薄壁箱梁扭转理论

1、薄壁箱梁的扭转理论 n薄壁箱梁的自由扭转简介 n薄壁箱梁的约束扭转 n扭转中心位置 n等截面连续梁扭转的三翘曲双力矩方程 n有限差分方程建立及分析 n小 结 n本章参考文献 一、箱形截面的特点 箱形截面具有良好的结构性能，因而在现代各种桥梁中得到广泛应用。 在中等、大跨预应力混凝土桥梁中，采用的箱梁是指薄壁箱形截面的梁。其 主要优点是： （1）截面抗扭刚度大，结构在施工与使用过程中都具有良好的稳定性； （2）顶板和底板都具有较大的混凝土面积，能有效地抵抗正负弯矩，并 满足配筋的要求，适应具有正负弯矩的结构，如连续梁、拱桥、刚架桥、斜 拉桥等，也更适应于主要承受负弯矩的悬臂梁T形刚构等桥型； （

2、3）适应现代化施工方法的要求，如悬臂施工法、顶推法等，这些施工 方法要求截面必须具备较厚的底板； （4）承重结构与传力结构相结合，使各部件共同受力，达到经济效果， 同时截面效率高，并适合预应力混凝土结构空间布束，更加收到经济效果 （5）对于宽桥，由于抗扭刚度大，跨中无需设置横隔板就能获得满意的 荷载横向分布； （6）适合于修建曲线桥，具有较大适应性； （7）能很好适应布置管线等公共设施。 二、箱形截面的构造要点 （一）外形：由顶板、底板、腹板及梗胁组成 1、顶板： 除承受结构正负弯矩外，还承受车辆荷载的直接作用。在以负弯矩 为主的悬壁梁及T形刚构桥中，顶板中布置了数量众多的预应力钢束， 要求顶

3、板面积心须满足布置钢束的需要，厚度一般取2428cm。 2、底板 主要承受正负弯矩。当采用悬臂施工法时，梁下缘承受很大的压应 力，特别是靠近桥墩的截面，要求提供的承压面积更大；同时在施工时 还承受挂篮底模板的吊点反力。在T形刚构桥和连续梁桥中，底板厚度 随梁的负弯矩塔大而逐渐加厚。 3、腹板 承受截面剪应力及主位应力，并承受局部荷载产生的横向弯矩， 其厚度还须满足布置预应力筋及浇筑混凝土的要求，以及锚固锚头的 需要，一般厚度为30-50cm，大跨径桥梁可采用变厚度。 4、梗胁 顶板、底板与腹板交接处设使梗胁，其作用是： （1）提高截面抗扭刚度，减少畸变应力； （2）使桥面板支点加厚，减少桥面板

4、跨中弯矩； （3）使力线过渡平缓，避免应力集中； （4）提供布置纵向预应力钢束的面积。 （二）箱形截面的配筋 箱形截面的预应力混凝土结构一般配有预应力钢筋和非预应力向 普通钢筋。 1、纵向预应力钢筋： 2、横向预应力钢筋： 3、竖向预应力钢筋： 4、普通钢筋： 箱形截面配筋示意图 两层钢筋网 横向预应力 筋 纵向预应力 筋 竖向预应力 筋 两层钢筋网 三、偏心荷载作用下的变形和位移三、偏心荷载作用下的变形和位移 作用在箱形梁上的重要荷载是恒载与活载。恒载 通常是对称作用的，活载可以是对称作用，也可以是 非对称偏心作用，必须分别加以考虑。偏心荷载作用， 使箱形梁既产生对称弯曲又产生扭转，因此，作

5、用于 箱形梁的外力可综合表达为偏心荷载来进行结构分析。 在偏心荷载作用下箱梁的四种基本状态： 1 纵向弯曲纵向弯曲 2 横向弯曲横向弯曲 3 扭转（自由扭转和约束扭转）扭转（自由扭转和约束扭转） 4 扭转变形（畸变）扭转变形（畸变） 横向弯曲应力 c （按超静定框架计算求得） 四、偏心荷载作用下的截面应力四、偏心荷载作用下的截面应力 1.横向弯曲 箱形梁承受偏心荷载作用，除了按弯扭杆件进行整体分 析外，还应考虑局部荷载的影响。车辆荷载作用于顶板，除 直接受荷载部分产生横向弯曲外，由于整个截面形成超静定 结构，因而引起其它各部分产生横向弯曲， 四、偏心荷载作用下的截面应力四、偏心荷载作用下的截面

