线性代数习题集(带答案)

1、第一部分专项同步练习第一章行列式、单项选择题1 .下列排列是5阶偶排列的是（).(C) 41523(D)24351(A) 24315(B) 143252.如果n阶排列j1j2jn的逆序数是k,则排列jnj2j1的逆序数是（)n!n(n-1),(A)k(B) n _ k(C) - k2(D)k23. n阶行列式的展开式中含anai2的项共有（）项.11(A) 0(B) n -2(C) (n-2)!(D) 5-1)!4.00010100=().5.0001(A) 00100=(A) 0(B) -1(C) 1(D) 2).(B) -1(C) 1(D) 2-12x6.在函数f(x)-1(A) 0-x0

2、3项的系数是（).(B) -1(C) 1(D) 2a11a12a132，则7.若 D =a21a22a23a31a32a33(A) 4(B)-48.若anai2=a ,则a12ka22a21a22anka21(A) ka(B) -kaDi2a11a132a21a232a31a33an 2 a12a?1 2 a 22玄31 2a32).(C) 2(D) - 2).(C) k2a(D) - k2a9 .已知4阶行列式中第1行元依次是- 4, 0,1, 3,第3行元的余子式依次为-2, 5,1, X ,则x =().(A) 0(A) -1(A) -1-86131057-213(B)431-33-11

3、-7(C) 3(D) 2,则D中第一行元的代数余子式的和为（).01-13410-2(B) -20102(C)-3(D)0,则D中第四行元的余子式的和为（(B) -2(C)-3).12. k等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组(D)0X1 X2x-i kX2kX1 x2kxaX3X3( )(A) -1(B) -2(C)-3(D)0、填空题1. 2n阶排列24 (2n) 13 (2n -1)的逆序数是.2. 在六阶行列式中项a32a54a4ia65ai3a26所带的符- 号是3. 四阶行列式中包含a22a43且带正号的项是 .4. 若一个n阶行列式中至少有n2 - n 1个元素等于0,则这个行

4、列式的值等于0010026.行列式-000n00n -10101110015.行列式01110010a11(nV)a1 n7.行列式a21a2(n J)0a11a12a13a11a13 3a123a28.如果D =a21a22a23=M，贝U D1 =a21a23 3a223a?2a31a32a33a31a33 3a323a320 09.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为 1-11X 110.行列式1-1X +1-11X11-1X +1-11-11 +丸一 111. n阶行列式112. 已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3,其

5、对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为12 3A4j(j =1, 2,3,4)为D中第四行元的代数余子式,一5 6713. 设行列式D =4 3 2acbbcaab14.已知D =baccacbd则 4阳 3A42 2A43 A44 二D中第四列元的代数余子式的和为13233415.设行列式D =15611244八6,72A41A42A43A44A4j为a4j(j =1,2,3, 4)的代数余子式，则2n -116.已知行列式D二,D中第一行元的代数余子式的和为=0工0仅有零解的充要条件是X3= 0kx1 2x2 x3仃.齐次线性方程组2x, kx2X1 - X2x12x2x3 = 0

6、18.若齐次线性方程组2X2 +5X3=0有非零解，则-3为 一 2x2 kx3 = 0abcd2.22.2Xyx + yabcd3.33.32JJyx + yXabcdx + yXyb +c +da +c +da +b +da + b + c、计算题1.7Xa1a2an_42101X1a1Xa2an21101X=0 ；4.a1a2x an_421X1101X10a1a2a3X1a1a2a3an J13.解方程7a。11 11a1 111a21(aj 式1, j = 0,1，n)；111 an111-131 -b11112-b1111-(n _ 1) -b111 1xa1a2anb1a1aaa

