第2章-中子慢化与扩散

1、1 第第2章章 中子慢化和扩散中子慢化和扩散 n中子与散射核碰撞而降低能量的过程称为中子 的慢化过程。显然，对于热中子反应堆而言， 慢化过程是一个非常重要的物理过程。 n处于与周围介质同样温度的热中子在系统中要 进行扩散。同样，扩散过程也是一个非常重要 的物理过程。 n本章首先介绍热中子反应堆内的中子循环和链 式裂变反应产生的条件。其次介绍中子的慢化 过程和扩散过程的特点以及对反应堆内的链式 裂变反应起着的重要作用。 2 2.1 链式裂变反应链式裂变反应 n2.1.1 热中子反应堆内的中子循环热中子反应堆内的中子循环 3 中子循环 N个 裂变中子 在238U内 快裂变增殖倍 N个 快中子 NP

2、F个 快中子 N(1PF)个 快中子泄漏 NPF (1p)个 中子被238U吸收 NPFp个 热中子 NPFp PT个 热中子 NPFp PT f个 热中子被燃料吸收 新一代 NPFp PTf个 裂变中子 NPFp PT (1f)个 热中子被控制棒 结构材料等吸收 NPFp (1PT )个 热中子泄漏 NPFp PT f(1-/)个热中子 被芯块非裂变吸收 4 快中子增殖因数 的快中子数仅由热中子裂变所产生 变所产生的快中子总数热中子和快中子引起裂 的快中子数仅由热中子裂变所产生 以下的快中子数慢化到MeV1 . 1 5 逃脱共振吸收几率 np为一个中子经过共振能区而不被吸收的 几率，即逃脱共

3、振吸收几率。主要是逃 脱238U的共振吸收，238U的共振能区： 6.67，20.9，36.8，66.5，102.5eV。 （见表1-7） 6 热中子利用因数 被吸收的热中子总数 燃料吸收的热中子数 f aMaa aa f 85 85 7 有效裂变中子数 n为有效裂变中子数，它的定义为燃料每 吸收一个热中子所产生的裂变中子数： n 5 8 855 55 88555 555 85 55 )( N N NN N f f f f aa f 8 中子循环举例 nN1=100个快中子，其中: n2个快中子引起238U的裂变并放出5个次级快中子， n加上其余98个快中子，共： n103个快中子，其中: n

4、2个快中子泄漏到反应堆外，其余 n101个快中子，其中: n5个共振中子被238U俘获，其余 n96个中子被慢化为热中子，其中： n3个热中子在扩散过程中被泄漏到反应堆堆外，其余 n93个热中子，其中: n17个热中子被慢化剂/冷却剂和结构材料俘获，其余 n76个热中子被U俘获，其中： n10个热中子被235U俘获不裂变， n26个热中子被238U俘获， n40个热中子引起235U裂变并放出第二代中子 nN2=100个快中子. 9 2.1.2 自持链式裂变反应的临界条件自持链式裂变反应的临界条件 n从热中子反应堆内的中子循环可知，能否实现自持的 链式反应，取决于下列几个过程： n（1）燃料吸收

5、热中子引起的裂变 n主要是热中子引起235U的裂变，这是产生中子的主要来 源； n（2）238U的快中子增殖 n能量大于1.1MeV的中子引起238U的裂变，产生裂变中 子。对于天然铀，这些裂变中子约占燃料裂变中子的3 左右； n（3）慢化过程中的共振吸收 n（4）慢化剂以及结构材料等物质的辐射俘获 n（5）中子的泄漏 10 从中子循环 nP=PFPT表示中子在慢化、扩散过程中不 泄漏几率。 n无限大反应堆，中子不泄漏几率P1。 这时的增殖因数称为无限介质的增殖因 数k n kpf 数堆内上一代裂变中子总 堆内一代裂变中子数 eff k Ppfkeff 11 影响因素 n（燃料性质）；（燃料性