6、应力 2.纵向弯曲 纵向弯曲产生竖向变位 ，因而在横截面上引起纵向 正应力及剪应力，见图。图中虚线所示应力分布乃按初 等梁理论计算所得，这对于肋距不大的箱梁无疑是正确 的；但对于肋距较大的箱形梁，由于翼板中剪力滞后的 影响，其应力分布将是不均匀的，即近肋处翼板中产生 应力高峰，而远肋板处则产生应力低谷，如图中实线所 示应力图。这种现象称为“剪力滞效应”。对于肋距较 大的宽箱梁，这种应力高峰可达到相当大比例，必须引 起重视。 纵向弯曲产生纵向弯曲正应力 M 、弯曲剪应力 M 3.箱形梁的扭转箱形梁的扭转 箱形梁的扭转（这里指刚性扭转，即受扭时箱形的周边不变形） 变形主要特征是扭转角 。箱形梁受扭

7、时分自由扭转与约束扭转。 自由扭转自由扭转，即箱形梁受扭时，截面各纤维的纵向变形是自由的， 杆件端面虽出现凹凸，但纵向纤维无伸长缩短，自由翘曲，因而不 产生纵向正应力，只产生自由扭转剪应力。 约束扭转约束扭转，当箱梁受扭时纵向纤维变形不自由，受到拉伸或压 缩，截面不能自由翘曲。约束扭转在截面上产生翘曲正应力和约束 扭转剪应力。 产生约束扭转的原因有：支承条件的约束，如固端支承约束纵 向纤维变形；受扭时截面形状及其沿梁纵向的变化，使截面各点纤 维变形不协调也将产生约束扭转，如等厚壁的矩形箱梁、变截面梁 等，即使不受支承约束，也将产生约束扭转。 自由扭转只产生自由扭转剪应力 k 约束扭转产生约束扭

8、转剪应力 w 、约束扭转翘曲正应力 w 3.箱形梁的扭转箱形梁的扭转 扭转变形（畸变）产生畸变剪应力 dw 、畸变翘曲正应力 dw 、横向弯曲应力 dt 4.畸变畸变 畸变（即受扭时截面周边变形）的主要变形特征是畸变角 。 薄壁宽箱的矩形截面受扭变形后，无法保持截面的投影仍为矩形。 畸变产生翘曲正应力和畸变剪应力，同时由于畸变而引起箱形截面 各板横向弯曲，在板内产生横向弯曲应力。 箱梁应力汇总及分析箱梁应力汇总及分析 箱梁在偏心荷载作用下的变形与位移，可分成四种基本状态：纵向弯箱梁在偏心荷载作用下的变形与位移，可分成四种基本状态：纵向弯 曲、横向弯曲、扭转及扭转变形（即畸变曲、横向弯曲、扭转及

9、扭转变形（即畸变) )。它们引起的应力状态为：。它们引起的应力状态为： 纵向弯曲纵向弯曲-纵向弯曲正应力纵向弯曲正应力 ，弯曲剪应力，弯曲剪应力 横向弯曲横向弯曲-横向正应力横向正应力 扭转扭转-自由扭转剪应力自由扭转剪应力 ，翘曲正应力，翘曲正应力 ，约束扭转剪应力，约束扭转剪应力 扭转变形扭转变形-翘曲正应力翘曲正应力 ，畸变剪应力，畸变剪应力 ，横向弯曲应力，横向弯曲应力 因而，综合箱梁在偏心荷载作用下，四种基本变形与位移状态引起的因而，综合箱梁在偏心荷载作用下，四种基本变形与位移状态引起的 应力状态为：应力状态为： 在横截面上：在横截面上： 纵向正应力纵向正应力 剪应力剪应力 在纵截面

