二次函数的图象与性质（二）-2025年浙教版九年级中考数学一轮复习讲义

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义

第三单元函数及其图象

《第14讲二次函数的图象与性质(-)》

【知识梳理】

1.二次函数与一元二次方程

二次函数y=a^+bx+c与一元二次方程a^+bx+c=Q有着密切的关系，二次函数的图象与x

轴的交点的横坐标对应一元二次方程的实数根，抛物线与x轴的交点情况可由对应的一元二次

方程根的判别式廿一4ac的符号判定.

(1)函数图象与x轴有两个交点Q方2—4ac>0Q方程有两个不相等的实数根.

(2)函数图象与x轴有一个交点今从-4加=00方程有两个相等的实数根.

(3)函数图象与x轴没有交点今也一4加<00方程没有实数根.

2.二次函数的图象与系数的关系

(1)二次函数的图象与性质是数形结合的型体现，二次函数丁=。%2+法+。(分0)的图象特征与a,

b,c及根的判别式b2-4ac的符号之间的关系如下表：

项目

字母的符号图象的特征

字母

a>0开口向上

CL

a<0开口向下

b=0对称轴为y轴

bab>Q(b与a同号)对称轴在y轴左侧

ab<O(b与a异号)对称轴在y轴右侧

c=0经过原点

Cc>0与y轴正半轴相交

c<0与y轴负半轴相交

b~—4ac=0与X轴有唯一交点(顶点)

b2~4ac>Q与X轴有两个交点

b2~4ac<0与X轴没有交点

(2)特殊值:当%=1时，y=o+6+c;当x=-1时，y=q—>+c.若a+>+c>0,则当x=1时,

y>0.若a—Z?+c>0,则当尤=—1时,y>0.

【考题探究】

类型一二次函数与方程'不等式的关系

【例1][2024•长春改编]已知抛物线y=N—x+c(。是常数)，若抛物线与x轴有两个不同的交

点，则c的取值范围是eV：；若抛物线与x轴只有一个交点，则c的值是:；若抛物线与x

轴没有交点，则C的取值范围是c>：.

变式1一1[2024•通辽]关于抛物线丁二%2一23^加加一4(根是常数)，下列结论正确的是①

(填写所有正确结论的序号).

①当m=0时，抛物线的对称轴是y轴.

②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则机=—4.

③若点A(〃z—2,yi),B(m+1,”)在抛物线上，则yi<>2.

④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y=x的距离都等于2V1

【解析】当》/=0时，抛物线为y=*2—4,

，抛物线的对称轴是y轴，①正确.

若此抛物线与x轴只有一个公共点，

则J=4/w2—4(«12+7«—4)=—4»/+16=0,

/•m=4,②错误.

•抛物线为y=x2-2mx-\-m2+m—4,

•二对称轴是直线x=-2=m.

又•.•抛物线开口向上，

J抛物线上的点离对称轴越近的数值越小.

又•.•点4(^—2,ji),B(m+1,72),

•-yi>y2,③错误.

,抛物线y=*2—2»ix+7/+，〃-4的顶点为(加，4),

顶点在直线J=x—4上.

又;直线y=x与j=x—4平行，

/.顶点到直线y=x的距离等于两条平行线间的距离.

又:直线7=*一4与y轴的夹角为45°,

且j=x—4是y=x向下平移4个单位得到的，

两平行线间的距离为4sin45°=4X-^-=2V2,

•••顶点到直线y=x的距离为21，④正确.

综上所述，正确的结论是①④.

变式1—2[2023•宁波]已知二次函数丁=加一(3a+l)x+3(存0),下列说法正确是(C)

A.点(1,2)在该函数的图象上

B.当。=1且一1WXW3时，0WyW8

C.该函数的图象与x轴一定有交点

D.当a>0时，该函数图象的对称轴一定在直线x=g的左侧

【解析】对于y=a*2—(3a+l)x+3,

当x=l时，j=aXl2-(3a+l)Xl+3=2-2a.

,:畔0,

.*.y=2—2a^2,

AAA(l,2)不在该法教的图象上，A不正确.

当a=l时，抛物线的函数表达式为y=x2—4x+3=(x—2)2—1,

:,当—时，-1W/W8,B不正确.

