随机振动简介6讲解

1、第五章 随机振动基础在振动系统中，由于激励或参数的不确定性，振动响应也是不确定性的。 研究不确定性振动的科学叫随机振动。随机振动虽具有不确定性，但仍可利用 统计的方法研究其规律性。研究随机振动实质上是用统计与概率方法了解振动 的内在机理及规律性。随机振动中的样本是随时间变化的，这与概率统计中的样本不同。所以随 机振动理论仅仅是以概率统计方法为基础。本章主要介绍线性系统的随机振动 基本概念和基本理论。将从随机过程的统计特性入手，介绍几种统计量(总体 平均、自相关函数、时间平均、时间自相关函数、功率谱密度函数等)以及如 何用这些统计量来描述随机振动，建立激励与响应统计特征之间的相互联系。 最后介绍

2、了空间谱及与时间谱的转换。5.1 随机过程及统计特征在前面的章节中所讨论的振动，其激励和响应都可以以时间为变量预先准 确描述。但在实际问题中不能以时间为参量预先准确描述的振动是普遍存在的。 比如，运行中列车转向架的振动、地震引起的结构振动、发动机运行时产生的 振动及飞机降落时起落架的振动等。这些振动都无法对既定的时刻 t 预先给出 它们准确的振动情况， 更无法用前面章节中的方法解决。 因此, 这种具有不确定 性的振动过程称作 随机振动 。为了探寻随机振动内在的机理及规律性，通常需要对某一给定的随机振动 反复试验、记录，从而比较分析每一次的试验结果。例如实际生产中统计某一 随机振动每一次试验中振

3、幅的最大值即为最简单的振动分析。若对不确定性振动系统进行振动测试，对每一个测点，每测试一次可得一 条测试曲线 , 测试量可以是广义位移或广义力 , 记为x1(t), 如图 5.1 中第一条曲 线所示。为了消除不确定性影响 , 一般要重复多次 .假设测试工作重复了 n次，可以得到 n条时间位移曲线 xk(t)(k 1,2 , n )，如图 5.1 所示。 xk(t)为随机 变量，是时间 t 的函数，因此叫做一个样本函数。所有可能的样本函数 xk (t) (k 1,2 , n )的集合称为随机过程，记作 X(t) 。x1(t)O x2 (t)Ox3(t)Oxk (t)Ot1t1t1t1t1t1t1

4、 t1图 5.1 随机过程同样地，对道路或铁路不平顺度进行测试时，也可以得一条以空间坐标为 参数的样本函数，多次测量后得到以空间坐标为参数的随机过程。因此，对于不确定性量的每一次试验或测试都可以得到一条曲线，其数值 是关于某些参量(如时间、空间)的随机变量，称作样本函数，每一个样本函 数是不同的。样本函数的本质是随机函数，可以拥有多个参量。对于某一随机 振动问题，可以在相同的情况下重复无限多次试验，每一次试验都用同样的参 量，这些试验的集合构成随机过程。 X(t)随机振动虽具有不确定性，但仍可利用统计的方法研究其规律性。科学试 验中的数值显现即为数据， 研究随机振动问题就是对这些数据进行采集、

5、 整理、 分析和阐释 , 确定一些统计量度以描述随机振动的属性 ,根据分析的结果得出结论。这些工作其本质上都是统计工作。研究随机振动遇到的第一个问题便是如何表征或描述随机振动过程。随机 振动具有不确定性，因此无法用一个振动样本的细节来表征。借鉴概率与统计 理论，通常以其统计特征量来表征随机振动。随机变量统计特征常用分布密度函数来描述描述，而分布密度函数一般由 均值和均方值来描述。对于随机振动，随机变量是时间的函数，因此该随机过 程在 t1 时刻的振动情况可用各个样本在 t1时刻的平均值和方差或均方值来描 述。对于任意时刻 t1 ，用所有样本来求随机过程 X(t)在 t1时刻的总体平均得到x(t

