动力学特别问题与方法

1、 质点系的牛顿第二定律质点系的牛顿第二定律 加速度相关关系加速度相关关系 力的加速度效果分配法则力的加速度效果分配法则 牛顿第二定律的瞬时性牛顿第二定律的瞬时性 非惯性系与惯性力非惯性系与惯性力 规律规律 规律规律 FaaaFaaa 1122 11 nn iii ii mmm 2 1 2 satas MmT m FF Mm 规律规律 规律规律 加速度与力是瞬时对应的，外力一旦改变，加速度也立即改变，力与加速度与力是瞬时对应的，外力一旦改变，加速度也立即改变，力与 加速度的因果对应具有同时性确定某瞬时质点的加速度，关键在分析该加速度的因果对应具有同时性确定某瞬时质点的加速度，关键在分析该 瞬时质

2、点的受力，对制约着对象运动状态的各个力的情况作出准确判断瞬时质点的受力，对制约着对象运动状态的各个力的情况作出准确判断. . 示例示例 m2 m1 m3 mi F31 F13 F1 Fi F2 F3 F21 Fi1 F12 质点系各质点受系统以质点系各质点受系统以 外力外力F1、 、F2、 、 对质点对质点1 12131111 FFFFa i m 对各质点对各质点 21232222 FFFFa i m 123 F +FFFFa iiiiniii m F1i FaaaFaaa 1122 11 nn iii ii mmm 示例示例 如图所示，跨过定滑轮的一根绳子，一端系着如图所示，跨过定滑轮的一根

3、绳子，一端系着 m=50 kg的的 重物，一端握在质量重物，一端握在质量M=60 kg的人手中如果人不把绳握死，而是相对地面以的人手中如果人不把绳握死，而是相对地面以 g/18的加速度下降，设绳子和滑轮的质量、滑轮轴承处的摩擦均可不计，绳子长的加速度下降，设绳子和滑轮的质量、滑轮轴承处的摩擦均可不计，绳子长 度不变，试求重物的加速度与绳子相对于人手的加速度度不变，试求重物的加速度与绳子相对于人手的加速度 取人、绳、物组成的系统为研究对象取人、绳、物组成的系统为研究对象 x mg Mg am a 在图所示坐标轴上建立运动方程为在图所示坐标轴上建立运动方程为 m MgmgMama m M ga a

4、g m 6 17 5 18 gg 2 15 g 绳相对于人的加速度为绳相对于人的加速度为 21 1518 gg a绳对人 绳对人=am-a= 7 90 g mAg B A E D 如图所示，如图所示，A、B滑块质量分别是滑块质量分别是mA和和mB，斜面，斜面 倾角为倾角为，当，当A沿斜面体沿斜面体D下滑、下滑、B上升时，地板突出部分上升时，地板突出部分E对斜面体对斜面体 D的水平压力的水平压力F为多大（绳子质量及一切摩擦不计）？为多大（绳子质量及一切摩擦不计）？ ax 对对A、B、D系统在水平方向有系统在水平方向有 Ax Fm a 对对A、B系统分析受力系统分析受力 a mBg x sin A

5、BAB m gm gmma sin cos AB A AB mm mg mm F 得得 cos x aa 而而 返回返回 F 绳、杆约束物系或接触物系各部分加速度往往绳、杆约束物系或接触物系各部分加速度往往 有相关联系，确定它们的大小关系的一般方法是：设有相关联系，确定它们的大小关系的一般方法是：设 想物系各部分从静止开始匀加速运动同一时间，则由想物系各部分从静止开始匀加速运动同一时间，则由 2 1 2 satas 可知，加速度与位移大小成正比，可知，加速度与位移大小成正比，确定了相关确定了相关 物体在同一时间内的位移比，便确定了两者加物体在同一时间内的位移比，便确定了两者加 速度大小关系速度

