14达朗贝尔原理

1、理论力学 主主 讲：谭宁讲：谭宁 副教授副教授 办公室：教办公室：教1 1楼北楼北305305 理论力学 理论力学发展简史理论力学发展简史 牛顿力学牛顿力学 达朗贝尔力学达朗贝尔力学 拉格朗日力学拉格朗日力学哈密顿力学哈密顿力学 非完整系统力学非完整系统力学 伯克豪夫力学伯克豪夫力学 理论力学 3 这种解答动力学问题的方法，也称动静法动静法。 引进惯性力惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力， 进而应用静力学方法研究动力学问题 达朗贝尔原理。 1744年，达朗贝尔 发表了著名的动力 学，为非自由质点系 动力学奠定了基础。 让勒朗达朗贝尔 Jean le Rond dAlembert

2、 理论力学 4 学习目标学习目标了解达朗贝尔原理的思想，理解惯性力的物理意义， 会对各种刚体运动的惯性力系进行简化；了解动 反力、中心惯性主轴、静平衡、动平衡的概念； 熟练应用动静法求解非自由质点系动反力问题。 重点：惯性力的概念；刚体平移、定轴转动、平面运 动惯性力系的简化。 难点：惯性力的概念；刚体惯性力系的简化；达朗贝 尔原理的应用。 重点与难点重点与难点 理论力学 5 理论力学 6 质点质点m 的运动，由牛顿第的运动，由牛顿第 二定律：二定律： N FFam 有作移项处理令, I aFm 0FFF IN FI具有力的量纲具有力的量纲, 称为惯性力。称为惯性力。 质点的达朗贝尔原理质点的

3、达朗贝尔原理 m FN F am I F 上式为质点的达朗贝尔原理。上式为质点的达朗贝尔原理。 惯性力及达朗贝尔原理惯性力及达朗贝尔原理 理论力学 7 从形式上看作用在质点上的主动力、从形式上看作用在质点上的主动力、 约束力和虚加惯性力组成了平衡力系，但约束力和虚加惯性力组成了平衡力系，但 这只不过是处理动力学问题的一种方法，这只不过是处理动力学问题的一种方法， 质点并未处于平衡状态！质点并未处于平衡状态！“动静法动静法” 质点运动的每一瞬时，作用于质点运动的每一瞬时，作用于 质点上的主动力、约束反力，以及虚质点上的主动力、约束反力，以及虚 加于该质点上的惯性力在形式上组成加于该质点上的惯性力

4、在形式上组成 一个平衡力系。一个平衡力系。 m FN F am I F 惯性力及达朗贝尔原理惯性力及达朗贝尔原理 质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理 0FFF IN 理论力学 8 惯性力及达朗贝尔原理惯性力及达朗贝尔原理 几点注意：几点注意： 0FFF IN 现在回到现在回到“原理原理”来进一步分析：来进一步分析： IN FFF IN FFF FN=-F-FI，总约束力中除了主动力引起的静约束力外，还有由惯性，总约束力中除了主动力引起的静约束力外，还有由惯性 力引起的动约束力。力引起的动约束力。 理论力学 9 惯性力惯性力FI是虚加在质点上的，对于质点本身，惯性是虚加在质点上的，对于质点本身

5、，惯性 力是假想的。但对施力物体而言力是假想的。但对施力物体而言，这个惯性力又是真实这个惯性力又是真实 的，作用在施力物体上的，作用在施力物体上。 惯性力及达朗贝尔原理惯性力及达朗贝尔原理 几点注意：几点注意： 理论力学 10 例一例一 惯性力及达朗贝尔原理惯性力及达朗贝尔原理 A 理论力学 11 惯性力及达朗贝尔原理惯性力及达朗贝尔原理 理论力学 12 解：当钢球未脱离筒壁时受到的力有：重力、筒壁解：当钢球未脱离筒壁时受到的力有：重力、筒壁 的法向约束力的法向约束力FN和切向约束力，及惯性力和切向约束力，及惯性力FI。 由动静法：由动静法： 当钢球脱离筒壁时当钢球脱离筒壁时,有有 FN =0