6、 1)EX(t 1)lim 1xk(t 1)n n k 15.1)式( 5.1 )中 x (t )称为随机过程 X(t) 在t1时刻的总体平均值， 简称均值， 也称为数学期望 。均值 x (t1)得到后对随机振动在 t1时刻振动情况已经有初步 的了解。进一步描述随机振动在 t1时刻的振动情况， 可求出随机变量 X (t1)的均 方值及方差，其数学描述如下。5.2)2x(t1)25.3)2 2 1 n 2x2(t1) EX(t1)2 nlim n1k 1xk(t1)2n1x2(t1) E(X(t1) x(t1)2 lnim(xk (t1)n nk 1它们分别对反映了随机变量的波动有效值及波动强弱

7、。至此，随机变量在时刻的波动幅值的期望、有效值及振动强弱等基本情况已描述清楚。在概率统计理论中描述两个随机变量 x、 y的相关程度可用随机变量的协方差 E(x x)(yy) 表示，叫作相关函数。同理 E xy也在一定程度上反映 了随机变量 X、Y的相关程度对随机过程 X (t )各样本xk (t ) ，取任意时刻 t1和t1值构成两个随机变量xk(t1)和 xk(t1 ) ，并对随机过程 X (t)中这各样本的这两个变量值乘积取总体 平均，得到Rx(t1,t1)E X(t 1 ), X(t1)5.4)1nlnim n1 k 1xk(t1)xk(t1)式(5.4 )中 Rx(t1,t1 )称作随

8、机过程 X(t)在t1和 t1 时刻的自相关函数它表示了随机过程 X 不同时刻值随机分布情况的相关程度。特别地，当 0 时：1 n 2 2Rx(t1,t1) EX(t1), X(t1) lnimxk(t1)2x2(t1)(5.5)n n k 1显然，此时自相关函数取极大值。以上应用概率统计的方法， 求出了随机过程某一时刻的总体均值、 均方值、方差的自相关函数，了解了随机振动在某一时刻的统计特征。但任意时刻的统计特征还待进一步讨论。5.2 平稳、各态历经过程及统计特征应用概率统计理论， 我们得到了计算随机变量统计特征公式 ( 5.1)(5.5) 但由于随机变量均为时间的函数，所以得到的统计特征都

9、是时间的函数。由于 不同时间的统计特征不同，要全面了解统计特征，需要对不同时刻进行计算。 其次，统计特征计算足够多的样本，测试工作量很大。随机过程的研究中随时 间变化的样本函数和大量的样本数量这两个基本问题增加了试验和计算分析的 难度。因此，在保留主要因素，忽略次要因素的前提下，需要寻找一种合理、有效的参量简化方法使描述处理方法简单、有效。首先考虑简化时间这个参量。假设随机过程的总体平均x(t 1) 和自相关函数Rx(t1,t1 )等统计量均与时刻 t1无关，这样的随机过程称为 平稳过程 。由这 个假设可知，平稳随机过程的均值为一常量。x(t )x (5.6)而自相关函数仅依赖于时差 而与时刻

10、 t 无关Rx(t ,t) Rx( ) (5.7)满足以上假设随机振动的样本函数的统计特征与时间无关，称为 平稳随机 振动。平稳过程简化使得随机过程统计特征与时间无关，可取样本函数中任意时 刻的值进行总体平均得到统计特征，大大的简化了试验和分析工作量，但概率 统计需要大量的样本以保证分析的准确性。如果随机过程可以用任意一个样本函数在时间序列上求得的平均值及自相 关函数表征，即任选一个样本 xk(t) 在时间序列上求平均值及自相关函数作为总 体平均的结果，这样就可以回避获取大量样本及处理庞大数据问题，从而可以 用一个样本函数代表总体。为此，我们进一步假定平稳随机过程 X(t) 的平均值 及自相关

