空间几何中的向量方法讲解

1、直线、平面、简单几何体空间距离1 理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念2 会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法对异面直线的距离 只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算七种距离 知识点归纳1 点到平面的距离： 已知点 P是平面 外的任意一点，过点 P作 PA ，垂足为 A， 则 PA 唯一，则 PA是点 P 到平面 的距离即 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离 结论：连结平面 外一点 P 与 内一点所得的线段中，垂线段 PA最短2 异面直线的公垂线： 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂 线3公垂线唯一

2、： 任意两条异面直线有且只有一条公垂线 4两条异面直线的公垂线段： 两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分， 叫做两条异面直线的公垂线段；5公垂线段最短： 两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的 线段中最短的一条；6两条异面直线的距离： 两条异面直线的公垂线段的长度说明：两条异面直线的距离 AB即为直线 a 到平面 的距离即两条异面直线的 距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离 7 直线到与它平行平面的距离： 一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离 , 叫做这条直线到平面的距离 （ 转化为点面距离 ） 8两个平行平面的公垂线、公垂线段： （1）两个平面

3、的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公第 1 页 （共 24 页）2019 年 5 月 1 日星期三垂线（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段3）两个平行平面的公垂线段都相等4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长9两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离10七种距离 ：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直 线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到 平面的距离有时用“体积法”来

4、求10 用向量法求距离的公式：AB n异面直线 a,b之间的距离： d ，其中 n a,n b,A a,B b|n|AB n直线 a与平面 之间的距离： d ，其中 A a,B n 是平面 的法向量|n|AB n两平行平面 , 之间的距离： d ，其中 A ,B n 是平面 的法向量|n|AB n点 A到平面 的距离： d ，其中 B ，n 是平面 的法向量 另法：点 A(x0,y0,z0),平面 Ax By Cz D 0 则 d |Ax0 2By0 2Cz0 2 D|A2 B2 C 2点 A 到直线 a 的距离：ABd |AB|2 AB a2，其中 B a ，a是直线 a 的方向向量两平行直

5、线 a,b 之间的距离：|a|d其中 A a,B b ，a是 a的方向向量例 1 设 A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,），D（,4,8），求 D到平面 ABC 的距离第 2 页 （共 24 页）2019 年 5 月 1 日星期三解法一：A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,），D（,4,8）， AD （ 7, 7,7） 设平面 ABC 的法向量 n=（x，y，z），则n AB =0， nAC =0，(x, y,z) (2, 2,1) 0,(x, y,z) (4,0,6) 0,2x 2y z4x 6z 03x z,2 y z.令 z=2，则 n=3，2，2）AD nd

6、|n|由点到平的距离公式|3 ( 7) 2 ( 7) 2 7| 49= 17 = 1749 1732 22 ( 2)2点 D 到平面 ABC 的距离为49 1717解法二：设平面 ABC 的方程为： Ax By Cz D 0将 A （ 2,3,1 ）， B （ 4,1,2 ）， C （ 6,3, ） 的 坐 标 代 入 ， 得取 B2，则平面 ABC的法向量 n=（A,B,C）= （3，2，2） 又因为 AD （ 7, 7,7） 由点到平面的距离公式：AD nd |n|3 ( 7) 2 ( 7) 2 7| 49 49 1732 22 ( 2)2 17 172A 3B C D 0A 3B24A

7、B 2C D 0C B ，6A 3B 7C D 0D 5B点 D 到平面 ABC 的距离为 49 1717点评： 求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的第 3 页 （共 24 页）2019 年 5 月 1 日星期三法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量 n的坐标（两种方法 ），再求出已知点 P 与平面内任一点 M 构成的向量 MP 的坐标，那么 P 到平面的距离 d=|MP |cosn，MP MP n|n|例2如图所求，已知四边形 ABCD、EADM 和MDCF 都是边长为 a 的正方形，点P、Q分别是 ED 和AC的中点求：（1）PM 与 FQ 所成的角；2）P 点到平