6、大小关系 x 2x 如图所示，质量为如图所示，质量为m的物体静止在倾角为的物体静止在倾角为的斜面的斜面 体上，斜面体的质量为体上，斜面体的质量为M，斜面体与水平地面间的动摩擦因数为，斜面体与水平地面间的动摩擦因数为 现用水平拉力现用水平拉力F向右拉斜面体，要使物体与斜面体间无相互作用向右拉斜面体，要使物体与斜面体间无相互作用 力，水平拉力力，水平拉力F至少要达到多大？至少要达到多大？ m M F 当物体与斜面体间无作用力时，物体的加速度为当物体与斜面体间无作用力时，物体的加速度为g 考虑临界状况，斜面体至少具有这考虑临界状况，斜面体至少具有这 样的加速度样的加速度a：在物体自由下落了斜：在物体

7、自由下落了斜 面体高度面体高度h的时间的时间t内，斜面体恰右内，斜面体恰右 移了移了hcot ，由在相同时间内由在相同时间内 2 1 2 satas cot ,cot ah ag gh 故故 cotFMgMaMg 对斜面体对斜面体 cotMgF g a Mg FN F m1m2 P A Q B 如图所示，如图所示，A为固定斜面体，其倾角为固定斜面体，其倾角=30，B为固定在斜为固定在斜 面下端与斜面垂直的木板，面下端与斜面垂直的木板，P为动滑轮，为动滑轮，Q为定滑轮，两物体的质量分别为为定滑轮，两物体的质量分别为m1=0.4 kg和和m2=0.2 kg，m1与斜面间无摩擦，斜面上的绳子与斜面平

8、行，绳不可伸长，绳、与斜面间无摩擦，斜面上的绳子与斜面平行，绳不可伸长，绳、 滑轮的质量及摩擦不计，求滑轮的质量及摩擦不计，求m2的加速度及各段绳上的张力的加速度及各段绳上的张力 m1沿斜面下降沿斜面下降,m2竖直上升竖直上升,若若m1下降下降s, m2上升上升2s,故故 T1 m1gsin m2g 12 2aa 建立如图坐标分析受力建立如图坐标分析受力 牛顿第二定律方程为牛顿第二定律方程为 112122 2 sin2Tm gm gmam a 对对m1建立方程建立方程 m1 m1gsin T1 1112 sin2m gTm a 1112 sin2Tm gm a 1122122 2 2sin22

9、m gmam gmam a 12 2 12 2sin 4 m gm g a mm 代入题给数据代入题给数据 2 2 1.09m/sa 1 1.09NT P T1 T1 T2 21 .22 18NTT 返回返回 M m F a (a) F m M a (b) M m F a (c) F mM a (d) M m (e) a M m F (f) a 问题情景问题情景 如果引起整体加速度的外力大小为如果引起整体加速度的外力大小为F F，则引起各部，则引起各部 分同一加速度的力大小与各部分质量成正比，分同一加速度的力大小与各部分质量成正比， F F这这 个力的加速度效果将依质量正比例地分配个力的加速度

10、效果将依质量正比例地分配 123 ()Fmmma ii Fm a 123 ii Fm Fmmm MmT m FF Mm m F mmM TbTa 如图所示，质量为如图所示，质量为M、m、m的木块以线的木块以线a、b相连，质相连，质 量为量为m小木块置于中间木块上，施水平力小木块置于中间木块上，施水平力F拉拉M而使系统一起而使系统一起 沿水平面运动；若将小木块从中间木块移至质量为沿水平面运动；若将小木块从中间木块移至质量为M的木块之的木块之 上，两细绳上的张力上，两细绳上的张力Ta、Tb如何变化？如何变化？ Ta减小减小Tb不变不变 2 b m TF Mmm 2 2 a mm TF Mmm 2

11、2 m F Mmm 对左木块对左木块 对左与中两木块对左与中两木块 产生整体加速度的力是产生整体加速度的力是F， 使使BCD产生同样加产生同样加 速度的力是速度的力是AB间静摩擦力，最大静摩擦力大小应为间静摩擦力，最大静摩擦力大小应为 42 63 m mgFF m 当当F=3mg/2时，绳上拉力最大时，绳上拉力最大 2 F T B F DA T C f 如图所示，在光滑水平面上放置质量分别为如图所示，在光滑水平面上放置质量分别为m和和2m的四个的四个 木块木块,其中两个质量为其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连的木块间用一不可伸长的轻绳相连,木块间木块间 的最大静摩擦力是的最大静摩擦

