力学总复习11

1、1.1 质点运动学基本概念质点运动学基本概念 第第 1 章章 质点运动学质点运动学 1、运动是绝对的：、运动是绝对的： 任何物体任何时刻都在不停地运动着任何物体任何时刻都在不停地运动着 2、运动又是相对的：、运动又是相对的： 运动的描述是相对其他物体而言的运动的描述是相对其他物体而言的 二、二、 坐标系坐标系 坐标系：坐标系：由固结在参考系上的一组有刻度的射线、由固结在参考系上的一组有刻度的射线、 曲线或角度表示。曲线或角度表示。 坐标系为参考系的数学抽象坐标系为参考系的数学抽象（两者相对静止两者相对静止） 坐标系可任选，坐标系可任选，以描述方便为原则以描述方便为原则 一、参考系一、参考系 用

2、来描述物体运动而选作参考的物体、或相对静止用来描述物体运动而选作参考的物体、或相对静止 的物体系。的物体系。 三、空间和时间三、空间和时间 物质的运动发生在空间和时间之中，要在参考系中物质的运动发生在空间和时间之中，要在参考系中 定量地描述物质的运动就需要测量空间的间隔和时定量地描述物质的运动就需要测量空间的间隔和时 间的间隔间的间隔 空间反映了物质的广延性，是与物体的体积和物空间反映了物质的广延性，是与物体的体积和物 体的位置的变化联系在一起的体的位置的变化联系在一起的 时间所反映发是物理事件发生的顺序性和持续性时间所反映发是物理事件发生的顺序性和持续性 四、质点四、质点 质点质点没有大小和

3、形状，只具有全部质量的一点。没有大小和形状，只具有全部质量的一点。 可以将物体简化为质点的两种情况：可以将物体简化为质点的两种情况： 物体不变形，不作转动物体不变形，不作转动(此时物体上各点的速度及加速此时物体上各点的速度及加速 度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动)。 物体本身线度和它活动范围相比小得很多物体本身线度和它活动范围相比小得很多(此时物体的此时物体的 变形及转动显得并不重要变形及转动显得并不重要)。 选择合适的选择合适的参考系参考系， 以方便以方便确定确定物体的物体的运动性质运动性质； 建立恰当的建立恰当的坐标系坐标系， 以以定量描

4、述定量描述物体的物体的运动运动； 提出准确的提出准确的物理模型物理模型， 以以突出突出问题中最基本的问题中最基本的运动规律运动规律。 五、质点的位置坐标和位置矢量五、质点的位置坐标和位置矢量 位置矢量位置矢量（或矢径）：（或矢径）： 质点位置：质点位置： P (x, y, z) = P ( t ) 直角坐标系直角坐标系 r roPr z y x y z i j k x r o P (x,y,z) kzj yi xr 位置矢量在直位置矢量在直 角坐标系中可角坐标系中可 用单位矢量表用单位矢量表 示为：示为： z y x y z i j k x r o P (x,y,z) 六、运动方程与轨道六、运

5、动方程与轨道 ktzjtyitxtr )()()()( )(trr 质点的位置与运动时间质点的位置与运动时间 ( t ) 有关，位置矢量满有关，位置矢量满 足一定的函数关系：足一定的函数关系： 称为质点称为质点运动方程运动方程 或：或： try trx sin cos 轨道（方程）轨道（方程） 如：如： 222 ryx消去时间参量：消去时间参量： )( )( )( tzz tyy txx 分量形式：分量形式： 一、位移一、位移（单位：米）（单位：米） ABr 1.2 质点的位移和速度质点的位移和速度 r A r B r y x z O s A B 设在设在 t 时间内质点从时间内质点从A运动运

