浅析傅立叶级数性质及应用

1、河河 南南 科科 技技 学学 院院 20142014届本科毕业论文（设计）届本科毕业论文（设计） 论文题目：论文题目：浅析傅立叶级数的性质及其应用浅析傅立叶级数的性质及其应用 学生姓名：学生姓名： 郭海山郭海山 所在院（系）：所在院（系）： 数学科学学院数学科学学院 所学专业：所学专业： 数学与应用数学数学与应用数学 导师姓名：导师姓名： 张振亮张振亮 完成时间：完成时间： 2014年年5月月1日日 浅析傅立叶级数的性质及其应用浅析傅立叶级数的性质及其应用 摘要摘要 傅立叶级数理论经历了近两百年的发展后已经成为现代数学的核心研究领 域之一。一方面，它与偏微分方程论、复变函数论、概率论、代数及拓

2、扑等许 多数学分支都有密切关系。另一方面，它是工程技术、经典物理及量子力学等 学科中的重要工具，它在热学、光学、电磁学、医学、空气动力学、仿生学、 生物学等领域都有广泛的应用。傅立叶级数理论的产生是数学发展史上的重大 事件。它的产生彻底平息了关于弦振动问题的争论，同时引领数学分析走向严 格化。傅立叶级数越来越广泛应用在各个学科领域中，也越来越广泛应用到了 实际社会生活的各个领域中。 关键词：傅立叶级数， 运算， 性质， 应用 analysisanalysis thethe propertiesproperties andand applicationapplication 0f0f fouri

3、erfourier seriesseries abstractabstract fourier series theory after nearly two hundred years of development has become one of the core research field of modern mathematics. on the one hand, there are very close relationship between it with theory of partial differential equations, complex function t

4、heory, probability theory, algebraic topology, and many other branchs of mathematics. on the other hand, it is an important tool in classic physics and quantum mechanics, engineering technology, also, it have a wide range of applications in thermodynamics, optics, electromagnetism, medicine, aerodyn

5、amics, bionics, biology and other fields. the generation of fourier series theory is a major event in the history of the development of mathematics. the appearance of fourier series completely settled the argument over of string vibration problem, at the same time, lead to the normalization of mathe

6、matical analysis. fourier series is more and more widely used in various disciplines, and is being more and more widely applied to each field of the actual social life. keyword：fourier series , operation , property , application 目录目录 1.引言.1 2.傅里叶级数的概念及运算性质.1 2.1三角级数和正交函数系.1 2.2以为周期的函数的傅里叶级数.32 2.3任一

7、周期函数的傅里叶级数展开.4 3.傅里叶级数的实际应用.4 3.1傅立叶级数在电工学中应用 .5 3.2傅里叶级数求解伯努利难题的应用.7 3.3傅里叶级数在数字信号上的应用.8 3.4傅立叶级数在求常数项级数的和方面的应用.10 4.结论.13 参考文献.14 致谢.15 1.1.引言引言 傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫傅里叶(1768年 1830年)，他提出任何函数都可以展开为三角级数。三角级数展开思想最早出现 在18世纪初期，它是与弦振动和其它类似物理现象的研究相联系的，可那时人 们并没有给出系统的研究。直到1808年，fourier写出著名著作热的解析理论 后，三角形级数展开才迈出了

8、真正重要的一步。人们最熟悉的简单函数无 1 非两类：幂函数和三角函数。英国数学家taylor在17世纪初找到了用幂函数的 线性组合表示一般函数的方法，即通过taylor展开将函数化成幂级数形式(x)f 。经过理论的完善之后，它很快成为了微分学（乃至整个函数论）的重要工具 之一。 2 本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后,总结并探讨了傅里叶级数在 电工学、概率论、数字信号等方面的实际应用。 2.2.傅里叶级数的概念及运算性质傅里叶级数的概念及运算性质 2.1三角级数和正交函数系三角级数和正交函数系 在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动。最简单的 周期运动，可用正弦函数 （1

9、）sin()yawx 来描写。由（1）所表达的周期运动也称为简谐振动，其中为振幅，为初相a 角，为角频率，于是简谐振动的周期是。较为复杂的周期运动，则y 2 t w 常是几个简谐振动 ， sin() kkk yakwx1,2,nk 的叠加 . (2) 11 sin() nn kkk kk yyakwx 由于简谐振动的周期为，所以函数（2）的周 k y 2 (t) t kw 1,2,nk 期为。t 对无穷多个简谐振动进行叠加就得到函数项级数 (3) 0 1 sin() nn n aanwx 若级数（3）收敛，则它所描述的是更为一般的周期运动现象。对于级数 3 （3），我们只要讨论=1（如果，可用

