工程力学-9(2)弯曲应力

1、工程力学 主 讲：谭宁 副教授 办公室：教1楼北305 工程力学 2 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 3 梁的横截面上既有弯矩又有剪力梁的横截面上既有弯矩又有剪力 梁的横截面上仅有弯矩而无剪力梁的横截面上仅有弯矩而无剪力 aa FF FF FQ x F F M x Fa 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 4 对称截面对称截面AA处的两侧杆处的两侧杆 件的结构与受力对称，所以件的结构与受力对称，所以 变形也是对称的。于是变形也是对称的。于是AA 截面必然保持平面。截面必然保持平面。 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 5 从对称截面从对称截面

2、AA处将处将 杆件截开。杆件截开。 截开后的杆段，其结截开后的杆段，其结 构、受力和变形仍然是对构、受力和变形仍然是对 称的，所以杆段的称的，所以杆段的对称面对称面 同样保持平面同样保持平面。 无限分割下去，就可无限分割下去，就可 以证明所有横截面都将保以证明所有横截面都将保 持平面。持平面。 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 纯弯曲梁的横截面变形前后保持为平面且与轴线正交。纯弯曲梁的横截面变形前后保持为平面且与轴线正交。 工程力学 6 设各纵向纤维之间互不挤压，每一根纵向纤维均处于设各纵向纤维之间互不挤压，每一根纵向纤维均处于 单向拉伸、或压缩。单向拉伸、或压缩。 9(2). 9(2

3、). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 7 、横向线、横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向 线正交。线正交。 、纵向线、纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近 下部的纤维伸长。下部的纤维伸长。 推断：横截面上仅有正应力而无切应力推断：横截面上仅有正应力而无切应力。 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 8 根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区 到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过 渡层-称为中性层中性层 。 中间层与横截面的交线称为中性

4、轴中性轴。 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 梁弯曲时，梁横截面绕各自中性轴旋转。梁弯曲时，梁横截面绕各自中性轴旋转。 中性层中性层 中性轴中性轴 工程力学 9 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 在梁上取一微段：在梁上取一微段： 工程力学 10 dx aa bb x O2O1 y y bb bbbb 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 a a b b O1 O2 d +y 中性层曲率半径为中性层曲率半径为 距中性轴距离为距中性轴距离为y 工程力学 11 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 max max z y 在比例极限内：在比例极限内： y EE 中性轴中性轴

5、工程力学 12 因此，中性轴一侧的拉应力的合力必然要和另一侧的因此，中性轴一侧的拉应力的合力必然要和另一侧的 压应力的合力相等。压应力的合力相等。 对于纯弯曲来讲，其横截面上只有弯矩。对于纯弯曲来讲，其横截面上只有弯矩。 也就意味着，中性轴要过横截面的形心。也就意味着，中性轴要过横截面的形心。 z y max max 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 C 工程力学 13 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 M A ydA Ey A ydAM弯矩： A dAy E 2 距中性轴距离为距中性轴距离为y的点处的正应力的点处的正应力： z y y 轴惯矩轴惯矩 Iz z EI M 1 y

6、 E 抗弯刚度抗弯刚度 工程力学 14 z y 进行计算时，进行计算时，M和和y一般用绝对值代一般用绝对值代 入计算，至于所求点的正应力的符号，入计算，至于所求点的正应力的符号， 由梁的变形确定。由梁的变形确定。 z I My 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 距中性轴距离为距中性轴距离为y的点处的正应力的点处的正应力： y y E M 工程力学 15 单一材料等直纯弯曲梁的正应力计算小结单一材料等直纯弯曲梁的正应力计算小结 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 16 截截 面面 z y 线应变线应变 + max 正应力正应力 + max max 线应变和正应力在横截面上

7、的分布规律。线应变和正应力在横截面上的分布规律。 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 单一材料等直纯弯曲梁的正应力计算小结单一材料等直纯弯曲梁的正应力计算小结 工程力学 17 W M I My z max max 截面上最大正应力计算公式截面上最大正应力计算公式 max 式中： y I W z 抗弯截面系数抗弯截面系数 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 18 b h 3 2 2 22 12 1 bhybyyAI ybA h h A dd dd z dy y I W 3 12 1 bh 6 2 12 2 3 max bh h bh y I W 6 2 bh 9(2). 9

8、(2). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 19 b h 64 d22d d2d2d 4 2 2 22 2 2 22 D yyyDyAI yyRyzA D D A z dy y I W 3 12 1 bh 32 2 64 3 4 max D D D y I W 6 2 bh z dy y D y 64 4 D 32 3 D 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 20 b h 64 1 44 D III dD z dy y z D d I W 3 12 1 bh 4 3 max 1 32 2 D D I y I W 6 2 bh z dy y D y 64 4 D 32 3 D 64 1