10、上：在纵截面上： 横向弯曲应力横向弯曲应力 M M c K W W dW dW dt dwwMZ )( dwwkM dtcS )( 承受偏心荷载的薄壁箱梁，将产生扭矩，此扭矩可分解为刚性扭 转和畸变力 薄壁箱梁的自由扭转简介 单箱单室箱梁 众所周知，在剪应力沿箱壁均匀分布的假定下，单室箱梁自由扭 转时下列两式成立 k M q d k GI M 称为Bredt第一公式，即箱 梁薄壁中线所包围的面积 的两倍 ds 扭 率 扭转刚度，称为Bredt第二 公式，自由扭转惯矩 ds / 2 d I 扭率与剪切变形的关系为 ss d)( 1. 剪力流和扭矩的关系剪力流在整个断面上的合力形成扭矩，即内剪力流

11、和扭矩的关系剪力流在整个断面上的合力形成扭矩，即内 外扭矩平衡方程，得：外扭矩平衡方程，得： ss k dsqdsqM （阴影部分（阴影部分 ， 为三角形底边，为三角形底边， 为高，为高， 为三角形面为三角形面 积）积） ds ds 2 1 qM k （ 为周边所围面积的为周边所围面积的2倍）倍） t MM q kk k Mu 2. 扭矩扭矩 、扭率、扭率 和纵向位移和纵向位移 的关的关 系系 k M k M z dz ds 0 M 1 M 0 u )(u x )(z 我们假设我们假设 为梁为梁 轴方向，轴方向， 为纵为纵 向位移，向位移， 为箱为箱 边边 切线方向的切线方向的 位移：位移：

12、z u v s k M k M z dz ds 0 M 1 M 0 u )(u x )(z A d k GI M 0u 其中：其中： 为扭率，扭转角沿轴线（纵向）方向变化率，由为扭率，扭转角沿轴线（纵向）方向变化率，由 知知 为常数，如为等直圆杆为常数，如为等直圆杆 微单元微单元 的剪切变形为的剪切变形为 A z v s u )(zv 则：则：)(z s u 按虎克定律按虎克定律 )(z s u GG 由于由于 经移项：经移项： )( z Gs u k M k M z dz ds 0 M 1 M 0 u )(u x )(z A 0 M 0s 1 M 上式中任选的始点上式中任选的始点 （其（其

13、） 起沿周边积分到某点起沿周边积分到某点 得到纵得到纵 向位移：向位移： s 0 M 1 M ss dszds G zuzu 00 0 )()()( 上式中：上式中： 是是 处的纵向位移，为积分常数，即初始位移值，而处的纵向位移，为积分常数，即初始位移值，而 是是 扇形面积的两倍以扇形面积的两倍以 表示，则表示，则 ，如以此为坐标参数，如以此为坐标参数， 则为扇性坐标，如同以弧长表示的线坐标，及极坐标、球坐标等广则为扇性坐标，如同以弧长表示的线坐标，及极坐标、球坐标等广 义坐标概念是一样的。义坐标概念是一样的。 0 u0s s ds 0 s ds 0 k M k M z dz ds 0 M 1

14、 M 0 u )(u x )(z A 另外将另外将 代入则代入则 t M k )()()( 0 0 z t ds G M zuzu s k 因为箱梁为闭口截面，引因为箱梁为闭口截面，引 入封闭条件，对上式积分入封闭条件，对上式积分 一周，如果积分的始点和一周，如果积分的始点和 终点为同一点终点为同一点 ，得，得 0 u )()()( 00 z t ds G M zuzu s k 所以：所以： )( z t ds G M s k s k t ds G M z 2 )( 如令如令 ）（称为抗扭惯性矩）53( 2 s d t ds I （同（同桥工桥工计算截面抗扭惯性矩）计算截面抗扭惯性矩） 上式可

15、写成：上式可写成： )( EI M GI M d k 形式类似弯曲： 曲率曲率 k M k M z dz ds 0 M 1 M 0 u )(u x )(z A 将将 ， t M )(zu 代入代入 表达式，则纵向位移：表达式，则纵向位移： )183()()( )()( )()()()( 0 0 0 0 00 0 zzu t ds t ds dszzu dsz t ds z t ds zuzu s s ss 式中：式中： t ds t ds ds s s 0 0 （称为广义扇性坐标）（称为广义扇性坐标） 与开口扇性坐标相比多与开口扇性坐标相比多 了因为截面闭合产生的了因为截面闭合产生的 第二项，