10、代替）的情形。由于w1w wxx ,sin()sincoscossin nnn nxnxnx 所以 0 1 sin() nn n aanx =. 0 1 (sincosa cossin) nnnn n aanxnx (3) 记， 0 0 2 a a sin nnn aacos nnn ab1,2,n 则级数可写成 (3) , (4) 0 1 (cossin) 2 nn n a anxbnx 它是由三角函数列（也称为三角函数系） (5)1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,sin,xxxxnxnx 所产生的一般形式的三角级数。 容易验证，若三角函数（4）收敛，则它的和一定是一个

11、以为周期的函2 数。 关于三角函数（4）的收敛性有如下定理： 定理1.1 .1 若级数 0 1 () 2 nn n a ab 收敛，则级数（4）在整个数轴上绝对收敛且一致收敛。 为进一步研究三角级数（4）的收敛性，我们先讨论三角函数系（5）具有 哪些特性。 首先容易看出，三角函数系（5）中所有函数具有共同的周期。2 其次，在三角函数系（5）中，任何两个不相同的函数的乘积在上, 的积分都等于零，即 ， （6）cossin0nxdxnxdx ()coscos0(),mxnxdxmn 7 ()sinsin0(),mxnxdxmn 7 （）cossin0mxnxdx 7 而（5）中任何一个函数的平方在

12、上的积分都不等于零，即, ， （） 22 cossinnxnxdxdx 8 （） 2 12dx 8 若两个函数与在上可积，且a,b ，( )0 b x a x dx 则称函数与在上是正交的，由此，三角函数系（5）在上具a,ba,b 有正交性，或称（5）是正交函数系。 2.2以以为周期的函数的傅里叶级数为周期的函数的傅里叶级数2 应用三角函数系（5）的正交性，我们讨论三角级数（4）的和函数与级f 数（4）的系数之间的关系。 0, , nn a ba 定理1.2.1 若在整个数轴上 0 1 (cossin) 2 ( ) nn n a anxbnxf x (9) 且等式右边级数一致收敛，则有如下关系

13、式： ， () 1 ( )cos n f xnxadx 0,1,2,n 10 ， （） 1 ( )sin n bf xnxdx 1,2,.n 10 一般地说，若是以为周期且在上可积的函数，则按公式（10f2, ）计算出的和称为函数（关于三角函数系）的傅里叶系数，以的傅里 n a n bff 叶级数为系数的三角级数（9）称为（关于三角函数系）的傅里叶级数，记作f (12) 0 1 ( ) (cossin) 2 nn n a f xanxbnx 这里记号“”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数。由定理1.2知道： 若（9）式右边的三角级数在整个数轴上一致收敛于其和函数，则此三角级数f 就是的傅里叶级

14、数，即此时（12）式中的记号“”可换为等号。f 例1求的傅里叶级数。 1,x,0 ( ) 0,x0, f x 解 先计算的傅里叶系数。( )f x x y ， 0 1 ( )1af xdx 对1,2,n ， 00 111 ( )coscossin0 n af xnxnxdxnx n dx ， 00 111( 1)1 ( )sinsincos n n bf xnxnxdxnx nn dx 于是得到的傅里叶级数( )f x ( )f x 1 11( 1)1sin 2 n n nx n =。 12sin3sin5sin(2k 1) (sin) 23521 xxx x k 2.3任一周期函数的傅里叶级

15、数展开任一周期函数的傅里叶级数展开 如果的周期为，作变换，则( )f x2t t xt ( )()( ) t tftf x 是定义在上的周期为的函数。由傅里叶级数展开可以得到(,) 2 ， 0 1 ) (cossin) 2 nn n a tantbnt 变量代换 。 0 1 ( ) (cossin) 2 nn n ann f xaxbx tt 傅里叶系数为 ， 11 ( )cos( )cos t n t n atntdtf xxdx tt 0,1,2,n ，。 11 ( )sin( )sin t n t n btntdtf xxdx tt 1,2,n 3.3.傅里叶级数的实际应用傅里叶级数的实