6、质） np和f两个因素是互相制约的，它们与燃料和慢化剂所 占的份额有关。 n燃料份额，慢化剂份额，f将，而p将。 n燃料份额，慢化剂份额，f将，而p将。 n反之正好相反。在实际应用上，必须找出一种能使乘 积pf为最大的成分和布置，以使链式反应得以维持。 n堆芯尺寸，不泄漏几率P，如P1，则有四因子公 式：kpf，可以写为 nkeff= kP=1 临界条件 12 从中子数守恒的观点来看 n 则中子的产生率与消失率处于动态平衡。因 而，反应堆有比较稳定的中子通量密度。该系统处于 临界状态。 n 说明中子的消失率大于产生率。因而，系统 中的中子将越来越少，该系统处于次临界状态。 n 说明随着裂变链的

7、进行，中子的消失率小于 产生率。因而，系统中的中子将越来越多，该系统处 于超临界状态。 泄漏）中子的消失率（吸收 中子的产生率 eff k 1 eff k 1 eff k 1 eff k 13 复习题 n习题1 n在某个用U-235作燃料的热中子反应堆内，裂变放出的 中子中有25逃出堆芯，留在堆芯内的中子有30被 堆内慢化剂、结构材料和其它非裂变材料所吸收，其 余的被燃料吸收，被U-235吸收的中子中有85引起裂 变，如果2.42，试问这时的反应堆是否临界? keff多 大？ n习题2 n热中子反应堆无限增殖因数为1.10，快中子增殖因数、 逃脱共振吸收几率和热中子利用因数的乘积为0.65，

8、求该堆所用核燃料中U-235的富集度为多少？ 14 答案1： n因为燃料为U-235，所以1，p1。 nP=1-25%=0.75, f=1-0.3=0.7, =0.85*2.42=2.057 nkeff= kP=pfP n=1*1*0.7*2.057*0.75=1.0799 15 答案2： n查表： 靶恩 n 代入上式，有结果： 7 . 2, 6 .98, 2 .582 855 f 5 8 5 8 855 55 7 . 26 .982 .582 2 .582418. 2 N N N N f f 6923. 1 65. 0 1 . 1 pf k 855 5 5 5 8 / )( f f N N

9、83.55 5 8 N N %76. 1 83.551 1 1 1 5 8 85 5 N N NN N 16 2.2 中子的慢化中子的慢化 n反应堆堆芯中产生的裂变中子，都是快 中子。其平均能量约为2MeV。这些中子 在引起燃料核下次裂变(以维持链式反应) 以前，由于与系统中介质的原子核进行 连续的弹性和非弹性碰撞的结果，其能 量通常降低了几个数量级。例如，在热 中子反应堆内几乎所有的裂变中子在引 起燃料核进一步裂变之前，都已慢化到 热能。 17 慢化的物理机制 无限大、均匀、非增殖介质 n 弹性散射 动量、动能守恒 低能中子与低质 n慢化 量数核的散射。 n 非弹性散射 动量守恒、动能不守恒

10、 高能中 n 子与大质量数核的散射。 n压水堆内中子的慢化主要是中子与轻核的弹性散射。 在弹性散射中，快中子将自己的动能传递给慢化剂H原 子核，而本身被慢化成热中子。如果有大量的中等核 或重核存在时，那么由这些核引起的非弹性碰撞可能 对中子的慢化有重要的作用，必须予以考虑。 18 2.2.1 弹性碰撞理论弹性碰撞理论 n在讨论中子与原子核弹性碰撞的问题时，可以 用两种方便的参考系。这就是实验室(L)系和质 心(C)系。前者假定靶核是静止的，而后者把中 子-核系统的质量中心当作是静止的。在L系里， 基本上是用一个外界观察者的观点来看问题的， 而在C系里，则用一个随中子和核所组成系统 的质量中心运