11、函数各种状态在各个样本中都经历，亦即总体中随机值的分布和样本 中随机值按时间的分布是相同的，从而可以用时间平均代替总体平均。随机过程 X (t)中样本函数 xk (t )的时间平均的数学定义为：1x(k) Tlim T1(5.8)(5.9)T2T xk (t)dt2时间自相关函数 数学定义为：Rx(k, ) Tlim T1 T2Txk(t)xk(t)dt满足时间平均代替总体平均这个假设的随机过程称为各态历经过程(遍历 过程)。从而各态历经过程时间平均就是总体平均，有：x(k)(5.10)Rx (k, ) Rx ( ) (5.11) 对于各态历经随机过程，可以用一个样本函数的统计特征来表征总体统

12、计 特征，使得试验分析时只需要一个有效的样本函数。总体平均和时间平均实质上是对同一事物的不同角度描述。由平稳过程与 各态历经过程定义知 各态历经过程一定是平稳过程，而平稳过程不一定是各态 历经过程 。各态历经过程是定义在时间平均之上，仅当随机过程是各态历经过 程时，时间平均及其他基于时间的统计量才能描述总体的统计特征，这时时间 平均才具有统计意义， 因此若给定的随机过程为平稳过程而不是各态历经过程， 我们只能采用总体平均去研究。当然，无论平稳过程还是各态历经过程都只能在一定近似程度下成立，也 是目前研究随机振动问题比较成熟的手段。它广泛见于一般工程问题中，已经 得到较多的应用。特别指出，一般工

13、程随机振动都可认为是各态历经过程，因 此以后本章所讨论的情形如无特殊说明都为各态历经过程。5.3 各态历经过程的时间域统计特征均值和方差及相关函数随机过程的重要参数，由于各态历经随机过程的统 计特征与样本和时间无关，本节只在时间域讨论它们的统计特征及相互关系。对于随机过程中任意一个样本函数x(t)均值：lim 1 2T x(t )dtT T T2均方值：1TTlim T1 2T2 x(t)2dt标准差：2x2lTim T1 2T x(t )T T Tx 2dtx2x2自相关函数为：Rx ( ) TliT2T x(t)x(t )dt(5.12)(5.13)5.14)(5.15)自相关函数具有以下

14、性质：1) 自相关函数是时差 的偶函数， Rx( ) Rx( ) ；3)4)2) Rx(0) E(X 2) 2 ，时差 为零时的自相关函数就是均方值；Rx( ) Rx(0) ，时差 为零时随机过程的自相关程度最大；lim Rx( ) x2 ，自相关函数为时差 的衰减函数，当 时趋于均值的平方。均方值、方差、均值及自相关函数之间的关系如图 5.3所示。Rx ( )x2 x2 x25)0.00 0.25 0.50 0.75 时间/s300-300-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 时间间隔 /s(b)数函关相(a)图 5.3 样本函数与自相关函数更一般地，设有两个平稳过程 X(t) 和Y

15、(t ) ，它们之间相差时间的互相关函数定义为：Rxy( ) E(X(t )Y(t)lTim T1T2T x(t )y(t)dt2(5.16)Ryx( ) E(Y(t )X(t)lim TT1 2T y(t )x(t)dt2(5.17)式 5.17 中设 t 1 t 可以得到下列式子：1TRyx( ) lTim2T y(t1 - )x(t 1)dt 1(5.18)T T 21TTlim T 2T x(t 1)y(t 1 - )dt1 Rxy(- ) T2所以，一般情况下，互相关函数 Rxy( ) 和Ryx( ) 并不相等，它们之间存在 的关系为 Ryx( ) Rxy(- )5.4 功率谱密度函

16、数相关函数反应了随机变量在时间域内的统计特性，但工程分析中我们同样 关心随机振动在频域内的统计特性，因为它是影响工程结构的直接因素。本节 将主要阐释功率谱函数以及它的物理意义。考虑某一电路两端的电压为 xk (t) 的各态历经过程的随机样本， 样本表达式为：xk (t)(t T)(t T)在上述定义中，把样本扩展到了负半轴。若其电阻 R 1，且电路工作时间无限长，则其随机动样本的平均功率1 T 2 平均功率 limxk(t) Fx ( ) 1dtT 2T T k虽然平均功率从电学上引出，但在力学范畴，功和能一般都可以表达为与 广义力或广义位移的平方成正比的量，所以，对于随机振动，我们也需要用平

