九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.1《锐角三角函数》教案 北师大版

1、学必求其心得，业必贵于专精锐角三角函数锐角三角函数是义务教育课程标准实验教科书（北师版）数学九年级下册第一章第一节内容，本章主要研究直角三角形的边角关系；本节要求经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系能够用tana表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算。；所以本节的重点是理解tana的数学含义和公式.【知识与能力目标】1.经历探索直角三角形中边角关系的过程。理解正切的意义和与现实生活的联系2。能够用tana表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算。【过程与方法目标】1.经历观

2、察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力,能有条理地，清晰地阐述自己的观点。2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力。3。体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.【情感态度价值观目标】1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.2。形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.【教学重点】理解tana的数学含义和公式。【教学难点】现实情境中理解tana的数学含义,以及公式的应用。课前准备教师准备课件、多媒体；学生准备；练习本；教学过程第一课时创设情境 引入课题问题1在直角三角形中,知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?从而引出课

3、题在活动1中教师应重点关注:(1） 学生是否能从实际生活中发现并提出数学问题。(2)学生的审美意识及对演示图片倾注的情感。通过熟悉的物体（梯子），不仅让学生感受到生活中数学无处不在，也为后面的探究活动作好了情感准备.梯子是日常生活常见的物体,让学生比较如何比较梯子的倾斜度，有哪些办法?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的? 教师通过引导学生观察、讨论，通过步步设问,引发学生思考。定义 在在rtabc中，锐角a的对边与邻边的比叫做a的正切，记作tana,即tana=a的对边/a的邻边从而引出正切的定义利用这个梯子模型引入，可以帮助学生直观理解正切的概念。同时，通过学生主动的活动，让学生亲眼目睹数

4、学过程形象而生动的性质，亲身体验如何“做数学”，从中感受到数学的力量,促使学生乐于学习。让学生在讨论过程中学会与他人交流，养成良好的学习品质。活动3判断对错：图1， (1) tana=bc/ac （ )tana=ac/bc （ )图1图2， tana=0.7m ( ) tana=0.7 （ ) 图2注意： 1.tana是一个完整的符号，它表示a的正切，记号里习惯省去角的符号“”。 2.tana没有单位，它表示一个比值,即直角三角形中a的对边与邻边的比。 3.tana不表示“tan”乘以“a”。 4。初中阶段，我们只学习直角三角形中,a是锐角的正切。5tana的大小只与a的大小有关，而与直角三角

5、形的大小无关。通过这组练习，既复习了正切的定义，又以探究的形式将知识进一步延伸,拓广了学生的思维,同时为以后学习三角函数埋下了伏笔。板书设计：1。1 从梯子的倾斜程度谈起(一)1.当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定.2。正切的定义：在rtabc中，锐角a确定，那么a的对边与邻边的比随之确定，这个比叫做a的正切，记作tana，即tana。注:（1)tana的值越大。梯子越陡。 （2)坡度通常表示斜坡的倾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.（3）tana是一个完整的符号，它表示a的正切，记号里习惯省去角的符号“.3。例题讲解(略）4.随堂练习5。课时小结第二课时 .创

6、设情境,提出问题，引入新课 师我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度,并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关。并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切. 现在我们提出两个问题: 问题1当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗? 问题2梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有,是怎样的关系? .讲授新课 1.正弦、余弦及三角函数的定义 多媒体演示如下内容：想一想:如图（1)直角三角形ab1c1和直角三角形ab2c2有什么关系？（2) 有什么关系? 呢？（3）如果改变a2在梯子a

7、1b上的位置呢？你由此可得出什么结论？(4)如果改变梯子a1b的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?请同学们讨论后回答. 生a1c1bc1，a2c2bc2,a1c1/a2c2。rtba1c1rtba2c2。 (相似三角形对应边成比例）。 由于a2是梯子a1b上的任意-点，所以,如果改变a2在梯子a1b上的位置，上述结论仍成立。 由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值,倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关,而与直角三角形大小无关. 生如果改变梯子a1b的倾斜角的大小，如虚线的位置,倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变。