8、面 EFB 的距离；3）异面直线 PM 与 FQ 的距离解：建立空间直角坐标系，则 D（0，0，0）、 A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、Ea，0，a）、F0，a，a），a则由中点坐标公式得 P（ 2 ， 0，aa2 ）、Q（ 2 ，a2 ， 0)a1) PM =( 2 ，a0， 2 ），FQ=(a22 a ），PM FQ =(a2 )aa2+0+2（ a） = 3a2，4且|PM |= 22a，|FQ |=6a2cos PM ， FQ 32a4|PM |FQ | 2 6 aa 2232故得两向量所成的角为1502）设 n =（x，y，z）是平面 EFB

9、的法向量，即 |n |=1， n平面 EFB， nEF ，n BE又 EF =（ a，a，0），EB =（0，a， a），即有ax ay 0x y z ，ay az 0第 4 页 （共 24 页）2019 年 5 月 1 日星期三取 x 1 ，则 n (1,1,1)aa PE =( 2 ， 0， 2 )3）设 m=（x1， y1，z1）PE n 设所求距离为 d，则 d PE n = 3 a |n| 3是两异面直线的公垂线的方向向量， 设所求距离为 d，则 da a），则由 PM =（ 2 ，0， 2 ），FQ =（aax1z1 0得 2 2x1 z1y1aax1y1 az1 022距离而 M

10、F =（ 0，a，0）设所求距离为 m，则mF m = 3a=a|m| 3例 3 已知正方体 ABCD-A 1B1C1D1 的棱长为 1，求异面直线 BD 与 B1C 的分析：虽然此题中没有给出表示两异面直线距离的线段，但是容易建立直 角坐标系，使它变为坐标系下的异面直线距离的问题，还是属于考试范围的问 题解：建立空间直角坐标系（如图），则 B（0，0，0）， C（1，0，0）， D（1，1，0） B1（0，0，1），则 BD (1,1,0), B1C1 (1,0, 1),BB1 (0,0,1)设与 BD,B1C都垂直的向量为 n （x,y,z），则由 BD n x y 0 和 B1C n x

11、 z 0,令 x 1,得 y 1,z 1， n (1, 1,1)异面直线 BD 与 B1C 的距离：d BB1 |cos BB1,n | |BB1xCn| 1 333B1A1D1BAC1Dz小结：第 5 页 （共 24 页）2019 年 5 月 1 日星期三取 y1 1，则 m (1, 1,1)1 用向量求点到平面的距离的步骤为： 先确定平面的法向量， 再求该点与平 面内一点的连线在法向量上的射影长即得也就是若 n 是平面 的法向量， P0为平面内的一点，则点 P 到平面 的距离为：PP0 n d PP0 |cos PP0,n | 0 0 n2 求异面直线的距离方法很多， 但考纲仅要求会求图中

12、已给出表示异面直线 间距离的线段，或在空间直角坐标系下的异面直线的距离，对于第一类问题要 先找出这条线段，证明它是所求距离，然后求之；第二类问题的求解步骤是： 先求出与两异面直线都垂直的一个向量，然后再求异面直线上两点连线在这个 向量上的射影的长，即若 n是与异面直线 a,b 都垂直的向量，点 E a,F b，则异面直线与之间的距离：d EF cos| EF,n第 6 页 （共 24 页）2019 年 5 月 1 日星期三A13B11C9D7案：B解析：作 PO于点 O，连结 OA、OB、 OC，PA=PB=PC， OA=OB=OCO 是ABC 的外心OA= AB = 15 =5 32sin

13、BCA 2 sin120PO= PA2 OA2 =11 为所求选 B3 在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 是 AA1 的中点，则点 A1 到平面 MBD 的距离是A 6 a B 3aC 3a3 6 4解析： A到面 MBD 的距离由等积变形可得D 66 a答案：DVA MBD =VB AMD易求 d= 664平面内的 MON=60，PO 是的斜线，PO=3，POM=PON=4A 3B 3 3 C 3D 3423A解析：cosPOM=cosPOHcosMOH，那么点 P 到平面 的距离是23 cosPOHcosPOH=sinPOH=答案：23PH=PO sinPOH=3