17、 均功率来了解其域特征。平均功率从时间域描述功和能，我们还需要从频率域来描述功和能，了解 能量与频率的关系。为了建立时间域和频率域平均功率的关系，我们先介绍 卷 积定理及 Parseval 定理。对于卷积z( ) x(t)y(t )dt(5.19 )对 z( ) 做傅里叶正变换得到z( )1z( )e i dx(t)y(t )dt e i dx(t)y(t )ei (t )e i td(t )dt(5.20)1x(t)e i tdt y(t)ei (t )d(t)22 Fx( )Fy* ( )式中 Fx( )是 x(t)傅里叶变换， Fy*( )是 y(t)的共轭傅里叶变换x(t)e i t

18、dt1Fy*( )21y(t )ei tdtz( ) 和 z( ) 构成了傅氏变换对，根据傅氏变换，有z( ) z( )ei d根据式( 5.19 )、(5.20 )和上式有(5.21)*iz( ) x(t)y(t )dt 2 Fx( )Fy*( )ei d上式即为卷积定理 ，即二个二维连续函数在空间域中的卷积等于它们相应的 二个傅立叶变换乘积的反变换。反之，在频域中的卷积可用它们在空间域中乘积 的傅立叶变换而得。当 x(t) y(t) ，考虑到 Fx( )Fx*( ) Fx2( )，由式( 5.21 )可得2ix(t)x(t )dt 2Fx( ) 2ei d特别地，当 0 时x(t)2dt

19、2Fx( )2 d(5.22)上式即为著名的 Parseval 定理，它表明对于某一给定的随机过程，对其在 时域上求能量和频域上求能量是相等的，是一种能量守恒的表现。根据 Parseval 定理，对于随机过程中的样本 xk(t) ，其平均功率可写为T 1 2 T 2 2平均功率 lTim T 21T xk (t ) 2 dt Tlim T 22T Fk( )2d类比概率密度公式，其中 lim xk (t) 、lim 2 Fk( ) 分别表示功率在时间 T 2T T 2T维度和频率维度上的分布密度。功率在频率维度上的分布密度叫功率谱密度函数 Sxk( ) 。把所有可能样本的功率谱密度函数求总体平

20、均，就得到随机过程的k功率谱密度函数 Sx ( ) 。Sx( ) E Sxk ( ) E Tlim 2 F2xT( )T 2TT xk (t)e i tdtTlim 22T E Fk* ( ) Fk ( )Tlim 22T E 21 T xk(u)ei udu 21TTlim T 4 TT T E xk(t)xk(u) e i (t u)dtdu若 X (t)为平稳过程， E xk(t)xk(u) 只与时间差(t u)有关，从而E xk (t)xk (u) Rx(t u)( , ) 2，坐标变换令 t u, t u ，则坐标变换的雅阁比式为 J (t,u) 1如图 5.4 所示。2TTTTtT

21、( ,2T)( , 2T )( ,2T)2T2T2T( , 2T)图 5.4 积分区域变换Sx( )Tlim 4 Tlim 1T 4 T2T 2T i 122TT 22TT Rx( )ei 12d d2T 1 2TRx( )e i d d 2T x 2T2 2TTlim 4 T2T i 12TRx( )e i 2d .4T(1 2T)5.23)11Rx ( )e i d以上功率谱密度函数是用平稳过程所有可能的样本集合求出来的，适用于 平稳随机过程。然而若随机过程为遍历过程则功率谱密度函数则可以由一个具 有代表性的样本求出。对于各态历经过程 X(t) 的功率谱密度函数 Sx( )与自相关函数 R