12、力是 mg.现有用水平拉力现有用水平拉力F拉其中一个质量为拉其中一个质量为2m的的 木块木块,使四个木块以同一加速度运动使四个木块以同一加速度运动,则轻绳对则轻绳对m的最大拉力是多少的最大拉力是多少? =3mg/2 3 4 mg B A F A、B刚好不发生相对滑动而一起沿水平面运动刚好不发生相对滑动而一起沿水平面运动 3 BAm F Ff F 要使要使A、B仍不发生相对滑动，须满足仍不发生相对滑动，须满足 2 3 ABm F Ff 2 F F 由上二式得由上二式得 如图所示，木块如图所示，木块A、B静止叠放在光滑水平面上，静止叠放在光滑水平面上， A的质量为的质量为m，B的质量的质量2m现施

13、水平力现施水平力F拉拉B ，A、B刚好不发生相刚好不发生相 对滑动而一起沿水平面运动；若改用水平力对滑动而一起沿水平面运动；若改用水平力 拉拉A，要使，要使A、B不不 发生相对滑动，求发生相对滑动，求 的最大值的最大值. F F 返回返回 mg F F2 剪断剪断l2瞬时，瞬时，F2力消失，绳力消失，绳l1上微小上微小 形变力形变力立即立即变化，适应此瞬时物体变化，适应此瞬时物体 运动状态运动状态线速度为零，向心加线速度为零，向心加 速度为零；速度为零； 1 cosmgF 则此瞬物体所受合力为则此瞬物体所受合力为 sinmg l1 l2 F1 此瞬时物体加速度为此瞬时物体加速度为 sinag

14、故绳故绳l1拉力大小等于物体重力的法拉力大小等于物体重力的法 向分力：向分力： 如图所示，一质量为如图所示，一质量为m的物体系于长度分别为的物体系于长度分别为l1、l2的的 两根细绳上，两根细绳上，l1与竖直成与竖直成角，角，l2水平拉直，物体处于平衡状水平拉直，物体处于平衡状 态现将态现将l2剪断，求剪断瞬时剪断，求剪断瞬时l1细绳上的拉力及物体的加速度细绳上的拉力及物体的加速度 BA a F 撤去撤去F F力前：力前： AB Fmma 撤去撤去F F力瞬时，力瞬时，A受力受力 未及改变，未及改变，故故： A aa 撤去撤去F力瞬时，力瞬时，B受力受力 少了少了F,故故： BBB m aFm

15、 a B B B m aF a m B F a m A B B m aa m 如图所示，质量分别为如图所示，质量分别为mA、mB的两个物体的两个物体A和和B，用弹簧连在一起，放在粗，用弹簧连在一起，放在粗 糙的水平面上，在水平拉力糙的水平面上，在水平拉力F(已知已知)作用下，两物体做加速度为作用下，两物体做加速度为a的匀加速直线运的匀加速直线运 动，求在撤去外力动，求在撤去外力F的时刻，的时刻，A、B两物体的加速度大小分别为多少？两物体的加速度大小分别为多少？ 如图所示，木块如图所示，木块A、B的质量分别为的质量分别为mA0.2 kg，m 0.4 kg，盘，盘C的质量的质量mC0.6 kg，现

16、挂于天花板，现挂于天花板O处，整个装置处处，整个装置处 于静止当用火烧断于静止当用火烧断O处的细线的瞬间，木块处的细线的瞬间，木块A的加速度的加速度aA及木块及木块B 对盘对盘C的压力的压力FBC各是多少各是多少? O A B C 0 A a ABC BC BC mmmg aa mm 2 12m/s BC aa 方向竖直向下！方向竖直向下！ 对对C运用牛顿第二定律：运用牛顿第二定律： CBCCC m gFm aFBC=1.2N mcg FBC O处细线断瞬间处细线断瞬间,A受弹簧力未及改变受弹簧力未及改变,重力不变重力不变,故故 B、C间弹力是微小形变力，其发生间弹力是微小形变力，其发生突变！