6、。 O A P FN F FI 理论力学 13 图示叉车，图示叉车，B为可动为可动 圆轮，叉夹用铰链圆轮，叉夹用铰链C与铅直导与铅直导 杆连接。叉车连同导杆质量为杆连接。叉车连同导杆质量为 1500kg，质心在，质心在G1；叉头连；叉头连 同重物质量为同重物质量为800kg，质心在，质心在 G2。如果叉头向上的加速度。如果叉头向上的加速度 使得后轮使得后轮A的约束力为零，求的约束力为零，求 此时滚轮此时滚轮B的约束力。的约束力。 例二例二 惯性力及达朗贝尔原理惯性力及达朗贝尔原理 理论力学 14 a FI 解解:以系统为研究对象以系统为研究对象,受力如图。受力如图。 E 以叉头同重物为研究对象

7、以叉头同重物为研究对象, 受力如图。受力如图。 B C 惯性力及达朗贝尔原理惯性力及达朗贝尔原理 理论力学 15 利用动静法求解质点动力学问题的解题过程：利用动静法求解质点动力学问题的解题过程： 受力分析，分析质点所受的主动力和约束力；受力分析，分析质点所受的主动力和约束力； 运动分析，分析质点的运动，确定加速度；运动分析，分析质点的运动，确定加速度； 根据达朗贝尔原理，在质点上加上与加速度方向相反的惯性力根据达朗贝尔原理，在质点上加上与加速度方向相反的惯性力 FI-ma 利用静力学中共点力系的平衡条件求解利用静力学中共点力系的平衡条件求解 F+FN+FI=0 惯性力及达朗贝尔原理惯性力及达朗

8、贝尔原理 理论力学 16 该式表明，质点系中每该式表明，质点系中每 个质点上作用的主动力、约个质点上作用的主动力、约 束反力和惯性力在形式上构束反力和惯性力在形式上构 成平衡力系。这就是成平衡力系。这就是质点系质点系 的达朗贝尔原理的达朗贝尔原理。 设有一质点系由设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点个质点组成，对每一个质点i，有，有 ) ,1,2,. ( 0FFF IN ni iii 惯性力及达朗贝尔原理惯性力及达朗贝尔原理 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理 理论力学 17 惯性力及达朗贝尔原理惯性力及达朗贝尔原理 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理 对于整个质点系，所有内力

9、、外力和惯性力组成一对于整个质点系，所有内力、外力和惯性力组成一 平衡力系，根据一般力系的平衡条件，有：平衡力系，根据一般力系的平衡条件，有： 0 I )()( i i i e i FFF 0)(M)(M)(M I )()( iO i iO e iO FFF 理论力学 18 0FM , 0F ii )( )()( iOi 由于质点系的内力由于质点系的内力 得到：得到： 0FMFM 0FF I e I e )()( )( )( iOiO ii 惯性力及达朗贝尔原理惯性力及达朗贝尔原理 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理 作用于质点系上的所有外力与虚加在每个质点上惯性作用于质点系上的所有外力

10、与虚加在每个质点上惯性 力在形式上组成平衡力系，这就是质点系达朗贝尔原理的力在形式上组成平衡力系，这就是质点系达朗贝尔原理的 又一表述。又一表述。 0 I )()( i i i e i FFF 0)(M)(M)(M I )()( iO i iO e iO FFF 理论力学 19 对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质 点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。 惯性力及达朗贝尔原理惯性力及达朗贝尔原理 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理 Ciii MmaaFF IIR 质点系质点系惯性力系

11、惯性力系的的主矢主矢为：为： )( IOIiO MFM 质点系质点系惯性力系惯性力系的的主矩主矩为：为： 理论力学 20 t m t Mm iiCiii d d )( d d I p vaaF t m t m t m t m O iiO iiiiii ii i iO d Ld vM d d vr d d v d d r arFM I )( )()( )()( 另外很显然有另外很显然有 惯性力及达朗贝尔原理惯性力及达朗贝尔原理 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理 理论力学 21 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 惯性力系的简化随刚体运动形式的不同而不同，即与惯性力系的简化随刚体运动形式的不