9、 44 D 4 3 1 32 D 内、外径之比 D d 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 21 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 空心矩形的惯性矩及抗弯截面系数空心矩形的惯性矩及抗弯截面系数 z y b H h B C 1212 33 bhBH Iz 1212 33 hbHB I y H bhBH Wz 6 33 工程力学 22 惯性矩的惯性矩的平行移轴平行移轴公式公式 z y C a b dA z y yc zc yc zc O * . , bzz ayy c c 2 22 22 dd2d d)(d AbI AbAzbAz AbzAzI c y AA c A c A

10、A cy 2 AaII c z z 同理可得：同理可得： 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 23 例例1：已知长已知长l=4m的悬臂梁，在的悬臂梁，在B端作用一集中力端作用一集中力F=10kN， 求求1. C 截面上截面上a点、点、b点、点、c点的正应力点的正应力 2. C 截面上最大正应力截面上最大正应力 3. 全梁上最大正应力全梁上最大正应力 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 4 l C 30 z y 180 120 a b c 60 工程力学 24 4 lC 解：取解：取x截面右段梁为研究对象。截面右段梁为研究对象。 0 xFxM lxFxxM0 x M（x）

11、9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 M x O Fl 1. C 截面上的弯矩大小截面上的弯矩大小 mkN30 4 3 FlMC 工程力学 25 C截面上截面上a，b，c点的正应力点的正应力 MPa56. 5 12 10180120 10)3090(1030 92 33 z aC a I yM MPa33. 8 12 10180120 10901030 92 33 max max z C C I yM 0 12 10180120 01030 92 3 z bC b I yM 2. C 截面上最大正应力截面上最大正应力 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 （拉）（拉） MPa56. 5

12、 12 10180120 10601030 92 33 z cC c I yM （压）（压） M（x） 30 z y 180 120 a b c 60 工程力学 26 lxFxxM0 3. 全梁上最大正应力全梁上最大正应力 全梁上最大弯矩的大小为全梁上最大弯矩的大小为mkN40 max FlM MPa1 .11 12 10180120 10901040 92 33 maxmax max z I yM 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 27 max max W M 故制成对称截面塑性材料： 故制成非对称截面脆性材料： 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 拉、压强度不相等的

13、铸铁等脆性材料制成的梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁 t tmaxmax tmax z I yM c cmaxmax cmax z I yM O z y ytmax ycmax M 工程力学 28 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程中常见的平面弯曲是横力弯曲工程中常见的平面弯曲是横力弯曲, 实验和弹性力学理论的研究 都表明：当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h 5 （细长梁）时，纯 弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。 截面关于中性轴对称截面关于中性轴对称 z ct W M max maxmax 截面关于中性轴不对称截面关于中性轴不对称 ( (最大拉应力、最大压

14、应力可能发生在不同的截面内最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内) ) Z maxmax max I yM 横力弯曲梁上的最大正应力横力弯曲梁上的最大正应力 弯曲正应力公式弯曲正应力公式 Z I My 可推广应用于横力弯曲 和小曲率梁. 工程力学 29 圆截面悬臂梁圆截面悬臂梁l=1m，D=0.04m;均布载荷集度均布载荷集度q=2kN/m， =160MPa。 1）校核梁的正应力强度；）校核梁的正应力强度； 2）改用）改用 =d/D0=0.8的空心轴，请按正应力强度设计的空心轴，请按正应力强度设计D0。 取取x截面左段梁为研究对象。截面左段梁为研究对象。 x A C M（x） 0 2 x

15、 qxxM lxqxxM0 2 1 2 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 q l A B x y kN.m1 2 1 2 max qlM 工程力学 30 MPa2 .159 32 04. 0 101 ) 1 3 3 max max 实 实心轴： W M 安全MPa160MPa2 .159 max MPa160 32 1 101 )2 43 0 3 max max DW M 空 空心轴： m048. 0 101608 . 01 32101 3 64 3 0 D 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 31 承载能力相同情况下，比较两种设计方案：承载能力相同情况下，比较两种设计

16、方案： 222 mm125640 4 4 1 DA实 2 2 222 0 mm6758 . 04848 4 4 1 dDA空 54. 0 1256 675 实 空 A A 承载能力相同的情况下，空心梁更经济。承载能力相同的情况下，空心梁更经济。 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 32 试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最 大正应力，并加以比较。大正应力，并加以比较。 BA l=4m q=2kN/m 200 100 100 200 解：求支座反力：解：求支座反力： FA FB 2 ql FF BA 求弯矩：求弯矩： 取取x截面左段