令y=0,则ax2—(3a+1)x+3=0.

VJ=[—(3a+l)]2-4ax3=(3a—1)2^0,

•••该函数的图象与^轴一定有支点，C正确.

•.•该抛物线的对称轴为直线X=3=三+2，。>0,

2a22a

22a2

3

.•.该抛物线的对称轴一定在直线x=&的右侧，D不正确.

变式1一3[2023•台州]抛物线1=加一a（存0）与直线相交于A（xi,yi）,3（x2,”）两点,

若xi+x2<0,则直线y=ax+左一定经过（D）

A.第一、二象限B.第二、三象限

C.第三、四象限D.第一、四象限

【解析】,抛物线）=依2—a（存°）与直线相交于A（XI，yi）,5（*2，L）两点，

.\kx=ax2—a,^.ax2—kx—a=0,

：.X1+X2=-,.Yvo.

aa

当。>0,kVO时，直线y=ar+左经过第一、三、四象F艮；

当aVO,左>0时，直线y=ax+左经过第一、二、四象F艮.

综上所述，直线y=ax+4一定经过第一、四象F艮.

类型二二次函数的图象特征与系数a,4c的关系

【例2][2024•广安]如图，二次函数丁=加+笈+°（〃，b,。为常数，。加）的图象与无轴相交

于点A（一|,0）,对称轴是直线x=一%有以下结论:①aA<0;②若点（一1,yi）和点（2,券）都在

抛物线上，则yi<*;③所2+ZwW；a—，（现为任意实数）;④3a+4c=0,其中正确的有（C）

例2图

A.③B.①②

C.③④D.②③④

【解析】,二次函数开口方向向下，与y轴相交于正半轴,

；・aVO,c>0.

V--<o,；.b<.,.abc>0,①错误.

2a。,

-1

•.•对称轴是直线x=-5，点（一1,山）和点（2,）2）都在抛物线上，

[1>）2，②错误.

111

••当x=/n时，y=am1+bm+c,当x=-—时，的教职最大值-a-—A+c,

242

、11

•・对于任意实教机有am1+bm+c^-a—-b+c,

42

*.am2+bm^-a--b,③正确.

42

・b_1•»_

•~9••b—a.

2a2

.当x=-3时，j=0,

\-a--Z>+c=0,

42

\9a-6b+4c=0,

即3a+4c=0,④正确.

综上所述，正确的有③④.

变式2[2023•乐山]如图，抛物线ynar+fet+c（存0）经过点A（—1,0）,B（m,0）,且1<加<

2.有下列结论:①。<0;②。+6>0;③0<a<—c;④若点。（一日，乃），。战%）在抛物线上，则

其中正确的是（C）

变式2图

A.①②

B.②③

C.①②③

D.①③④

【解析】•••抛物线开口向上，

又二•抛物线的对称轴在y轴的右侧，

・・1V0,①正确.

二•抛物线与y轴的支点在％轴下方，•'cVO.

•••抛物线经过点A(—1,0),

；・〃一力+c=0,*.c=b~a.

*/当x=2时，y>0,

••・4〃+20+c>0,

：.4a+2b+b-a>0,：.3a+3b>0,

：.a+b>0,②正确.

\9a—b+c=O,*.a+c=b.

VZ><0,.*.a+c<0,.•.OVaV—c,③正确.

TK?—1

易知对称轴为直线％=—^一,且lVznV2,

A0<—2<-2,

**•皮C(一|，月)到对称轴的距离比点。(|,%)到对称轴的距离近，

；・yiVy2,④错误.

综上所述，正确的是①②③.

类型三二次函数的综合运用

【例3][2024•浙江]已知二次函数y=f+fcv+c3，c为常数)的图象经过点A(—2,5),对称

轴为直线X=—/

(1)求二次函数的表达式.

(2)若点3(1,7)向上平移2个单位长度，向左平移见机>0)个单位长度，恰好落在y=/+加;+c

的图象上，求机的值.

(3)当一2WxW〃时，二次函数y=f+6x+c的最大值与最小值的差为：，求〃的取值范围.