12、同而不同，即与 刚体的运动形式密切相关。下面就平动刚体、定轴转动刚刚体的运动形式密切相关。下面就平动刚体、定轴转动刚 体和平面运动刚体分别计算它们的惯性力系的简化。体和平面运动刚体分别计算它们的惯性力系的简化。 理论力学 22 Cii mmaaF IR 以以FIR表示惯性力系的主矢，则表示惯性力系的主矢，则 该式对任何质点系做任意运动都成立。该式对任何质点系做任意运动都成立。 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 惯性力系的主矢惯性力系的主矢FIR的大小等于刚体的质量与其质心加速的大小等于刚体的质量与其质心加速 度的乘积，方向与质心加速度的方向相反；与简化中心的位度的乘积，方向与质心加速度的方向相

13、反；与简化中心的位 置无关。置无关。 惯性力系的主矢惯性力系的主矢 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 理论力学 23 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 惯性力系的主矩惯性力系的主矩 1. 1. 平动刚体平动刚体 CC CiiiiiO m mm ar ararM )()( I 若若选质心选质心C为简化中心为简化中心，则，则 rC=0，有： 0 I C M 理论力学 24 结论：刚体作平动时，若取结论：刚体作平动时，若取质心质心C为为简化中心简化中心, ,惯性力系惯性力系 简化为通过质心的一个合力，其大小等于刚体的质量和加简化为通过质心的一个合力，其大小等于刚体的质量和加 速度的乘积，方向与加速度

14、方向相反。即速度的乘积，方向与加速度方向相反。即 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 C maF IR 1. 1. 平动刚体平动刚体 理论力学 25 2 2、定轴转动刚体、定轴转动刚体 如图示定轴转动刚体，考虑质点i，以O 为简化中心。有 切向惯性力切向惯性力 法向惯性力法向惯性力 I aF ii m nn I aF ii m 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 Cii mmaaF IR 惯性力主矢 理论力学 26 iiiiiiii ixixixx zrmzrm MMMM sincos )()()( 2 n I III FFF 则惯性力系对x轴的矩为： 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 iiiii

15、ixi i i i i i i zymzxmM r y r x 2 I sincos 理论力学 27 分别称为对轴y和z、对轴z和x 的惯性积， iiixziiiyz zxmJzymJ令 2 I yzxzx JJM 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 则惯性力系对x 轴的矩为 iiiiiixi zymzxmM 2 I 同理惯性力系对y轴的矩为 2 I xzyzy JJM 理论力学 28 惯性力系对z轴的矩为 FF n I II )()( izizz MMM zii iiiizz iz Jrm rrmMM M ) )( 0)( 2 ( F F t II n I 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 综

16、上所述,惯性力系向转轴上一点O简化的主矩为为 kjiM zyxO MMM IIII 理论力学 29 z 如果刚体有质量对称平面如果刚体有质量对称平面, 且该平面与转轴且该平面与转轴 z 垂直垂直,简化中心简化中心O取取 为为 此平面与转轴的交点此平面与转轴的交点，则有，则有 0 , 0 iiixziiiyz zxmJzymJ 则惯性力系简化的主矩为 zzO JMM II 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 物体关于某个平面左右质量 对称，这个平面为质量对称 面. 质量对称平面 惯性力系向转轴上一点O简化的主矩为 kjiM zyxO MMM IIII 理论力学 30 O C C a 刚体惯性力系简

17、化刚体惯性力系简化 C maFI 则惯性力系向转轴O简化为: OO JM I 当刚体有质量对称平面且绕垂直与此对称平面的轴作定轴转动时: I F MIz 2 2、定轴转动刚体、定轴转动刚体 理论力学 31 刚体作匀速转动，转轴不通过质点刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。 2 IR meF 转轴过质点转轴过质点C，但，但 0，惯性力偶，惯性力偶 C JM I （与反向） 刚体作匀速转动，且转轴过质心，则刚体作匀速转动，且转轴过质心，则 0 , 0 IIR MF 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 理论力学 32 工程中的刚体常具工程中的刚体常具 有质量对称平面，且平有质量对称平面，且平 行于该平

18、面运动。则刚行于该平面运动。则刚 体各点的惯性力组成的体各点的惯性力组成的 空间力系，可简化为在空间力系，可简化为在 该对称平面内。该对称平面内。 3 3、刚体作平面运动、刚体作平面运动（平行于质量对称平面）（平行于质量对称平面） 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 理论力学 33 由运动学知识，我们有由运动学知识，我们有 n iCiCCiCiC aaaaaa 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 仿照前面作类似的推导，得仿照前面作类似的推导，得 到：到： 以质心以质心C为简化中心，惯性力系为简化中心，惯性力系 可简化为可简化为 CC JM I 主矢：主矢： C maFIR 主矩：主矩： 理论力学

