正态总体的常用抽样分布

1、1 第三节第三节 2 一、样本均值和样本方差的分布一、样本均值和样本方差的分布 设设总总体体),( 2 NX，样样本本),( 21n XXX， 1 1. . 样本均值样本均值),( 2 n NX . . 由于正态分布具有可加性，即相互独立的正态由于正态分布具有可加性，即相互独立的正态 变量的线性组合仍为正态变量，而前已证明变量的线性组合仍为正态变量，而前已证明 证证 ,)(E X， n X 2 )(D 所以所以. ),( 2 n NX 标准化标准化 . )1, 0( / N n X U 3 2 2. . 2 2 )1( Sn 3 3. . X与与 2 S相相互互独独立立； n i i XX 1

2、 2 2 )( 1 . )1( 2 n . )1( / . 4 nt nS X t 证证 1. 1. 样本均值样本均值),( 2 n NX . . 且且 n X / 2 与与 2 2 )1( Sn 相相互互独独立立， , )1( )1( 2 2 2 n Sn , )1, 0( / N n X U 注：注：)()( 1 2 1 2 2 nX n i i 4 且且 n X / 2 与与 2 2 )1( Sn 相相互互独独立立， ，)1, 0( / N n X ，)1( )1( 2 2 2 n Sn 由由 t 分布的定义分布的定义, , )1( )1( / 2 2 2 n Sn n X T nS X

3、 / . )1( nt 5 设设总总体体, )4,( NX若若要要以以 95%的的概概率率保保证证样样本本均均值值 X与与总总体体期期望望 的的偏偏差差小小于于 0.1, , 问问样样本本容容量量n应应取取多多大大? ? 例例1 1 解解 因因, )4,( NX故故 , ) 4 ,( n NX 所所以以 1 . 0P X1) / 1 . 0 (2 n ,95. 0 即即 ,975. 0)05. 0( n 查表得查表得 ,96. 105. 0 n ,64.1536 n 即即应应取取 .1537 n 6 用用 2 S代代替替 2 , ,构构造造统统计计量量. )1( / nt nS X T 设设某

4、某厂厂生生产产的的灯灯泡泡的的使使用用寿寿命命),1000( 2 NX ( (单单位位: :小小时时) ). . 今今抽抽取取一一容容量量为为 9 的的样样本本, ,得得到到 ,100 s 试试求求. 940P X 例例2 2 分析分析 解解 由由于于题题中中 2 未未知知, , 故故不不能能用用, ),( 2 n NX 因为因为 ,)8( 9/ 1000 t S X T 940P X 3/100 1000940 3/100 1000 P X ,8 . 1P T 故故 7 ,)8( 9/ 1000 t S X T ,8 . 1P T940P X ,8 . 1)8( t令令查表得查表得 ,396

5、8. 1)8( 1 . 0 t,8595. 1)8( 05. 0 t 用线性插值得用线性插值得 .056. 0 故故.056. 0940P X x O )(nt )(nt 8 设设总总体体, ),( 2 NX)16(),( 21 nXXX n 是是来来自自X的的样样本本, ,求求概概率率 例例3 3 解解由分布定理知由分布定理知, , ;2)( 1 2 P)1( 2 1 2 2 n i i X n . 2)( 1 2 P)2( 2 1 2 2 n i i XX n ,)( )( 2 2 1 2 n X n i i . )1( )1( )( 2 2 2 2 1 2 n Sn XX n i i 9

6、 ;2)( 1 2 P)1( 2 1 2 2 n i i X n 2 )( 2 P 2 1 2 n X n n i i 32)16(8P 2 32)16(P8)16(P 22 .94. 001. 095. 0 x O )(xf )( 2 n 10 x O )(xf )( 2 n 2)( 1 2 P)2( 2 1 2 2 n i i XX n 2 )( 2 P 2 1 2 n XX n n i i 32)15(8P 2 32)15(P8)15(P 22 .895. 0005. 090. 0 11 设设),( 21n XXX是是来来自自正正态态总总体体),( 2 NX 的的样样本本, ,其其样样本

7、本均均值值和和样样本本方方差差分分别别为为 2 , SX, , 1 n X是是对对 X的的又又一一次次独独立立观观测测值值, ,求求下下面面统统计计量量的的概概率率分分布布: : 例例4 4 1 1 n n S XX Z n 解解因因, ),( 2 1 NXn ,),( 2 n NX 故故 ,), 0( 2 2 1 n NXX n 标准化得标准化得 ,)1, 0( 1 1 N n n XX n 12 ,)1, 0( 1 1 N n n XX n 又由抽样分布定理知又由抽样分布定理知 ,)1( )1( 2 2 2 n Sn 于是据于是据 t 分布的定义得分布的定义得 ,)1( )1( )1( 1

8、 2 2 1 nt n Sn n n XX n 即即.)1( 1 1 nt n n S XX Z n 13 二、样本均值差和联合样本方差的分布二、样本均值差和联合样本方差的分布 下面讨论一下两个正态总体的情况下面讨论一下两个正态总体的情况. . 设设两两个个正正态态总总体体),( 2 11 NX, ,),( 2 22 NY 相相互互独独立立, ,分分别别抽抽取取样样本本),( 1 21n XXX 和和),( 2 21n YYY ， 各各自自的的样样本本均均值值和和样样本本方方差差分分别别记记为为 22 , YX SSYX, ,则则 (1)(1)1 , 0( / )()( 2 2 21 2 1

