阶矩阵二阶矩阵

1、第一讲 二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换 一、二阶矩阵1. 矩阵的概念 OP3某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初赛复赛甲8090乙868880 9086 8823m324简记为23m3 2 4概念一：2 80 90 2 3 m象 的矩形数字 （或字母） 阵列称为 矩阵 . 通常用大写的拉丁字母3 86 88 3 2 4A、B、C 表示，横排叫做矩阵的 行, 竖排叫做矩阵的 列.名称介绍：上述三个矩阵分别是 2 1矩阵， 22矩阵（二阶矩阵） ，23矩阵，注意 行的个数在前 矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A B。向量 a （

2、 x,y ），平面上的点P（ x,y ）都可以看成行矩阵x,y 或列矩阵，在本书中 规定行矩阵：a 11,a 12 （仅有一行）列矩阵：a11（仅有一列）a21x所有的平面向量均写成列向量 的形式。练习 1：x31y1. 已知 AB，若A=B，试求 x, y, z42z22xmnxy2. 设 A，B若 A=B，求 x,y,m,n 的值。y32x ymn概念二：由 4 个数 a,b,c,d 排成的正方形数表 a b 称为二阶矩阵。 a,b,c,d 称为矩阵的元素。cd00零矩阵：所有元素均为 0，即，记为 0。0010二阶单位矩阵： ，记为 E2.01二、二阶矩阵与平面向量的乘法a b x ax

3、 by定义：规定二阶矩阵 A= ，与向量 的乘积为 A ，即 A cdycx dyabxax bycdycx dy练习 21231. （ 1）011121（2）01310x1x2.= ，求12y1y三、二阶矩阵与线性变换1. 旋转变换问题 1: P（x,y ）绕原点逆时针旋转 180o得到 P（x ,y ）, 称 P为 P在此旋转变换作用下的象。 其xxxx 0 yx1 0 x x结果为 ，也可以表示为 ，即 怎么算出 yyy 0 x yy0 1 y y来的？问题 2. P（ x,y ）绕原点逆时针旋转 30o得到 P（x ,y ）, 试完成以下任务写出象 P； 写出 这个旋转变换的方程组形式

4、；写出矩阵形式 .问题 3. 把问题 2中的旋转 30o改为旋转 角，其结果又如何？2. 反射变换定义：把平面上任意一点 P对应到它关于直线 l 的对称点 P的线性变换叫做 关于直线 l 的反射。 研究： P（x,y ）关于 x 轴的反射变换下的象 P（x ,y ） 的坐标公式与二阶矩阵。3. 伸缩变换定义：将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的 k2倍，（ k1 、 k2均不为 0），这样的几何变换为 伸缩变换 。试分别研究以下问题：.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的 伸缩变换 的坐标公式与二阶矩阵 . 定义：将平面上每个点 P 对应到它在直线 l 上的投影 P

5、（即垂足），这个变换称为关于直线 l 的 投影变换。 . 将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2 倍的 伸缩变换 的坐标公式与二阶矩阵.4. 投影变换研究： P（x,y ）在 x 轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。5. 切变变换定义：将每一点 P（x,y ）沿着与 x 轴平行的方向平移 ky个单位，称为平行于 x 轴的切变变换。 将每一点 P（x,y ）沿着与 y 轴平行的方向平移 kx个单位，称为平行于 y 轴的切变变换。 研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。练习： P10 1.2.3.4四、简单应用 1.设矩阵 A= 1 0 ，求点 P（2,2） 在 A所对应

6、的线性变换下的象。01练习： P13 1.2.3.【第一讲 . 作业】1. 关于 x 轴的反射变换对应的二阶矩阵是2. 在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转 120o 的旋转变换对应的二阶矩阵是3. 如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是4. 平面内的一种线性变换使抛物线 y x2 的焦点变为直线 y=x 上的点，则该线性变换对应的二 阶矩阵可以是5. 平面上一点 A先作关于 x轴的反射变换， 得到点 A1, 在把 A1绕原点逆时针旋转 180o，得到点 A2， 若存在一种反射变换同样可以使 A 变为 A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是（ 1， 2）经过平行于 y 轴的切

7、变变换后变为点 P1（1,-5） ，则该切变变换对应的坐标公式为1 x zx27. 设 A ， B 2 ，且 A=B.则 x2x 1 yx2 4 28. 在平面直角坐标系中，关于直线 y=-x 的正投影变换对应的矩阵为9. 在矩阵 A 1210. 已知点 A（ 2， 1）， B1 2，3），则向量 AB 在矩阵 221 对应的线性变换下得到的向量0对应的线性变换作用下，点 P（2,1） 的像的坐标为坐标为11. 向量 a 在矩阵的作用下变为与向量平行的单位向量，则 a 12. 已知 Aa，b 3 ，设4a b ，求 A ， A ；13. 已知 Aax，若 Aa与 A b的夹角为 135o，求 x.114. 一种线性变换对应的矩阵为。若点 A在该线性变换作用下的像为（ 5，5）, 求电10A的坐标；解释该线性变换的几何意义。15. 在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为1 。求点A（ 1/5,3 ）在该变换作用下的像；圆2213. 2/3 14.(5,y) 15.32x2 y2 1上任意一点 P（x0,y0） 在该变换作用下