16、广义扇性坐标第二项，广义扇性坐标 都是用于闭口截面。都是用于闭口截面。 k M k M z dz ds 0 M 1 M 0 u )(u x )(z A 剪应力剪应力 t M k 扭率扭率 d k GI M 周边切线方向位移周边切线方向位移 zzv )( 纵向位移纵向位移 )()()( 0 zzuzu 在任何截面在任何截面 ，截面上的某一点的，截面上的某一点的 可确定，其空可确定，其空 间位置也就确定了。根据箱梁自由扭转的定义，截面沿梁纵向可自间位置也就确定了。根据箱梁自由扭转的定义，截面沿梁纵向可自 由凹凸，不发生应变由凹凸，不发生应变 z vu,( 的函数） 0)( )( 0 z z zu

17、z u z 因因 是常数是常数 ，则，则 0 u 0 )( 0 z zu 0)( z 这说明这说明 为常数，在自由扭转情况下，为常数，在自由扭转情况下， 不随不随 而变化，而变化， )(z)(zz 既：既： 从另一方面从另一方面 既既 是常数，分析是常数，分析 截面截面 上某一点位置以表示上某一点位置以表示 ，也就是说截面上任意一点的纵向位移只是，也就是说截面上任意一点的纵向位移只是 广义扇性坐标的函数，与广义扇性坐标的函数，与z无关，是截面参数，截面上某一点的位无关，是截面参数，截面上某一点的位 置定了不管在哪个截面纵向位移也就定了；这也说明，任何两相邻置定了不管在哪个截面纵向位移也就定了；

18、这也说明，任何两相邻 截面的翘曲程度是一样的，否则由约束扭转引起附加正应力，截面的翘曲程度是一样的，否则由约束扭转引起附加正应力， d k GI M z )( )()()( 0 zzuzu 纵向位移 箱梁自由扭转的纵向位移为 )()()0 ,(),(),( 00 zszuszuszu 称广义扇性坐 标，其意义见 后 ss ss ss 00 d / d d)( 处的纵向位移 0s 且 均沿梁纵向是常数，梁纵向纤维无伸缩应变，不产生正应力 )(),0 ,( 0 zzu),(szu 令纵向位移为 ， 表示沿跨径， 表示沿横截面周边。 当闭口截面只发生自由扭转时，有 ),(szuz s )()()0

19、,(),( 0 zszuszu 根据基本假定，闭口截面约束扭转轴向位移为 )()()0 ,(),( 0 zszuszu 表示截面翘曲程度的某个函数，它 与扭转角 有一定的关系 )(z 薄壁箱梁的约束扭转 （1） 基本假定 众所周知，乌曼斯基闭口薄壁直杆约束扭转理论应用以下三个基 本假定： 横截面的周边不变形； 横截面上法向应力和剪应力沿壁厚是均匀分布的； 横截面上纵向位移沿本截面的分布规律与自由扭转时是相同的 箱形梁的约束扭转箱形梁的约束扭转 k M z dz 0 M 1 M ）（zu0 )(z ds )(zu A v y s o 一、约束扭转计算理论一、约束扭转计算理论 箱梁的约束扭转计算理

20、论是以下面假设建立的：箱梁的约束扭转计算理论是以下面假设建立的： 1.箱梁扭转时，周边假设不变箱梁扭转时，周边假设不变 形（否则为畸变），切线形（否则为畸变），切线 方向的位移方向的位移 )( )( z z v zv 2.箱壁上的剪应力与正应箱壁上的剪应力与正应 力沿壁厚方向均匀分布力沿壁厚方向均匀分布 3.约束扭转时，沿梁轴方向的纵向位移（既截面的凹凸）假设同自约束扭转时，沿梁轴方向的纵向位移（既截面的凹凸）假设同自 由扭转时纵向位移的关系式存在相似变化规律，既由扭转时纵向位移的关系式存在相似变化规律，既 )()()( 0 zzuzu )( 0 zu 初始纵向位移，为一积分常数；初始纵向位移