6、动 到到B，则质点在，则质点在 t 时间内的时间内的 位移位移定义为：定义为： AB rrr 由图可知位移与初、末时刻位置矢量的关系：由图可知位移与初、末时刻位置矢量的关系： 二、速度二、速度（单位：米（单位：米/秒）秒） t r v 平均速度：平均速度： r )(tr )(ttr O s A B 瞬时速度：瞬时速度： t r v t 0 lim t r d d 速度是位矢对时间的一阶导数速度是位矢对时间的一阶导数 r )(tr )(ttr O s A B 若质点在若质点在三维三维空间中运动，其速度空间中运动，其速度 kji yx z vvvv t r v d d 三、速度的分量形式三、速度的

7、分量形式 1. 直角坐标系直角坐标系 kvjvivv zyx k t z j t y i t x d d d d d d vv 速率为：速率为： 222 zyx vvv t x vx d d t y vy d d t z vz d d 速度分量为：速度分量为： 1.3 质点的加速度质点的加速度 t v a 瞬时加速度瞬时加速度 ( t 0) t v a t 0 lim 一、加速度一、加速度（单位：米（单位：米/秒秒2） t v d d 2 2 d d t r y x z o A B A r B r B v A v B v A v v 设在设在 t 时间内质点从时间内质点从A运动运动 到到B，

8、则质点在则质点在 t 时间内的时间内的 平均加速度定义为：平均加速度定义为： 加速度是速度对时间的一阶导数加速度是速度对时间的一阶导数 或位矢对时间的二阶导数或位矢对时间的二阶导数 k t v j t v i t v z y x d d d d d d 1. 直角坐标系直角坐标系 二、加速度的分量形式二、加速度的分量形式 k t z j t y i t x 2 2 2 2 2 2 d d d d d d 等等 2 2 d d d d t x t v a x x t v a d d 加速度在直角坐标系中的三个分量分别等于相应速度分量加速度在直角坐标系中的三个分量分别等于相应速度分量 对时间的一阶

9、导数，或相应坐标分量对时间的二阶导数对时间的一阶导数，或相应坐标分量对时间的二阶导数 nnttnt eaeaaaa Pt e a n a t a n 2 t d d e v e t v a 反映速度反映速度大小大小的变化的变化! 反映速度反映速度方向方向的变化的变化! 2 2 t d d d d t s t v a 切向加速度切向加速度分量：分量： 2 n 1 va 法向加速度法向加速度分量：分量： 2. 自然坐标系自然坐标系 圆周运动的圆周运动的角量描述角量描述 O X R 1 v 2 v s A B t A tt B角位移角位移 沿沿逆时针逆时针转动，角位移取转动，角位移取正正值值 沿沿顺

10、时针顺时针转动，角位移取转动，角位移取负负值值 角位置角位置 角速度角速度 角加速度角加速度 dt d t t 0 lim单位：单位：rad/s 2 2 0 lim dt d dt d t t 单位：单位：rad/s2 线量线量速度、加速度速度、加速度 角量角量角速度、角加速度角速度、角加速度 2 2 s R R v a R dt d R dt dv a R dt d R dt d v n Rdds vr dt d 加速转动加速转动 方向一致方向一致 减速转动减速转动 方向相反方向相反 v r 13.4、运动学中的两类问题、运动学中的两类问题 1、已知运动方程，求速度、加速度、已知运动方程，求

11、速度、加速度 2、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程 求导数求导数 运用积分方法运用积分方法 特别特别 指出指出 讨论问题一定要选取坐标系讨论问题一定要选取坐标系 注意矢量的书写注意矢量的书写 一、运动描述具有相对性一、运动描述具有相对性 车上的人观察车上的人观察 地面上的人观察地面上的人观察 1-4 相对运动相对运动 运动是相对的。静止参考系、运动参考系也是相对的运动是相对的。静止参考系、运动参考系也是相对的 Rrr 两个相对平动参照系两个相对平动参照系 对质点位置（矢量）描述的相对性对质点位置（矢量）描述的相对性! y y o P o x x S