19、34 CC JM I 主矢：主矢： C maFIR 主矩：主矩： 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简 化为： 3 3、刚体作平面运动、刚体作平面运动（平行于质量对称平面）（平行于质量对称平面） 理论力学 35 由于刚体的定轴转动是平面运动的特殊情形，因此惯性力系也可向质心 C简化，即有 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 CC JM I C maFIR 惯性力系简化结果必须画在简化中惯性力系简化结果必须画在简化中 心上，与明确的简化中心（如质心心上，与明确的简化中心（如质心C点或点或 转轴转轴O点）相对应。点）相对应。 注意：注意： 理论

20、力学 36 zCC JM * 主矩 C maF * 主矢 Cii mmaaF * )( 主矢 主矩 0 * M 主矢 )aa(aF* n CCC mm z JM * z 对转轴的主矩 综上所述： 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 理论力学 37 均质杆长均质杆长l ,质量质量m, 与水平面铰接与水平面铰接, 杆由与平面成杆由与平面成0角位角位 置静止落下。求开始落下时杆置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及的角加速度及A点支座反力。点支座反力。 例一例一 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 理论力学 38 解：解： 选杆选杆AB为研究对象为研究对象 虚加惯性力系：虚加惯性力系： 3 0 2

21、2 I n I I ml JM maF ml F AA n 根据动静法，有根据动静法，有 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 MIA FIn FI FAn FA 理论力学 39 (3) 02 , 0F (2) 0 , 0 (1) 0 , 0 I0 n I0 n n I0 AA A A MlmgM FmgFF FmgFF /cos)( sin cos 。得代入 得由 得由 4 :(1) ; 2 3 3 ; 2 0 0 0 n cos cos:)( sin:)( mg F l g mgF A A 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 理论力学 40 牵引车的主动轮质量为牵引车的主动轮质量为m，半径为，半

22、径为R，沿水平直线轨道滚，沿水平直线轨道滚 动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 F1、F2及驱及驱 动力偶矩动力偶矩M，车轮对于通过质心，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为并垂直于轮盘的轴的回转半径为 ， 轮与轨道间摩擦系数为轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动 力偶矩力偶矩M 之最大值。之最大值。 例二例二 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 理论力学 41 解：取轮为研究对象，虚加惯解：取轮为研究对象，虚加惯 性力系：性力系： 2 I IC mJM mRm

23、aF CC C O 由动静法，得：由动静法，得： 0 , 0)( 0 , 0 0 , 0 I S 2N IC1S C C y x MRFMM FPFF FFFF F 联立求解得联立求解得 2 1 2 S R FR R FM )(FN= P +F2 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 理论力学 42 要保证车轮不滑动，要保证车轮不滑动， 必须必须 FSf FN = f (P+F2) 则则 Mmax的值为上式右端的值。的值为上式右端的值。 O R FR R FPfM 2 1 2 2 )( 即即 刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化 理论力学 43 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力

24、 如图，以O为简化中心， 所有主动力和惯性力系向该点 简化，形成一空间任意“平衡 力系”。 理论力学 44 00 00 00 00 00 I I I I I yyBxAxy xzAyByx zRzBzAzz yRyByAyy xRxBxAxx MMOBFOAFM MMOAFOBFM FFFFF FFFFF FFFFF 列平衡方程列平衡方程 由上述由上述5 5个方程解得轴承的全约束个方程解得轴承的全约束 反力为反力为 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 理论力学 45 1 1 1 1 II II II II RzBz yxRyxBy xyRxyBx yxRyxAy xyRx

25、yAx FF OAFMOAFM AB F OAFMOAFM AB F OBFMOBFM AB F OBFMOBFM AB F )()( )()( )()( )()( 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 第一项：静反力 第二项：动反力 理论力学 46 注意注意： 动反力的大小一般是静反力的几十倍甚至几百倍大； 动反力的方向也随时在变化。 动反力是非常有害的，它引起机器振动，尤其当机器 变速运动时动反力是不能忽视的； 消除动反力在工程上是一个很重要的课题。 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 下面简单介绍消除动反力的方法。 理论力学 47 要使要使动反力