17、突变！以适应以适应 B、C在此瞬间的运动：在此瞬间的运动： 返回返回 相对于惯性系以加速度相对于惯性系以加速度a运动的参考系称运动的参考系称 非惯性参考系非惯性参考系. . 牛顿运动定律在牛顿运动定律在非惯性参考系中非惯性参考系中不能适用不能适用 i Fma a 小球不受外小球不受外 力而静止力而静止 小球不受外小球不受外 力而向我加力而向我加 速速 i FFma 非非 mama 为了使牛顿定律在非惯性系中具有与惯性系相同的形式，我们可以引入为了使牛顿定律在非惯性系中具有与惯性系相同的形式，我们可以引入 一个虚拟的力叫惯性力使牛顿第二定律形式为一个虚拟的力叫惯性力使牛顿第二定律形式为 可适用于

18、非惯性系可适用于非惯性系 惯性力与物体实际受到的力（按性质命名的力）不同，它是虚构的，没惯性力与物体实际受到的力（按性质命名的力）不同，它是虚构的，没 有施力物，不属于哪种性质的力有施力物，不属于哪种性质的力 如图所示，在光滑水平桌面上有一质量为如图所示，在光滑水平桌面上有一质量为M的劈形物的劈形物 体，它的斜面倾角为体，它的斜面倾角为，在这斜面上放一质量为，在这斜面上放一质量为m的物体，物体与斜的物体，物体与斜 面间摩擦因数为面间摩擦因数为当用方向水平向右的力当用方向水平向右的力F推劈形物体时，推劈形物体时，等于等于 多少时物体间才没有相对运动？多少时物体间才没有相对运动？ m M 取劈形物

19、体取劈形物体M为参考系，设为参考系，设M相对相对 地面的加速度为地面的加速度为a，方向，方向向右，向右，在这在这 个参考系中分析个参考系中分析m受力受力: a F mgma F约 约 tan i Fmamg mg ma F约 约 在劈参考系在劈参考系中中m静止静止,合力为零合力为零! tan i Fmamg 对整体在水平方向有对整体在水平方向有 FMm a tan tan 则则 F M m g F M m g tan sincoscossin sincossincos Mm gFFMm g FMm gFMm g M 一质量为一质量为M、斜面倾角为、斜面倾角为的三棱柱体，放在粗糙的的三棱柱体，放

20、在粗糙的 水平面上，它与水平面间的摩擦因数为水平面上，它与水平面间的摩擦因数为，若将一质量为，若将一质量为m的光滑质的光滑质 点轻轻地放在斜面上，点轻轻地放在斜面上，M发生运动，试求发生运动，试求M运动的加速度运动的加速度a m 设设M运动的加速度为运动的加速度为a，显然，显然a的方向水平向右的方向水平向右: a 设设m相对于相对于M的加速度为的加速度为a非 非， ，a非 非的方向与 的方向与 水平成水平成角向下，即，沿三棱柱体的斜面角向下，即，沿三棱柱体的斜面: a非 非 设水平面对三棱柱体的摩擦力为设水平面对三棱柱体的摩擦力为Ff，支持力为，支持力为FN: Ff 研究研究M、m构成的系统，

21、在水平方向有构成的系统，在水平方向有 (-cos) f FMamaa 非非 在竖直方向有在竖直方向有 sin N MmgFma 非非 由摩擦定律由摩擦定律 fN FF 取取m为研究对象为研究对象 x mg Fn FN Fi sin+cosmgmama 非非 sincosgaa 非非 sincosMm gmam aaMa 非非非非 cossin a Mmga mm 非非 cos sincos sin sincos mMg a mM (M+m)g 2 1 2 sat 由由 人两次从同一高度下落人两次从同一高度下落，有有 2 12 2 2 1 2 1 at a t 1 2 2 a a 第一次，人、重

