cos 2 1 ) 1( 2 n n . 根据收敛定理可得根据收敛定理可得 f (x) 的正

15、弦级数的正弦级数: )(xf ,(x )3sin 3 1 2sin 2 1 (sin2xxx 1n 1 2( 1) n n ),1,0,) 12(kkx y x o 1 2 ( 1) n n b n sinnx 说明说明: 当当) 12(kx时时, 级数收敛于级数收敛于 () 0 2 例例5. 将周期函数将周期函数tEtusin)(展成傅里叶级数展成傅里叶级数, 其其 中中E 为正常数为正常数 . 解解:)(tu 2 y xo 2 ; ),2,1(0nbn 0 a 0 dsin 2 ttE E4 ttntuan 0 dcos)( 2 tt ntE 0 dcossin 2 0 d) 1sin()

16、 1sin(ttntn E 是周期为是周期为2 的的 周期偶函数周期偶函数 , 因此因此 0 d)( 2 ttu t 2cos 3 1 0 d) 1sin() 1sin(ttntn E an kn2 12, 0 kn ),2,1(k 1 a0 )(tu )(t 2 , (41) 4 k E 0 d2sintt E 2 1 t 4cos 15 1 t 6cos 35 1 E2 E4 xk k E k 2cos 14 14 1 2 0 4 , E a 2. 在在0, 上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数 ,0),(xxf )(xF 周期延拓周期延拓 F (x) ( )F x

17、 f (x) 在在 0 , 上展成上展成 周期延拓周期延拓 F (x) 余弦级数余弦级数 奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓 xo y 正弦级数正弦级数 f (x) 在在 0 , 上展成上展成 x o y , 0(),(xxf 0, 0 x (),(, 0)fxx ( ),(0,f xx (),(, 0)fxx 1 x y o 例例6. 将函数将函数)0(1)(xxxf分别展成正弦级分别展成正弦级 数与余弦级数数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数先求正弦级数. 去掉端点去掉端点, 将将 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓, 0 dsin)(xnxxf 2 n b 0 dsin) 1( 2 xnxx

18、2 0 2(1)cossinxnxnx nn nn n coscos1 2 12 kn 2nk ),2, 1(k , 12 22 k 1 , k n b 12, 12 22 kn k 1 ,2nk k ),2, 1(k 2 1x xsin)2(sin2 2 x x3sin 3 2 sin4 4 x )0( x 注意注意: 在端点在端点 x = 0, , 级数的和为级数的和为0 , 与给定函数与给定函数 1 x y o 因此得因此得 f (x) = x + 1 的值不同的值不同 . 再求余弦级数再求余弦级数. x 1 y 将将)(xf则有则有 o 0 a 0 d) 1( 2 xx n a 0 d

19、cos) 1( 2 xnxx 0 2 2 2 x x 2 2 0 2(1)sincosxnxnx nn 1cos 2 2 n n 12, ) 12( 4 2 kn k 0,2nk ),2, 1(k 作偶周期延拓作偶周期延拓 , 1 2 1 x xcos x3cos 3 1 2 x5cos 5 1 2 4 1 2 1 2 ) 12( 14 k k xk) 12cos( 1 y o x 0 2a 2 4 ,21 (21) n ank k (其他时为其他时为0) 0 x 内容小结内容小结 1. 周期为周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理的函数的傅里叶级数及收敛定理 )sincos( 2 )( 1

20、 0 xnbxna a xf nn n )(间断点x 其中其中 xxnxfandcos)( 1 xxnxfbndsin)( 1 ),2, 1 ,0(n ),2, 1(n 注意注意: 若若 0 x为间断点为间断点,则级数收敛于则级数收敛于 2 )()( 00 xfxf 2. 周期为周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数奇函数正弦级数正弦级数 偶函数偶函数余弦级数余弦级数 3. 在在 0 , 上函数的傅里叶展开法上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓作奇周期延拓 , 展开为正弦级数展开为正弦级数 作偶周期延拓作偶周期延拓 , 展开为余弦级数展开为余弦级数 1. 在在 0

21、, 上的函数的傅里叶展开法唯一吗上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ? 答答: 不唯一不唯一 , 延拓方式不同级数就不同延拓方式不同级数就不同 . 思考与练习思考与练习 处收敛于处收敛于 2. )(xf 0 x,1 x0,1 2 x 则它的傅则它的傅里里叶级数在叶级数在x 在在4x处收敛于处收敛于 . 提示提示: 2 )()(ff 2 )( f)( f 2 2 2 2 2 )4()4(ff 2 )0()0( ff1 1 0 2 0 设周期函数在一个周期内的表达式为设周期函数在一个周期内的表达式为 , x y o 1 1 3. 写出函数写出函数)(xf 0, 1x x0, 1 上在, 傅氏级数的和函数

22、傅氏级数的和函数 . )(xS 0, 1x x0, 1 0 x,0 x,0 答案答案: x y o 1 1 )(xf P315 2; 5 ; 7 作业作业 备用题备用题 1. 2 )(xxxf函数 )(x 叶级数展式为叶级数展式为, )sincos( 2 1 0 n nn nxbnxa a 则其中系则其中系 . 3 b数 提示提示:xxxfbd3sin)( 1 3 xxxxd3sin)( 2 1 x x3sin 0 x3cos 3 1 x3sin 9 1 )3sin 9 3cos 3 ( 2 xx x 0 3 2 32 利用利用“偶倍奇零偶倍奇零” (93 考研考研) 的傅里的傅里 2.将函数将函数( ),f xx x 4 1 1 . n n 展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数 并计算