14、1 = 35正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，E是 CC1的中点，则 E到A1B的距B 26 aC 25 a2离是3A 33 a案：D解析：连结A1E、BE，过E作 EHA1B于 H，在 A1BE 中易求 EH=3 2 a4第 7 页 （共 24 页）2019 年 5 月 1 日星期三6A、B是直线 l 上的两点， AB=4，ACl 于 A，BDl 于 B，AC=BD=3，又AC 与 BD 成 60的角，则 C、D 两点间的距离是 答案： 5 或 43解析： CD= 32 32 42 327设 PA RtABC所在的平面 ，BAC=90，PB、PC分别与成 45和 30角， PA=

15、2，则 PA 与 BC 的距离是 ；点 P 到 BC 的距离是答案： 3 7 解析：作 ADBC 于点 D， PA面 ABC， PAADAD 是 PA与 BC 的公垂线易得 AB=2， AC=2 3 ，BC=4， AD= 3 ，连结 PD， 则 PDBC， P到 BC的距离 PD= 78 已知 l1、l2 是两条异面直线， 、 是三个互相平行的平面， l1、l2 分别交、于 A、B、C和 D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又 l1与 成 30角，则 与的距离是 ；DE=答案： 6 25解析：由直线与平面所成角的定义及平行平面距离定义易得 与间距离 为6由面面平行的性质定理可得AB

16、= DEBC = EFAB = DE ，即 4 =DE DE=25AB BC DE EF 4 12 109已知正方体 ABCDA1B1C1D1的边长为 a，E、F 分别是棱 A1B1、CD 的中点（1）证明：截面 C1EAF平面 ABC1（2）求点 B到截面 C1EAF 的距离（1）证明：连结 EF、AC1和 BC1，易知四边形 EB1CF 是平行四边形，从而第 8 页 （共 24 页）2019 年 5 月 1 日星期三EFB1C，直线 B1CBC1 且 B1CAB，则直线 B1C平面 ABC1，得 EF平面ABC1 而 EF 平面 C1EAF，得平面 C1EAF平面 ABC1（2）解：在平面

17、 ABC1内，过 B 作 BH，使 BHAC1，H 为垂足，则 BH 的长就是点 B 到平面 C1EAF 的距离， 在直角三角形中， BH= AB BC1 =a 2a = 6aAC13a 3另法：建立坐标系 （略 ）10已知直线 l 上有两定点 A、B，线段 ACl，BDl，AC=BD=a 且 AC 与 BD 成 120角，求 AB与 CD 间的距离解法一：在面 ABC内过 B作 BEl 于 B，且 BE=AC，则 ABEC 为矩形ABCEAB平面 CDE则 AB 与 CD 的距离即为 B 到 DE 的距离过 B 作 BFDE 于 F，易求 BF= 1a2解法二：建系如图，则 A（0，0，b）

18、，C（ 1a， 3 a，a），D（a，0，0）， 设 AB 与 CD 的公垂线的一个方向向量 n=（ x，y，z），利用 n AB =0， n CD =0，求出 n，则 d=|n BD|=1a|n| 2第 9 页 （共 24 页）2019 年 5 月 1 日星期三空间向量与立体几何测试题一、选择题1空间的一个基底 a， b，c 所确定平面的个数为（ ）答案：1个 2 个 3个4 个以上2已知 A（1，2， 1）关于面 xOy的对称点为 B，而B关于 x轴的对称点为 C，则 BC （） （0，4，2） （0， 4， 2） （0，4，0） （2，0， 2）答案：3已知向量 a （x1，y1， z1