4

解:⑴由题意，

((—2)2—2b+c=5,(7)=1,

得b1斛得

一『=一；，(c=3,

22

；・二次函数的表达式为j=x2+x+3.

(2)VAB(l,7)向上平移2个单传长度，向左平移机⑺>0)个单传长度后的坐标为(1一机，9),

且落在j=x2+x+3的图象上，

/.9=(l-/w)2+(l-zn)+3,

/.机2—3机—4=0,

斛得机1=—1(舍去)，加2=4,

:・m的值为4.

(3)分三种情况讨论:

①当一g时，二次的数)=必+*+3的最大值为(-2)2+(—2)+3=5,最小值为层+〃

+3,

•*.5-(〃2+〃+3)=£

,-.„2+„+1=0>

1

斛得ni=n2=--

②当一时，二次的数y=%2+%+3的最大值为(-2>+(—2)+3=5,最小值为(一+

1+3得

5一节=:成立，

③当〃>1时，二次的数y=%2+x+3的最大值为/+〃+3,最小值为(一+(一2)+3号

/+〃+3_?=：

・•./+〃-2=0,

解得〃=1或一2(均舍去).

1

综上所述，〃的取值范圉是一^W/iWL

变式3—1:2023•绍兴］在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形

内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如:如图，函数y=（x—

2＞（0W尤W3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形0ABe.若二次函数y=^+bx

+c（0WxW3）图象的关联矩形恰好也是矩形OABC,则。=1或||.

【解析】易知点C（0,4）,B（3,4）,y=42+方x+c（0WxW3）的对称轴为直线*=一24

4

分情况讨论：

①当一20W0,即力20时，y=$2+历;+c（0WxW3）随X的增大而增大，

*c=0,

••AQ

-+3b+c=4,

14

7

斛得力=石，符合题意；

②当一2。三3,即8W—三时，7=、2+加；+80・工・3）随X的增大而城小，

24

*c=4,

-+3b+c=0,

I4

将得8=一娱符合题意；

③当0＜一2万＜3,即一时，易知:义4廿一2万2+c=0,

,,.c=b2.

当x=0,y=c=4时,

斛得Z＞=±2（不合题意，舍去）；

Q17

当x=3,y=-+3》+c=4时，将得万=-或8=--（均不合题意，舍去）.

422

7”

综上所述，，=石或一行

变式3—2[2023•丽水]已知点（一加，0）和（3加，0）在二次函数丁=加+/?元+3（〃，"是常数，。邦）

的图象上.

⑴当相=—1时，求〃和6的值.

（2）若二次函数的图象经过点A（〃，3）且点A不在坐标轴上，当一2〈用V—1时，求〃的取值范围.

⑶求证:"+4〃=0.

解：（1）当机=—1时，图象过点（1,0）和（一3,0）,

(0=a+b+3,

：.a=-1,b=-2.

(0=9a—36+3,

（2）由图象过点（-m,0）和（3加，0）可知，对称轴为直线x=//z.

又;图象过皮（〃，3）,（0,3）,

；・根据图象的对称性，得〃=2

又;一2VmV—1,:.—4V“V—2.

（3）•・•图象过点（一加，0）和（3加，0）,

；•根据图象的对称性，得一一=机,

2a

.*.b=—2am,顶点坐标为(机，am2+bm+3).

将点（一机，0）和（3加，0）分别代入的数表达式可得

0=am2—bm+3,①

0=9am2+3&m+3.(2)

①X3+②，得12。源+12=0,

am1+bm+3=am1—2am1+3=—am2+3=4,

•12a—b2.

..--------=4,

4a

；・12〃一乂=16。,:."+4〃=0.

变式3—3[2023•杭州]设二次函数y=o?+法+i（存0,6是实数）.已知函数值y和自变量元的

部分对应取值如下表所示:

x-10123

minip…

⑴若m=4,

①求二次函数的表达式.

②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小.

(2)若在机，n,p这三个实数中，只有一个是正数，求。的取值范围.

解:⑴①由题意，

f4a+2b+l=l,

得

(a—6+1=4,

(a=l,

解得

(b=-2,

/.j=x2—2x+l.

②答嚏■不唯一，如xVl.