17、梁为研究对象。截面左段梁为研究对象。 x FA x M（x） )0( 222 2 lx qxqlxx qxxFxM A 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 33 竖放竖放 6 8 2 2 max max bh ql W M Z MPa6 横放横放 6 8 2 2 max max hb ql W M Z MPa12 可见，竖放比横放好。可见，竖放比横放好。 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 )0( 22 2 lx qxqlx xM 8 , 2 当 2 max ql M l x b h z 6 2 bh Wz b h z 6 2 hb Wz 工程力学 34 图示图示T形截面

18、简支梁在中点承受集中力形截面简支梁在中点承受集中力F32kN，梁，梁 的长度的长度l2m。T形截面的形心坐标形截面的形心坐标yc96.4mm，横截面，横截面 对于对于z轴的惯性矩轴的惯性矩Iz1.02108mm4。求弯矩最大截面上的。求弯矩最大截面上的 最大拉应力和最大压应力。最大拉应力和最大压应力。 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 F z y 150 50 200 50 4 .96 C 工程力学 35 FA F FA FB x1x2 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 求支座反力，得到：求支座反力，得到： 2 F FF BA ) 2 ( 22 ) 2 ( 2222 lx l

19、x FFll xFxFxM A 求弯矩：求弯矩： 取取x1截面左段梁为研究对象。截面左段梁为研究对象。 FA M（x） 取取x2截面左段梁为研究对象。截面左段梁为研究对象。 M（x） ) 2 0( 2 1 l x Fx xFxM A 工程力学 36 mmmm4 .966 .1534 .9650200 maxmax yy 4 max FL M MPa09.24 max max Z I My MPa12.15 max max Z I My 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 ) 2 ( 22 )( ) 2 0( 2 )( 222 111 lx l x FFl xM l xx F xM z y

20、 150 50 200 50 4 .96 C x M 工程力学 37 mkN10 kN20 2m3m1m ABC D 20 20 Z 3 3 yc 例例5 yc=15.75cm, Iz=6012.5, ,89 ,25MPaMPa 求：按正应力校核强度求：按正应力校核强度 RBRD 解：解：1、RB=30kN, RD=10kN 2、作内力图 FQ M 10kN -10kN -20kN -20kNm 10kNm 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 7.25 15.75 工程力学 38 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 mkN10 kN20 2m3m1m ABC D FQ M 10kN

21、 -10kN -20kN -20kNm 10kNm 危险的截面有两处，危险的截面有两处， B截面和截面和C截面。截面。 工程力学 39 20 20 Z 3 3 yc FQ M 10kN -10kN -20kN -20kNm 10kNm B截面有kNmM20 max 20kNm 1 2 MPa1 .24 1 3、校核强度: Z I My MPa4 .52 2 C截面有 kNmM10 max 10kNm 3 4 MPa05.12 3 MPa2 .26 4 C 截面强度不够！截面强度不够！ 7.25 15.75 B 7.25 15.75 C 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 40

22、q正应力公式仍然适用正应力公式仍然适用 q假定切应力在横截面上的分布规律，然后据平衡条件导出计算公式假定切应力在横截面上的分布规律，然后据平衡条件导出计算公式 q不再用变形、物理和静力关系进行推导不再用变形、物理和静力关系进行推导 q矩形梁截面矩形梁截面 q工字形梁截面工字形梁截面 q圆形梁截面圆形梁截面 q其它形状其它形状 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 41 单一材料矩形截面梁的弯曲切应力单一材料矩形截面梁的弯曲切应力 2. 关于切应力分布的假设关于切应力分布的假设 (1) 切应力与侧边方向平行；切应力与侧边方向平行； (2) 切应力沿截面宽度方向均匀分布。切应力沿截面

23、宽度方向均匀分布。 对对hb的截面而言，的截面而言， 此假设为合理的。此假设为合理的。 FQ y 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 y z y FQ 工程力学 42 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 应力分布假设应力分布假设 分离体平衡分离体平衡纵截面上的剪力纵截面上的剪力 横截面上的切应力横截面上的切应力 切应力互等定理切应力互等定理 纵截面上的切纵截面上的切 应力应力 切应力分析方法切应力分析方法: 工程力学 43 A FQ max 2 3 A 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 min 0发生在上下边缘处发生在上下边缘处 工程力学 44 A FQ max 3 4 A