12、 S (x, y, z ) (x, y, z ) y u r r R S相对相对 S平动，速度为平动，速度为u y y o P o x x S S (x, y, z ) (x, y, z ) y u r r R 二、绝对运动、牵连运动、相对运动二、绝对运动、牵连运动、相对运动 绝对运动绝对运动：物体相对于：物体相对于静止参考系静止参考系的运动的运动 牵连运动：运动参考系相对于静止参考系的运动牵连运动：运动参考系相对于静止参考系的运动 相对运动相对运动：物体相对于：物体相对于运动参考系运动参考系的运动的运动 0 rrr 绝对位矢绝对位矢 相对相对 位矢位矢 牵连位矢牵连位矢 uvv 绝对速度绝对

13、速度 相对相对 速度速度 牵连速度牵连速度 0 aaa 绝对绝对 加速度加速度 相对相对 加速度加速度 牵连牵连 加速度加速度 同一参考系内两质同一参考系内两质 点的相对运动：点的相对运动： ABBA rrr ABBA vvv ABBA aaa 讨论题讨论题 1、一质点做抛体运动（忽略空气阻力），如图所示、一质点做抛体运动（忽略空气阻力），如图所示 请回答下列问题：请回答下列问题： 质点在运动过程中质点在运动过程中 是否变化？ dt dv )(1 是否变化？ dt vd )(2 （3）法向加速度是否变化？）法向加速度是否变化？ （4）轨道何处曲率半径最大？其数值是多少？）轨道何处曲率半径最大？

14、其数值是多少？ 0 y x O 0 v 变化变化 不变化不变化 变化变化 n n a v g v a 2 2 cos法向加速度 0 y x O 0 v 在轨道起点和终点在轨道起点和终点an值最小，值最小，v=v0值最大。值最大。 在最高点在最高点an值最大，值最大，v=v0cos 0最小最小。 因此在起点和终点曲率半径的值一定最大，因此在起点和终点曲率半径的值一定最大， 在最高点值最小。在最高点值最小。 0 2 0 2 cos g v a v n 最大值 的运动是什么运动？ 的运动是什么运动？ 0 02 dt vd dt vd . 3、如图所示，设物体沿着光滑圆形轨道下滑，、如图所示，设物体沿

15、着光滑圆形轨道下滑， 在下滑过程中，下面哪种说法是正确的？在下滑过程中，下面哪种说法是正确的？ O R （1）物体的加速度方向永远指向圆心。）物体的加速度方向永远指向圆心。 （2）物体的速率均匀增加。）物体的速率均匀增加。 （3）物体所受合外力大小变化，）物体所受合外力大小变化， 但方向永远指向圆心。但方向永远指向圆心。 （4）轨道的支持力大小不断增加。）轨道的支持力大小不断增加。 0 a dt vd 0 a dt vd O R 在下滑过程中，物体做圆周运动。在下滑过程中，物体做圆周运动。 R v mmgN 2 sin R v mmgN 2 sin 下滑过程中都在增大下滑过程中都在增大 外力有

16、重力和支持力，后者大小方向均外力有重力和支持力，后者大小方向均 变化，所以合外力的大小与方向都变化。变化，所以合外力的大小与方向都变化。 N gm 典型例题典型例题 1、一质点沿、一质点沿x轴运动，其加速度为轴运动，其加速度为a=4t(SI制制),当当t=0时，时， 物体静止于物体静止于x=10m处。试求质点的速度，位置与时间处。试求质点的速度，位置与时间 的关系式。的关系式。 解：解：t dt dv a4 tdtdv4 tv tdtdv 00 4 2 2tv 2 2t dt dx v dttdx 2 2 tx dttdx 0 2 10 2 10 3 2 3 tx 2、路灯离地面高度为、路灯离