7、1xa2anb1b2a2a278.a1a2x anb1b2bsana1a2asx5.7.2100X2Nx1x21 +x；xxX2Xnx- 1 +x1 -aa0-1 1-aaD =0-11-a00-10009.0011.a1-a-1110.四、证明题b1 2 *1.设 abed =1，证明:4ab212e1abed11 =0.16 fxa1b1e1abC2.a2 +b2x a2x +b2 e2= (1-xb e =0的充要条件是a+b + c = 0.)a?b?C2a3+bsxasx+d qa3b3C3a2 a4 abe.22be.44bedd2d4=(b _a)(c_a)(d _a)(c _b

8、)(d _b)(d _ c)(a b e d).11a1a24.2a1a；n -2a1nda2na1na2an2ann-2annann八 ai ：佝-a) i 二1 li； j 切15.设a,b, e两两不等，证明a3 a参考答案一单项选择题ADACCDABCDBB二填空题1. n ;2.;3. 814822831843 ；4.0 ;5. 0 ;6. (-1) n!;n(n 丄)7. (-1) 2 ama2(nm an1； 8.-3M; 9.-160;10.x4; 11( n) n；12.-2;n 113.0;14.0;15.12,-9;16.n!(1);17.k=-2,3;18.k = 7k

9、丝k三计算题1. -(a b c d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c);2. -2(x3 y3)；3. x - -2,0,1;5.nnII (ak -1)(1、k =0k=01ak -1);n7. (-1)打【(bk -ak);k n9. 1 Xk ;k=1n 44.丨丨(x-aQk珀6. -(2 b)(1_b) (n_ 2) _ b);nn8. (x aj【(x-aQ ;kmkT10. n 1;11. (1 -a)(1 a2 a4).四.证明题(略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是()。(a) A2|=|A2(b)A2 B2

10、=(A B)(A+ B) (c)(A B)A = A2 AB(d) (ABf 二 AtBt2. 设方阵A、B C满足AB=AC当 A满足()时，B=C(a) AB =BA (b) A=0 (c)方程组AX=0有非零解(d) B 、C可逆3. 若A为n阶方阵，k为非零常数，则kA=()(a) kA(b) kA4. 设A为n阶方阵，且A =0，则()(a) A中两行(列)对应元素成比例(b)(c)A中至少有一行元素全为零(d)nn(c) kn A(d) k AA中任意一行为其它行的线性组合A中必有一行为其它行的线性组合278#5. 设A，B为n阶可逆矩阵，下面各式恒正确的是()(a) (A + B

11、)=A，+ B-1 (b)(AB)T|=AB(c)(A+B)t(d) (A B) J-A 4 B _16. 设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，则(a) (a)A*(b)7.设A为3阶方阵,A* =|A (c)行列式A =1 ,n 1(d)为A的伴随矩阵，则行列式(2A)J -2A* =()(、27 心8(a)帀(b)盲27(c)号(d)88设A , B为n阶方矩阵，ahB2,则下列各式成立的是()(a) A = B (b)A=B (c)|A=|B (d)|A B29. 设A, B均为n阶方矩阵,则必有()。2 2(a) A + B|=|A|+|B| (b) AB = BA (c) AB BA

12、 (d) A =|B10. 设A为n阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是()。T T ITT(A ) =(A )(a) 2A=2At(b)(2A)= 2A，a11a12a13a11 3a31a12 3a32a13 3a3311.如果Aa21a22a23=a21a22a23031a32a33丿Ia31a32a33(c)(A)(At)t (d)则A =(10010-300-3100、(a)010(b)010(c)010(d)010L3001J0113 1丿131、12. 已知 A= 2 2 0，则(3 11(a) AT = A(b)*10 0113(c) A0 0 1=2 0 20 1 03 1 11

13、3.设A,B,C,I为同阶方阵,*10 0113(d)0 0 1A =2 0 20 10 秩(B) (b)秩(A)=秩(B)(c)秩(A)秩(B) (d) 秩( A)与秩(B)的关系依C而定17. A，B为n阶非零矩阵，且AB=0，贝U秩(A)和秩(B)()。(a)有一个等于零(b)都为 n (c)都小于n (d)个小于n，一个等于n18.n阶方阵A可逆的充分必要条件是()。(a) r( A)二 r : n(b)A的列秩为n(c)A的每一个仃向量都是非零向量(d)伴随矩阵存在19.n阶矩阵A可逆的充要条件是()。(a) A的每个行向量都是非零向量(b) A中任意两个行向量都不成比例(c) A的