22、x( )的傅构成里叶变换对，表示为：1iSx( ) 1Rx( )e i d (5.24)2Rx( )Sx( )ei d (5.25)以上两式傅里叶变换对，称作维纳 -辛钦关系式。式( 5.24 )的积分存在条件为 Rx( ) 绝对可积Rx( )d由于自相关函数具有衰减性，自然满足该条件。为讨论功率谱密度函数与其它统计量的关系，令0，由式(5.15 )和式2T x(t)2dt25.25 )知当 0 时有如下关系Rx(0) limTT(5.26)由以上两式知Sx( )d式( 5.14 )中 x2为 x(t)的均方值，假定 x(t)描述电压，那么 x(t )的均方值 表示耗散在一欧姆电阻中的平均功率

23、。类比数学概率密度公式，式(5.26 )左端可以理解为： Sx( ) 作为概率密度函数，在整个频率范围 对 积 分给出x(t)的平均功率。正是因为以上原因， 我们称 Sx( )为x(t)的功率谱密度 函数。由功率谱密度函数物理意义可知Sx( ) 0随机过程 x(t) 的导数 x(t) 及二阶导数的功率谱密度为：(5.27)Sx ( )Sx ( )4Sx ( )4Sx ( )随机过程 x(t) 的导数过程 x(t)的功率谱密度也称 速度功率谱密度 ；二阶导 数过程的功率谱密度也称作 加速度功率谱密度 ，这里不再证明。随机振动具有不同频率， 它所对应的功率谱密度函数表示不同的频率在振动 中所占的比

24、例，功率谱密度函数是一个连续谱，在随机振动中 Sx( ) 表示振动能 量在各角频率上的分布密度。为了更为直观地讨论功率谱密度函数的物理意义， 下面结合例题进行讨论。 【例 2】设某各态历经过程的某一样本函数为：x(t) sin(400 t) sin(300 t) sin(160 t)由于样本函数由三个正弦函数叠加而成，其时间曲线如图5.5(a)所示。图中除幅值外，很难分辨频率成分。 其功率谱密度函数见图 5.5(b)，图中清晰的显示出现样本函数能量主要集中在 80Hz、150Hz 和 200Hz处0012Bd/谱率功(50 100 150 频率 /Hz (b)200 250x(t)Rx( )S

25、x( )(aO)Rx( )OSx( )OOOt x(t)Ot(b)(a)窄带过程 (b )宽带过程图 5.5 样本函数与功率谱密度函数 根据随机过程功率谱密度函数所包含的频率成分的分布范围大小，可以分 为宽带过程和窄带过程。宽带过程包含的频率成分多，频率在很大一个范围内 变化，最为理想的情况即频率在 ( , )之间平均分布，称作 理想白噪声 ；窄 带过程则频率分布非常有局限，常局限在一定的频率范围内。它们的自相关函 数及功率谱密度函数的图形如图 5.6 所示图 5.6 宽带随机过程与窄带随机过程在理论推导中 圆频率功率谱 较为方便，但在实际的测量中则使用 赫兹频率功率谱 更为方便，记赫兹频率功

26、率谱密度函数为 Sx (f ) , f 为实数且仅为正频率，且 Rx( )为偶函数，且 e i nt cos nt isin nt ，展开后其虚数部分为奇函数，则赫兹频率功率谱密度函数与圆频率功率谱密度函数有如下关系Sx( )ei d Rx( )Sx( f ) cos(2 f )df0由以上两式得：2 Sx( )cos( )dSx( f ) cos( 2 f )df0 4 Sx( ) Sx(f ) cos(2 f )df 0要使上式恒等于零，则必须有(5.28)Sx( f ) 4 Sx ( )上式给出了赫兹单边功率谱与园频率双边谱的关系。相比圆频率功率谱密度函数，赫兹频率功率谱密度函数具有明显

27、的实际意 义。他可以直观地反映出系统激励(或响应)频率，对于结构的振动分析具有 明确的指导意义。因此，在实际中，可以根据需要相互转换功率谱密度函数的 形式，以便于研究、分析。同理对于两个各态历经过程 X(t) 和Y(t) ，它们的互相关功率谱定义为：Sxy( )和 Syx( ) ，且二者是相等，他们也与 互相关函数构成傅氏变换对Sxy( ) 2Rxy( )e d(5.29)Rxy ( )Sxy ( )ei d(5.30)5.5 空间谱上面介绍的功率谱密度函数为时间谱，它以时间坐标作为基本变量。在交 通工程中，道路路面不平顺和铁路轨道不平顺是随空间变化的，要用空间坐标 来描述，由此得到的功率谱叫