11、动的观察者的观点来进行研究。 对于理论处理，后一个参考系比较简单些，虽 然实验测量是在前一个参考系中进行的。 19 图2-3 实验室(L)系和质心系(C)里中子的散射 20 L系 n碰撞前：中子 质量为1，速度为v1；靶核 质量为A，速度为0。 n碰撞后：质量中心速度（相对于静止核） 速度为vm。 n碰撞前后总动量相等 1 v v v) 1(0v 1 1 A AA m m 21 C系中 nC系中，假定质量中心是静止的，所以靶 核以vm的速度向质心接近。 n碰前中子与靶核的相对速度是v1，故中 子接近质心的速度为v1-vm n 1 v 1 v vvv 11 11 A A A m 22 C系 n在

12、C系里，中子和散射核似乎分别以 和 的速度相互接近着。 n因此，质量为1的中子沿着它运动方向的动量 是 ，而质量为A的核的动量也 是 ，但沿着相反方向。这样，在碰撞 前对于质量中心的总动量是零，而根据动量守 恒原理，在碰撞后总动量也必为零。 ) 1/(v1AA ) 1/(v1A ) 1/(v1AA ) 1/(v1AA 23 C系里 n在碰撞以后，C系里的中子沿着与原方向 成角的方向离开质心，这就是C系中的 散射角。这时反冲核必须沿相反方向运 动，因为质心永远在两个粒子的连线上。 如果 是C系里碰撞后的中子速度，而 n 是核的速度，那末总动量为零的条 件可以表示成 n (2-13) ba Avv

13、 a v b v 24 C系 n上面已经看到，在C系里，中子和核的碰 撞前的速度分别由(2-12)式和(2-11)式给 出。因此，能量守恒条件可以写成 n (2-14) n等式左边表示碰撞前的总动能，而右边 是碰撞后的总动能。由式(2-13)和式(2- 14)可以解出和 222 1 2 1 v 2 1 v 2 1 ) 1 v ( 2 1 ) 1 v ( 2 1 ba A A A A A 1 v v 1 v v 1 1 A A A b a 25 C系 n把这些结果与式(2-11)和式(2-12)相比较， 可以看出，在C系里，中子与核碰撞后的 速度与它们碰撞前的速度完全相等。因 此，一个位于碰撞粒

14、子质量中心的观察 者，在碰撞前会看到中子和核沿相反方 向、以反比于它们质量的速度向他接近， 而在碰撞后粒子就好象沿着相反方向(通 常不同于原方向)离开他而运动，它们各 自的速度不变。 26 参考系的转换 n为了决定中子在碰撞时的动能损失，必 须把C系中得到的结果变回L系。要进行 这种变换，需要利用两系统恒以速度(即 L系中的质心速度)作相对运动的关系。 因此，在L系内中子碰撞后的速度，可以 由C系内中子碰撞后速度矢量加上L系内 质心运动矢量得到。 27 图2-4 由C系到L系的变换 28 L系 n设 是L系内中子碰撞后的速度，则由余 弦定律， n代入式(2-11)、(2-12)得出的 和 值，

15、 结果得 2 v cosvv2vvv 222 2amam m v a v 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ) 1( ) 1cos2( v cos ) 1( v2 ) 1 v () 1 v (v A AA A A A A A 29 能量比率 n散射前中子的动能E1是 ，而散射后 动能E2是 。因此，由式(2-15)可以 得到碰撞后中子能量与碰撞前能量的比 率为 2 1 v 2 1 m 2 2 v 2 1 m 2 2 2 1 2 2 1 2 ) 1( 1cos2 v v A AA E E 2 ) 1 1 ( A A cos)1 ()1( 2 1 1 2 E E 30 比率E2/

16、E1 n最大值，即最小的能量损失，它发生在 0，即掠射碰撞。这时cos1，而式 (2-18)就变成 或 n最小值，也就是可能最大的能量交换， 发生在，即迎头碰撞时，cos-， (2-18)就变成 或 1 1 max E E 1min EE 1max EE 1 min E E 31 数值 与靶核的质量数A有关 n对于氢，A1，因此， 0。这样，中子 在与氢核碰撞一次时，有可能失去全部动能。 n对于氘，A=2， =0.111。因此，中子在 与氘核碰撞时，可能最大损失能量的份额 为1-0.11188.9 n对于碳，A12， 0.716。因此，中子在与 碳核碰撞时，可能最大损失能量的分数为1- 0.7