22、物（绳）加速度相同，由系统牛顿第二定律第一次，人、重物（绳）加速度相同，由系统牛顿第二定律 1 Mm gMm a 某人质量某人质量M=60 kg，一重物质量，一重物质量m=50 kg，分别吊在，分别吊在 一个定滑轮的两边人握住绳子不动，则他落地的时间为一个定滑轮的两边人握住绳子不动，则他落地的时间为t1，人若沿，人若沿 绳子向上攀爬，则他落地时间绳子向上攀爬，则他落地时间 若滑轮、绳子的质量及摩擦可若滑轮、绳子的质量及摩擦可 不计，求此人往上爬时相对于绳子的加速度不计，求此人往上爬时相对于绳子的加速度 前、后前、后 两次人下落加速度分别设为两次人下落加速度分别设为a1、a2, 1 2t 1 1

23、1 a g 第二次，人、重物（绳）加速度各第二次，人、重物（绳）加速度各 为为a2、a，由质点系，由质点系“牛二律牛二律” 1 2 a Mm gM ma 8 55 ag 方向竖直向下方向竖直向下 绳绳2 8 2255 g aaag 人人对对 0.1g 人相对绳以人相对绳以 0.1g向上爬向上爬 关于惯性力，下列说法中正确的是关于惯性力，下列说法中正确的是 A. 惯性力有反作用力惯性力有反作用力 B. 惯性力是由非惯性系中物体施予的惯性力是由非惯性系中物体施予的 C . 同一物体对不同参考系有不同惯性力同一物体对不同参考系有不同惯性力 D. 惯性力与合外力一定平衡惯性力与合外力一定平衡 惯性力是

24、虚拟的力，没有施力物，也没有反惯性力是虚拟的力，没有施力物，也没有反 作用力作用力 惯性力惯性力Fi=-ma， a为参考系加速度，参考系不为参考系加速度，参考系不 同，匀加速不同，惯性力同，匀加速不同，惯性力Fi就不同！就不同！ 在非惯性系中有加速度的运动物体，其所受在非惯性系中有加速度的运动物体，其所受 惯性力与合外力不平衡惯性力与合外力不平衡 如图，在与水平成角如图，在与水平成角的静止的劈面上放一根不可伸长的轻的静止的劈面上放一根不可伸长的轻 绳绳的一端系在墙上绳绳的一端系在墙上A点，小物体系在绳子点，小物体系在绳子点上某一时刻劈开始以恒定加速点上某一时刻劈开始以恒定加速 度度a1向右运动

25、求物体还在劈上时所具有的加速度向右运动求物体还在劈上时所具有的加速度a2 ？ A B x1 x21 本题涉及相关加速度本题涉及相关加速度 劈加速度劈加速度a1、物体加速度、物体加速度a2、物体、物体 相对劈加速度相对劈加速度a21间矢量关系是间矢量关系是 2211 aaa 121 xx 121 aa a1 a21 a2 矢量三角形是等腰三角形！矢量三角形是等腰三角形！ 由矢量图得由矢量图得 12 2sin 2 aa 方向与竖直成方向与竖直成 2 如图，三角凸轮沿水平运动，其斜边与水平线成如图，三角凸轮沿水平运动，其斜边与水平线成 角杆角杆AB的的A端依靠在凸轮上，另一端的活塞端依靠在凸轮上，另

26、一端的活塞B在竖直筒内滑动如在竖直筒内滑动如 凸轮以匀加速度凸轮以匀加速度a0向右运动，求活塞向右运动，求活塞B的加速度的加速度aB 设三角形高设三角形高h、底边长、底边长b 本题属相关加速度问题本题属相关加速度问题 a0 A B aB h b 由加速度相关关系由加速度相关关系 0 cot B ab ah 0 tan B aa 方向竖直向上方向竖直向上 m1 m2 如图所示，如图所示，质量为质量为m2的立方块放在光滑的地面上，的立方块放在光滑的地面上， 质量为质量为m1的劈（劈角为的劈（劈角为），直角边靠在光滑的竖直墙上，斜边压在），直角边靠在光滑的竖直墙上，斜边压在 立方体上，试求劈和立方块