19、 ）， b （x2，y2，z2 ） ，若 a b，设 a b R，则a b与x轴夹角的余弦值为（ x1 x2R x2 x1Rx1 x2 (x1 x2)R答案：4若向量MA，MB，MC的起点与终点 M，A，B，C 互不重合且无三点共线， O 是空间任一点，则能使 MA，MB，MC 成为空间一组基底的关系是（ MA MB111 OM OA OB OC3312 OM OA OB OC33 MA 2MB MC答案：5正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1， E是A1B1的中点，则 E是平面 ABC1D1的距离是（）第 10 页 （共 24 页）2019 年 5 月 1 日星期三 3 2 1 3

20、 答案： 2 2 2 36一条长为 a 的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是 45和 30，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是（） a2 a32a22a3答案：7若向量 a与b的夹角为 60，b 4，（a 2b）（a 3b）72，则a （ ） 24 612答案：8设 p 是60的二面角l 内一点， PA 平面 ，PA 平面 ，A，B为垂足， PA 4，PB 2，则 AB 的长为（ ） 4 2 2 3 2 5 2 7 答案：9ABCD为正方形， P为平面 ABCD 外一点，PD AD，PD AD 2，二面角 P AD C 为60，则 P到 AB的距离为（

21、） 2 2 32 7答案：10已知 p （x，y，z），q （a，b，c）（xyz 0，abc 0） ，若有等式 （x2 y2 z2）（a2 b2 c2） （ax by cz）2 成立，则 p，q之间的关系是（）平行 垂直 相交 以上都可能 答案：11已知平面 与 所成二面角为 80， P为 ， 外一定点，过点 P一条直线与 ， 所成的角都是 30，则这样的直线有且仅有（）1条2 条3条4条答案：AB 2BC 2CD 4 ，点 P 为12如图 1，梯形 ABCD中， ABCD ，且 AB 平面 ，内一动点，且 APB DPC，则 P点的轨迹为（ ）第 11 页 （共 24 页）2019 年 5

22、 月 1 日星期三直线 圆椭圆双曲线答案：二、填空题 13已知 a （1 t，1 t，t），b （2，t，t），则 b a的最小值是 答案： 35514在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，向量 BA1 与向量 AC 所成的角 为答案： 12015如图 2，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，已知 AB 1，D 在棱 BB1上，且 BD 1，若AD与平面 AA1C1C 所成的角为 ，则 sin答案： 64 必存在平面 过m且与l 垂直； 必存在平面 与 m， l 都垂直；16已知 m，l 是异面直线，那么：必存在平面 过m且与l平行； 必存在平面 与m，l 距离都相等其中正确

23、命题的序 号是 答案： 三、解答题 17设空间两个不同的单位向量 a （x，y1，0）， b （x2，y2，0）与向量 c （1，1，1）的夹角都等于 4 解：1）由 ac6a ccos4 2 ，且 ac x1 y1， x1 y162又ax12y121， (x1y1)2x21y212x1y1 12 x132y1 x1 y1614）同理可得 x2 y2，x2 y2，24261 x1，y1是方程 x2 2 x 4 0 的两根，同理 x2， y2也是第 12 页 （共 24 页）2019 年 5 月 1 日星期三又a b， x1 y2，x2 y1cos a，b a bab1ab x1x2 y1y2

24、x1y1 x2y2， a， b 6018如图 3，已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AA1 2，底面 ABCD是直角梯形，ADC是直角， ABCD，AB 4，AD 2， DC 1，求异面直线 BC1与DC 所成角的大小解：以 D为原点， DA，DC，DD1所在直线分别为 x轴， y 轴，z轴建立空间直角坐标系 D xyz，则 C1（0，1，2）， B（2，4，0）， A（0，1，0） BC1 （ 2， 3，2） ， CD （0， 1，0） BC1CD 3 17 BC1 CD设 BC1 与 CD 所成角为 ，则 cos17arccos3 17173 17异面直线 BC1与 DC所成角

25、的大小为 arccos 1719如图 4，在长方体 ABCD A1B1C1 D1 中， AD AA1AB 2 ，点 E 在棱 AB 上移动，问 AE 等于何值时，二面角D1 EC D 的大小为 4解：设 AE x ，以 D 为原点，直线 DA， DC， DD1所在直线分别为 x，y， z轴建立空间直角坐标系，则 A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0）， A（1，0，0）， C（0，2，0） CE （1，x 2，0），D1C （0，2， 1），DD1（0，0，1）设平面 D1EC 的法向量为 n （a，b，c） ，nD1C 0， 2b c 0， 由 nnCDE1C 002ab