16、际应用 傅里叶级数是数学分析课程中重要的一节，是最基础的环节。随着科学技 术的发展，傅里叶级数的应用越来越广泛。下面就将其应用简单论述。 0 3.1傅立叶级数在傅立叶级数在电电工工学学中中应应用用 由数学分析课程已知，按照傅立叶级数的定义，周期函数可由三角 3 ( )f t 函数的线性组合来表示，若的周期为，角频率，频率，( )f t 1 t 1 1 2 w t 1 1 1 f t 傅立叶级数展开表达式为 01111212111 ( )cos()sin()cos(2)sin(2)cos()sin() nn f taawtbwtawtbwtanwtbnwt 011 1 cos()sin() nn

17、 n aanwtbnwt 由电工学知识可知，一个非正弦周期波可以由直流分量和一系列频率为整 数倍关系的正弦波合成，因此，一个非正弦周期波也可分解为直流分量和一系 列频率为整数倍的正弦波分量，即谐波分量。如上式中就是函数在周期 0 a( )f t 区间内的平均值，亦即直流分量。当为1时，和合成一n 1cos( )an t 1sin( )bn t （角）频率为的正弦分量，称为基波分量，称为基波频率。当大于 2 t n 1时， 和合成一频率为的正弦分量，称为次谐波分量，cos() n an tsin() n bn tnnn 称为次谐波频率。由级数知识知道，凡满足狄里克雷条件的非正弦周期函n 4 数，

18、都可以用傅立叶级数展开，分解为一个直流分量和一系列频率是非正弦周 期函数频率整数倍的正弦波分量，这种过程就称为谐波分析。 例1 某可控硅控制电流中的负载电流为 0 0 0,0, ( ) 5sin, tt i t wt ttt 其中为频率，周期。现设初始导通时间，求在上w 2 t w 0 8 t t ( )i t0, 的傅里叶级数。 解 ， 0 0 25( 22) ( ) 2 t af x dx t 1 0 22 ( )cos t x af xdx tt ，。 2 51(1)1(1)2 coscos 214141 nn nnn (2,3,4,)n 55535 ( ) (22)cos()sin 4

19、448 f xwtwt i 0 t 2 2 51(1)1(1)2 coscoscos 214141 n nn nwt nnn 。 2 2 51(1)1(1)2 sinsinsin 214141 n nn nwt nnn 例2 设交流电的变化规律为,将它转化为直流电的整流过程有两种类( )sine tawt 型： （a ） ()b （1）半波整流（上图） ； 1( ) (sinsin) 2 a f twtwt （2）全波整流（下图） ; 2( ) sinf tawt 现取，试将和在展开成级数。1w 1( ) f x 2( ) fx, fourier 解（1）， 01 12 ( ) a af x

20、dx ， 1 2 12 ( )cos (1) n a af xnxdx n (2,4,6,)n ，； 1 1 ( )cos0 n af xnxdx (1,3,5,)n ， 11 1 ( )sin 2 a bf xxdx ，。 1 1 ( )sin0 n bf xnxdx (2,3,4,)n 。 1 2 1 2cos2 ( ) sin 241 k aaakx f xx k （2） ， 02 14 ( ) a afx dx ， 2 2 14 ( )cos (1) n a afxnxdx n (2,4,6,)n ； 2 1 ( )cos0 n afxnxdx (1,3,5,)n ，。 2 1 ( )

21、sin0 n bfxnxdx (1,2,3,)n 。 2 2 1 24cos2 ( ) sin 241 k aaakx fxx k 3.2傅里叶级数求解伯努利难题的应用傅里叶级数求解伯努利难题的应用 雅各布 伯努利（，1654- bernouli 1705）是瑞士著名的数学家。他对无穷数很有研究，但有一个无穷级数求和却 难倒了他，这个级数是： 2222 1111 1234 伯努利到死也没有求出这个级数的和。后来，大数学家欧拉（，1707-euler 1783）用类似的方法求出了这个级数的和。不过，欧拉的方式虽然很巧妙，但 有其不太严格的地方。欧拉的方法我们就不在赘述。 5 我们用傅里叶级数来计