28、 空间谱 。由道路路面不平顺的得到的空间谱叫道 路谱，由铁路轨道不平顺得到的空间谱叫轨道谱。道路谱和轨道谱分别为设计 汽车和火车的重要荷载参数。下面介绍空间坐标为基本参量的空间谱，以及它 与时间谱之间的相互转换关系。铁路轨道是机车车辆行驶的基础，两根钢轨引导车轮滚动前行。由于客观 存在的钢轨几何位置误差及钢轨工作面缺陷等轨道不平顺，当列车运行时，这 些轨道不平顺作为激励引起车辆、轨道振动。进行机车车辆和轨道设计时，我 们要考虑轨道不平顺引起的机车车辆和轨道振动特性，这就需要了解轨道不平 顺。轨道不平顺分为轨道方向、高低、轨距不平顺，都以里程为坐标。通过量 测我们可以得到以里程为自变量的随机过程

29、。类比功率谱密度函数，将时间变 量 t 转换为里程坐标 s 就可得到轨道谱。从而时间量周期 T 转换为长度量波长 22，时间频率 转换为波数或空间频率 。因此，轨道谱即为不平 T顺轨面所产生的随机激励的功率谱密度函数，它以里程坐标(空间)作为基本 变量，对于一定的轨道类型(包括设计等级、轨道现状等因素) ，认为其轨道谱 是一定的。以上理论同样适用于公路，相应地公路也有道路谱，只是道路谱只 有高低不平顺一项。假设沿轨道方向的钢轨某项不平顺或道路不平顺 y(s) 是各态历经的随机过 程，设 为路程差，则路面或轨面不平顺对应长度的自相关函数和功率谱密度 函数定义为Ry( ) Ey(s)y(s ) (

30、5.31)Sy( ) 21Ry( )e i d (5.32)前者反映了轨面或路面某项不平顺在沿里程方向上的不平顺幅值的统计特 征，后者了不平顺波长的统计特征，从两个方面揭示了道路不平顺和轨道不平顺 的统计特性。道路谱和轨道谱都是在公路或轨道上实测不平顺测量方法 , 然后按路的等级 分别整理并拟合成经验公式供使用。 例如我国 I 级铁路轨道高低不平顺功率谱 ( 波 长范围为 1m 到 100m)推荐公式为：s(f) 2.775 10 3f 2 0.8879f 4 2.254 10 2 f 2 9.61 10 7(mm2/( 周/m)(5.33)我国道路谱 Sy(k) 的经验公式为：(5.34)S

31、y (k)k其中n 1.5 2， 则根据不同等级的路面不平度做出规定。道路谱或轨道谱可以表征一种类型路面或轨面的不平顺度，直观地反映出 该类型路面或轨面不平顺度在各个波长范围内能量的分布密度。车辆工程在设 计车辆时以车辆主要面向的道路谱或轨道谱为依据，避开路面或轨面激励能量 较大的频率范围， 从而解决车辆路面共振问题， 提高舒适度和车辆寿命。 此外， 在铁路方面，轨道谱也可以作为火车提速、轨道设计的参考依据。s vt道路谱与轨道谱以里程为基本参数，而振动分析时基本参数为时间，为了 振动应用及分析方便，常将空间谱与时间谱进行转换。对于以里程为参数的道 路谱及轨道谱，转换是通过路程与时间的关系。比