8、 师我们会发现这是一个变化的过程。对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢？ 生函数关系。 师很好!上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：（用多媒体演示） 在rtabc中，如果锐角a确定，那么a的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定。如图，a的对边与邻边的比叫做a的正弦(sine），记作sina,即 sina a的邻边与斜边的比叫做a的余弦（cosine），记作cosa，即 cosa= 锐角a的正弦、余弦和正切都是a的三角函数 （trigon

9、ometric function). 师你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sina、cosa、tana都是之a的三角函数”呢? 生我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角a确定时.a的对边与斜边的比值，a的邻边与斜边的比值，a的对边与邻边的比值也都唯一确定.在“a的三角函数概念中，a是自变量，其取值范围是0a90；三个比值是因变量.当a变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应. 2.梯子的倾斜程度与sina和cosa的关系 师我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tana有关系:tana的值越大,梯子越陡。由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sina、cosa有关系呢?如果有关系，是怎样的关系

10、？19生如图所示,aba1b1，在rtabc中，sina=,在rta1b1c中,sina1=. , 即sinasina1,而梯子a1b1比梯子ab陡， 所以梯子的倾斜程度与sina有关系.sina的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度。 生同样道理cosa= cosa1， ab=a1b1 即cosacosa1, 所以梯子的倾斜程度与cosa也有关系。cosa的值越小，梯子越陡。 师同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉！从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切。 3.例题讲解 多媒体演示。例1如图，在rtabc中，b=90,ac200.sina0。6，

11、求bc的长。 分析:sina不是“sin”与“a”的乘积，sina表示a所在直角三角形它的对边与斜边的比值,已知sina0。6,0。6。 解：在rtabc中,b90，ac200。 sina0.6，即=0.6，bcac0。62000.6=120。 思考:（1)cosa？ (2）sinc? cosc？ （3)由上面计算，你能猜想出什么结论？ 解：根据勾股定理，得 ab=160。 在rtabc中，cb90。 cosa0.8， sinc= =0.8， cosc 0.6， 由上面的计算可知 sinacosco.6, cosasinc0。8。 因为a+c90，所以,结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”

12、“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”。例2做一做：如图，在rtabc中，c=90,cosa，ac10，ab等于多少?sinb呢?cosb、sina呢?你还能得出类似例1的结论吗？请用一般式表达.分析:这是正弦、余弦定义的进一步应用,同时进一步渗透sin(90a)cosa，cos（90-a)=sina. 解：在rtabc中，c90，ac=10，cosa，cosa,ab=,sinb根据勾股定理，得bc2ab2ac2（）2102=bc.cosb，sina可以得出同例1一样的结论.a+b=90，sina：cosb=cos（90-a）,即sinacos(90a）； cosasinbsin（90a）,即co

13、sasin（90-a）。 。随堂练习 多媒体演示 1。在等腰三角形abc中，ab=ac5，bc=6，求sinb，cosb，tanb. 分析：要求sinb，cosb，tanb，先要构造b所在的直角三角形。根据等腰三角形“三线合一”的性质，可过a作adbc，d为垂足. 解：过a作adbc，d为垂足。 ab=ac,bd=dc=bc=3。 在rtabd中，ab5，bd=3， ad4. sinb cosb, tanb=。 2。在abc中，c90，sina，bc=20，求abc的周长和面积。 解：sina= ,sina=，bc20， ab25. 在rtbc中,ac=15， abc的周长ab+ac+bc25

14、+15+2060， abc的面积:acbc=1520150。3。（2003年陕西）(补充练习）在abc中。c=90，若tana=,则sina= 。 解：如图,tana=。设bc=x，ac=2x，根据勾股定理，得ab=。sina=。.课时小结本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念,用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角a的三角函数概念中,a是自变量，其取值范围是0a90；三个比值是因变量。当a确定时，三个比值分别唯一确定；当a变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题. 。课后作业 习题1、2第1、2、3、4题 .活动与探究已知：如图，cd是rtabc的斜边ab上的高，求证：bc2abbd。（用正弦、余弦函数的定义证明) 过程根据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一个直角三角形中，在rtabc中，cdab.所以图中含有三个直角三角形