力矩 转动定律 转动惯量

1、2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 1 P z O F r d FdFrMsin : 力臂力臂d FrM 对转轴对转轴 z 的力矩的力矩 F 一力矩一力矩 M 用来描述力对刚体用来描述力对刚体 的转动作用的转动作用 * 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 2 O r m z 二二 转动定律转动定律 F t F n F rFMsin mrmaF tt M （1）单个质点单个质点 与转轴刚性连接与转轴刚性连接 m )( 2 mrM 2 t mr

2、rFM 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 3 2 iejjjj rmMM （2）刚体刚体 质量元受质量元受外外力力 ， 内内力力 j Fe j Fi 外外力矩力矩内内力矩力矩 O z j m j r j F e j F i 2 iejj j j j j rmMM 0 j ijjiij MMM 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 4 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合合 外力矩外力矩成正比，与刚体的成正比，与

3、刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比. )rmM jj j j 2 e ( 转动定律转动定律JM 2 j j jr mJ 定义转动惯量定义转动惯量 O z j m j r j F e j F i mrJd 2 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 5 讨论讨论 J M （2） t JJM d d （3） （1） 不变不变M，0 转动定律转动定律JM 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 6 三转动惯量三转动惯量 J 的的意义：意义：转动惯性的量度

4、转动惯性的量度 . 转动惯量的单位：转动惯量的单位：kgm2 2 j j jr mJ mrJd 2 与与m比较比较 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 7 v 质量离散分布质量离散分布 22 22 2 11 2 jjjj rmrmrmrmJ J 的计算方法的计算方法 v 质量连续分布质量连续分布 mrrmJ j j j d 22 ：质量元：质量元md ：体积元：体积元Vd 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 8 例例:求一均匀细棒对垂直于细

5、棒且通过一求一均匀细棒对垂直于细棒且通过一 端的转轴的转动惯量。端的转轴的转动惯量。 y x 0 xdx L m 22 00 2 3 1 mLdxx L m dmxJ LL 2 12 1 mLJ 绕中心点转动的绕中心点转动的 转动惯量为转动惯量为 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 9 例例：求转轴通过中心且与盘面垂直的均：求转轴通过中心且与盘面垂直的均 匀圆盘的转动惯量匀圆盘的转动惯量 o r dr 2 0 22 2 1 2 mR rdrrdmrJ R 2 R m 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量

6、 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 10 一个质点绕轴转动的转动惯量为：一个质点绕轴转动的转动惯量为： 2 mrJ rm o 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 11 刚体的转动惯量与以下三个因素有关：刚体的转动惯量与以下三个因素有关： （3）与转轴的位置与转轴的位置有关有关 （1）与刚体的体密度与刚体的体密度 有关有关 （2）与刚体的几何形状及体密度与刚体的几何形状及体密度 的分的分 布有关布有关 说说 明明 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体

7、的转动 物理学物理学 第五版第五版 12 2 mdJJ CO 四四 平行轴定理平行轴定理 质量为质量为 的刚体的刚体， 如果对其质心轴的转动如果对其质心轴的转动 惯量为惯量为 ， ，则对任一与 则对任一与 该轴平行该轴平行，相距为相距为 的的 转轴的转动惯量转轴的转动惯量 C J m d d C O m 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 13 质量为质量为m，长为，长为L的细棒绕其一端的的细棒绕其一端的J P 22 2 1 mRmRJ P 圆盘对圆盘对P 轴的转动惯量轴的转动惯量 Rm O 22 3 1 ) 2 (

8、mL L mJJ c 2 mdJJ c 2 12 1 mLJc O1 d=L/2 O1 O2O2 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 14 竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？ 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 15 ( (2) ) 为瞬时关系为瞬时关系 ( (3) ) 转动中转动中 与平动中与平动中 地位相同地位相同 maF JM ( (1) ) , 与

9、与 方向相同方向相同 JM M 说明说明 转动定律应用转动定律应用JM 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 16 转动定律的三种应用转动定律的三种应用: 1 dt d JJM kM f 例例:某电机以某电机以 的转速转动时的转速转动时, 关闭电关闭电 源源,摩擦力矩为摩擦力矩为 ,当转速为当转速为 时时,需多少时间需多少时间? 0 2 0 k dt d JM f t kdt d J 0 2 0 0 k J t 2ln 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学

10、第五版第五版 17 2 求求 O , JM 2 3 1 30sin 2 ml l mg l g 4 3 一质量为一质量为m长为长为 的均匀细棒，的均匀细棒， 可绕通过其一端且与棒垂直可绕通过其一端且与棒垂直 的水平轴的水平轴O（与纸面垂直）转（与纸面垂直）转 动。现将此棒从水平位置静动。现将此棒从水平位置静 止释放，当棒转到与铅直方止释放，当棒转到与铅直方 向成向成 角时，棒的角加速度角时，棒的角加速度 为为? 30 l 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 18 3. 计算题计算题 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩

11、转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 19 如图所示质量为如图所示质量为M的滑轮，的滑轮， 半径为半径为R，可绕光滑固定水，可绕光滑固定水 平轴转动，一条轻柔细绳平轴转动，一条轻柔细绳 子绕在滑轮上（与滑轮间子绕在滑轮上（与滑轮间 无相对滑动），其二端分无相对滑动），其二端分 别系质量为别系质量为m1和和m2的物体，的物体， 若若m1m2,求：求： （1）物体）物体 下降的加速度；（下降的加速度；（2）绳子）绳子 中的张力。中的张力。 m1 R m2 M 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学

12、 第五版第五版 20 T1 T2 amTgm 111 amgmT 222 R a MRJRTRT 2 21 2 1 MaTT 2 1 21 Mmm gmm a 2 1 21 21 gm Mmm Mm T 1 21 2 1 2 1 2 1 2 m1 R m2 M 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 21 gm Mmm Mm T 2 21 1 2 2 1 2 1 2 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 22 例例2 质量为质量为mA的物体的物体

13、A 静止在光滑水静止在光滑水 平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳 索跨过一半径为索跨过一半径为R、质量为、质量为mC的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为mB 的物体的物体B上，上，B 竖竖 直悬挂直悬挂滑轮与绳索间无滑动，滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与且滑轮与 轴承间的摩擦力可略去不计轴承间的摩擦力可略去不计( (1) )两物体的两物体的 线加速度为多少？线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的水平和竖直两段绳索的 张力各为多少？张力各为多少？( (2) ) 物体物体 B 从静止落下距从静止落下距 离离 y 时，其速率是多少时，其

14、速率是多少？ 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 23 解解 ( (1) ) 用用隔离法分隔离法分 别对各物体作受力分析，别对各物体作受力分析， 取如图所示坐标系取如图所示坐标系 A B C A m B m C m A P Ox T1 F N F A m y O T2 F B P B m T2 F T1 F C P C F 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 24 amF AT1 amFgm BT2B JRFRF T1T2 Ra y O T

15、2 F B P B m T2 F T1 F C P C F A P Ox T1 F N F A m 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 25 解题时解题时,应先将第三式化成应先将第三式化成: R a RmRFRF c 2 2 1 T1T2 amFF c 2 1 T1T2 将该式与前二式相加将该式与前二式相加,可得可得 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 26 2 CBA B mmm gm a 2 CBA BA T1 mmm gmm F 2

16、)2( CBA BCA T2 mmm gmmm F 解得：解得： 注意注意: 21 TT FF 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 27 如令如令 ，可得，可得 BA BA T2T1 mm gmm FF （2） B由静止出发作匀加速直线运动，由静止出发作匀加速直线运动， 下落的速率下落的速率 2/ 2 2 CBA B mmm gym ay v 0 C m 2 CBA BA T1 mmm gmm F 2 )2( CBA BCA T2 mmm gmmm F 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章

17、刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 28 稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细 杆将在重力作用下由静止开始绕铰链杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转 动试计算细杆转动到与竖直线成动试计算细杆转动到与竖直线成 角时角时 的角加速度和角速度的角加速度和角速度 例例3一长为一长为 l 、质量质量 为为 m 匀质细杆竖直放置，匀质细杆竖直放置， 其下端与一固定铰链其下端与一固定铰链O相相 接，并可绕其转动接，并可绕其转动由于由于 此竖直放置的细杆处于非此竖直放置的细杆处于非 m,l O mg 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第

18、2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 29 解解 细杆受重力和细杆受重力和 铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得作用，由转动定律得 N F Jmglsin 2 1 式中式中 2 3 1 mlJ 得得sin 2 3 l g N F m,l O mg 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 30 t t d d d d d d 由角加速度的定义由角加速度的定义 l g dsin 2 3 d 代入初始条件积分得代入初始条件积分得)cos1 ( 3 l g d d N F m,l O mg

19、 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 31 5 如图：一定滑轮两端分别悬挂质量如图：一定滑轮两端分别悬挂质量 都是都是m的物块的物块A和和B，图中，图中R和和r，已知滑轮，已知滑轮 的转动惯量为的转动惯量为J，求，求A、B两物体的加速度及两物体的加速度及 滑轮的角加速度滑轮的角加速度 解解 Ra ra JrFRF mamgF maFmg 2 1 TT 1T 2T 12 1 2r R F 1 T F 2 T FT1 FT2 mgmg A B 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 32 321 rR JmrmRmgrmgR 22 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 33 解得解得 22 1 )( mrmRJ rRmgr ra 2T2 mamgF 22 2 )( mrmRJ rRmgR Ra 1T1 mamgF 22 )( mrmRJ rRmg 2- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 第第2章章 刚体的转动刚体的转动 物理学物理学 第五版第五版 34 L mg cos 2 1