22、算这个级数的和，考虑建立这样一个周期为的周2 期函数，它在上的表达式为：, ,0, ( ) 0,0. xx f x x 该函数满足收敛定理的条件。现在我们来计算它的傅里叶级数： 2 0 0 11 ( ) 2 x af x dxxdx 0 2 111 ( )coscos(1cos) x n af xnxdxxnxdxnx n 2 2 ,1,3,5, 0,2,4,6. n n n 。 1 0 11( 1) ( )sinsin n n bf xnxdxxnxdx n 将求得的系数代入，我们得到该函数的傅里叶级数的展开式为： 222 2 11111 ( )(coscos3cos5)(sinsin2si

23、n3).(,1, 3, 5,) 413523 f xxxxxxxxxkk 现在我们来考虑的情况：当时，函数0 x 0 x 。 222 2111 ( )0() 4135 f x 整理得：。 222 2 111 1358 现在我们再建立起另一个周期为的函数，令其在上的表达式为2, 。函数在处处连续，满足收敛定理的条件，且 2 ( )f xx 2 ( )f xx()x 处处收敛于。又由于为偶函数，所以其傅里叶系数 2 ( )f xx 2 ( )f xx0 n b ，其他傅里叶系数计算如下：(1,2,3,)n 2 2 0 00 222 ( ) 3 af x dxx dx ， 2 002 224 ( )

24、coscos( 1)n n af xnxdxxnxdx n (1,2,3,)n 把系数代入，我们得到： ， 22 2 2 11 ( )4( coscos2cos3) 323 f xxnxxx ()x 现在我们仍考虑的情况,当时，我们有：0 x 0 x 。 22 2 2 11 ( )04( 1) 323 f xx 整理得：。 22 2 11 1 2312 上面我们已经计算出：，于是根据 222 2 111 2358 ， 22 2 11 1 2312 我们可以轻易地得到：。综合这两个结果，我们就得 222 2 111 24624 到伯努利难题的正确的解：。 222 2 111 1246 3.3傅里

25、叶级数在数字信号上的应用傅里叶级数在数字信号上的应用 对于如周期矩形脉冲信号、对称方波信号、对称三角波性信号等波形， 6,7 它们的函数都可以展开为傅里叶级数的形式，经过简单变换后可写成：()f wt 或的形式，其中，()( )cos() n i f wtr nnwt ()( )sin() n i f wtr nnwt 6,7 ，为非正、余弦项（常数项）。通过变换求出 0 ()()f wtf wtg 0 gmobius 的正交函数族或者 ()f wt()()cos() k m k k f wtimwt m ()()sin() k m k k f wtimwt m ，其 5,6 中，求和表示对每

26、一个中的多个因子求和，是的整数因子（包括1和kmmk ）。可以证明，和是正交的 ，即有k() k f wt()f nwt 7 ，其中，是或的逆变换。 2 1 ()() () kkl wt f lwt f wt d wt ()f nwtcos()wtsin()wt 下面以奇对称方波信号波形为例，（如图1）简单叙述这种变换的() os fwt 实现。 图 1 其中，方波峰值为，正值，负值；脉冲宽度为周期的一半e/ 2e/ 2e ；此为奇函数，故傅里叶展开为正弦级数。的形式为（一个周/ 2t() os fwt 期内） ,0; 22 () ,0. 22 os et t fwt et t 将其展开为傅里

27、叶级数是 8 ， 2 11 2sin (/ 2) ()sin()( ) sin() osos nn en fwtnwtrnnwt n 其中，。而的逆变换，可设 2 2sin (/ 2) ( ) os en rn n sin()wt 6 ， 1 sin()( )() osos n wtin fnwt 那么就有 。 11 sin()( )( ) sin() osos nn wtinrnmnwt 令，就有mnk ， 11 sin()( ) sin()( )( ) sin() ososos nmn kkm k kk wtikwtin rkwt nn 其中，的求和表示对每一个中的多个因子求和，是的( )

28、( ) osos m k k in r n knk 整数因子（包括1和）；由此可得，这样就求出了k( )( ) ososkl m k k in r n sin()wt 按奇对称方波展开的逆变换式：，其正交函数族为sin()( )() osos m k wtin fnwt 6 ：。 ()sin() ososk m k k fimwt m 9 3.4傅立叶级数在求常数项级数的和方面的应用傅立叶级数在求常数项级数的和方面的应用 在高等数学中,求常数项级数的和是一个重要的内容,当一般项是关于 n an 的有理式时,可以将其转化为求幂级数的和函数的问题,这是一个非常有效的方 法,如下例: 例1 求级数的