26、bc（x 02） 0，第 13 页 （共 24 页）2019 年 5 月 1 日星期三令 b 1，c 2，a 2 x n （2 x，1，2） 22 x 2 3 （ x 2 3不合题意，舍去） AE 2 3 20如图 5 所示的多面体是由底面为 ABCD的长方体被截面 AEC1F 所截而得到的，其中 AB 4，BC 2，CC1 3，BE 1 （ 1）求 BF ；（ 2）求点 C 到平面 AEC1F 的距离解：（ 1）以 D为原点， DAF，DC，DF 所在直线为 x轴， y轴， z 轴建立空间直角坐标系 D xyz，D（0，0，0）， B（2，4，0，） A（2，0，0）， C（0，4，0），

27、E（2，4，1），C1（0，4，3），设 F （0，0，z） 由 AF EC1，得 （ 2，0，z） （ 2，0，2） ，z 2 F （0，0，2），BF （ 2， 4，2） BF 2 62）设 n1为平面 AEC1F 的法向量，n1 （x，y，1） ，由n1AE0，n1AF 0，4y 1 0， 得 2x 2 0x 1，1y4又 CC1 （0，0，3）设 CC1与n1的夹角为 ，则 cos第 14 页 （共 24 页）CC1n1CC1 n4 33332019 年 5 月 1 日星期三 C 到平面 AEC1F 的距离 dcos4 331121如图 6，在三棱锥 P ABC中， AB BC ， O

28、， D分别是 AC，PC的中点， OP 底面 ABC（1）求证： OD平面 PAB ；ABBCkPA，12）当 k 12 时，求直线 PA 与平面 PBC所成角的大小；3）当 k为何值时， O在平面 PBC 内的射影恰好为 PBC的重心？解：（ 1）证明： OP 平面 ABC，OA OC，AB BC ，OA OB，OA OP，OB OP 以 O为原点，建立如图所示空间直角坐标系 O xyz222a，0，0， B 0， a，0， Ca，0，0222设 AB a ，则 A设 OP h ，则 P（0，0，h） D为PC的中点， OD2a，0，1 h 4 2 PA 221 ODPA2O D P ，AO

29、D平面 PAB 2)k 1，即 PA 2a，2 PA22a，0，21030可求得平面 PBC 的法向量 n 1， 1， 17 cos PA，n7设PA与平面 PBC 所成的角为 ，PA与平面 PBC 所成的角为arcsin 21030则 sin210303) PBC的重心G 62 a，62 a，13 h ，OG6 a，6 a，3h第 15 页 （共 24 页）2019 年 5 月 1 日星期三2OG 平面 PBC ，又PB0， 2a，h，OGPB 1a21h20又PB0，2 a，h， 63 PAOA2 h2 a ，即 k 1反之，当 k 1时，三棱锥 O PBC 为正三棱锥O 在平面 PBC内

30、的射影为 PBC的重心若 a (a1，a2， a3)，b (b1，b2，22如图 7，已知向量 OA a，OB b，OC c ，可构成空间向量的一个基底，b3），c （c1， c2， c3） ，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算 a b （a2b3 a3b2，a3b1 a1b3，a1b2 a2b1） ，显然a b的结果仍为一 向量，记作 p （ 1）求证：向量 p为平面 OAB 的法向量；（ 2）求证：以 OA，OB为边的平行四边形 OADB 的面积等于 a b；3）将四边形OADB按向量 OC c平移，得到一个平行六面体 OADB CA1D1B1，试判断平行六面体的体积 V 与 （