32、较成熟的是假设机车、车辆 以匀速 v 行驶，则路程或里程有关系：5.35)为了不增加难度，这里不考虑行驶的初始位置。从而里程差vt, 不平顺样本函数和时间函数的转换为5.36)y(s) y(vt) y(t)vT机车、车辆的行驶通过一个波长 不平顺所用的时间就是时间周期 T，显然波 长与时间周期的关系为。5.37)同样的，空间频率与时间频率关系为：5.38)空间功率谱函数同时间功率谱函数的转换关系如下式路面与轨面不平顺对机车、车辆激励的统计特征与行驶速度有关。下表给 出了时间与空间域时随机变量对比表。表 1 时域量与空域量对比随机变量周期频率圆频率ytTsf 1 Hz T2 f rad /sys

33、m1fs1/m2 fs rad /mSy( ) 21 - R( )e-i d( )iiR( )ed( )R( )e i d2Sy( )5.39)5.6 单自由度系统随机振动前面已经得到了由样本函数求其统计特征的方法，对于线性时不变系统， 若激励是各态历经的，则响应也是各态历经的；我们本可以先计算出响应，然 后计算响应的各统计特征值。本节及后节我们将建立激励的统计特征、系统动 力学参数和响应的统计特征之间的关系，此后，激励的统计特征和系统的动力 参数已知时，我们可以直接得出响应的统计特征；有时，知道激励的统计特征 和响应的统计特征可以求出系统的动力参数，这类问题称作系统识别或参数识 别。前面对随

34、机振动在时间域的统计特征分析方法已经作了较多介绍，本节和 下节主要从频域介绍动力响应的统计特征与输入的统计特征以及系统动力特性 的关系。由第二章我们知道对于单自由度系统其振动微分方程为：mx cx kx f (t)(5.40 )这里我们假定其激励 f(t) 是随机的并且是各态历经过程， 因此响应 x(t )也是随机的。为此，我们来建立随机振动分析方法和理论。系统响应 x(t) 可用第二章的知识得到。这里用杜哈梅积分表达为(见第二章)：x(t) f ( )h(t )d f (t )h( )d (5.41)由于 f (t )为各态历经过程，则响应 x(t) 也为各态历经过程。可以用本章前 面的知识

35、对其统计特性进行计算分析。(1) 均值 由均值的定义，均值可用下式中的任何一个等式求得。x Ex(t) E f (t )h( )d (5.42 )由第二章式传递函数与单位脉冲响应的关系。 ，H( ) e i h( )d(5.43 )代入 (5.42) 得：x E f (t )H (0)若 f(t) 为各态历经过程，E f (t ) E f (t) f(5.44 )于是：x H (0) f(5.45 )即，响应的均值等于激励均值乘以一个常数 H (0)。(2) 自功率谱由功率谱密度函数定义及式( 5.24 )，系统响应的 自功率谱 为：1Sx ( ) 1 Rx ( )e i d2由相关函数的定义

36、知系统响应的自相关函数为Rx( ) Ex(t)x(t )E f(t 1)h( 1)d 1 f (t2)h( 2)d 2h( 1)h( 2)E f(t 1)f (t 2)d 1d 2 h( 1) Rf ( 2 1)h( 2)d 2d 1代入：Sx( ) 1h( 1) Rf (2 1)h( 2)d 2d 1e i d1h( 1)Rf (2 1)e i ( 2 1)ei 1e i 2 d( 2 1)h( 2)d 2d 1iih( 1)Sf() ei1e i2h( 2)d 2d 1从而Sx( ) H()Sf ( )H( )(5.46)h( 1)ei1d 1Sf () h( 2)e i 2d2由复变函数

37、知 H( ) H * ( )是复频响应函数 H( )的共轭。则上式也可以写成：2Sx( ) H( ) 2Sf( )(5.47)激励自功率谱 Sf ( ) 知道后，乘以系统的传递函数应自功率谱 Sx( ) 。3) 互功率谱系统激励与响应的 互功率谱 为1Sfx( ) 1 Ryx( )e i d2由相关函数的定义知系统激励与响应的互相关函数为Rfx( ) E f(t)x(t )E f(t) f (t )h( )d E f(t)f (t )h( )dkRf ()h( )d代入：Sfx( ) 1H( ) 平方便可以得到响(5.48)(5.49)Rf()h( )d e i d21Rf ()e i ( )