9、21 N nn YX U (2)(2) ，时时当当 22 2 2 1 ， ）（ )2( 11 )( 21 21 21 nnt nn S YX T xy . 2 )1()1( 21 2 2 2 12 nn SnSn S YX xy 其中其中联合样本方差联合样本方差 14 (1)(1)1 , 0( / )()( 2 2 21 2 1 21 N nn YX U 证证 (1)(1) ，) , ( 1 2 1 1 n NX ，) , ( 2 2 2 2 n NY 由正态分布的可加性由正态分布的可加性, ,可得可得 . ) , ( 2 2 2 1 2 1 21 nn NYX 标准化标准化, ,即得即得 .

10、 )1 , 0( )()( 2 2 2 1 2 1 21 N nn YX U 且且X与与Y相相互互独独立立， 15 (2)(2)，) 1( ) 1( 1 2 2 1 2 1 n Sn X ，) 1( ) 1( 2 2 2 2 2 2 n Sn Y 且且 22 , YX SS相相互互独独立立， 由由 2 分分布布的的可可加加性性, ,有有 . )2( ) 1() 1( 21 2 2 2 2 2 2 1 2 1 nn SnSn V YX 因因为为 22 2 2 1 , , 记 记 2 )1()1( 21 2 2 2 12 nn SnSn S YX xy , , 则有则有 . )2( )2( 21

11、2 2 2 21 nn Snn V xy -联合样本方差的分布联合样本方差的分布 16 . )2( )2( 21 2 2 2 21 nn Snn V xy 且且U与与V相互独立相互独立, ,则则 )2/( 21 nnV U T 21 21 11 )( nn S YX xy ）（ . )2( 21 nnt . )1 , 0( )()( 2 2 2 1 2 1 21 N nn YX U 17 二、样本方差比的分布二、样本方差比的分布 设设两两个个正正态态总总体体),( 2 11 NX, ,),( 2 22 NY 相相互互独独立立, ,分分别别抽抽取取样样本本),( 1 21n XXX 和和),(

12、2 21n YYY ， 2 X S和和 2 Y S为为各各自自的的样样本本方方差差, , 则 则 . )1, 1( 212 2 2 1 2 2 nnF S S F Y X 证证 ，) 1( ) 1( 1 2 2 1 2 1 n Sn X ，) 1( ) 1( 2 2 2 2 2 2 n Sn Y 且且 2 X S与与 2 Y S相相互互独独立立, , 由由F分布的定义可得结论分布的定义可得结论. . 18 小结小结 样本均值样本均值 n i i X n X 1 1 样本方差样本方差 n i i XX n S 1 22 )( 1 1 n i i XnX n 1 22 1 1 ,)(E X， n

13、X 2 )(D .)(E 22 S ,)(E X,)(D 2 X 设总体的期望和方差分别为设总体的期望和方差分别为 则有则有 19 统计三大分布：统计三大分布： (1)(1) (2)(2) n XXX, 21 相相互互独独立立, ,且且, ) 1, 0( NXi则则 22 2 2 1 2 n XXX . )( 2 n . )(nt nY X T 设设) 1 , 0( NX, , )( 2 nY , ,且且X, ,Y相相互互独独立立, , 设设)( 2 mX , ,)( 2 nY , ,且且X, ,Y相相互互独独立立, , . ),( / / nmF nY mX F (3)(3) 20 设设总总

14、体体),( 2 NX，样样本本),( 21n XXX， )1, 0( / N n X U 抽样分布定理：抽样分布定理： (1)(1) )1( )1( 2 2 2 n Sn (2)(2) (3)(3) . )1( / nt nS X T ，),( 2 n NX 21 (4)(4) 独独立立, ,分分别别抽抽取取样样本本),( 1 21n XXX 和和),( 2 21n YYY ， )1 , 0( / )()( 2 2 21 2 1 21 N nn YX U ， ）（ )2( 11 )( 21 21 21 nnt nn S YX T xy 设设两两个个正正态态总总体体),( 2 11 NX, ,)

15、,( 2 22 NY相相互互 (5)(5) . )1, 1( 212 2 2 1 2 2 nnF S S F Y X 2 )1()1( 21 2 2 2 12 nn SnSn S YX xy 其中其中 22 练习：练习： P171 习题六习题六 23 设设总总体体X的的期期望望为为 , ,方方差差为为 2 , ,若若至至少少要要以以 9 95 5% %的的 概概率率保保证证,1 . 0 X 问问样样本本容容量量n应应取取多多大大? ? 补充题补充题： 1. 2.设 设总总体体, ) 1, 0( NX),( 521 XXX是是来来自自X的的样样本本, ,设设 , )( 2 5 2 4 2 3 21 XXX XXC Y 试确定试确定C, ,使使Y具有具有 t 分布分布. . 24 设设总总体体X的的期期望望为为 , ,方方差差为为 2 , ,若若至至少少要要以以 9 95 5% %的的 概概率率保保证证,1 . 0 X 问问样样本本容容量量n应应取取多多大大? ? 解解 因因n很很大大时时, ,X近近似似服服从从, ),( 2 n N 于于是是 1. 1 . 0P X1)