第四章——流体动力学分析基础

1、1 1. 1. 基本物理定律基本物理定律 u质量守恒定律质量守恒定律 u能量守恒定律（热力学第一定律）能量守恒定律（热力学第一定律） u动量守恒定律（牛顿运动定律）动量守恒定律（牛顿运动定律） 连续性方程连续性方程 动量方程和动量矩方程动量方程和动量矩方程 内维尔内维尔斯托克斯方程斯托克斯方程 伯努利方程伯努利方程 能量方程能量方程 2 2. 2. 微分方法和积分方法微分方法和积分方法 微分方法：微分方法：将基本物理定律应用到流体微元或将基本物理定律应用到流体微元或微元控制体微元控制体上上, 可得到可得到微分形式的基本方程微分形式的基本方程，求解方程可得到物，求解方程可得到物 理理 量的空间分

2、布规律。量的空间分布规律。 积分方法：积分方法：将基本物理定律应用到有限体积将基本物理定律应用到有限体积控制体控制体上，可得上，可得 积分形式的基本方程积分形式的基本方程。求解方程可得到物理量在。求解方程可得到物理量在 有限体积区域上的总体量的变化规律。有限体积区域上的总体量的变化规律。 3 系统：系统：一定质量的流体质点的集合一定质量的流体质点的集合, , 相当于热力学中的相当于热力学中的闭口系闭口系 3. 3. 系统和控制体系统和控制体 控制体：控制体：流场中确定的空间区域流场中确定的空间区域 。相当于热力学中的。相当于热力学中的开口系开口系, , 其其边界面称为边界面称为控制面控制面.

3、4 1. 1. 雷诺输运方程雷诺输运方程 描述了描述了系统内系统内流体参数变化与流体参数变化与控制体内控制体内流体参数的变化之流体参数的变化之 间的关系。间的关系。 定义定义B B为系统内任一物理量，为系统内任一物理量，为单位质量的该物理量，则为单位质量的该物理量，则 dB dm 或者或者BdmdV t u CV S tt u 5 0 lim ss ttt t s BB dB dtt 系统内物理量随时间变化可以表示为：系统内物理量随时间变化可以表示为： u CV S I II III 其中其中 ,sIIIIIc vIIII tttt tt BBBBBB ,sc v t t BB 6 , 0 l

4、im c vIIIIc v ttt t s BBBB dB dtt 所以：所以： u CV S 展开后有：展开后有： , 000 limlimlim c vc v IIII ttttttt ttt s BBBB dB dtttt 控制体内控制体内B B的变化率的变化率 B B通过控制面通过控制面 净流出率净流出率 B B通过控制面通过控制面 净流入率净流入率 I II III 7 , ,0 , lim c vc v ttt c vt c v BB dBd dV tdtdt 控制体内物理量控制体内物理量B B随时间变化率：随时间变化率： 由于控制体相对静止且固定不变由于控制体相对静止且固定不变

5、,c vc vc v d dVdVdV dttt u CV S I II III 8 单位时间内通过微元控制面的流出的体积通量为：单位时间内通过微元控制面的流出的体积通量为： I II III in on i dA o dA t o V i V oooo dVVndA dt 单位时间内通过微元控制面的流入的体积通量为：单位时间内通过微元控制面的流入的体积通量为： iiii dVV ndAdt 物理量物理量B B的净流出率：的净流出率： * , c s BdVV n dA 9 得到雷诺输运方程得到雷诺输运方程 .c vc s s dB dV n dA dtt 4-8 雷诺输运方程雷诺输运方程。表

6、示了系统内物理量。表示了系统内物理量B B随时间的变化率，随时间的变化率， 等于控制体内该物理量随时间的变化率加上通过控制面该物等于控制体内该物理量随时间的变化率加上通过控制面该物 理量的静流出率。理量的静流出率。 式中式中B B是系统内任一物理量，是系统内任一物理量，是单位质量的该物理量，即是单位质量的该物理量，即 =dB/dm；s系统，系统，c.v 控制体控制体，c.s 控制面，控制面， V 速度速度，n 控制面的外法线方向控制面的外法线方向 10 2. 2. 雷诺输运方程的物理意义雷诺输运方程的物理意义 流体流体质点质点参数参数B B的随体导数的随体导数 = = 当地导数当地导数 + +

7、 迁移导数迁移导数 流体流体系统系统参数参数B B的随体导数的随体导数 = B= Bc.v c.v对时间的导数 对时间的导数 + B+ B的净流出率的净流出率 以流体质点和空间坐标点为研究对象，适用于微分分析以流体质点和空间坐标点为研究对象，适用于微分分析 以系统和控制体为研究对象，适用于控制体分析以系统和控制体为研究对象，适用于控制体分析 定常条件下定常条件下 . c s s dB V n dA dt 4-9 定常条件下系统内物理量定常条件下系统内物理量B B的变化仅与通过控制面的流动有关，的变化仅与通过控制面的流动有关， 与其内部状态无关，可以得到积分形式的控制方程与其内部状态无关，可以得

8、到积分形式的控制方程 11 1. 1. 连续性方程连续性方程 质量守恒定律质量守恒定律系统内的流体在流动过程中质量不发生变化。系统内的流体在流动过程中质量不发生变化。 令雷诺输运方程中的物理量令雷诺输运方程中的物理量B B为系统的为系统的质量质量m m, , 则单位则单位 质量的物理量质量的物理量=dB/dm=1=dB/dm=1，雷诺输运方程为：，雷诺输运方程为： .c vc s s dm dV n dA dtt 4-10 由质量守恒定律知，系统内的质量不变，（由质量守恒定律知，系统内的质量不变，（dm/dtdm/dt）s s=0=0，所以，所以 . 0 c vc s dV n dA t 4-