(2)'.•四教y的图象经过点(0,1),(2,1),

，四教y的图象的对称轴是直线x=L

:.b=-2a,

••wi=p=a-Z>+l=3a+1,

n=a+Z>+l=­a+1.

又：在机，n,p这三个实教中，只有一个是正教,

〃>0,nz=pW0,

(—a+l>0,

斛得aW—/

(3a+l<0,

【课后作业】

L抛物线y=一—十以一4与坐标轴的交点个数是(C)

A.OB.1

C.2D.3

2.[2025•预测]若二次函数y=ax2+l的图象经过点(一2,0),则关于x的方程o(x-2)2+l=0

的实数根为(A)

A.xi=0,X2=4B.XI=­2,%2=6

35

C.xi=-,%2=-D.xi=­4,%2=0

22

3.[2023•成都改编]如图，二次函数6的图象与x轴相交于A(—3,0),3两点，则

A,3两点之间的距离为(C)

A.3B.4

C.5D.6

【解析】杷点A(—3,0)代入y=ax2+x—6,得0=9a—3—6,斛得a=l,

**.j=x2+x—6.

令y=0,则0=*2+x—6,斛得xi=­3,*2=2,

.*.AB=2-(-3)=5,

：.A,5两点之间的距离为5.

4.[2024•陕西]已知一个二次函数丁=加+法+。(存0)的自变量x与函数y的几组对应值如下表:

X•••-4-2035

y・・・一24-80-3-15

则下列关于这个二次函数的结论正确的是(D)

A.图象开口向上

B.当x>0时，y随x的增大而减小

C.图象经过第二、三、四象限

D.图象的对称轴是直线x=l

4a-2b+c=-8,

c=0,

{9a+3b+c=-3,

a=­l,

b=2,

{c=0.

••二次四的表达式为y=-x2+2x.

Va=—KO,抛物线的开口向下.A不正确.

，抛物线的对称轴为直线x=L且当x>l时，y随x的增大而减小.B不正确，D正确.

令y=0,得一7+2*=0,

解将©=0，*2=2,

抛物线与x轴的交点生标为（0,0）和（2,0）.

又;抛物线的顶点生标为（1,1）,

抛物线经过第一、三、四象F艮.C不正确.

5.如图，抛物线y=af（存0）与直线y=fec+c（厚0）的两个交点坐标分别为A（—2,4）,3（1,1）,

则方程a^=bx+c的解为xi=—2,比=1.

6.抛物线丁=以2+法+。（分0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点的坐标为（一3,0）,对

称轴为直线x=—1,则当y<0时，x的取值范围是一3V*V1.

【解析】•.,抛物线y=Q*2+加;+c（&/））与*轴的一个交点的生标为（-3,0）,对称轴为直线七

=—1,

工抛物线与x轴的另一个交点的生标为（1,0）.

由图象可知，当yVO时，x的取值范圉是一3VxVL

7.若二次函数丁=/+法一5的对称轴为直线x=2,则关于x的方程N+bx—5=0的解为.作=5,

【解析】,二次法教y=x?+加r-5的对称轴为直线x=2,——=2,斛得/>=-4,

/.X2—4x—5=0,斛得xi=5,X2=-1.

8.已知关于x的一元二次方程x2+x-m=0.

（1）若方程有两个不相等的实数根，求机的取值范围.

(2)二次函数y=%2+%—根的部分图象如图所示，求一元二次方程d+x一机=。的解.

解:(1)二•一元二次方程x2+x-zn=0有两个不相等的实数根，

.•."-4ac>0,即1+4机>0,

:・m>-

4

-1

(2)易得二次的数y=22+%—机图象的对称轴为直线x=一3，

1

...抛物线与X轴的两个交点关于直线X=13对称.

由图可知抛物线与x轴一个交点为(1,0),

，另一个交点为(一2,0),

.♦.一元二次方程x2+x—m=0的解为xi=l,*2=—2.

9.[2024•嘉兴模拟]已知二次函数y=f—2奴一3(。为常数).

(1)若该二次函数的图象经过点(2,-3).

①求a的值.

②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？

⑵若点A(/n,0),B(n,0),C(m+1,p),D(n+1,q)均在该二次函数的图象上，求证:p+q=2.

