电磁场与电磁波课后习题及答案二章习题解答

1、二章习题解答4 0U0d 43x 2 3，式中阴极板位于9x d ，极间电压为 U0。如果 U0 40V 、d 1cm 、横截面 S 10cm 2， x 0和 x d区域内的总电荷量 Q；(2)x d 2和 x d区域内的总电荷量 Q 。d1)Q d ( 4 0U0d 4 3x 2)3Sdx4 0U 0S 4.72 10 11C0 9 0 0 3d 0 02.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为x 0 ，阳极板位于 求：(1)2)2.2质子束，解d( 4 0U0d 43x 23)Sdx4 (1 31 ) 0U0S 0.97 10 11 Cd 2 9 3d 22.32 10 7 C m3 的

2、质子束，通过 1000 V 的电压加速后形成等速的，束外没有电荷分布， 试求电流密度和电流。19 。由Qd 一个体密度为 2.32 10 7 C m3质子束内的电荷均匀分布， 束直径为 2 mm 质子的质量 m 1.7 10 27 kg 、电量 q 1.6 10 C12 mv qU2 v 2mqU 1.37 106 m sJ v 0.318 A m2I J (d 2)2 10 6 A一个半径为 a的球体内均匀分布总电荷量为 Q 的电荷，球体以匀角速度 绕一个直径2.3 旋转，求球内的电流密度。解 以球心为坐标原点，转轴(一直径)为 z 轴的夹角为 ，则z 轴。设球内任一点 P 的位置矢量为 r

3、 ，且 r 与球内的电荷体密度为P 点的线速度为vre r sin4 a3 3J v eQ3r sin4 a3 3a的导体球带总电荷量为e 3Q 3 r sin4 a32.4 一个半径为 面的面电流密度。解 以球心为坐标原点，转轴(一直径)为 与 z 轴的夹角为 ，则 P 点的线速度为Q ，同样以匀角速度 绕一个直径旋转，求球表z 轴。设球面上任一点 P 的位置矢量为 r ，且 rvre a sin球面的上电荷面密度为QQS v e 2 a sine sin4 a 4 a2.5 两点电荷 q1 8C位于 z轴上 z 4处，q24C位于 y轴上 y 4处，求 (4,0,0) 处的电场强度。解 电

4、荷 q1 在 (4,0,0) 处产生的电场为E1q1 r r140r r1 32 ex4 ez40 (4 2)3电荷 q2在 (4,0,0) 处产生的电场为E2q2 r r21 ex 4 ey 440r r2 30 (4 2)3故 (4,0,0) 处的电场为ex ey ez232 2 02.6 一个半圆环上均匀分布线电荷 l ，求垂直于圆平面的轴线上 z a 处的电场强度 E (0,0, a) ，设半圆环的半径也为 a，如题 2.6 图所示。解 半圆环上的电荷元 l dll ad 在轴线上 z a处的电场强度为l a r r dE E1 E 2dE34 0 ( 2a)3l ez ( e x c

5、osey sin )d8 2 0 a 在半圆环上对上式积分，得到轴线上 z a 处的电场强度为E (0,0, a) d E2ez (ex cos ey sin )dl (ez ex2)2 8 2 0 al 2 和 l3 地l8 2 0a2.7 三根长度均为 L ，均匀带电荷密度分别为 l1 、 线电荷构成等边三角形。 设 l1 2 l2 2 l3 ，计算三角形中心处的 电场强度。解 建立题 2 .7 图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为L3d tan30 L26l1 3 l1E1 ey l1 (cos30 cos150) eyl11 y 4 0d y 2 0L E2 (ex cos30 e

6、y sin30 ) 3 l2(ex 3 ey) 3 l12 x y 2 0L x y 8 0L E3 (excos30 ey sin30 ) 3 l3 (ex 3 ey) 3 l12 0L8 0L故等边三角形中心处的电场强度为E E1 E 2 E 3ey 3 l1 (ex 3 ey ) 3 l1 (ex 3 ey)2 0L8 0 LyE1l3l2l2E2E3题 2 .7 图l13 l18 0Le 3 l1 ey 4 0L2.8 点电荷 q位于 ( a,0,0) 处，另点电荷 2q位于 (a,0,0) 处，空间有没有电场强 度 E 0 的点？q ex (x a) ey y ezz解 电荷 q 在