9、11 积分形式的连续性方程积分形式的连续性方程，表示通过控制面的，表示通过控制面的净质量流出率净质量流出率 等于控制体内部等于控制体内部质量的减少率。质量的减少率。 适用于任何流体的定常和不定常流动。适用于任何流体的定常和不定常流动。 12 2. 2. 不可压缩流体的连续性方程不可压缩流体的连续性方程 对于定常流动或者不可压缩流体，式（对于定常流动或者不可压缩流体，式（4-114-11）可以简化为：）可以简化为： . 0 c s V n dA 4-12 考虑图考虑图4-44-4所示的微元所示的微元流管流管内内 不可压缩流体的流动，在流管不可压缩流体的流动，在流管 壁面上壁面上（Vn）=0, ,

10、截面截面1 1上上 （V1n1）=-V1，截面，截面2上上 （V2n2）=V2，因此，因此 2211 0V dAV dA4-13 对不可压缩流体的流动，通过控制面净流出的对不可压缩流体的流动，通过控制面净流出的体积流量体积流量 恒为零恒为零 13 对于任意有限截面的流管，如果对于任意有限截面的流管，如果 和和 为为A A1 1、A A2 2两个两个 有效截面上的平均流速，则有有效截面上的平均流速，则有 1 V 2 V 1122 V AV A 4-13 不可压缩流体不可压缩流体一维流动的连续性方程一维流动的连续性方程。 【例【例4-14-1】已知油的密度为】已知油的密度为850kg/m850kg

11、/m3 3，在内径为，在内径为0.2m 0.2m 的输油管的输油管 道截面上的流速为道截面上的流速为2m/s2m/s，求另一内径为，求另一内径为0.05m 0.05m 的截面上的流速的截面上的流速 及管道内的质量流量。及管道内的质量流量。 【解】由不可压缩流体连续性方程【解】由不可压缩流体连续性方程 有有 1122 V AV A 22 2112 /20.2/0.0532(/ )VV ddm s 其质量流量其质量流量 2 11 ( /4)53.4(/ )GVAd Vkg s 14 3. 3. 可压缩流体定常流动的连续性方程可压缩流体定常流动的连续性方程 . 0 c s V n dA 4-14 对

12、于可压缩的定常流动，由式对于可压缩的定常流动，由式4-11: 4-11: 对可压缩流体定常流动，通过控制面净流出的对可压缩流体定常流动，通过控制面净流出的质量流量质量流量 恒为零恒为零 对于任意有限截面的流管，如果对于任意有限截面的流管，如果 和和 为为A A1 1、A A2 2两个有两个有 效截面上的平均流速，效截面上的平均流速， 1 1 2 2为两个有效截面上的密度，为两个有效截面上的密度，有有 1 V 2 V 1 11222 V AV A 4-14a 12mm QQ 4-14b 或者或者 15 能量守恒定律能量守恒定律热力学第一定律热力学第一定律：系统内的：系统内的能量变化率能量变化率等

13、于等于 单位时间内外界对系统所做的单位时间内外界对系统所做的功功加上单位时加上单位时 间内外界传递给系统的间内外界传递给系统的热量热量 dE QW dt 4-15 dE dt 系统能量对时间的变化率，是空间和时间的函数（系统能量对时间的变化率，是空间和时间的函数（状态量状态量） Q 系统热量随时间的变化率，是时间的函数（系统热量随时间的变化率，是时间的函数（过程量过程量） 系统吸热，系统吸热，Q Q为正值；系统放热，为正值；系统放热，Q Q为负值。为负值。 W 系统与外界系统与外界作功作功随时间的变化率，是时间的函数（随时间的变化率，是时间的函数（过程量过程量） 环境对系统作功，环境对系统作功

14、，W W为正值；系统对环境作功，为正值；系统对环境作功，W W为负值。为负值。 16 对式中对式中4-154-15系统能量变化率应用雷诺输运方程，则系统能量变化率应用雷诺输运方程，则B=EB=E， =dE=dE/dm=e/dm=e .c vc s s dE e deV n dA dtt 联立式（联立式（4-154-15）得）得 .c vc s e deV n dAQW t 单位时间内输入系统的单位时间内输入系统的热量热量与环境对系统与环境对系统作功之和作功之和，等于控，等于控 制体内制体内能量对时间变化率能量对时间变化率加上通过控制体表面的加上通过控制体表面的能量流率能量流率。 通常条件下，不

15、考虑系统与外界的热交换，即认为通常条件下，不考虑系统与外界的热交换，即认为Q=0Q=0 4-16 4-17 通过控制面的作功通过控制面的作功 . n c s WV dA 17 其中表面应力其中表面应力 ，对于理想无粘流体，切应力为，对于理想无粘流体，切应力为 零，且法向应力零，且法向应力 ，所以，所以 nn p n ppn . c s Wp V n dA 代入代入4-174-17，对于定常流动有，对于定常流动有 . 0 c s epV n dA 重力场中重力场中 2 2 u V eegz 所以：所以： 2 . 0 2 un c s Vp egzV dA 重力场中重力场中理想理想流体流体定常绝热