14、行向量中有一个向量可由其它向量线性表示(d) 对任何n维非零向量X，均有AX =0二、填空题1. 设A为n阶方阵,I为n阶单位阵,且A? = I ,则行列式A=0 a b2. 行列式-a 0 c =-b -c 001入3.设 2A =020，贝U行列式001丿(A + 3I)(A2 -91)的值为4.设 A =12仝2且已知A6 = I，则行列式A115.设A为5阶方阵，A是其伴随矩阵，且A =3，则6.设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A*的秩为23a1b2 a1ba2ba2b2 a2b三、计算题1. 解下列矩阵方程(X为未知矩阵).广 22322、1 -1 0X =3 21 2 b1 ?2

15、)广010广20、n3、100X=2-110b厂1勺10卞“01、X(I -B七)TBT =1 ,其中 B =4 0 4；c =2 1 242 2、J 27AXAX=A2 +X I ,其中 A= 041-1设A为n阶对称阵,且A2 = 0,求A.已知A二101-102101,求(A+21)( A2-41)2z00001AA4,求一秩为2的方阵B,使AB =0.2 1 1 0 1 1 xA =1 0 1,B =1 2 111 0 丿11 0设6丿,求非奇异矩阵C,使A二CtBC.求非奇异矩阵P,使p4ap为对角阵.1)3)4)5)2.3.4.5.6.7.2)(1 1-21)f2 1 ) A =1

16、 2V 2丿8.已知三阶方阵A的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为(0,0,1)T,( -1,1,0)T,( -2,1,1)T,求矩阵 A.广5-3 2、9. 设 A=6-44 ,求 A100.,4M5四、证明题1.设A、B均为n阶非奇异阵，求证AB可逆.2. 设Ak=0(k为整数),求证I -A可逆.3. 设耳2,|1(为实数,且如果ak=0 ,如果方阵A满足Ak飞胃|)| a-A akI =0,求证A是非奇异阵.4. 设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的，求证矩阵AB相似于BA.5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.6. 证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.7. 证明两个

17、矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.8. 证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴 随矩阵.9. 证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.10. 证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。第二章参考答案1. a ; 2. b ; 3.c ; 4.d ; 5.b ; 6.d ; 7.a ; 8.d ; 9.c ; 1O.d ; 11.b ; 12.c ;13. b ; 14.a ; 15.a ; 16.b ; 17.c ; 18.b ; 19.d.151. 1 或-1 ; 2. 0; 3. -4 ; 4. 1; 5. 81; 6. 0; 7. 1;

18、8. 100; 9. ai4 ai8 ;i -110. I ; 12. 0 ; 11.0 20 0丿（1、-10 0、-1广1-4三、1.1）、-13-2；2）、2 3；3）、：1-5,16 01 0C160、1-2 ；1丿-3-1-P5.：111不唯100丿6.令12,s中至少有两个向量成比例(C)：1,：2, s中任意两个向量不成比例(d)1,2,/ s中至少有一向量可由其它向量线性表示7. n维向量组：1/-2,，亠(3乞s乞n)线性无关的充要条件是()(a) 存在一组不全为零的数k1 ,k2, ,ks使得 如很22 * kss = 0(b) ：1,：2,s中任意两个向量都线性无关(C)

19、1,2,s中存在一个向量，它不能被其余向量线性表示(dr 1/ 2,，： s中任一部分组线性无关8. 设向量组:12, 4 J 线性无关(b) i - 2,2 -3,3 - 4,4 - 儿线性无关(c) ： i： 2, ： 233 mi 线性无关(d) i匕2 *33 -44 -i线性无关11. 若向量可被向量组i2,s线性表示，则()(a)存在一组不全为零的数ki,k2,ks使得2十宀 k22 k s(b)存在一组全为零的数 Ok?,ks 使得- ki ： i k? 2 ks： s(c) 存在一组数 ki, k?,ks使得：二 ki k22 kss(d) 对的表达式唯一12. 下列说法正确的