26、动反力为零，必须有为零，必须有 00 IIII yxyx MMFF 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 1 1 1 1 II II II II RzBz yxRyxBy xyRxyBx yxRyxAy xyRxyAx FF OAFMOAFM AB F OAFMOAFM AB F OBFMOBFM AB F OBFMOBFM AB F )()( )()( )()( )()( 第一项：静反力 第二项：动反力 理论力学 48 结论：刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动约束力的条件结论：刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动约束力的条件 是，转轴通过质心，且刚体对转轴的惯性积等于零。是，转

27、轴通过质心，且刚体对转轴的惯性积等于零。 由前面所得，即有由前面所得，即有 00 00 2 I 2 I II xzyzyyzxzx CyyCxx JJMJJM maFmaF , , 所以，要使惯性力系的主矢等于零，必须所以，要使惯性力系的主矢等于零，必须aC=0，即，即转转 轴通过质心轴通过质心。要使主矩等于零，必须有。要使主矩等于零，必须有 Jxz=Jyz= 0 ，即，即刚体刚体 对转轴对转轴z的惯性积等于零的惯性积等于零。 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 理论力学 49 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 则上述结论可表达为：则上述结论可表达

28、为：避免出现轴承动约束力的条件是刚避免出现轴承动约束力的条件是刚 体的转轴是刚体的中心惯性主轴。体的转轴是刚体的中心惯性主轴。 惯性主轴惯性主轴： 把 Jyz 0和 Jzx 0所对应的 z 轴 称为 “惯性主轴”。 中心惯性主轴中心惯性主轴：若 Jyz 0 Jzx 0 且 xc 0yc 0 ， 即通过质心C 的惯性主轴 z 称为“中心惯性主轴”。 可以证明：惯性主轴对刚体上任一点都可以找到，因此，中心惯性主轴也一定存在！可以证明：惯性主轴对刚体上任一点都可以找到，因此，中心惯性主轴也一定存在！ 理论力学 50 消除动反力的方法消除动反力的方法 工程上为消除动反力（即消除不平衡的惯性力系）常用静

29、平衡与 动平衡两种方法： 实际应用静平衡方法应用的范围是轴向尺寸不大且转速不太高实际应用静平衡方法应用的范围是轴向尺寸不大且转速不太高 的平面型转子的平面型转子, ,如齿轮、飞轮、叶轮、风扇等。如齿轮、飞轮、叶轮、风扇等。 动平衡与静平衡动平衡与静平衡 目的目的：调整转子质心的位置，以使偏心量 e 尽量地小；消除由于偏 心引起的动反力。 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 静平衡静平衡 理论力学 51 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 为检查刚体是否静平衡，通常采用静平衡架，将刚体的转轴放在两个水平 支撑上。若质心在转轴上，则刚体可静止在任何位置随

30、遇平衡。若质心不在 轴线上，刚体就只能静止在质心C最低时的稳定位置上如图。 静平衡的检查静平衡的检查 理论力学 52 目目 的的：通过适当调整质量分布，使得转轴成为中心惯性主轴。 动平衡与静平衡动平衡与静平衡 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 动平衡动平衡 静平衡的刚体转动时，惯性力 的主矢必等于零。因此，如果这刚 体不是动平衡的，那么它的惯性力 只能合成为一个力偶。 理论力学 53 动平衡的检查动平衡的检查 动平衡利用专门的装置（动平衡机）检查。如果在这刚体的适当位置上焊接 （或挖去）一对与转轴上呈斜对称的质量M1和M2。 附加质量以改变整个转子的质量分布，使转轴成为

31、中心惯性主轴。 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 理论力学 54 质量不计的刚轴以角速度质量不计的刚轴以角速度 匀速转动，其上固结着匀速转动，其上固结着 两个质量均为两个质量均为m的小球的小球A和和B。指出在图示各种情况下，哪些。指出在图示各种情况下，哪些 是静平衡的？哪些是动平衡的？是静平衡的？哪些是动平衡的？ 静平衡：（静平衡：（a)、 (b)、 (d)动平衡：动平衡： ( a) 动平衡的刚体一定是静平衡的；而静平衡的刚体不一定是动平衡的。动平衡的刚体一定是静平衡的；而静平衡的刚体不一定是动平衡的。 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 思考思考