29、和 1 ( 1)n n n 解 令 ， 1 ( ) n n x f x n 1,1x 则在收敛域连续，在内可导，且( )f x1,1( 1,1) ， 1 1 1 ( ) 1 n n fxx x 两端积分并考虑到得(0)0f ，( )ln(1)f xx 由在的连续性得( )f x1x 。 1 ( 1) ln2 n n n 但上述方法有时会失效 ,如下例 : 例2 求级数的和。 2 1 1 n n 若按照例 1 的思路 ,设 ， 1 ( ) n n x f x n 1,1x 两端求导得： ， 1 1 ( ) n n x fx n 所以 ， 1 ( )ln(1) n n x xfxx n ln(1)

30、 ( ) x fx x 但由于积分 不能用初等函数表示 ln1)x dx x ,故无法求出级数的和。 2 1 1 n n 以下给出应用傅立叶级数求常数项级数的和的思想方法. 10 设函数是定义在上的偶函数，且在 上有连续的二阶导数 ,则( )f x, 0, 的傅立叶级数(即余弦数) 为( )f x ，（其中）， 0 1 ( )cos 2 n n a f xanx 0 2 ( )cos n af xnxdx 由此得： 00 22 ( ) sin( )sin( )sin 0 xx n x af x dnxf xnxfxnxdx nn 0022 22 ( ) cos( )cos( )cos 0 xx

31、x fx dnxfxnxfxnxdx nn ，（） (1) 02 2 ( 1)( )(0)( )cos x nf ffxnx n 1,2,n 下面用傅里叶级数的方法求解例2。 解 为了使含有形如的因子，含满足，可取。这时有 n a 2 1 n ( )f x ( ) 0fx ( )f xx ： 2 2 4 ,21 2 (21)( 1)1 0,2 , n n nk ka n nk (1,2,)k ， 0 0 2 axdx 从而 ， 。 2 1 41 cos(21) 2(21) k xkx k 0,x 特别取，得0 x 。 2 2 1 1 (21)8 k k 据此可推出 。 2 2 1 1 6 n

32、n 另外。将展开成傅里叶级数后用同样的方法也可以求得的和 2 ( )f xx 2 1 1 n n 。 例3 求级数的和。 2 1 1 ( 1) ln(1) (1) n n n 解 令 ， 2 1 ( )( 1) ln(1) (1) n n a g a n 0,1a 由于等号右侧级数在上关于一致收敛，由和的连续性定理知0,1a 11 ( )g a 连续，且，显然所求级数的值为。再由逐项求导定理知( )0g a (1)g 11 ， 1 2 1 1 ( )( 1) (1) n n g a na 0,1a 下面求。与例2的思路相同，选择适当的函数进行傅里叶级数的展开。 ( ) g a 由(1)式得：

33、。 （2） 2 0 22 ( )cos( 1)( )(0) n n n afxnxdxff 为了使得含有形如的因子，试取满足 n a 2 1 na ( )f x ， ( ) ( )fxaf x 解此微分方程得 ， 12 ( )cossinf xcaxcax 从而 ， 12 ( )(sincos)fxacaxcax 为了使(2)式简化，可取 ， ，( )cosf xax ( ) sinfxaax 这时利用（2）式可得 ， 1 2 12 ( 1)sin n n a aa na 而 ， 0 0 22 cossinaaxdxa a 故 。 1 2 1 12sin( 1) cossincos n n a

34、a axaxnx naa 取得：0 x ， 2 1 ( 1)sin1 (1)12 sin n n aa naaaa 即 ， 1sin ( ) 12 sin aa g a aaa 所以 1 0022 1sin211 (1)() 1sin2 sin at aat gdadt atttaa 22 ln()lnlntan 02 t tt ， 22 22 ()tan 2 lnlnln4ln 028 t t t 即得到： 。 2 2 1 1 ( 1) ln(1)ln (1)8 n n n 4.4.结论结论 本文首先由傅里叶级数的概念性质入手，进而又研究了傅里叶级数的 性质运算及其实际应用。傅里叶级数不仅发展完善、理论严谨、方法独特 ，而且广泛应用于各个领域。生活中，很多问题都可以直接或间接地通过 傅里叶级数得到解决，随着经济、科技、等的不断发展，傅里叶级数的应