16、定常绝热流动的能量方程流动的能量方程 4-24 18 1. 1. 伯努利方程伯努利方程 将重力场中理想流体定常绝热流动的能量方程（将重力场中理想流体定常绝热流动的能量方程（4-244-24）应用到微）应用到微 元流管中，在微元流管壁面上元流管中，在微元流管壁面上V Vn n=0=0， 在流入截面在流入截面A A1 1上，上，V Vn n=-V=-V1 1， 在流出截面上在流出截面上V Vn n=V=V2 2，则，则 21 22 2211 222111 0 22 uu AA VpVp VegzdAVegzdA 在在被积函数在微元面上被积函数在微元面上积分，积分， 22 2211 2211 0 2

17、2 uu VpVp egzegz 不可压理想流体与外界无热交换的条件，内能、密度为常数不可压理想流体与外界无热交换的条件，内能、密度为常数 4-26 22 2211 21 22 VpVp gzgz 4-27 19 2 2 Vp gzconst 伯努利方程伯努利方程。表示了不可压缩理想流体在重力场中作定常。表示了不可压缩理想流体在重力场中作定常 流动时，沿流线流动时，沿流线单位质量单位质量流体的动能、位置势能和压强势能之流体的动能、位置势能和压强势能之 和和守恒的规律。式中各项的单位为守恒的规律。式中各项的单位为J/kg J/kg 4-28即即 伯努利方程的伯努利方程的限制条件限制条件为：为：

18、定常流动；定常流动； 无粘流体（忽略粘性影响）；无粘流体（忽略粘性影响）； 不可压缩流体；不可压缩流体； 沿流线沿流线 伯努利方程的条件虽然苛刻，但应用广泛伯努利方程的条件虽然苛刻，但应用广泛 20 对对4-284-28式除以重力加速度式除以重力加速度g g，可以得到，可以得到单位重量单位重量流体的伯努利方程流体的伯努利方程 2 2 Vp zconst gg 4-29 式式4-29中，各项的单位为中，各项的单位为J/N，即米（，即米（m）。）。 2. 2. 伯努利方程的物理意义伯努利方程的物理意义 V2/(2g) 为单位重量流体具有的动能为单位重量流体具有的动能速度水头速度水头； z 为单位重

19、量流体所具有的位势能为单位重量流体所具有的位势能位置水头位置水头； p/(g)为单位重量流体的压强势能为单位重量流体的压强势能压强水头压强水头。 因此伯努利方程描述了理想不可压缩流体在重力作用下作定常因此伯努利方程描述了理想不可压缩流体在重力作用下作定常 流动时，沿同一流线上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强流动时，沿同一流线上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强 势能和动能之和守恒。势能和动能之和守恒。 21 位置水头、压强水头和速度水头之和称为位置水头、压强水头和速度水头之和称为总水头总水头H。因此伯努。因此伯努 利方程也可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流利方程也可叙述为

20、：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流 动时，沿同一流线动时，沿同一流线(或微元流束或微元流束)上各点的单位重量流体所具有上各点的单位重量流体所具有 的位置水头、压强水头和速度水头之和为常数。的位置水头、压强水头和速度水头之和为常数。 22 3. 3. 总流伯努利方程总流伯努利方程 式式4-28描述单位质量流体沿描述单位质量流体沿流线流线流动时总机械能守恒。在由流动时总机械能守恒。在由 无数流线组成的流束中，将伯努利方程中三项机械能在无数流线组成的流束中，将伯努利方程中三项机械能在有效截面有效截面 A上按质量流量积分，总机械能沿流束仍保持守恒，即上按质量流量积分，总机械能沿流束仍保持守恒，即

21、2 2 A Vp gzdQconst 利用利用有效截面有效截面上的压强分布满足静力学规律，得到上的压强分布满足静力学规律，得到 2 2 A pV zQdQconst gg 用总流有效截面上的平均速度用总流有效截面上的平均速度 代替不均匀的速度分布，为代替不均匀的速度分布，为 此引入动能修正因子此引入动能修正因子， V 23 2 33 22 3 2 2 A AA A A V dQ V dAV dA g VV Q V dA dQ g 所以所以总流总流的伯努利方程为：的伯努利方程为： 2 2 Vp zconst gg 方程成立的限制条件是：方程成立的限制条件是： （1）忽略粘性摩擦；）忽略粘性摩擦；

22、 （2）不可压缩流体；）不可压缩流体； （3）定常流动；）定常流动； （4）无能量的输入和输出）无能量的输入和输出 4-30 24 4. 4. 伯努利方程的应用伯努利方程的应用 （）小孔出流（）小孔出流 如图所示一敞口水箱，侧壁下部开一小孔，假定水箱内水如图所示一敞口水箱，侧壁下部开一小孔，假定水箱内水 位保持不变，求水从小孔流出的速度与孔口到液面的垂直距离位保持不变，求水从小孔流出的速度与孔口到液面的垂直距离 之间的关系。之间的关系。 从自由液面上从自由液面上1和小孔和小孔2之间找一根流之间找一根流 线，建立线，建立1-2两点之间的伯努利方程两点之间的伯努利方程 22 2211 21 22

23、VpVp gzgz 由边界条件由边界条件V1=0，Z1=h, P1=Pa，Z2=0, P2=Pa,得到得到 2 2Vgh 4-30 托里拆利公式托里拆利公式，液面上流体质点的位能全部转化为小孔出，液面上流体质点的位能全部转化为小孔出 流的动能。流的动能。 1 2 z h 25 （2）皮托管）皮托管 皮托管皮托管通过测量总压与静压之差来测量流体速度的一种装置通过测量总压与静压之差来测量流体速度的一种装置 26 当液流流到测速管入口前的当液流流到测速管入口前的0点处，液流受到阻挡，流速变点处，液流受到阻挡，流速变 为零，形成驻点。驻点的压强称为为零，形成驻点。驻点的压强称为总压总压，选择过，选择过