17、地面高度为H，一个身高为，一个身高为h的人，在灯下的人，在灯下 水平路面上以匀速度水平路面上以匀速度 步行。如图所示。求当人与步行。如图所示。求当人与 灯的水平距离为灯的水平距离为x时，他的头顶在地面上的影子移动时，他的头顶在地面上的影子移动 的速度的大小。的速度的大小。 0 v H h x 0 v O x x y 解：建立如图坐标，解：建立如图坐标，t时刻头顶时刻头顶 影子的坐标为影子的坐标为x+x dt xd v dt xd dt dx dt xxd v 0 )( H h x 0 v O x x y x h xx H hH hx x hH hv dt xd 0 0 0 0 v hH H h

18、H hv vv 例例1 1 已知质点的运动方程为已知质点的运动方程为j ti tr 2 2192 求：求：（1）轨道方程；（）轨道方程；（2）t =2s 时质点的位置、速度时质点的位置、速度 以及加速度；以及加速度； （3）什么时候位矢恰好与速度垂直？）什么时候位矢恰好与速度垂直？ 2 219,2tytx(1) 消去时间参数消去时间参数 2 2 1 19xy （2）m114m221922 2 2 jijir j ti t r 42 d d v 1 2 sm82 ji v 11 2 2 2 sm25. 8sm82 v j ti t r 42 d d vj t a 4 d d v 2 sm4 a

19、方向沿方向沿 y 轴的负方向轴的负方向 （3） （4） j tijti tr 422192 2 v )182(4)219(44 22 ttttt 0)3)(3(8ttt s3,0 21 tt两矢量垂直两矢量垂直 8575 2 8 arctan 4 4 设某一质点以初速度设某一质点以初速度 做直线做直线 运动，其加速度为运动，其加速度为 。问：质点在。问：质点在 停止前运动的路程有多长？停止前运动的路程有多长？ v v 10 d d t at d10 d v v tt t 10ln,d10 d 0 0 0 v v v v v v t10 0e vv ttx t x t dedd, d d 10

20、0 vvv 两边积分：两边积分： tx t t x ded 0 10 0 0 v 1e 10 1 10 0 t xv )1 (10 10t ex m10m)01 (10)e1 (10 0) 11 (10)e1 (10 10 010 0 x x m10 0 xxx 例例4 半径为半径为r = 0.2 m的飞轮，可绕的飞轮，可绕 O 轴转动。已知轴转动。已知 轮缘上一点轮缘上一点M的运动方程为的运动方程为 = -t2+4t ，求在，求在1秒时秒时 刻刻M点的速度和加速度。点的速度和加速度。 42 d d t t 2 td d 11 sm4 . 0sm)412(2 . 0)42( trrv 22 4

21、 . 02 . 0)2( smsm t ra 2222 n sm8 . 0sm)412(2 . 0 ra 22 n 2 t sm89. 0 aaa 4 .63 4 . 0 8 . 0 arctanarctan t n a a n a t a a ox v M 例例5 一质点沿半径为一质点沿半径为R的圆周运动，其路程的圆周运动，其路程s随时随时 间间t 的变化规律为的变化规律为 ，式中，式中b，c为大于为大于 零的常数，且零的常数，且 。求（。求（1）质点的切向加速）质点的切向加速 度和法向加速度。（度和法向加速度。（2）经过多长时间，切向加速）经过多长时间，切向加速 度等于法向加速度。度等于法向加速度。 2 21ctbts Rcb 2 ctb t s d d v c t a d d t v R ctb R a 22 n )( v nt aa c R c b t解得解得 例例6 一观察者一观察者A坐在平板车上，车以坐在平板车上，车以10 m/s的速率沿的速率沿 水平轨道前进。他以与车前进的反方向呈水平轨道前进。他以与车前进的反方向呈 60角向上角向上 斜抛出一石块，此时站在地面上的观察者斜抛出一石块，此时站在地面上的观察者B看到石块看到石块 沿铅垂线向上运动。求石块上升的高度。沿铅垂线向上运动。求石块上升的