20、是()(a) 若有不全为零的数ki,k?, , ks，使得kik k0，则：l/2,s线性无关(b) 若有不全为零的数ki, k2, , ks，使得kik k-=0，则l/2, ,s线性无关(c) 若宀2,s线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示(d) 任何n 1个n维向量必线性相关13. 设是向量组：r =(1, 0, 0)T，:2=(0, 1, 0)T的线性组合，则1 =()(a)(0, 3,0)T(b)(2,0,1)T(c)(0, 0,1)T(d)(0,2, 1)T14.设有向量组：1 二 1, -1,2,4T，：J2 0, 3,1, 2T，：3 二 30,7, 14 T，:4

21、一1,-2, 2, 0T，：5 二2,1,5, 10 T，则该向量组的极大线性无关组为()(a)：1,：2,：3(b)：1,：2,： 4(C)：1,：2,：5(d)：1,：2,：4,：515.设二,a2,a3)T ，:(D,b2, b3)T，-* 1 (a1 ,a2)T，-1 = (6 ,匕2 )丁，下列正确的是()但)若:线性相关，则 1, 1也线性相关(b)若：线性无关，贝V宀，S也线性无关;(c) 若,打线性相关，贝V :也线性相关；(d) 以上都不对二、填空题1. 若 1=(1, 1, 1)T , : 2=(1, 2, 3)T , : 3=(1, 3, t)T 线性相关，则 t=2.

22、n维零向量一定线性关。3. 向量：线性无关的充要条件是o4. 若1,2,3 线性相关，则1,2,，: s(S 3)线性,关。5. n维单位向量组一定线性o6. 设向量组冷，2,s的秩为r,则,2,s中任意r个的向量都是它的极大线性无关组。7. 设向量：1 =(1,0,1)T与2 =(1,1, a)T正交，则 a=o8. 正交向量组一定线性o9. 若向量组冷，2, ,s与1, 2,等价，则1,2,s的秩与打，,J的秩10. 若向量组12, r s可由向量组：1, ：2,：t线性表示，则r(12,亠) r( -1, -2,-t) o11. 向量组 M = a1, 1, 0, 0T，:2 = a2,

23、 1, 1, 0T，:3 二 a3, 1, 1, 1 T 的线性关系是o12. 设 n 阶方阵 A -，n ,12 *3,则 A =.113. 设o 1=(0, y,-)T， 2=(x, 0, 0)T，若。和卩是标准正交向量，则x1,2(2)-为何值时,:能由：，2(3)-为何值时,1不能由：1,2.设：1 =(1, 0, 2,3)T，:2=(1,2，1:4 =(1,:3唯一地线性表示?2,3线性表示?1 ,1)T，- 3= (1, h 1 )丁，：3线性表示，但表达式不唯一?1,3, 5)t，: 3=(1， 1，a 2, 1)T，2,4, a 8)t，1 =(1, 1, b 3,5)t 问:

24、29(1)a,b为何值时，不能表示为123,4的线性组合?1厂2厂3,a,b为何值时，：能唯一地表示为匕，：/,：的线性组合?3. 求向量组：1=(1,-1, 0, 4)t，: 2=(2, 1, 5, 6)t，: 3=(1, 2,5, 2)t，4=(1,-1,-2, 0)t，: 5=(3, 0, 7, 14)t 的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。4.设6=(1, 1 1)T，叫=(1, 2 2)T，3=(1 3，t为何值时口严讯线性相关，t为何值时m3线性无关？5.将向量组 1=(1, 2, 0)T，:- 2 =(-1, 0, 2)T，:- 3=(0, 1,2)t 标准