17、1628.4 n 32 n展开成级数 n当A50时，取级数展开式中的前两项， 而不会产生严重误差： n此时，每一碰撞的最大能量损失是 n若A100，在一次碰撞中，中子可能损 失的能量大约为4%。若A200，则大约 为2%。 32 1284 1 AAA A 4 1 11max 4 )1 (E A EE 33 经验散射定律 n中子散射是球对称的，即各向同性的。 n原来能量为E1的中子，在散射后可能具 有能量在E2和E2dE2范围内的几率是 n在散射后，中子能量落在某一个特定间 隔中的几率与最后能量无关。实际上 等于E除以E1(1-)。后一个因数正是每 一碰撞的可能最大能量减小数。 )1 ( )(

18、1 2 22 E dE dEEp 34 平均散射角余弦 n对于一个重质量的散射核，A1，由式(2-30)得 coscos。换句话说，这时L系的散射角等于C系的 散射角。所以，如果较重核的散射在C系内是球对称的 话，那末在L系内也是一样。 n一般说来，如果在C系内的散射是各向同性，则L系内 的平均散射角余弦由下式给出 4 0 4 0 0 cos cos d d A3 2 0 35 2.2.2平均对数能降 n对数能降定义 n碰撞前后中子对数能降的变化为 n平均对数能降： n E E u 0 ln 2 1 12 ln E E uu ln 1 1 )( )(ln ln 1 1 1 1 22 22 2

19、1 2 1 E E E E dEEp dEEp E E E E 36 能量与对数能降的关系 37 平均对数能降表达式 n普通： n若A12，可以得到一个很好的近似： n甚至当A2时，上式的误差也只是3.3%。 ) 1 1 ln( 2 ) 1( 1 2 A A A A 3/2 2 A 38 求碰撞次数 n只与介质核性质有关，与中子能量无关。与 A大致成反比。对于轻核，较大，碰撞一次， 中子损失的能量较大，慢化更有效。 n平均碰撞次数： n例：E1=2MeV, E2=0.0253eV, =0.158,求N=? 2 1 ln E E N 115 158. 0 025. 0 102 ln 6 N 39

20、 表表2-1 8种核素的散射性质种核素的散射性质 元 素质量数平均对数能降热化中子碰撞数 氢11.00018 氘20.72525 氦40.42543 锂70.26867 铍90.20987 碳120.158115 氧160.120151 铀-2382380.008382170 40 2.2.4 连续慢化年龄近似连续慢化年龄近似 n对数能降是碰撞数的连续函数，对于所有的整数值n它 都正好等于所需的值n(图2-7)。正是模型的这一特性 使得易于对其进行数学处理，而且获得连续慢化模型 这一名称。 41 慢化密度 n慢化中子的空间分布和总的不泄漏几率 有关，此时感兴趣的是慢化密度而不是 中子通量密度。

21、中子慢化密度随能量的 变化较为平缓。 n中子慢化密度的定义：在r处单位时间、 单位体积内慢化到能量E以下的中子数， 用q(r, E)来表示。 42 中子直线飞行距离的均方值 n均方值 n代入点源的慢化密度 n得 总的慢化中子数 的中子数且年龄慢化到穿行dVrr r V )( )( 2 2 0 2 0 22 ),(4 ),(4 drrqr drrqrr 2/3 4/ )4( ),( 2 r e rq 2 6 1 s r 43 年龄的物理意义 n在数值上等于中子由产生地点(该处年龄为零) 到年龄为的地点所穿行(净矢量)距离均方值的 六分之一。 n中子的费米年龄与中子在慢化过程中所移动的 均方距离有