24、0点的一个流点的一个流 线上的另一点线上的另一点1，列伯努利方程，列伯努利方程 22 0011 01 22 VpVp zz gggg 其中，其中，V0=0，Z0=Z1，p0= gh0，p1= gh1，可以得到，可以得到 101 22Vg hhg h 4-31 工程上由于流体的粘性使流动产生能量损失，以及皮托管本工程上由于流体的粘性使流动产生能量损失，以及皮托管本 身对流动的干扰，实际流速比用上式计算出的要小，因此引入校身对流动的干扰，实际流速比用上式计算出的要小，因此引入校 正系数正系数 1 2Vg h 4-31b 27 如果测定气体的流速，则无法直接用皮托管和静压管测量如果测定气体的流速，则

25、无法直接用皮托管和静压管测量 出气柱差来，必须把两根管子连接到一个形差压计上，从差压出气柱差来，必须把两根管子连接到一个形差压计上，从差压 计上的液面差来求得流速，此时计上的液面差来求得流速，此时 1 21Vg h 液 在工程应用中多将静压管和皮托管组合成一件，称为皮托在工程应用中多将静压管和皮托管组合成一件，称为皮托 静压管，又称动压管，习惯上常简称它为皮托管静压管，又称动压管，习惯上常简称它为皮托管 28 比托管的应用比托管的应用空速管空速管 29 （3）文丘里管流量计）文丘里管流量计 文丘里流量计用于管道中流体的流量测量，主要是由收缩段、文丘里流量计用于管道中流体的流量测量，主要是由收缩

26、段、 喉部和扩散段三部分组成，如图所示。其原理是管道收缩，流速喉部和扩散段三部分组成，如图所示。其原理是管道收缩，流速 增加，压强降低；通过测量压强的变化来求出管道中流体的体积增加，压强降低；通过测量压强的变化来求出管道中流体的体积 流量。流量。 30 在中心流线上列在中心流线上列1-2两点间的伯两点间的伯 努利方程努利方程 22 1122 12 22 VpVp zz gggg 当管道水平放置时当管道水平放置时z1=z2，根据不可压流体的连续性方程，根据不可压流体的连续性方程 V1A1=V2A2，即，即V1=V2A2/A1，可得，可得 1212 2 2 44 21 21 2()2() 1 (/

27、) 1/ pppp V AAdd 所以，流量为所以，流量为 2 212 44 21 2() 41/ dpp Q dd 4-32 31 得到流量表达式的另一种形式得到流量表达式的另一种形式 12 ppg h由流体静力学压强分布关系式由流体静力学压强分布关系式 2 2 44 21 2 41/ dg h Q dd 4-32a 工程上为了便于使用通常将两测压管做成工程上为了便于使用通常将两测压管做成 U型管的形式，同样考虑粘性引起的能量型管的形式，同样考虑粘性引起的能量 损失后，损失后， 2 2 44 21 2 () 41/ gh Qd dd m 32 【例【例4-2】如图】如图4-9所示，水沿渐缩管

28、道垂直向上流动。已知所示，水沿渐缩管道垂直向上流动。已知 d1=0.3m, d2=0.2m，压力表显示相对压强为，压力表显示相对压强为p1=196kPa, p2=98.1kPa, h=2m，不计摩擦损失，试计算流量。，不计摩擦损失，试计算流量。 【解】在渐缩管道的入口和出口建立伯努利方程【解】在渐缩管道的入口和出口建立伯努利方程 22 1122 12 22 VpVp zz gggg 利用利用z1=0，z2=2m，以及连续性方程，以及连续性方程 2 44 122 221 1/ 2 ppV gzdd 1/2 122 2 44 21 2 ()/ 13.97(/ ) 1/ ppgz Vm s dd 2

29、3 22 /40.439(/ )Qd Vms 33 1. 1. 定常流动的动量方程定常流动的动量方程 用于求解流体边界上流体与固体的相互作用，是动量定用于求解流体边界上流体与固体的相互作用，是动量定 理在流体流动问题上的应用。理在流体流动问题上的应用。 动量定理动量定理 ：系统内流体动量对时间变化率等于作用在系统上的系统内流体动量对时间变化率等于作用在系统上的 外力矢量和。外力矢量和。 s d mVF dt 通过雷诺输运方程通过雷诺输运方程B=mV，则，则 =V，带入雷诺输运方程，带入雷诺输运方程 .c vc ss d mVVdV V n dA dtt 对于定常流动有对于定常流动有 . c s

30、 FV V n dA 4-35 34 式式4-35表示了作用在控制体上的合力等于流出、流入控制体的表示了作用在控制体上的合力等于流出、流入控制体的 净动量流率。上式是净动量流率。上式是 一个矢量方程，通常进行分解后求解一个矢量方程，通常进行分解后求解 . x c s Fu V n dA . y c s Fv V n dA . z c s Fw V n dA 式式4-36表明定常流条件下，作用于控制体上表明定常流条件下，作用于控制体上合力合力沿三个坐沿三个坐 标轴的标轴的分量分量与流出、流入控制面的与流出、流入控制面的净动量流率净动量流率在三个坐标轴的在三个坐标轴的 分量分量相等。相等。 4-3