24、 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 min 0发生在上下边缘处发生在上下边缘处 工程力学 45 A FQ max 02. A 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 min 0发生在上下边缘处发生在上下边缘处 工程力学 46 dhA A F 00 0 Q max 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 47 max 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 (2)(2)铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要 校核剪应力校核剪应力 (1)(1)梁的跨度较短，梁的跨度较短，M 较小，

25、而较小，而 FQ 较大时，要校核剪应力。较大时，要校核剪应力。 (3)各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力要校核剪应力。 工程力学 48 例例1：如图，已知如图，已知q=3.6kN/m，梁的跨长，梁的跨长l=3m，梁的横截面为，梁的横截面为 bh=120mm180mm的矩形，梁的材料为松木。由于该梁长期处于的矩形，梁的材料为松木。由于该梁长期处于 潮湿状态，故容许应力取得很低，容许弯曲应力潮湿状态，故容许应力取得很低，容许弯曲应力 =7MPa,容许切应容许切应 力力 =0.9MPa。试校核此梁的强度。试校核此梁的强度. 9(2). 9(2).

26、 弯曲应力弯曲应力 工程力学 49 解：求支座反力，作剪力图及弯矩图解：求支座反力，作剪力图及弯矩图 max / 25.4 kN Q Fql mkN05. 48/ 2 max qlM 此梁的最大剪力出现在梁的此梁的最大剪力出现在梁的 支座处横截面上支座处横截面上 此梁最大弯矩发生在跨中的横截面上此梁最大弯矩发生在跨中的横截面上 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 Q 工程力学 50 梁的抗弯截面系数为梁的抗弯截面系数为 362 m106486/ bhWz 则有：则有： max max 6.25MPa7MPa z M W 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 max / 25.4 kN

27、 Q Fql mkN05. 48/ 2 max qlM 4.054.05 工程力学 51 又因为又因为 23 m106 .21 bhA 所以所以 max 3 0.375MPa0.9MPa 2 Q F A 以上两方面强度条件均能满足以上两方面强度条件均能满足, ,故故 此木梁是安全的。此木梁是安全的。 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 4.054.05 工程力学 52 例例2 2：一简易吊车的示意图如图一简易吊车的示意图如图a所示，其中所示，其中F=30kN，跨长跨长 l=5 m。 吊车大梁由吊车大梁由20a号工字钢制成，许用弯曲正应力号工字钢制成，许用弯曲正应力 =170 MPa，许，

28、许 用切应力用切应力 =100 MPa。试校核梁的强度。试校核梁的强度. . 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 53 解：解： 1.吊车梁可简化为简支梁。吊车梁可简化为简支梁。 校核正应力强度校核正应力强度。 解出支座反力，作弯矩图，解出支座反力，作弯矩图， 并得到并得到Mmax 当荷载移至跨中时，即当荷载移至跨中时，即C截面处，截面处， 梁的横截面上的最大弯矩比荷载梁的横截面上的最大弯矩比荷载 在任何其它位置都要大。如图所在任何其它位置都要大。如图所 示。示。 mkN5 .37 4 max Fl M 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 x M 工程力学 54 由型钢规

29、格表查得由型钢规格表查得20a号工字号工字 钢的钢的Wz=237cm3。梁的最大弯曲正梁的最大弯曲正 应力为应力为 MPa158Pa10158 m10237 mN105 .37 6 36 3 max max z W M 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 工程力学 55 2. 校核切应力强度校核切应力强度。 荷载移至紧靠荷载移至紧靠 支座支座A处时梁的剪力为最大。此时处时梁的剪力为最大。此时 的约束力的约束力FAF，相应的剪力图如图，相应的剪力图如图 所示。所示。FQ,max=FA=30kN 9(2). 9(2). 弯曲应力弯曲应力 根据切应力公式，判根据切应力公式，判 断最大切应力是否满足强断最大切应力是否满足强 度条件！度条件！ 工程力学 56 max max M W 合理地布置载荷和支承合理地布置载荷和支承 合理设计截面形状合理设计截面形状 设计等强度梁设计等强度梁 减小跨度或增加支承减小跨度或增加支承 机械与结构设计的原则是在安全、可靠的前提下，机械与结构设计的原则是在安全、可靠的前提下， 力求经济、美观。这就要求在满足强度、刚度条件的基力求经济、美观。这就要求在满足强度、刚度条件的基 础下，尽可能的节约材料、减轻自重。础下，尽可能的节约材料、减轻自重。 9(2). 9(2). 弯曲应力