32、 理论力学 55 设匀质转子重设匀质转子重 P，质心，质心 C 到转轴的距离是到转轴的距离是 e，转子以，转子以 匀角速度匀角速度 绕水平轴转动，绕水平轴转动， AO = a ，OB = b (图图 a)。假定转轴。假定转轴 与转子的对称平面垂直，求当质心与转子的对称平面垂直，求当质心 C 转到最低位置时轴承所受转到最低位置时轴承所受 的压力。的压力。 b a e z C O B A 例一例一 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 理论力学 56 解解: 解：惯性力合成为作用于点解：惯性力合成为作用于点O 的一个的一个 力力 F IC ，方向沿，方向沿 OC，大小等于，大小

33、等于 2 I e g W F C 当质心当质心 C 转到最低位置时，轴上实际所受的力如图转到最低位置时，轴上实际所受的力如图 b所示。所示。 b a e z C O B A b a e z C O B A ( b ) P F BFA CI F 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 理论力学 57 根据动静法写出动态平衡方程根据动静法写出动态平衡方程 )2(0)()(,0 ) 1 (0)()(,0 I I aFPbaFM baFbFPM CBA ACB 解得解得 P g e ba a FW ba a F P g e ba b FW ba b F CB CA )1 ( )( )

34、1 ( )( 2 I 2 I 两轴承所受的力分别和两轴承所受的力分别和 FA ，FB 的大小相的大小相 等而方向相反。等而方向相反。 b a e z C O B A ( b ) P F BFA CI F 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 理论力学 58 根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的 方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速 度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束 反力。 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。 例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有 多个约束反力时，应

35、用动静法求解它们时就方便得多。 应用举例应用举例 理论力学 59 选取研究对象。选取研究对象。原则与静力学相同。原则与静力学相同。 受力分析。受力分析。画出全部主动力和外约束反力。画出全部主动力和外约束反力。 运动分析。运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。 应用动静法求动力学问题的步骤及要点：应用动静法求动力学问题的步骤及要点： 虚加惯性力。虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正 确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的 简化结

36、果。简化结果。 应用举例应用举例 列动静方程。列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。选取适当的矩心和投影轴。 建立补充方程。建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 求解求知量。求解求知量。 理论力学 60 注意：注意： 为使计算方便，加惯性力时，主矢与主矩的方向在图上最好与加 速度 a 及角加速度反向，而列出的惯性力的表达式只表示大小， 在实际计算时，就按图示方向考虑正负即可。 应用举例应用举例 理论力学 61 质量为质量为m1和和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又 分别绕在半径为分别绕在半径为r1和和r2并装

37、在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对 于转轴于转轴O的转动惯量为的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮 的角加速度。的角加速度。 应用举例应用举例 例一例一 理论力学 62 解：解：取系统为研究对象取系统为研究对象 虚加惯性力和惯性力偶：虚加惯性力和惯性力偶： JJM amFamF OO I 222I111I , 应用举例应用举例 理论力学 63 由动静法：由动静法： 0 0 , 0)( 2221112211 I22I11I2211 Jramramgrmgrm MrFrFgrmgrm M O O F 列补充方程：列补充

38、方程： 代入上式代入上式 2211 , rara g Jrmrm rmrm 2 22 2 11 2211 应用举例应用举例 理论力学 64 如图所示，匀质圆盘的半如图所示，匀质圆盘的半 径为径为r，质量为，质量为m，可绕水，可绕水 平轴平轴O转动。突然剪断绳，转动。突然剪断绳， 求圆盘的角加速度和轴承求圆盘的角加速度和轴承 O处的反力。处的反力。 A B rO C 应用举例应用举例 例二例二 理论力学 65 A B r O C y x C a n C a 惯性力向转轴惯性力向转轴O简化。简化。 应用达朗贝尔原理列平衡方程，得应用达朗贝尔原理列平衡方程，得 主矩主矩 2 2 3 mrJM OO