22、关，因而称年龄的平方根为慢化长 度。它是中子在慢化过程中飞行的净矢量（或 直飞）距离的一种量度。 2 6 1 s r 44 表表2-2 293K下裂变源中子的年龄下裂变源中子的年龄 慢 化 剂 年龄/10-4m2 1.4eV热能 水2627 重水111130 铍85100 石墨(堆用级)310370 45 2.2.6 慢化剂的性质 n慢化剂的特性常用慢化能力s和慢化比 sa来描述。前者表示单位体积慢化 剂全部核的慢化能力。另外，还要求慢 化剂的吸收截面要小，即慢化比要大。 显然，吸收截面大的核素是不宜作慢化 剂的。 46 表表2-3 不同材料的慢化能力和慢化比不同材料的慢化能力和慢化比 慢化剂

23、水重水氦铍石墨 s/m-1 153171.6 10-3 17.66.4 s/a 721200083159170 47 重水和轻水的比较 慢化 能力 慢化 比 价格燃料体积 放射 性 换料 轻水大小便宜 富集 铀 稠密 栅(欠 慢化) 停堆 换料 重水小大贵 天然 铀 大(过 慢化) 3H 连续 换料 48 2.3中子的扩散中子的扩散 n由于中子与原子核的多次碰撞，使得中 子在反应堆内以杂乱无章的折线进行运 动。这种运动的结果，使原来在反应堆 内某一位置具有某一能量和某一运动方 向的中子，稍晚些时间将在反应堆内另 一位置，以另一能量和另一运动方向出 现。这时，我们说中子从第一种能量和 位置输运到

24、了第二种能量和位置，研究 这种现象的理论叫输运理论。 49 2.3.2 斐克定律斐克定律 n描述：单位时间内穿过垂直于流动方向的单位 面积的净中子数和中子通量密度的关系。 n假设 n(1) 无限均匀介质 ； n(2) 弱吸收介质，即介质的吸收截面很小； n(3) 在实验室坐标系中散射是各向同性的； n(4) 中子通量密度是随位置缓慢变化的函数。 sa 50 图2-10 推导斐克定律示意图 51 散射中子 n在dV中散射的中子数： n因各向同性散射，射向dA方向的几率与dV 所在的点对于dA所张立体角成正比而为： ndV中每秒向dA 散射的中子数为 dV S 2 4/cosrdA 2 r4 vc

25、os)( dAdr S 52 散射中子（续1） n射向dA方向的中子要与经过的路径上发生散 射，离开原来方向，能够到达dA的几率 为： ，（ ，弱吸收介质）。 ndV中能到达dA的中子数为： r e S r S S e r dA d 2 4 cos v 53 散射中子（续2） n采用球坐标： n 代表负Z方向的中子流密度，即单位时间， 穿过单位表面的中子数，对于x,y平面上方向 下穿过dA的总中子数： n将在r0点展开为泰勒级数，展开到一次项： ddrdrdsinv 2 0 2 0 2/ 0 sincos 4 drdde dA r S S .)()()()( 0000 z z y y x xr

26、 z J 54 散射中子（续3） n则每秒向下穿过dA的总中子数是 n则每秒沿负z方向穿过单位面积的中子数 为 n最终 2 0 2/ 00 sincos)( 4 r rs ddrdre dA t 2 0 2/ 00 sincos)( 4 r rs z ddrdreJ t 0 2 0 )( 64z J t s t s Z 55 散射中子（续4） n由于我们研究的介质为弱吸收介质， 即 , 则 ，所以式(2-45)可改写 为 同理，我们可以算得单位时间沿着正z方向 穿过xy平面上的单位面积的中子数 0 ast 0 0 )( 6 1 4z J s Z 0 0 )( 6 1 4z J s Z 0 )(

27、 3 1 z JJJ s ZZZ 56 散射中子（续5） n同理，可得沿x及y正方向的净中子流密度 n扩散系数，并用符号D表示。具有长度m的单 位。 n斐克定律也可表示成 n 0 )( 3 1 x J s x 0 )( 3 1 y J s y kjiJ zyx JJJ s D 3 1 DgradJDJ 57 斐克定律（续）斐克定律（续） n斐克定律，它表示中子流密度正比于负 的中子通量密度梯度。 n斐克定律表明，堆内任一处净中子流动 的方向与负的中子通量密度梯度( )的 方向相同。因为中子通量密度梯度 的方向是指中子通量密度增加的方向， 所以中子流密度的方向是指中子通量密 度减小最快的方向。