21、，为一积分常数； )(z表示截面凹凸程度（翘曲程度）的某个函数表示截面凹凸程度（翘曲程度）的某个函数 )()(zz（扭率）为乌曼斯基第一理论（有些时候，误差较大）（扭率）为乌曼斯基第一理论（有些时候，误差较大） )(z 是一个待定函数，为乌曼斯基第二理论（按此计算）是一个待定函数，为乌曼斯基第二理论（按此计算） k M z dz 0 M 1 M ）（ zu0 )(z ds )(zu A v y s o 二、约束扭转正应力二、约束扭转正应力 利用弹性力学中平面应力问题中应力与应变之间的关系式：利用弹性力学中平面应力问题中应力与应变之间的关系式： )( 1 2 SZw E 因为假设周边不变形，切线

22、因为假设周边不变形，切线 方向的应变为零，既方向的应变为零，既0 S )243()()( )()( 1 0 0 2 zzuE zzu z u E E w Z w )( 0 z u k M w yx, 上式中上式中 是未定的，我们可以利用平衡条件来消去它，因为箱梁是未定的，我们可以利用平衡条件来消去它，因为箱梁 截面上只有扭矩截面上只有扭矩 ，其引起翘曲正应力，其引起翘曲正应力 自相平衡，既正应力自相平衡，既正应力 总和为零（有拉伸就有压缩），这些力对总和为零（有拉伸就有压缩），这些力对 轴弯矩总和也是零，轴弯矩总和也是零， 因而有：因而有： )253( 0 0 0 xdAM ydAM dAN

23、wy wx w k M z dz 0 M 1 M ）（zu0 )(z ds )(zu A v y s o 将式（将式（3-24）代入得：）代入得： )263 ( 0)()( 0)()( 0)()( 0 0 0 ydAzydAzu xdAzxdAzu dAzAzu dA xdA 式中式中 ： 为扇性静矩（面积对为扇性静矩（面积对 扇性坐标的一次矩，类似扇性坐标的一次矩，类似 ） ydA xdA 扇性惯性积（类似扇性惯性积（类似 ） ydAx 若适当选择极点若适当选择极点 ，及扇性零点，及扇性零点 位置，使满足下列三个条件：位置，使满足下列三个条件： o 0 M 000ydAxdAdA 此时极点此

24、时极点 为主扇性极点，为主扇性极点， 为主扇性零点。为主扇性零点。o 0 M 0S 0 xy Io 0 M （这相当于材料力学计算弯曲时求形心、主惯性轴以静矩（这相当于材料力学计算弯曲时求形心、主惯性轴以静矩 、 惯性积惯性积 为条件，极点为条件，极点 相当于形心相当于形心 ， 相当于惯性主轴，相当于惯性主轴， 最后以形心主惯性轴为坐标）最后以形心主惯性轴为坐标） 先假定存在这么一点满足这三个条件，由式（先假定存在这么一点满足这三个条件，由式（3-26）知，这样）知，这样 （3-24）可以写成：）可以写成： k M z dz 0 M 1 M ）（zu0 )(z ds )(zu A v y s

25、o )283()( zE w 截面上的约束扭转正应力分布和截面上的约束扭转正应力分布和 广义扇性坐标成正比，但此时的广义扇性坐标成正比，但此时的 广义扇性坐标广义扇性坐标 是相对于主扇是相对于主扇 性零点性零点 的广义扇性主坐标的广义扇性主坐标 （ 是截面位置是截面位置 的函数，在的函数，在 某一具体截面上它为常数）某一具体截面上它为常数） 0 M )(z z 如令如令 （约束扭转正应力对广义扇性坐标的矩）（约束扭转正应力对广义扇性坐标的矩） dAdB w k M B 在整个截面上积分得：在整个截面上积分得： dAB w （类同截面弯矩（类同截面弯矩 一样，一样， 又是一种内力）又是一种内力）