38、d( ) e i h( )d(5.50)注意到上式中第一部分积分即为激励的自谱 Sf ( ) ，可得 :Sfx ( ) H( )Sf ( )激励自谱 Sf ( ) 与系统传递函数 H( )相乘便可以求出激励与响应的互功率 谱 Sfx( ) 。例一 求响应功率谱图 5.7 所示为车辆在不平的道路上行驶时振动分析简化模型。设车辆质量m 1000kg ，悬挂的刚度 k=350kN/m ，阻尼比为0.5，车速为 v=100km/h，道路谱 Sy( ) ，求系统响应的功率谱y(s)s vt图 5.7 车辆在不平顺道路行驶简化模型根据第二章例四，其它振动微分方程为：mx c(x y) k(x y) 0整理

39、得：mx cx kx cy ky当 y 系统的输入时，系统的传递函数为：k icH( ) 2k m ic2( k ic )( k m ic )(km 2ic)( k m2 ic )2 2 2 2 3kmkcicmH( )(k 2 mk 2 c2 2)2 (cm 3)2(k m 2)2 c 2 2H( )2 2 2 2 2 3 2 ( k mk c ) ( cm )代入数据并画出 H( ) 如图 5.8所示，图 5.8 传递函数模的平方道路谱 Sy( ) 转换为时间谱为：11Sy( ) v1 Sy( ) v1 Sy( v )v20. 8879( k m 2 )2 c 2 2v29. 61 10

40、7424 2. 254 10 24v2v 0. 8879v 34 2. 254 10 2 2v 2 9. 61 10 7v 4将 H( ) 和Sy( )代入公式( 5.47)中即可求出Sx( )H( ) Sy ( )5.51)从公式(5.51)和图 5.8 可知，响应的功率谱为激励功率谱与传递函数模的 平方的乘积，由于传递函数模的平方局部大于 1 或者小于 1，所以，激励的功 率谱局部被放大或缩小得到响应的功率谱。激励的功率谱和响应的功率谱如图 5.9 所示。图 5.9 输入功率谱与输出功率谱5.7 多自由度系统随机振动多自由度系统对随机激励的响应理论是单自由度系统对随机激励的响应 理论的推广

41、，从本质上讲它们是一致的。设 n 自由度线性系统受到 m 个各态历经激励( m n )，则系统的激励与响 应之间除了具有像单自由度系统一一对应的关系外，还会相互影响。在第 j 坐 标的激励 Pj (t)下引起第 i 坐标的响应 xi(t)的脉冲响应函数和传递函数分别为 hij (t)和 Hij ( ) 。它们之间的相互关系构成脉冲响应矩阵和传递函数矩阵。h(t) hij (t)H(t) Hij ( )类似单自由度系统，在矩阵表达方式下，它们有如下关系：H(t) h( ) e i dh(t) H( ) ei d2面即以结合实例的方式来推导多自由度系统的随机振动现考虑图 5.10 所示多输入多自由

42、度系统x1x2图 5.10 多自由度系统其中 P1、 P2为各态历经过程，求该系统对随机激励的响应 按第三章理论，上述系统运动微分方程为：P15.52)m1 0 x1k1 k2k2x10 m2x2 k2k2k3x2式( 5.52 )写做矩阵形式为M xKxP下面用矩阵形式进行推导。 (1)相关矩阵 2 自由度系统的相关矩阵由 2 2维矩阵组成。 它们是各自由度响应的自相关 函数和互相关函数。5.53)Rxx( ) Rx1x1 ( ) Rx1x2 ( )xxRx2x1( ) Rx2x2 ( )则以矩阵关系表示相关矩阵可写为5.54)Rxx( ) E x(t) x(t ) T 将式( 5.54)中 x(t)、xT(t )以杜哈梅积分表示得RXX( ) E h( 1) P(t 1)d 1 P(t 2) T h( 2) Td 2 (5.55) 类