31、6 注注：（：（1）Fx, Fy, Fz, u, v, w 可正可负，取决于坐标轴的方向可正可负，取决于坐标轴的方向 （2）（）（Vn） 当流进控制体为负，流出控制体为正当流进控制体为负，流出控制体为正 35 （1）合力项）合力项 作用在系统上的作用在系统上的合力合力包括作用在控制体上的包括作用在控制体上的质量力质量力和控制面上和控制面上 的的面积力面积力 ms FFF 若流体仅处于重力场中，则质量力为若流体仅处于重力场中，则质量力为 m Fmgk 面积力包括（面积力包括（1）与固体接触的控制面受到固体的作用力）与固体接触的控制面受到固体的作用力 （2）周围流体接触作用产生的面积力）周围流体接

32、触作用产生的面积力 其中质量力其中质量力 , m c v Ffd , s c s Fpn dA 其中其中-n表示流体在控制面上受到的作用力指向控制面内部表示流体在控制面上受到的作用力指向控制面内部 36 （2）净动量流率项）净动量流率项 当选择合适的控制体使当选择合适的控制体使V和和在控制面上均匀分布时，净动量流率为在控制面上均匀分布时，净动量流率为 . nn c soutin V V n dAVV AVV A 其中其中Vn= Vn是控制面上的法向速度的是控制面上的法向速度的值值 ， Vn A表示通过控制面表示通过控制面 的体积流量的体积流量Q，所以，所以 . c soutin V V n d

33、AQVQV 分解到三个坐标轴上为分解到三个坐标轴上为 4-38a . x outin c s Fu V n dAQuQu . y outin c s Fv V n dAQvQv . z outin c s Fw V n dAQwQw 4-38b 4-38 37 2. 2. 动量方程的应用动量方程的应用 动量方程应用要点：动量方程应用要点： （1）选择合适的控制体，包含尽可能多的已知条件）选择合适的控制体，包含尽可能多的已知条件 （2）选择确定的坐标系以简化条件）选择确定的坐标系以简化条件 （3）将外力、动量流率向确定的坐标轴投影，求该坐标方向上）将外力、动量流率向确定的坐标轴投影，求该坐标方向

34、上 的分量的分量 （4）假定待求力的方向与所选坐标方向一致，若结果为负，则）假定待求力的方向与所选坐标方向一致，若结果为负，则 说明力的实际方向与假定方向相反说明力的实际方向与假定方向相反 38 【例【例4-3】如图】如图4-10所示，水从固定喷嘴定常流出，垂直冲击一所示，水从固定喷嘴定常流出，垂直冲击一 平板。水离开喷嘴的速度平板。水离开喷嘴的速度V1=20m/s, 喷嘴出口面积喷嘴出口面积A1=0.005m2。 假定水冲击平板后沿平板流动。水的密度为假定水冲击平板后沿平板流动。水的密度为1000kg/m3,试确定试确定 支撑这块平板所需的水平力。支撑这块平板所需的水平力。 【解】选择包围平

35、板并切割【解】选择包围平板并切割 水流和支撑架的矩形为控制水流和支撑架的矩形为控制 体，沿水射流方向建立体，沿水射流方向建立x轴，轴， 垂直方向为垂直方向为y轴。支撑架对轴。支撑架对 控制体有作用力控制体有作用力Rx，假定其，假定其 沿沿x正向，列正向，列x方向上的动量方向上的动量 方程：方程： 39 支撑该平板的水平力大小为支撑该平板的水平力大小为2000（N) ，方向与，方向与x轴反向轴反向 11 1 2000( ) x RVVAN 所以所以 . mxsx c s FFu V n dA 重力场中重力场中0 mx F sxx FR 而面积力而面积力 动量流率项有一个流入项和两个流出项，其中流

36、出项与动量流率项有一个流入项和两个流出项，其中流出项与x轴轴 垂直，在垂直，在x轴分量为零轴分量为零 11 1 . outin c s u V n dAQuQuVVA 40 【例】【例】 水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等 直径管相连接处的断面直径管相连接处的断面1-1上压力表读数上压力表读数p1=17.6104Pa，管中，管中 流量流量Qv=0.1m3/s，若直径，若直径d1=300，d2=200，转角，转角=600， 如图所示。求水对弯管作用力如图所示。求水对弯管作用力F的大小的大小 41 【解】【解】 水流经弯管，动量发生变化

37、，必然产生作用力水流经弯管，动量发生变化，必然产生作用力F。而。而F与与 管壁对水的反作用力管壁对水的反作用力R平衡。管道水平放置在平衡。管道水平放置在xoy面上，将面上，将R分解分解 成成Rx和和Ry两个分力。取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，两个分力。取管道进、出两个截面和管内壁为控制面， 如图所示，坐标按图示方向设置。如图所示，坐标按图示方向设置。 （1）根据连续性方程可求得：）根据连续性方程可求得： 1 22 1 0.1 4 1.42(/ ) /40.3 V Q vm s d 2 22 2 0.1 4 3.18(/ ) /40.2 V Q vm s d 42 得得2-2面上压强面上

