自动控制原理-题库--线性系统根轨迹-习题

1、4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函 数。(1) $2+cs + c + l = O,以c为可变参数。(2) (s + l) + A(7k + l) = 0,分别以A和丁为可变参数。(3) 1+鱼-G(y) = O,分别以紡、K八T和攸为可变参数。_S TS + 4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为亠、K(3s + 1)G(s)=5(25 + 1)试用解析法绘出开环增益K从Otp变化时的闭环根轨迹图。4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定

2、 分离点坐标)。(1) G(s)=5(0.25 + 1)(0.55 + 1)(2)注铝心总將4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求算 出起始角)。(1) G(s) =K(s + 2)5(5 + 1 + J2)G + 1 J2)G (沪5(5 + 10+ 710)(5 + 10-;10)4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为G(s) =K(s + z)5绘出7；=0, K从Otf变化时系统的根轨迹图。 在(1)的根轨迹图上，求出满足闭环极点阻尼比 = 0.707的K的值。(5+ 10)(5+ 20)试确定闭环产生纯虚根)1的z值和K值。4-6已知系统的

3、开环传递函数为G(s)HG) =K( + 2)(52 +4s+9)2试概略绘出闭环根轨迹图。4-7设反馈控制系统中GG) =s(s +2)($+ 5)(1) 设H(s) = l,概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性(2) 设77(5) = 1 + 25,试判断H(s)改变后的系统稳定性，研究由于H(s)改变所产生的 影响。4-8试绘出下列多项式的根轨迹(1) s固定K等于(2)中得到的数值，绘制7；从Ot+r变化时的根轨迹图。 + 2s2+3s + Ks + 2K=0(2) Y + 3F + (K + 2)s + 10K = 04-9两控制系统如下图所示，试问：(1) 两系统的根轨迹是否

4、相同如不同，指出不同之处。(2) 两系统的闭环传递函数是否相同如不同，指出不同之处。(3) 两系统的阶跃响应是否相同如不同，指出不同之处。4-10设系统的开环传递函数为 如=2+1)件+1)（4）从（3）的根轨迹中.求出临界阻尼的闭环极点及相应的7；的值。4-11系统如下图所示，试（1）绘制0 = 0的根轨迹图。（2）绘制K、=5, K2=2时，0从Otrd变化时的根轨迹图。（3）应用根轨迹的幅值条件，求（2）中闭环极点为临界阻尼时的的值。（1）绘制全根轨迹。（2）求使闭环系统阻尼比= 0.707时的K的取值。4-13对于第二章例的磁悬浮试验模型的例子，静态工作点附近被控对象的传递函数描述为G

5、(s) =一4451 2 3-1785（1）试确定反馈的极性和比例微分控制器（1 + rs）的参数，使闭环系统稳定，闭环极点 的阻尼比=0.707,无阻尼自然振荡频率血”=10。（2）试绘制r0,知0两参数变化时系统的根轨迹族。4-12单位反馈系统如下图所示。K(2-s) $($ + d)G($) =4-14设系统开环传递函数如下，试画出b从零变到无穷时的根轨迹图。(1) G(s) =20(5+ 4)(5 + /?)（2） S 需4-15设单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s) =疋(17)s(s + 2)试绘出其根轨迹图，并求出使系统产生重实根和纯虚根的值。4-16设控制系统开环传递函数为

6、G(s)=心+ 1)51 2(5+ 2)(5+ 4)试分别画出正反馈系统和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定情况有何不同4-17系统如下图所示G(s) =K$(s + l)(s + 2)（1）绘制K从Ot+s变化时闭环系统的根轨迹。（2）确定使闭环系统稳定的K的取值范围。（3）为使闭环系统的调节时间rv = 10秒（按误差带 = 5%计算），求K的取值。 解：（1）根轨迹方程为S(S + 1)(5 + 2)1、有三条分支，起始于开环极点“1=0, p2 =-1, 3=-2，终止于无穷远处;2、实轴上的根轨迹区段为：（-CO-2, 0,-1；3、渐近线与实轴交点为()+(-1) +(-2)=

7、_1 ，夹角为“3-0=60 ,180 ,-60 ；“3-04、由G(s)H(5) = 0 得分离点满足 350vKv6时，闭环系统稳定。3 5 按r5 = = 10得主导极点的实部一：=-035,系统的闭环特征方程为3s(s +1)(5 + 2) + K = s + 3s2 +2s + K = (s 儿)(s )(s 归)式中23为系统的3个闭环特征根，设S2=-Gj叫为闭环共觇主导极点，显然有S _ $2 _ $3 = 2 歹 $3=3这样得到片=一23。根据模值条件，53 = -2.3时的根轨迹增益F =K =卜3卜3 +1| 卜3 +2| = 2.3xl.3x0.3 = 0.8974-