31、a b）c 的大小解：(1) pa (a2b3 a3b2)a1 (a3b1 a1b3 )a2 (a1b2 a2b1)a3 0 ， p a ，同理 p b p 是平面 OAB 的法向量2则Sbaa b ab ab22(ab)2sin a b 12）设平行四边形 OADB的面积为 S，OA与OB 的夹角为 ，OA OB si又 （a b） c a b c cos a b， c a b c sin ， V （a b）c 解：（ 1）证明： OP 平面 ABC，OA OC，AB BC ， OA OB，OA OP，OB OP 以 O为原点，建立如图所示空间直角坐标系 O xyz设 AB a ，Aa，0，

32、0 ， B 0， a，0 ， C22a，0，0设OP h，则 P （0，0， h） D为 PC的中点， OD4 242a，0，1h PA2a，0， h ，2OD 12PAODPA，OD平面 PAB2）k 21，即 PA 2a ，h2a，PA2a，0，72a22nPA PA n可求得平面 PBC 的法向量 n1， 1，设PA与平面 PBC 所成的角为 ，则 sincos PA，n32010 n 21030210 PA与平面 PBC 所成的角为 arcsin 30G2a， 2 a，1h（3） PBC的重心 G6 a，6 a，3hOG 平面 PBC ， OG PB PB 0， 2a， h2 OGPB

33、 1a2 1h2 063h 2 aha2 PAOA2 h2 a ，即 k 1反之，当 k 1时，三棱锥 O PBC 为正三棱锥第 17 页 （共 24 页）2019 年 5 月 1 日星期三O 在平面 PBC内的射影为 PBC的重心23. 如下图，直棱柱 ABCA1B1C1的底面ABC 中，CA=CB=1，BCA=90 棱 AA1=2，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点.1y（1）求 BN 的长；（2）求异面直线 BA 与 1CB1 的余弦值；（3）求证： A1BC1M.解法】：ACBC,CC 1面ABC ， 可以建立如图所示的坐标系（ 1）依题意得 B（0， 1，0），N（1，0，1）

34、，BN = （1 0）2 （0 1）2 （1 0）2 = 3 .高考资源网（2）A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），BA1 =（1,-1,2）， CB1 =（0，1，2）， BA1 CB1 =3， BA1 = 6， CB1= 5.BA1 CB130cos BA1 ， CB1 = 1 1 = .|BA1 |CB1 | 10所以，异面直线 BA与 1CB1的余弦值为 3010（3）证明： C1（0，0，2），M（12， 12 ，2），高考资源网A1B =（-1,1,-2） ， C1M =（ 1 ， 1 ，0），A1B C1M =0，A1BC1M.22【点评】

35、底面有直角的直棱柱适合建立坐标系的条件，可以用两点间的距离公 式，数量积的夹角公式，用坐标法求点点距、向量夹角特别注意异面直线角的 范围（0, 2 ,而向量角的范围为 0,高考第 18 页 （共 24 页）2019 年 5 月 1 日星期三变式与拓展】在三棱锥 S ABC 中， BC= 13 ，SB= 29 .（1）求证： SCBC；（2）求 SC与AB所成角的余弦值 . 解法一】：如下图，取 A 为原点，AB 、AS 分别为 y、z 轴建立空间直角坐标系，则有 AC=2，BC= 13 ，SB= 29 ，得 B（0， 17 ，0）、S（0，0，2 3 ）、C（2 13，174，17，0），SC

36、147 ， 2 3 ）， CB =（ 2 1173 ，1317，0）1）SC CB =0，SCBC.2）设 SC与AB所成的角为 ，AB =（0，17 ，0）， SC AB =4， | SC| AB|=4 17，cos =1717即为所求 . 高考资源网解法二】：（1）SA面ABC，ACBC，AC是斜线 SC在平面 ABC内的射影，SCBC.2）如下图，过点 C作 CDAB，过点 A作 AD BC交 CD于点 D，连结 SD、第 19 页 （共 24 页）2019 年 5 月 1 日星期三SC，则 SCD为异面直线 SC与 AB所成的角. 四边形 ABCD是平行四边形，CD= 17 ，SA=2

