考研讲义数三经济部分

1、第十三 章 微积分 在经济 学中的经济 应用 （数三） 考试要求 1. 掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。 2. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。 3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。 4. 会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。 一、.极限及级数在经济学中的应用 （一）复利： 设某银行年利率为r,初始存款为 A元， （1） 一年支付一次利息（称为年复利），则t年后在银行的存款余额为 A = A 1 r （2） 若一年支付n次，则t年后在银行的存款余额为 A = A0（1 -）nt tn 5 n （3） 由于lim （1 r）rrt -ert，所以

2、当每年支付次数趋于无穷时，t年后得到的存款 nTn 余额为a二A）e 称为t年后按连续复利计算得到的存款余额。 （二）将来值与现值： 上述结论中，称 At是Ao的将来值，而 Ao是At的现值。现值与将来值的关系为： At =人（1 川 =Ao = A（1 门丄或 A = Ao（1 r亍=Ao = A（1 r） 例1现购买一栋别墅价值 300万元，若首付50万元,以后分期付款,每年付款数目相同 10年付清， 年利率为6%,按连续复利计算，问每年应付款多少？ 例2 (08)设银行存款的年利率为 r = 0.05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款 A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取 28

3、万元，第n年提取(10+9n)万元, 并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？ 8 .经济学中的常用函数 需求函数： Q =Q(P),通常Q =Q(P)是P的减函数； 供给函数： Q二Q(P),通常Q二Q(P)是P的增函数； 成本函数： C(Q)Ci(Q),其中C=C(0)为固定成本，G(Q)为可变成本; 收益函数： R 二 PQ; 利润函数： L(Q) = R(Q) -C(Q). 例1某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p和Q,销售量分别 为qi和q2 ,需求函数分别为q 2 02p! , q 10 -0.05卩2，总成本函数为 C =35 40(qi q2)，试问：

4、厂家如何确定两个市场的售价 ,能使其获得的总利润最大？最 大的总利润为多少？ 例2( 99)设生产某种产品必须投入两种要素,Xi和X2分别为两种要素的投入量,Q为 产出量；若生产函数为Q =2xFx2：,其中:/为正常数，且:- =1,假设两种要素的价 格分别为pi和P2试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？ 解 需要在产出量2xx/ =12的条件下,求总费用PiXi P2X2的最小值,为此作拉格朗 日函数 F (x-i, x2, J = p1x1 p2x2 (12-2刈x2J . (1) 由(1)和 (2),得 =p2 _2；X1X2=0, cX2 兰=12-2x$

5、x2P = 0. 6(即)嚳厂；因驻点唯一 且实际问题存在最小值，故当 X1珂釜)6(十厂时，投入总费用最小 .利用导数求解经济应用问题 (一)、边际量: 当某经济量y = y(x)的自变量x增加一个单位时经济量的改变量称为该经济量的 边际量，如边际成本、 边际收益、边际利润等,由于y(x 1y(xp y(x),且对于大数而言,一个单位可以 看成是微小的，习惯 上将y (x)视为y =y(x)的边际量. 1、定义：设y二f x或y二f x,t，则称dy或卫为y关于x的边际函数。 dxex 2、 经济学含义：dy表示自变量x增加一个单位时经济量 y x的改变量。 dx (二)、弹性函数： dy

6、1、 定义：设某经济量y = y(x)，称r =岂 一y =仝3为y二y(x)的弹性函数。 Ex dx x y dx 2、经济学含义：当自变量x增加1%时，经济量y=y(x)增加(时)或减小( 0); dR (II) 推导 Q(1-Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时, dP 降低价格反而使收益增加 例5(12)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000(万元)，设该企 业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和 y (件)，且固定两种产品的边际成本分别 x 为20 2(万元/件)与 6y (万元/件). (I) 求生产甲乙两种产品的总成本函数.(万元

7、). (II) 当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本 (III) 求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。 例6 (09)设某产品的需求量函数为 Q=Q(P),其对价格P的弹性；p=0.2,则当需 求量为10000件时，价格增加1元，会使产品收益增加 元 例7已知某商品的需求量 x对价格p的弹性r -3p3,而市场对该产品的最大需求量 为1 (万件),求需求量函数 例8设生产某产品的固定成本为10,当产量为X时的边际成本为 2 MC =3x -20 x -40,边际收益为 MR =10 x 32.试求 (1)总利润函数；(2)使

8、总利润最大的产量 例9设产品的需求函数为 Q =Q( p)，收益函数R = pQ，其中p为产品价格，Q为需 求量(产品的产量)，Q(p)是单调减少函数。如果当价格为p0对应产量为Q。时，边际收 亠dR 益_ dQ Q% =a 0，收益对价格的边际效应 dR dp p二P0 - c：、0。需求对价格的弹性为 Ep 二b 1，求 p0，Q0。 四、差分方程及其在经济学中的应用 （一）、差分与差分方程的概念及性质 定义：若记y =y（t）为 ,则称差y.-yt为函数乂的一阶差分，记为 浊二yt t-yt ； 含有yt .1, yt或Uyt的 等式叫一阶差分方程。 定理：线性差分方程的性质： 1、 若

9、丫 =丫 t为线性齐次差分方程 yt i p t yt = O的解，则通解y = cY t ； 2、 若y”为线性非齐次差分方程 yt t pt y t = f t的一个特解，y =cY t为对应 的 线性齐次差分方程 yt d p t y 0的通解，则y二cY y”为yt p t y f t的 通解。 3、若yi 为yt ipt % =fit的特解，y2为 ytp t % = f? t 的特解， 贝Vy/ y/ 为yt 1p tfitf?t的特解。 4、若yi,y2均为yt i pt y f t的解，则 1 % y?为ytp t y广的解；g壯）仍为 yt p t y f t的解。 2 （二

10、）一阶线性常系数差分方程的解法 1、 一阶线性常系数齐次差分方程yt j -ayt =0的解法： 特征方程：r - a =0,特征值：r = a,通解：yt = Cat. 2、 一阶线性常系数非齐次差分方程yt * - ayt = f （t）的解法： 9 方程的通解为yCat yt，其中为原非齐次方程的特解。当f (t) = Pm(t)dt时, 设特解形式为 * kt y =t Qm(t)d ,其中 k y；可用待定系数法求之: 11 (三八典型例题 例1 (01,1)某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元，若以 Wt表示第t年的工资总额(单位：百万元),则Wt满足的差分方程是 . 例2 (98)差分方程2yt i 10yt 5t =0的通解为 例3差分方程yt彳-2yt = 3t的通解为 例4 (97)差分方程 y