38、压强 ： 223 2112 ()/217.2 10 ()ppvvPa （3）写出动量方程）写出动量方程 假定壁面对控制体内水的作用力为假定壁面对控制体内水的作用力为Rx、Ry， 其方向如图，其方向如图，沿沿x轴方向列动量方程轴方向列动量方程 1122 cos xVoutVin p Ap ARQ uQ u 212211 (cos )cos568( ) xV RQvvp Ap AN （2） 列管道进、出口的伯努利方程列管道进、出口的伯努利方程 g v g p g v g p 22 2 22 2 11 43 沿沿y轴方向列动量方程轴方向列动量方程 111 sin(0sin ) yV p ARQv 1

39、11 sinsin10880() yV Rp AQ vN 管壁对水的作用力合力管壁对水的作用力合力 2222 ( 0.568)10.8810.89() xy RRRkN 水流对弯管的作用力水流对弯管的作用力F与与R大小相等，方向相反大小相等，方向相反 44 1. 1. 定常流动的角动量方程（动量矩方程）定常流动的角动量方程（动量矩方程） 角动量方程角动量方程描述了作用于流体系统上的描述了作用于流体系统上的力矩力矩与与角动量角动量随时间的随时间的 变化关系。可以确定流体和外界之间作用力的变化关系。可以确定流体和外界之间作用力的位置位置。 动量矩定理：动量矩定理：单位时间内流体单位时间内流体 系统

40、对转动轴的动量矩（系统对转动轴的动量矩（角动角动 量量）的变化率，等于作用于系）的变化率，等于作用于系 统上所有外力对同一轴的力矩统上所有外力对同一轴的力矩 之和。之和。 ooo d MrFrmV dt 4-44 45 . ooo c s MrFrVV n dA 4-47 表示定常流动时作用在控制体（系统）上所有力的表示定常流动时作用在控制体（系统）上所有力的力矩矢力矩矢 量和量和，等于流入、流出控制面的，等于流入、流出控制面的净角动量流率。净角动量流率。 BrmV 令雷诺输运方程中令雷诺输运方程中 ，则，则 rV . ooo c vc s s d rmVrV drVV n dA dtt 将上

41、式代入将上式代入4-44得得 在定常条件下在定常条件下 . oooo c vc s MrFrV drVV n dA t 46 2. 2. 角动量方程的应用角动量方程的应用 【例【例4-6】一草坪洒水器在水平】一草坪洒水器在水平 面（面（xy平面）内绕平面）内绕z轴等角速度轴等角速度 旋转，转速为旋转，转速为120r/min。如图。如图 所示，水从中心垂直管进入，所示，水从中心垂直管进入， 经过转臂两端的喷嘴喷出，进经过转臂两端的喷嘴喷出，进 水流量水流量Qi=0.006m3/s，喷嘴出，喷嘴出 口截面积口截面积A0=0.001m2，撒水臂，撒水臂 长长R=0.2m。（。（1）为使洒水器）为使洒

42、水器 维持该等角速度旋转，外界需维持该等角速度旋转，外界需 加的阻力矩为多少？（加的阻力矩为多少？（2）如果）如果 阻力矩为零，则洒水器的旋转阻力矩为零，则洒水器的旋转 角速度将为多少？角速度将为多少？ 47 【解】建立如图所示坐标系，【解】建立如图所示坐标系，z轴为轴为 旋转轴，选择洒水器旋转臂与旋转轴，选择洒水器旋转臂与x轴重轴重 合时围绕洒水器建立控制体。合时围绕洒水器建立控制体。 （1）设维持）设维持120r/min需要的力矩为需要的力矩为T oosom MrFrFT 其中控制体周围大气压产生的压力对其中控制体周围大气压产生的压力对O点力矩为零，控制体内点力矩为零，控制体内 质量力对质

43、量力对O点对称，其力矩也为零。假设外力矩点对称，其力矩也为零。假设外力矩T沿沿z轴正向，轴正向， 所以所以 . oo c s MTrVV n dV 而而 1122 . ()()() ooooooooii c s rVV n dArVQrVQrVQ 48 其中其中o1，o2表示两个出口，表示两个出口，i表示进口。对于进口处表示进口。对于进口处ri=0(速度平速度平 行于行于)z轴，两个出口的动量矩大小相等，方向相同，所以有轴，两个出口的动量矩大小相等，方向相同，所以有 2()() oooooi TkrVQrVQ Vo为洒水器出口的为洒水器出口的绝对速度绝对速度（相对于静止的坐标系的速度），（相对

44、于静止的坐标系的速度）， 等于出口的等于出口的相对速度相对速度减去喷嘴运动的减去喷嘴运动的牵连速度。牵连速度。 ()()(3.02.51)0.49 2 i oout o Q VVRjRjjj A 其中其中0.2 o rRii 所以所以 ()(0.20.49 ) iooi TkQ rVQij 3 1000 6 10 (0.2 0.49) 0.588 k k 49 （2）阻力矩为零时的转速）阻力矩为零时的转速 ()0 ioo TkQ rV ()0 2 i o Q RiRj A 所以所以 15(/ ) 2 i o Q rad s A R 转速转速 60143.24( /min) 2 nr 50 1.