39、I 0, 0 mgFFF Oyy I 0, 0)( mgrMM OOI F 0, 0 n Oxx FFF I 解：绳子剪断瞬时，圆盘作定轴转动，=0. 应用举例应用举例 主矢主矢0, 2 mrFmrF n II I F n I F mgFF g r OyOx 3 1 , 0 3 2 理论力学 66 当发射卫星实现星箭分离时，打开卫星整流罩的一种方案如当发射卫星实现星箭分离时，打开卫星整流罩的一种方案如 图所示。由释放机构将整流罩缓慢送到图示位置；然后令火箭加速，图所示。由释放机构将整流罩缓慢送到图示位置；然后令火箭加速， 加速度为加速度为a，从而使整流罩外转；当其质心，从而使整流罩外转；当其质

40、心C转到位置转到位置C时，时，O处铰处铰 链自动脱落，使整流罩离开火箭。设整流罩质量为链自动脱落，使整流罩离开火箭。设整流罩质量为m，对轴，对轴O的回转的回转 半径为半径为，质心到轴，质心到轴O的距离为的距离为r。问整流罩脱落时，角速度多大？。问整流罩脱落时，角速度多大？ 应用举例应用举例 例三例三 理论力学 67 解：以整流罩为研究对象，受力如图。解：以整流罩为研究对象，受力如图。 整流罩在打开过程中，作平面运整流罩在打开过程中，作平面运 动，有动，有 应用举例应用举例 理论力学 68 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O 均为均质物

41、体，各重为均为均质物体，各重为P1和和P2，半径均为，半径均为R，绳子不可伸长，绳子不可伸长， 其质量不计，斜面倾角其质量不计，斜面倾角 ，如在鼓轮上作用一常力偶矩，如在鼓轮上作用一常力偶矩M， 试求：试求：(1)鼓轮的角加速度？鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？绳子的拉力？ (3)轴承轴承O处的支处的支 反力？反力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？ 应用举例应用举例 例四例四 理论力学 69 解：用达朗贝尔原理求解解：用达朗贝尔原理求解 取轮取轮O为研究对象，虚加惯性力偶为研究对象，虚加惯性力偶 OOO R g P JM 2 2 I

42、2 1 列出动静方程：列出动静方程： (3) 0 sin0 (2) 0cos0 (1) 0 , 0)( T2 T IT FP , FF F , FF MMRFM yy xx O F 应用举例应用举例 理论力学 70 AA R g P Ma g P F 2 1 IA 1 I 2 1 , 取轮取轮A为研究对象，虚加惯性力为研究对象，虚加惯性力FI 和惯性力偶和惯性力偶MIA如图示。如图示。 应用举例应用举例 列出动静方程：列出动静方程： (5) 0sin , 0 (4) 0sin , 0)( 1SIT ITI1 PFFFF MRFRFRPM x AC F 理论力学 71 运动学关系：运动学关系：

43、， OAOAA RRa 将将MI，FI，MIA及运动学关系代入到及运动学关系代入到(1)和和(4)式并联立式并联立 求解得：求解得： 。 )3( )sin3( , )3( )sin(2 12 21 T 2 12 1 RPP RPMP F g RPP RPM O 应用举例应用举例 理论力学 72 代入代入(2)(2)、(3)(3)、(5)(5)式，得：式，得： 。 )3( )sin( , sin )3( )sin3( , cos )3( )sin3( 12 21 S 2 12 21 12 21 RPP RPMP F P RPP RPMP F RPP RPMP F y x 应用举例应用举例 理论力学 73 （1）引入惯性力的概念后，达朗伯原理使我们得以用静力学平 衡方程的形式来求解动力学问题。它为解决动力学问题带来一定的方 便，尤其是对求非自由质点系的动反力（约束力）问题。 学习方法及注意问题学习方法及注意问题 （2）运用达朗伯原理解题，关键在于计算惯性力。除分析已知力 和约束力外，还要对照质点或刚体的运动形式，加上相应的惯性力及 惯性力偶，作出完整的受力图，然后列出力平衡方程式。 应用举例应用举例 （3）对一般形状的转动刚体，要想使转动轴不承受动反力（附 加动反力），其条件是：转动轴是中心惯性主轴中心惯性主轴。为了消除轴承的动 反力，要求保证转轴是中心惯