37、 3，SD= SA2 AD2 = 12 13 =5，在 SDC中，由余弦定理得 cos SCD= 1177 ，即为所求 .24.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， 侧棱PD 底面 ABCD ， PD DC，E是 PC的中点， 作EF PB交PB 于点F.（1 ）证明 PA平面 EDB ；（2）证明 PB 平面 EFD ；（3）求二面角 C-PB-D 的大小 解法】：如图所示建立空间直角坐标系， D为坐标原点 .设DC a.证明：连结 AC，AC 交BD于G.连结 EG.aa依题意得 A(a,0,0), P(0,0, a), E(0, 2 , 2)底面 ABCD 是正方

38、形， G 是此正方形的中心，a aaa故点 G 的坐标为 ( , ,0) 且 PA (a,0, a),EG (a,0, a).2 222PA 2EG. 这表明 PAEG .而 EG 平面 EDB 且 PA 平面PA平面 EDB 。证明：依题意得 B（a,a,0）, PB （a,a, a）aa又 DE (0, 2a , a2 ), 故PB DE , 由已知 EF PB ，且 EF DE E,所以 PB 平面 EFD.a2 a2PB DE 0 022(3)解：设点 F的坐标为 ( x0, y0, z0), PFPB,则(x0, y0, z0 a) (a,a, a)x, 0FE ( x0,a y ,

39、a z ) 0( a,(1 )a,( 0 1)a).2 2 2 2y 所 ( a 以1第 20 页 （共 24 页）2019 年 5 月 1 日星期三2 1 2 1 2由 条 件 EF PB 知 ， PE PB 0 即 a2 (12 )a2 ( 12)a2 0, 解 得点 F 的坐标为 (a3,a3,23aa a a a), 且 FE ( a3,a6, a6),FD ( 3a, 3a2 a2 2a2PB FD 3 3 30,即 PB FD ，a a 2a3).故 EFD 是二面角 C PB D 的平面角 .2 2 2 aaaPE FD 9 18PE 9 36 36 6a2 a2 a2 6a,a

40、2 a2 4a2 6a9 9 9 3cosEFD FE.FD|FE |FD | 6 a. 6 a 2 6 a. 3 aEFD3所以，二面角 CPC D 的大小为点评】考查空间向量数量积及其坐标表示，运用向量数量积判断向量的共线与垂直，用向量证明线线、线面、面面的垂直与平行关系。【变式与拓展】如图，已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P， E、F 分别是 AB、PC 的中点(1)求证： EF平面PAD；(2)求证： EFCD；(3)若 PDA45 ，求 EF与平面 ABCD 所成的角 证明：如图，建立空间直角坐标系 A xyz， 设 AB2a，BC2b，PA2c，则：A(0, 0, 0)，B(2

41、a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c)E 为 AB的中点， F 为 PC的中点E(a, 0, 0)，F(a, b, c)(1)EF (0, b, c)， AP (0, 0, 2c)，AD (0, 2b, 0)1 EF (AP AD ) EF 与 AP 、 AD 共面2PA平面ABCD，第 21 页 (共 24 页)2019 年 5 月 1 日星期三又 E 平面 PADEF平面PAD(2)CD (- 2a, 0, 0) 高考资源网CD EF (- 2a, 0, 0) (0, b, c)0 CDEF(3) 若 PDA45 ，则有 2b2c，即 b

42、c， EF (0, b, b)，AP (0, 0, 2b)cos EF ，AP 2b2b 2b2 EF ，AP图9解：( )以D为原点，以 DA 、DCD1D的正向分别为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间 45AP 平面AC， AP 是平面 AC 的法向量EF与平面 AC所成的角为： 90 EF ，AP 45 25.如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，已知 AB 2，AA1 5, E 、 F分别为 D1 D 、 B1B上的点，且 DE B1F 1.()求证： BE 平面 ACF ；)求点 E到平面 ACF 的距离.C|( 2,0,1) ( 2, 2,1)|( 2)2 ( 2)2 12直角坐标系，则高 D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,