45、 1. 连续性方程连续性方程 方程的导出：方程的导出： 积分形式的连续性方程的一般形式积分形式的连续性方程的一般形式 . 0 c vc s dVV n dA t . () c sc v V n dAV dV 高斯定理高斯定理: 物理量对控制面的面积分物理量对控制面的面积分,等于该物理量的等于该物理量的散度散度在在 控制面所包围的控制体内的体积分控制面所包围的控制体内的体积分 dSAdvA n 所以所以 . ()0 c v VdV t 对积分形式的连续性方程进行数学变换对积分形式的连续性方程进行数学变换 51 由于控制体选择的任意性，可知被积函数必为零由于控制体选择的任意性，可知被积函数必为零

46、()0V t 4-54 微分形式的微分形式的连续性方程连续性方程一般形式一般形式 在直角坐标系中可以分解为在直角坐标系中可以分解为 ()()() 0 uvw txyz 4-56 展开后并利用随体导数的概念，可得展开后并利用随体导数的概念，可得 0 D V Dt 4-57 方程的适用条件：满足连续介质假设的方程的适用条件：满足连续介质假设的任何流动任何流动 52 微元六面体的质量守恒分析微元六面体的质量守恒分析 如图所示，设流体流过以如图所示，设流体流过以 M(x,y,z)为基点，以为基点，以dx,dy,dz为为 边长的微元控制体。边长的微元控制体。 在在 t 时间内沿时间内沿x方向净流出控制体

47、（流出质量减去流入质量）方向净流出控制体（流出质量减去流入质量） 的质量为的质量为 ()u dxdydz t x 同理在同理在 t 时间内沿时间内沿y方向和方向和z方向净流出控制体的质量为方向净流出控制体的质量为 ()v dxdydz t y ()w dxdydz t z 53 在在t时间内，微元六面体流体的质量变化为时间内，微元六面体流体的质量变化为 t dxdydzdxdydzdxdydz t tt 按质量守恒定律，在按质量守恒定律，在t 时间内沿三个方向净时间内沿三个方向净流出流出控制体的控制体的 总质量应等于控制体内总质量应等于控制体内减少减少的质量：的质量： ()()()uvw dx

48、dydz tdxdydz t xyzt 化简后可化简后可 得得 0 z w y v x u t 或者或者 ()0V t 4-54 54 对于定常流动，由式对于定常流动，由式4-54可得连续性方程变为：可得连续性方程变为： ()0V 4-58 对于不可压缩流体的流动（定常或者非定常），由式对于不可压缩流体的流动（定常或者非定常），由式 4-57可得微分形式的连续性方程为：可得微分形式的连续性方程为： 0V 4-60 表示了不可压缩流体流动时，速度的表示了不可压缩流体流动时，速度的散度散度为零。在直角为零。在直角 坐标系中坐标系中 0 uvw xyz 4-61 0 xxyyzz 或者或者 55 【

49、例【例4-8】不可压缩二维平面流动，】不可压缩二维平面流动，y方向上的速度分量为方向上的速度分量为v=y2- y-x，求，求x方向的速度分量方向的速度分量u，假定，假定x=0时时u=0 【解】将不可压缩流体的连续性微分方程应用到二维流动【解】将不可压缩流体的连续性微分方程应用到二维流动 0 uv xy 210 u y x 将将y方向上的速度分量方向上的速度分量v代入得代入得 积分后有积分后有(12 )( )uy xf y 利用边界条件利用边界条件x=0时时u=0，得得f(y)=0 所以所以u=(1-2y)x=x-2xy 56 2. 2. 内维尔内维尔斯托克斯方程斯托克斯方程 对图示微元六面体应

50、用对图示微元六面体应用 牛顿第二定律，有牛顿第二定律，有 DV Fdxdydz Dt 其中作用在微元六面体上的质量力其中作用在微元六面体上的质量力( ) mxx dFf dxdydz () yx xxzx sx p dFdxdydz xyz 作用在微元六面体上的面积力包括法向力和切向力作用在微元六面体上的面积力包括法向力和切向力 考虑考虑x方向上的动量平衡方向上的动量平衡 ()() xmxsx Du FdFdFdxdydz Dt 4-64 57 将质量力和面积力代入到将质量力和面积力代入到4-64并化简后得到运动微分方程：并化简后得到运动微分方程： yx xxzx x pDu f Dtxyz

51、其中应力的第一个下标表示应力其中应力的第一个下标表示应力作用面的法线方向，作用面的法线方向，第二第二 个下标表示个下标表示应力的方向。应力的方向。（注：这里的法向应力不等于静压强）（注：这里的法向应力不等于静压强） 4-68 同理可以得到同理可以得到y方向和方向和z方向上的运动微分方程方向上的运动微分方程 xyyyzy y p Dv f Dtxyz yz xzzz z pDw f Dtxyz 4-69 4-70 58 其中法向应力其中法向应力 xxxx pp yyyy pp zzzz pp 上式中上式中p为流体的静压强，为流体的静压强，xx xx、 、yy yy、 、zz zz，为流体的粘性

52、，为流体的粘性 变形引起的法向应力。因此式（变形引起的法向应力。因此式（4-684-68）式（式（4-704-70）变为）变为 yx xxzx x Dup f Dtxxyz xyyyzy y Dvp f Dtyxyz yz xzzz z Dwp f Dtzxyz 4-68a 4-70a 4-69a 59 写成矢量形式为：写成矢量形式为： 而而ij ij为作用在微元六面体上的 为作用在微元六面体上的黏性应力张量黏性应力张量 xxxyxz ijyxyyyz zxzyzz ijij DV ffp Dt 4-71 以应力形式表示的粘性流体的以应力形式表示的粘性流体的运动微分方程运动微分方程 其中其中i