26、 A x ydAM 称为约束扭转双力矩称为约束扭转双力矩 这是一个自相平衡的力系，其数值不可能根据已知外力由平衡方程这是一个自相平衡的力系，其数值不可能根据已知外力由平衡方程 来求得，而要用约束扭转微分方程的积分来求。来求得，而要用约束扭转微分方程的积分来求。 k M z dz 0 M 1 M ）（zu0 )(z ds )(zu A v y s o )293()()( 2 zEIdAzEB 将式（将式（3-28）代入得：）代入得： 式中：式中： 称为广义主扇称为广义主扇 性惯性矩性惯性矩 dAI 2 此时与材料力学中弯矩和曲率此时与材料力学中弯矩和曲率 关系式在形式上很相似关系式在形式上很相似

27、 dAyI 2 yEIM 由式（由式（3-28）：）： )303()( E z w 代入式（代入式（3-39）得：）得： I My I B w 约束扭转正应力分布与广义扇性主坐标成正比。约束扭转正应力分布与广义扇性主坐标成正比。 （面积对广义扇性坐标的二次矩，（面积对广义扇性坐标的二次矩， 这相当于弯曲时截面主惯性这相当于弯曲时截面主惯性 矩矩 ） 故而约束扭转翘曲应力 的表达式为 I sB)( 平面弯曲应力 I My 相似 如上图所示，取箱壁上 点的微分单元体进行分析（下图），根 据力的平衡条件，则有 A 箱 梁 承 受 外 扭 矩 k M （3）约束扭转剪应力 ds. dz e e s d

28、z. dss e e 0 z N 0dddd zs s sz z 0 sz s s z 0 0 d 积分常数，它 表示截面上的 初始剪应力 微分单元 现将 代入得到 s szsE 0 0 d)()( s sszE 0 0 d)()( SzE)( 0 s ssS 0 d)( 为了决定初始剪力流 ，从内外力矩平衡条件得到 0 d)(d d)( d 0 0 sSzEs sSzE sM K dsS ds zE ds M K )( 0 扇性静矩扇性静矩 由于 （为封闭截面中线围绕的面积） 0 2Ads sS zEM K d )( 0 得到 d d SzE M sS SzE M SzEsS zEM K K

29、 K )( )( )( )( sS SS d 折算主扇性静矩折算主扇性静矩 故约束扭转剪应力为 S z E M K ) ( 可见，约束扭转在截面上的剪应力为两项剪应力之和。 第一项是自由扭转剪应力 第二项是由于约束正应力的变化而引起的剪应力 约束扭转剪应力也可以用扭转双力矩表示 K k M S zE) ( I S B 平面弯曲剪应力类似 Ib QS 类似 显然，为确定约束扭转正应力及剪应力，都必须确定任意函数显然，为确定约束扭转正应力及剪应力，都必须确定任意函数 （前面已求出主极点和相对其极点的广义扇性坐标（前面已求出主极点和相对其极点的广义扇性坐标广义扇性主广义扇性主 坐标）坐标） )(z

30、双力矩：双力矩：)(zEIB 约束扭转正应力：约束扭转正应力： I B W 弯扭力矩：弯扭力矩： )(zEIM 约束扭转剪应力：约束扭转剪应力： tI SM t M z W )(z 如何求如何求 ？ （4） 函数的确定)(z sS SS d ssId)( 2 ss ss ss 00 d / d d)( s ssS 0 d)( Gz v s u 当截面周边不变形时，切线位移为)(zv 微分一次，则有 ，则)(z z v z v Gs u )( )( zS G zE G M s u K 积分得 sss K sz s S G zEs G M uu 000 0 d)( d)(d 为满足周期条件（沿周边

31、积分一圈后 ）故有 0 uu 0d)( d)(d sz s S G zEs G M K 对 再微分一次，并将各项除以 ，而且将 代入 后得到 z / d s sd 0 d )( d d )( d d 2 s zG s S s zE z M K )( d d )( d d d 2 2 称为扇性惯矩 称为自由扭转惯矩 令 I s S s I I s I z M m dd K t 则 td mzGIzEI )()( 此式不可能同时解出和两个未知量，需要另外寻求 和 之 间的关系式。 )(z)(z 将广义扇性坐标 s d s s s sI s s s ss 00 0 0 d d d d d)( 代入约