28、DgradJ 58 2.3.3 中子的泄漏中子的泄漏 59 中子的泄漏（续中子的泄漏（续1） n/xy平面： dV z D dxdydz z D dxdy zz DdxdyJJ zdzzzdzz )( )( )( 2 2 2 2 60 中子的泄漏（续中子的泄漏（续2） n同理，可对x和y方向的中子消失率进行 类似的处理。 n/xz平面： n/yz平面： n总泄漏为上面三式之和除以dV为单位体 积泄漏率， dV y DdxdzJJ ydyy )()( 2 2 dV x DdydzJJ xdxx )()( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )()( D zyx D zyx

29、 D 61 2.3.4 中子扩散方程中子扩散方程 n产生项-吸收项-泄漏项变化项 t n S a 泄漏率 t n divDgradS a tv SD a 1 2 62 稳态中子扩散方程 n首先我们研究稳态问题，即中子通量密 度不随时间t变化 0 2 SD a 63 2为拉普拉斯算符 n直角坐标： n柱坐标： n球坐标： 2 2 2 2 2 2 2 zyx 2 2 2 2 22 2 2 11 zrrrr 2222 2 2 sin 1 )(sin sin 12 rrrrr 64 扩散方程边界条件 n(1)在扩散方程适用的区域内，扩散方程 的解必须是非负的实数，且处处有界。 n(2)在具有不同扩散性

30、质的两种介质的交 界面处，垂直于交界面方向上的净中子 流密度相等，两种介质内的中子通量密 度相等。 65 图2-12 在两种介质的交界面处中子的扩散 66 内交界面 n连续条件 BxAx JJ BBAA dx d D dx d D BA 67 (3)外边界处 n即在介质与真空交界面上，在物理边界 以外的外推边界上，中子通量密度为零 。 68 2.3.6扩散方程的简单输运修正扩散方程的简单输运修正 n扩散系数D的修正 n修正前， n修正后， n外推距离d的修正： n修正前： n修正后： 33 1 S S DD 或 33 1 )1 (3 1 0 tr tr S DD 或 s d 1 3 2 tr

31、d 1 71. 0 69 2.3.7 点源产生的单速中子扩散点源产生的单速中子扩散 n设在非增殖无限大均匀介质内有一个点中子源， 每秒产生S个单速中子，各向同性地向周围介 质扩散。让我们来求解介质内的中子通量密度 分布。 n取球坐标来解点源的扩散是最方便的，假定中 子源位于球坐标原点，则球坐标系中的拉普拉 氏算符的表达式为 2 2 222 2 2 2 sin 1 )(sin sin 1 )( 1 rrr r rr 70 点源扩散 n无源扩散方程 n等式两边同时除以扩散系数D，则扩散方 程变为 n (r0) n即 0 2 a D 0 1 2 2 L 0 1 )( 1 2 2 2 Ldr d r

32、dr d r 0 12 22 2 Ldr d rdr d 71 边界条件 n（1）除r0处，中子通量密度为有限值； n（2）中子源强度与中子流密度的关系： n解点源扩散方程时，令新的变量 SrJr r )(4lim 2 0 r dr d dr d r dr d dr d r dr d 2 2 2 2 2 72 解 n则有 n由于L20，所以方程的解为 n即 n常数A1，A2由边界条件定。 n（1）当r时，有限，得A20。所以， 有 0 1 22 2 Ldr d L r L r eAeA 21 r e A r e A L r L r 21 r e A L r 1 73 系数A1 n 由边界条件（2），设J是以源为中心， 半径为r的球表面上的中子流密度，则每 秒穿过整个球面的中子总数为4r2J，该 数的极限值应等于源的强度S，即等于点 源每秒向所有方向发射中子的总数。可 以解得常数A1 74 系数A1 n系数A1 n则中子通量密度分布的最后表达式为 1 1 0 2 1 2 0 2 0 2 0 4 )1 (4lim ) /1 (4li