27、的加速度立方体上，试求劈和立方块的加速度 a2 a1 劈和立方块的加速度设为劈和立方块的加速度设为a1、a2： a1、a2的关系是的关系是 12 tanaa 设设m1、m2间压力为间压力为FN FNy Ny F FN FN 则对则对m1 22 tan Ny Fm a 对对m2 11 1Ny m gFm a 1 2 12 1 cot a m g mm 1 2 1 2 tancot m g a mm M 如图所示，如图所示，已知方木块的质量为已知方木块的质量为m，楔形体的质量，楔形体的质量 为为M，斜面倾角为，斜面倾角为，滑轮及绳子的质量可忽略，各接触面之间光滑，滑轮及绳子的质量可忽略，各接触面之

28、间光滑， 求楔形体求楔形体M的加速度的加速度 M m amM xM xmM 情景模拟情景模拟 楔形体和方木块的加速度设为楔形体和方木块的加速度设为aM、 am,方木块相对楔形体的加速度方木块相对楔形体的加速度amM： amM和和aM的关系由位移关系的关系由位移关系 mMM aa amM和和aM、am的矢量关系是的矢量关系是 mmMM aaa aM amM am 2sin 2 Mm aa 对方块，以对方块，以M为参考系的运动方程为为参考系的运动方程为 cos M ma sincos MM mgTmama 系统的系统的“牛二律牛二律”方程为方程为 mg T 2 sin 2 Mm TMama sin

29、 2(1cos ) M mg Mm a aM 如图所示，如图所示，在倾角为在倾角为的光滑斜面上，放有一个质的光滑斜面上，放有一个质 量为量为m2的斜块，斜块上表面水平，在它的上面放有质量为的斜块，斜块上表面水平，在它的上面放有质量为m1的物的物 块摩擦不计，求两个物块的加速度块摩擦不计，求两个物块的加速度 x y 0 设斜面对设斜面对m2支持力为支持力为F2，m2对对m1支持力为支持力为F1，m1、m2整体整体 受力分析如示：受力分析如示： m1 m2 a2 (M+m)g F2 在竖直方向由质点系在竖直方向由质点系“牛二律牛二律” 122122 cossinmmgFmma m2g 情景模拟情景

30、模拟 分离前两者在竖直方向有相同加速度分离前两者在竖直方向有相同加速度 对对m2,在水平方向有在水平方向有 222 sincosFm a 2 2 1 2 21 sin sin mmg mm a 12 cosaa 又又 2 12 2 21 1 sin sin a mmg mm 如图所示，如图所示，绳子不可伸长，绳和滑轮的质量不计，绳子不可伸长，绳和滑轮的质量不计， 摩擦不计重物摩擦不计重物A和和B的质量分别为的质量分别为m1和和m2，求当左边绳的上端剪断，求当左边绳的上端剪断 后，两重物的加速度后，两重物的加速度 左边上端绳断瞬时，其余绳上力左边上端绳断瞬时，其余绳上力 尚未及改变，尚未及改变，

31、A、B受力如图受力如图 A B m1g T1 T1 m2g 111 1 Tm gm a 2222 m gTm a T2 B受力如图受力如图 A、B加速度关系是加速度关系是 12 2aa 12 2TT 又又 1212 121 12 2 422 44 mmmm gg mmm aa m a1 a2 如图所示，如图所示，A为定滑轮，为定滑轮，B为动滑轮，摩擦不计，为动滑轮，摩擦不计， 滑轮及线的质量不计，三物块的质量分别为滑轮及线的质量不计，三物块的质量分别为m1、m2、m3 ，求：物，求：物 块块m1的加速度；两根绳的张力的加速度；两根绳的张力T1和和T2 m1 m2 m3 B A 设定坐标方向及线上拉力，对设定坐标方向及线上拉力，对m1、m2、 m3建立运动方程建立运动方程 x m1g T1 m2g T1 m3g T2T3 111 1 Tm gm a 2222 Tm gm a 3233 m gTm a 12 2 TT FF 设三者位移各为设