32、束扭转轴向位移中并略去 坐标 标记，则有s ss d s sI zzuzu 00 0 d d )()()( 沿 微分一次，并注意到 是常量，得到s)( 0 zu 1 )( )( d I z s zu 由于 则 )(z z v )()()( 0 zzuzu )( 1 )( z I zG z v s u G d 又知 约束扭转剪应力不引起外扭矩 sM K d d 1 )()( )()( IzIIzG sz I zGM d d K I I zz GI M dK 1)()( )()(zz GI M K 扭转中心距剪力 流的垂直距离 截面的极 惯性矩 dsI 2 截面约束系数（或称翘曲系数） 的大小反映

33、了截面受约束的程度 对于圆形截面 故 ，即杆件上只有自由扭转发生 I I d 1 II d 0 对于箱形截面，当箱的高宽比较大时， 与 差别也愈大， 值 就大，截面上约束扭转应力也相应要大一些 d I I （5） 闭口箱梁约束扭转微分方程 对 求导一次 )()(zz GI M K GI m zz t )()( 代入 td mzGIzEI )()( 得到 t m EI zkz )()( 2 EI GI k d 2 对固端梁：当 当 0, 0, 0z 0, 0,lz 扭转中心位置 设以扭转中心 为极点的扇性坐标 为 ，形心 为极点的 扇形坐标为 则有 A A B B 0d 0d 0d Ay Ax

34、A B B B 可由 求 ，具体公式如下B A Byx xy BA 约束扭转微分方程 A x B x Bx x A y B y By y I Axs I I I Ays I I d)( d)( 由于箱梁形心总在对称轴上，则0B 分 别 为 沿 形 心 对 轴的惯性 矩 yx, 分 别 为 沿 形 心对 轴 的 扭 转 惯 性 矩 yx, 等截面连续梁扭转的三翘曲双力矩方程 前面求解了等截面简支梁或悬臂梁的扭转问题。若将简支梁的 解看作是基本结构的解答，应用力法的概念，可建立连续梁扭转的 三翘曲双力矩方程 如下图所示，现将各支承处的翘曲双力矩作为赘余未知力，把 图a）中各支承处的翘曲变形放松，分

35、别用赘余双力矩代之，如图b） 所示，取简支梁为基本体系，（若遇自由端可取一端铰支一端自由 的悬臂体系） 连续梁扭转基本体系 a)原结构；b)基本体系 对于箱梁翘曲变形，以 作为未知量，因为纵向刚性移动 对翘曲 变形没有影响，而扇性坐标 系表示翘曲位移在截面中分布规律， 则表示翘曲沿梁纵向变化的大小程度，因此在连续箱梁分析中只 把它作为未知量，而且有了它，通过基本体系及其边界条件，所有 内力与变形均可获解。现将单位双力矩引起的翘曲变形 用系数 表示。则某支座左右两侧梁跨在支座处的翘曲变形为 0 u 第 跨对支座 的翘曲变形 ii11, iiiiiiipi BB 右 右右 第 跨对支座 的翘曲的变

36、形 1i i 11, iiiiiiipi BB 左 左左 根据相邻两跨在支座处的相对翘曲为零的变形协调条件，有 0)()( 11,11, 右左右左 ipipiiiiiiiiiii BBB 或 0 11,11, ipiiiiiiiii BBB 式中： 端单位双力矩对 端产生的翘曲) 1, 1( , iiij ji ji 点左右单位双力矩引起的翘曲之和 ii i 右左 iiiiii 为左右跨外扭矩引起的翘曲之和 ip 右左 ipipip 式中最多含三个未知双力矩，因此把它叫做三翘曲双力矩方程。 对于连续梁每一个支座都可以列出这样一个方程，因而可以解出全 部赘余双力矩。可按力法原理用叠加方法求得最后解答 有限差分方程建立及分析 对于变截面T型刚构桥，可以看作是两端固结的梁来进行扭转 分析。这时，采用差分法较为方便 （1） 差分方程 将约束扭转微分方程改写为 t mEIkzEI 2 )( 由于双力矩 故有 EIB t mBkB 2 是以双力矩 表示的约束扭转微分方