25、正交化。四、证明题1.设：1 二1 * 2, ：2 = 32 一 1, ：3 = 2宀 一2，试证：1, ：2, ：3 线性相关。2. 设1,2, ,n线性无关，证明1心2,2匕3, ,n ：/：1在门为奇数时线性无关；在n为偶数时线性相关。3. 设1,：2，s线性相关，而九2,，s线性无关，证明1能由1, 2, s线性表示且表示式唯一。4. 设1,2,3线性相关，2,3,4线性无关，求证4不能由1,2,3线性表示。5. 证明：向量组：1 2,，s(S_2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合。6. 设向量组1,2,S中1 =0，并且每一个r都不能由前i-1个向量线性 表

26、示(i =2,3,s)，求证：，:七,，：,线性无关。7. 证明：如果向量组中有一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关。8. 设:O 1 2,，s是线性无关向量组，证明向量组0, 0 J,0 *2，,0 *s也线性无关。第三章向量参考答案-、 单项选择1. b 2.d 3.a 4.b 5.b 6.d 7.d 8.a 9.b 1O.c 11.c 12.d 13.a14. b 15. a二、填空题1. 52.相关 3. : -0 4.相关5.无关 6.线性无关7. -118. 无关 9.相等 10. 11线性无关12. 0 13. x=1,y二二V214. 对应分量成比例三、解答题1.解：设 一

27、：=Xv 1 x 2 x 3(/)x1x2x3= 0则对应方程组为X1 (1 )X2x3= 2x1x2(1 r Jx3 :1 + 九 11其系数行列式|A =1H1=人2仏十3)111 + 入(1)当九鼻0,九H -3时，A H 0 ,方程组有唯一解，所以P可由G102。3唯 地线性表示；q 110、广1110、(2)当丸=0时，方程组的增广阵 A =1110T0 0 0 0 ，J 110000jr(A)二r(A) =1 ： 3，方程组有无穷多解，所以一：可由1,2,3线性表示,但表示式不唯一；(3)当 =-3时，方程组的增广阵-21101-21-3A =:1-21-3T0-33-1211-2

28、93 一 =1 *2 * 04, 5 =21 *2 -42 3=t-5,3 t当t=5时123线性相关，当t=5时:123线性无关。5. 解：先正交化:令1 = 1, 2, 0T=ot3,IP：-3,25再单位化:Y严电=1 A oL 电丄Z JLT11 .S .5，22. ,30，30，.30丄丄J3 3 ,.6， ,6，.61, 2, 3为标准正交向量组。四、证明题1证：T 3：1 一：2)-4(2- -305 3. 4-3 =0-1, -2, -3线性相关2.证：设 k1(： 1： 2)k2(： 2： 3) kn(： n ： 1)=0则(k1 knT1 - (k1 - k2)： 2 (k

29、n4 - kn)： n =0厲1,2,n线性无关飞 + kn = 0 J匕 +k2 =0K 4 * kn =010 0 0111 0 00其系数行列式01 1 00= 1+(_1)n4t =丿2, n为奇数Q n为偶数00 0 1000 0 11 当彳n为奇数时,k1, k2,kn只能为零，口 102,n线性无关;当n为偶数时，k1,k2,kn可以不全为零，12,n线性相关。353证：T1,2,二s,:线性相关存在不全为零的数ki,k2,，ks,k使得kr ： r k2 ： 2 亠亠 ks ： s k- = 0若 k = 0，则 kr r - k2J2 亠亠 ks-：is = 0 , ( kr

30、,k2,ks不全零)与1,2 , s线性无关矛盾所以k = 0于是一一匕:能由冷，2, ,s线性表示。设？ nk- k22亠ks飞=1“1 122 亠一lss 则-得(kr -l1b1 (k2 -l2 (ks - ls) s 口T ：-i/-2,Is线性无关 ki -li =0,(i =1,2,s)二kj =l(i =1,2，s)即表示法唯一4证：假设：4能由123线性表示T ： 23, 4线性无关，二2,3线性无关T123线性相关，二1可由：24能由23线性表示，从而2,34线性相关,矛盾I 4不能由1,2,3线性表示。5.证：必要性设向量组：1/2,s线性相关则存在不全为零的数ki,k2,