8、19已知某单位负反馈系统的开环传递函数为 +6$ + 2 = 0 ,解为 = -0.42 , s2 = -1.58ds(舍去，因为它不在根轨迹上)，必对应得F值为加=厉($|+1)($|+2)| =。5、与虚轴的交点，将l+G(jo)H(jco) = 0实虚部分开有-co + 2。= 0一3/+&=0=0,Q =0解出 v = 1.41W = 6(Dy =-1.41,k = 6根轨迹图如下图所示。G($)=K(s + 5)s(s + 2)2(1)绘制根轨迹简图;(2) 求闭环系统出现重根时的K值；(3) 求使得闭环系统稳定且工作在欠阻尼状态的K的取值范围。解：(1)开环零点石=一5,开环极点“

9、I =0, “2 =卩3 =一2 , m = 1 7? = 3 o系统有三条根轨迹分支，起始于极点/人、“2和“3，条终止于零点Z,两条趋于无穷远零点。%实轴上根轨迹区域为(-5,0) o渐进线与实轴的交点为b -(Pi + “2 + 必)一石= + (-2) + (-2)-(-5) =05n- m3 -1夹角为夠= (2衍)=砒2,3兀/2n 一 m在Pi与P?间的实轴上存在一个分离点，分离点的坐标满足111111一Z 一门 d - p2 d_3即2小+15 + 10 = 0得 6/12 =-0.74,-6.76 (舍去)。系统的特征方程为s(s + 2)2 + K($ + 5) = 0,根

10、轨迹与虚轴的交点满足jco(jco+2- + K(je + 5) = 0即5K -4iy2 +(Ke-e +4力)j = 0分别令实部和虚部等于篆有5K 4q2 =o和Kco-ct/= 解得K = 16, 67=4.47 .根轨迹如下图。(2)根轨迹的分离点处出现重根，根据模值条件有|-0.815-0|-0.815 + 2|2|-0.815 + 5|=0.274(3)当K取值为(0.274, 16)时，闭环系统稳定且工作在欠阻尼状态。4-20设单位反馈系统的开环传递函数为、KG(s)=5(r5 + l)(7 + l)式中K = 2, T = , r0为变化参数。(1) 试绘制参数丁变化时，闭环

11、系统的根轨迹图，给出系统为稳定时z的取值范围。(2) 求使一3成为一个闭环极点时旷的取值。(3) r取(2)中给出的值时，求系统其余的两个闭环极点，并据此计算系统的调节时间(按 5%误差计算)和超调量。解：(1)系统的待征方程为S(TS + 1)(75 + 1) + K = S(TS + 1)(5 + 1) + 2 = F53 + T52 + 52 + 5 + 2 = 0等效的开环传递函数为5=晋时訣F绘制根轨迹如下图。/1.32-1-0.5-厶.32图中根轨迹与虚轴的交点可从系统为临界稳定的条件 r+1 = 2r得到r = lo t = 1时系统的特征方程为s3 + 2s2 +s + 2 =

12、 (s + 2)(52 +1) = 0得与虚轴交点的坐标为jco = j.从根轨迹得到系统稳定的旷的取值范围为0 vrvl。(2) 一3成为一个闭环极点时，从根轨迹的模值条件有十件3 + 1|(-3)2+(-3) + 2|4得 t = - = 0.444 o9(3) t = 0.444时，系统的另外两个闭环根从特征方程r +52 +-52 +-5 + - = 53 +52 +-52 +-5 + - =(5 + 3)(52 +-5 + -) = 0t t T44244求出为-025;1.218,显然它是系统的主导极点。系统的调节时间和超调量分别为t. = 28$0.125-警F YxO25b% = gkxlOO% = 0河 xl00% = a 妬 x 100% = e x 100% = 72.5% 4-21系统如下图所示。试绘制系统的根轨迹，并写求出当闭环共馳复数极点的阻尼比 =0.707时，系统的单位阶跃响应的表达式。 K5(0.255 + 1)(0.55 + 1)0.55 + 1（1）设a = 2,绘制K从变化时系统的根轨迹，确定系统无超调时的K的取值， 确定系统临界稳定时的K的取值。（2）设K = 2,绘制从Otp 变化时系统的根轨迹，确定系统闭环