平面向量数量积

1、2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其平面向量数量积的物理背景及其 含义含义 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、平面向量数量积的坐标表示、模、 夹角夹角 已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作oa=a， ob=b，则，则aob= （0 180） 叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角。 o b a 当0时，a与b同向； oab 当180时，a与b反向； oab b 当90时，称a与b垂直， 记为ab. o aa b 我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力f 的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）（如图） f s 力力f所做的功所做的功w可用下式计

2、算可用下式计算 w=|f| |s|cos 其中其中是是f与与s的夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量 “数量积数量积”的概念。的概念。 已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，它们的，它们的 夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量|a| |b|cos叫做叫做 a与与b的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作ab ab=|a| |b| cos 规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。 |a| cos（|b| cos）叫）叫 做向量做向量a在在b方向上（向方向上（向 量量b在在a方向上）的方向上）的投影投影。 注意：向量注意：向

3、量 的数量积是的数量积是 一个数量。一个数量。 向量的数量积是一个数量，那么它向量的数量积是一个数量，那么它 什么时候为正，什么时候为负？什么时候为正，什么时候为负？ ab=|a| |b| cos 当当0 90时时ab为正；为正； 当当90 180时时ab为负。为负。 当当 =90时时ab为零。为零。 设设ba 、 是非零向量，是非零向量， be 是与 方向相同的方向相同的 单位向量，单位向量，ea 与 是的夹角，则的夹角，则 cos|) 1 (aeaae 0)2(baba |;|) 3(bababa 同向时，与当 |;|bababa 反向时，与当 特别地特别地 2 |aaa aaa |或 2

4、 a | cos)4( ba ba | )5(baba o a b a b b1 | cos| cosabababab bababa ba 求求 ：已知例 , 4 3 )2(;,/) 1 ( 2, 11 ，分两种情况：）由解：（ba/1 ;2,baba 同向，当 。反向，当2,baba 1 4 3 cos212ba）（ 解：解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10 例例2 2 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a与与b b的夹角的夹角 =120=120，求，求a ab b。 例例3 已知已知a=(1,1),b=(2,0),求求ab

5、。 解：解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2 o a b |b|cos a b b1 ba 等于等于a 的长度的长度|a 方向上的投影在ab 与与 cos|b 的乘积。的乘积。 o 投影投影 | co sabab o a b |cosbab 在 上的投影：在 上的投影： |cos0b o a b |cos0b a b |cos0b |cosaba 在 上的投影：在 上的投影： |cosabba 数量积等于与投影的乘积。数量积等于与投影的乘积。 练习：练习： 1 1若若a = =0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b= =0

6、2若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b ,有有a b0 3 3若若a 00，a b b = =0，则，则b= =0 4 4若若a b= =0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为0 5 5若若a0，a b= = b c，则，则a=c 6 6若若a b = = a c , ,则则bc, ,当且仅当当且仅当a= =0 时成立时成立 7对任意向量对任意向量 a 有有 22 |aa 二、二、平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律： 数量积的运算律：数量积的运算律： cbcacba bababa abba )(3( )()()(2( ) 1 ( 其中，其中， cba 、是任意三

7、个向量，是任意三个向量， r 注：注： )()(cbacba 则 (a + b) c = on |c| = (om + mn) |c| = om|c| + mn|c| = ac + bc . onm a+b b a c 向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是om、mn、 on, 证明运算律证明运算律(3) 例例 3：求证：求证： （1）(ab)2a22abb2； （2）(ab)(ab)a2b2. 证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab) (ab)a(ab)b aabaabbb a22abb2. 例例 3：求证：求证： （1）(ab)2a22abb2； （2）(ab)(ab)a2

8、b2. 证明：证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaab bb a2b2. p116 例例4 22 2 | 6,| 4,b60 ,(2 ) (3 ),() ,| aba a bababababab 已知与 的夹角为，求已知与 的夹角为，求 ， |cos12a bab 解:解: 2 2 |36aa 2 2 |16bb (2 ) (3 )abab 22 6aa bb 22 | | | |cos6| |aa bb 72 2 ()a b 22 2aa b b 22 | |2| | |cos| |aa bb 28 2 |a b 2 ()28a b |a b 282 7 222 2()

9、 思考 是一个常用的结论，如何构造一个 图形解释这个公式的 几何意义？ 9 例5 已知=, =， 求 . 5.| 3,| 4,abk akbakb 例 已知当且仅当 为何值时， 向量与互相垂直？ 0aba b 例例4 0aba b () ()0akbakb 22 2 0ak b 2 9160k 3 4 k 小结：小结： l1. l2. |co|saabb 0aba b 2 2 |aa 可用来求向量的模可用来求向量的模 3.投影投影 作业：作业： )( ,2 432, 1|1 cbacaba cba k bakbababa 求证：是非零向量，且、设 的值。互相垂直，求 也与且、若 4、已知已知a、b都是非零向量都是非零向量，且且a + 3 b 与与7 a 5 b 垂直垂直，a 4 b 与与7 a 2 b垂直垂直，求求a与与b的夹角的夹角。 解： （a + 3 b ）（7 a 5 b） （a 4 b ）（7 a 2 b ） （a + 3 b ）（7 a 5 b） =0 且 （a 4 b