31、 ,ks,使得i k2 2亠亠ks s = 0不妨设ks = 0，贝U -：iskiks:ik2仏，ksks即至少有一个向量是其余向量的线性组合 充分性设向量组12, ,s中至少有一个向量是其余向量的线性组合不妨设 鳥s : k2壽2亠 亠ksf ksf s八s=0所以1,2,，s线性相关。6. 证：用数学归纳法当s=1时，1=0，线性无关，当s=2时， 2不能由：1线性表示，：2线性无关，设s=i-1时，:12,线性无关则s=i时，假设12,门线性相关，7线性无关，:i可由1,2,/i4线性表示，矛盾，所以12,ri线性无关。得证7证：若向量组12,s中有一部分组线性相关，不妨设1,2, r

32、 ( r0 - k4_讪-k2 2 亠亠 ks-：s = 0因0,二1,二2,，-讥线性无关，k0 + 匕 + k2 + + ks = 0k4 = 0所以*k? = 0解得 k0 = & = k2 二=ks = 0ks =0所以向量组：0, 0 ：1, ：0匕2,，0比s线性无关。第四章 线性方程组一、单项选择题1.设n元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵的秩为r，则AX =0有非零解的充 分必要条件是()(A)r = n(B)r : n(C)r - n(D)r n2 .设A是m n矩阵，则线性方程组AX =b有无穷解的充要条件是()(A)r(A):：: m(B)r(A):：: n(C) r(

33、Ab) =r(A) ： m设A是m n矩阵，非齐次线性方程组 :)(A) AX =b必有无穷多解(C) AX =0必有非零解x-i 2x2 _X3 二 4方程组X2 2x3 = 2.( -2)X3 ( -3)( -4)(，-1)(D) r(Ab) =r(A) ： n-b的导出组为AX =0，若m ： n ,AX(B)(D)AXAX二b必有唯一解=0必有唯一解无解的充分条件是=()49(A) 1(B)2(C)3(D)4x-ix2x3 -1方程组有唯一解的充分条件是)2x? X3 =九一2x3 =丸 一4(一 1)% (一 3)( 1)(A) 1(B)2(C)3(D)4x1 2x2 -x3 一 -

34、16.方程组3x2-x3沁2有无穷解的充分条件是=()X2 -X3 = ( -3)( -4)( -2)(A) 1(B)2(C)3(D)47 .已知2是非齐次线性方程组 AX =b的两个不同的解，12是导出组AX =0的基本解系，k1,k2为任意常数，则AX二b的通解是()(A)X 1 k2(r ： 2)(B)kr 1k2(： 1 -： 2)(C)2(D)28 .设A为m n矩阵，则下列结论正确的是(A) 若AX =0仅有零解，则AX =b有唯一解(B) 若AX =0有非零解，则AX二b有无穷多解(C) 若AX二b有无穷多解，则AX =0仅有零解(D) 若AX =b有无穷多解，则AX =0有非零

35、解9 .设A为m n矩阵，齐次线性方程组AX =0仅有零解的充要条件为()(A)A的列向量线性无关(B)A的列向量线性相关(C)A的行向量线性无关(D)A的行向量线性相关X1X2X3 = 110.线性方程组x1 2x2 3x 0()4x1 7x2 10x3 = 1(A) 无解(B)有唯一解(C)有无穷多解(D)其导出组只有零解、填空题1. 设A为100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量X，均有AX = 0，则A的秩为.kx4 2x2 X3 = 02. 线性方程组* 2洛十収2=0仅有零解的充分必要条件是 .x4 - x2 + x3 = 03. 设Xi,X2l(Xs和Xi 02X2 川CsXs均为非齐次线性