解:(1)①由题意，得4一4°-3=—3,

斛得a=l.

②由①，得7=——2*—3=(*—1)2—4.

又,.7=1>0,

当x>1时，y随x的增大而增大.

(2)丁点4(加，0),B(n,0),

抛物线的对称轴是直线

抛物线为y=x2—(m+n)x—3.

又,点C(7〃+l,p),D(n+1,q),

••.p=(zn+l)2—(/n+〃)(/n+l)—3=/n—〃—zn〃—2,q=(〃+l)2—(机+〃)(〃+1)-3=〃—///一机〃

—2,

..p+q=-2mn—4.

又二•点A(m,0)在抛物线上，

/.初2—(帆+〃)帆-3=0,

:.mn=-3,

/.p+9=-2X(-3)-4=2.

10.[2024•连云港]已知抛物线y=ax1+bx+c(a,b,c是常数，a<0)的顶点坐标为(1,2).小烽

同学得出以下结论:①HcVO;②当%>1时，y随工的增大而减小;③若加+云+C=0的一个根为

3,则a=—④抛物线丁=加+2是由抛物线丁=加+笈+。向左平移1个单位，再向下平移2

个单位得到的.其中一定正确的是(B)

A.①②B.②③

C.③④D.②④

【解析1•.,顶点金标为(1,2),

——=1,.\b=12a.

2a

又TaVO,；.b>0.

Va+Z>+c=2,/.c=2—a—Z>=2—a—(­2a)=2+a,

：.c无法判断符号.故①错误；

Va<0,抛物线开口向下.

•.•对称轴为直线x=L.•.当x>l时，y随x的增大而减小.故②正确；

■:b=-2a,c=2+a,

".y=ax2—2ax+2+a.

'•,当x=3时，_y=0,

.*.0=9a—6a+2+a,.\a=—/故③正确；

Vj=ax2+Z>x+c=a(x-1)2+2,

，将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到y=a(x-l+l)2+2-2=ax2.故④错误.

综上所述，一定正确的是②③.

11.[2024•遂宁]如图，已知抛物线了=加+笈+c(a",c为常数，#0)的对称轴为直线x=—1,

且该抛物线与x轴相交于点A(l,0),与y轴的交点3在(0,—2),(0,—3)之间(不含端点)，则

下列结论正确的是(B)

①"c>0;

②9。-3b+c〉0;

③

2

④若方程ax+Zzx+c=x+1两根为机，n(m<n)9则一3<加<1<几

第11题图

A.④B.③④

C.①②③D.①③④

【解析】•••抛物线开口向上,

/.a>0.

又•.•对称轴为x=—1V0,

:.a,1同号,，b>0.

e•*抛物线与y轴的支点6在(0,—2)和(0,—3)之间，

••・-3VcV—2V0,：.abc<0,故①不正确;

•.•对称轴为直线x=-1,且该抛物线与x轴相支于点4(1,0),

；・与X轴相支于另一点(一3,0).

••\=-3时，y=9。-38+c=0,故②不正确；

由题意可得，方程ax2+Ox+c=o的两个极为X]=LM=-3.

Q

又•必=一,...c=-3〃.

a

又;一3VcV—2,:.一3V—3〃V—2,

故③正确；

若方程ax2+Z>x+c=x+l两极为m,n(m<ri),则直线y=x+l与抛物线的交点的横生标为nt,

;直线y=x+l过第一、二、三象F艮，且过点(一1,0),

二直线y=x+l与抛物线的交点左第一、三象F艮，由图象可知一3VnzVlV”.故④正确.

综上所述，正确的结论是③④.

12.[2024•杭州校级模拟]在二次函数丁=/+2蛆+冽一1中.

(1)若该二次函数图象经过点(0,0),求该二次函数的表达式和顶点坐标.

(2)求证:不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点.

(3)若m<0时，点A(7?—2,p),3(2,q),C(n,p)都在这个二次函数图象上且加一1>4>"，求”

的取值范围.

解,二次四教7=/+2用》+»/—1的图象经过点(0,0),

••.m―1=0,

••二次的的表达式।为2x.

又•.〉=必+2%=(%+1)