53、j ij为作用在微元六面体上的 为作用在微元六面体上的应力张量应力张量 xxxyxzxxxyxz ijyxyyyzyxyyyz zxzyzzzxzyzz pp pp pp 60 （1）理想流体的欧拉运动微分方程）理想流体的欧拉运动微分方程 对于理想流体对于理想流体ij ij=0 =0，式，式4-714-71简化为简化为 DV fp Dt 在笛卡尔坐标系中可以分解为在笛卡尔坐标系中可以分解为 4-72 x Dup f Dtx y Dvp f Dty z Dwp f Dtz 4-73 理想流体的理想流体的欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程 61 （2）黏性流体的内维）黏性流体的内维-斯托克斯方程斯托

54、克斯方程 对于流体的三维流动，斯托克斯提出了对于流体的三维流动，斯托克斯提出了广义牛顿内摩擦广义牛顿内摩擦 定律，定律，给出了给出了应力应力和和应变应变之间的关系之间的关系 2 2() 3 ijijijij Vp 1 () 2 j i ij ji u u xx 1 0 ij ij ij 对于切向应力对于切向应力 2()2 xyxyyxyx uv yx 2()2 yzyzzyzy wv yz 4-74 2()2 xzzxxzzx uw zx 62 上式表明流体的法向应力不仅与流体的静压强相关，而上式表明流体的法向应力不仅与流体的静压强相关，而 且与流体的且与流体的线变形速率线变形速率和和速度的散

55、度速度的散度有关，而三项和为有关，而三项和为 2 2() 3 xx u pVp x 2 2() 3 yy v pVp y 2 2() 3 zz w pVp z 4-75 对于法向应力对于法向应力 1 () 3 xxyyzz pppp 式式4-76表明粘性流体三个相互垂直方向上的法向应力的表明粘性流体三个相互垂直方向上的法向应力的 平均值等于流体静压强的值平均值等于流体静压强的值 4-76 63 将以应变形式表示出来的应力（式将以应变形式表示出来的应力（式4-74式式4-75）代入）代入 粘性流体的运动微分方程（式粘性流体的运动微分方程（式4-68式式4-70）并整理后得：）并整理后得： 222

56、 222 11 () 3 x Dupuuu fV Dtxxyzx 222 222 11 () 3 y Dvpvvv fV Dtyxyzy 222 222 11 () 3 z Dwpwww fV Dtzxyzz 内维内维-斯托克斯斯托克斯（Navier-Stokes）方程的一般形式，期）方程的一般形式，期 中中为为拉普拉斯拉普拉斯算子算子 写成矢量形式为：写成矢量形式为： 11 () 3 dV fpVV dt 4-79 64 对于对于不可压缩流体不可压缩流体N-S方程简化为方程简化为 1dV fpV dt 对于对于理想无粘流体理想无粘流体N-S方程简化为方程简化为欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程

57、4-72，对，对 于于静止流体静止流体N-S方程简化为静止流体的方程简化为静止流体的欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程。 4-80 注：注： 理论上理论上N-S方程包含方程包含u,v,w和和p四个未知量，结合流体的连四个未知量，结合流体的连 续性方程可以构成封闭的方程组，完成对流场的积分求解续性方程可以构成封闭的方程组，完成对流场的积分求解 实践中仅能对某些简单的流动在适当的假设下进行求解实践中仅能对某些简单的流动在适当的假设下进行求解 对于可压缩流体，还要结合对于可压缩流体，还要结合状态方程状态方程求解求解 当涉及到作功、传热和内能变化时需要结合当涉及到作功、传热和内能变化时需要结合能量方程能

58、量方程求解求解 N-S方程在方程在柱坐标柱坐标和和球坐标球坐标下的形式见教材和参考书下的形式见教材和参考书 65 3. 3. 能量方程（简介）能量方程（简介） 类似于连续性方程和运动方程的导出过程，将热力学第类似于连续性方程和运动方程的导出过程，将热力学第 一定律应用到微元控制体一定律应用到微元控制体 DEDe QWdxdydz DtDt 对该微元体进行传热、与外界作功和内能变化进行分析后对该微元体进行传热、与外界作功和内能变化进行分析后 可以得到可以得到 与外界的与外界的 热交换热交换 内热源内热源表面力表面力 作功作功 系统内能系统内能 变化率变化率 ()() ijj iii DeT f

59、Vuq Dtxxx 质量力质量力 作功作功 66 4. 4. 基本微分方程组的定解条件基本微分方程组的定解条件 对于工程流体力学常见的流动问题利用连续性方程和运动方对于工程流体力学常见的流动问题利用连续性方程和运动方 程即可联立积分求解，为了给出程即可联立积分求解，为了给出特解特解需要给出需要给出定解条件定解条件以确定积以确定积 分常数。分常数。 （1）初始条件）初始条件 非定常流动，待求变量在非定常流动，待求变量在t=t0时刻的空间分布时刻的空间分布 00 ( , ,)( , )V x y z tVx y z 00 ( , ,)( , )p x y z tpx y z 00 ( , ,)(

60、, )x y z tx y z 00 ( , ,)( , )T x y z tTx y z 定常流动不需要初始条件定常流动不需要初始条件 67 （2 2）边界条件）边界条件 包围流场的边界上的流动参量值。三种典型的边界条件：包围流场的边界上的流动参量值。三种典型的边界条件： 壁面无滑移条壁面无滑移条 件件 粘性流体与固体壁面接触时，在壁面上流体速度等于固体粘性流体与固体壁面接触时，在壁面上流体速度等于固体 壁面的速度壁面的速度 w VV 对无粘性流体，无需满足无滑移条件，但法向速度仍应连续对无粘性流体，无需满足无滑移条件，但法向速度仍应连续 68 进口与出口条件进口与出口条件 对对内流内流问题