7、 ( x, y, z) 处产生的电场为E1 2 2 2 3 2 4 0 ( x a) y z 电荷 2q在(x, y,z) 处产生的电场为E22q ex( x a) ey y ezz4 0 ( x a) 2 y2 z23 2(x, y,z) 处的电场则为 E E1 E2。令 E 0，则有ex(x a) ey y ezz 2ex(x a) eyy ezz2 2 2 32 2 2 2 3 2 (x a) y z ( x a) y z 由上式两端对应分量相等，可得到(x a)(x a)2 y2 z23 2 2(x a)(x a)2 y2 z232y(x a)2 y2 z232 2y(x a)2 y2

8、 z23 2z(x a)2 y2 z23 2 2z(x a)2 y2 z232当 y 0或z 0时，将式或式代入式， 得 a 0 。所以，当 y 0或 z 0时无解； 当 y 0且 z 0 时，由式，有(x a)(x a)3 2( x a)( x a)3解得x ( 3 2 2)a 但 x 3a 2 2a不合题意，故仅在 ( 3a 2 2a,0,0) 处电场强度 E 0 。29 一个很薄的无限大导电带电面， 电荷面密度为 。证明：垂直于平面的 z轴上 z z0 处 的电场强度 E 中，有一半是有平面上半径为3z0的圆内的电荷产生的。电荷线密度为 l dr 的带电细圆环在 z 轴上 z z0 处的

9、电场强度为r z0 d r解 半径为 r 、dE ez2 0(r2 z02)32 故整个导电带电面在 z 轴上 z z0 处的电场强度为r z0 d r32e z01ez 2 0 (r 2 z02)12E ez2 2z0 2 0(r 2 z02 ) 而半径为 3z0的圆内的电荷产生在 z轴上 z z0 处的电场强度为 3z03z0E eze z012 2 3 2 ez2 2 1 20 2 0(r2 z02)3 2z 2 0 (r 2 z02)122.10 一个半径为 a的导体球带电荷量为 Q ，当球体以均匀角速度 绕一个直径旋转，如题 2.10 图所示。求球心处的磁感应强度解 球面上的电荷面密

10、度为Q24 a 2r z0 d r0 ez4 0B。当球体以均匀角速度 绕一个直径旋转时，球面上位置矢量 r er a 点处的电流面密度为ez er aQ e sin 4a dl a d 的细圆环，则球面上任一个宽度为 dl a d 细圆环 Q d I JS d lsin dea sin将球面划分为无数个宽度为的电流为4细圆环的半径为 b a sin ，圆环平面到球心的距离 d acos ，利用电流圆环的轴线上的磁 场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为d B e0b2 d Ie 0 Qa2 sin3 d e 0 Q sin3 dd B ez2 2 3 2 e z2 2 2 2 3 2 e

11、z2（b d ） 8 （a sin a cos ）3 0 Q sin 30 QB ezdezz 0 z故整个球面电流在球心处产生的磁场为8a8 a 6 a2.11 两个半径为 b 、同轴的相同线圈，各有 N 匝，相互隔开距离为 d ，如题 2.11 图所示。 电流 I 以相同的方向流过这两个线圈。（ 1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度B e B ；xx（ 2）证明：在中点处 d Bx d x等于零；（3）求出 b与d之间的关系，使中点处 d2B dx2 也等于零。解 （ 1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度Ia2B ez0Iaz 2 2 3 22(a z )得到两个线圈中心点处的磁感应强度

12、为2）两线圈的电流在其轴线上0NIb2所以d Bx3 0NIb2xdx2(b2 x2)5 2故在中点x d 2 处，有dBx3 0NIb2 d 2dx2b2 d2 45 2 2（3）d2 Bx 15 0NIb 22 2 2 d x2 2(b2 x2 )B ex0NIb2(b2 d2 4)3 2 x (0 x d) 处的磁感应强度为 0NIb2 2(b2 x2)32 2b2 (d x)23 2 3 0NIb2 (d x) 2b2 (d x)25 23 0NIb2 d 2 0b2 d2 45 2 0 x23 0NIb 27 22 2 5 27 2 2(b2 x2)5 215 0 NIb2(d x)

13、23 0NIb22题 2.11 图d2Bxdx20，有2b2 (d x)25 212b2 (d x)27 25d 2 4b2 d2 472 b2 d2 45 25d2 4 b2 d 2 4故解得 d b2.12 一条扁平的直导体带，宽为 2a ，中心线与 z 轴重合，通过的电流为I 。证明在第0I，By0I4a象限内的磁感应强度为Bx则aln 2 式中 、r1和 r2 如题 2.12图所示。4 a r11 2解 将导体带划分为无数个宽度为 d x 的细条带，每一 细条带的电流 dI I dx 。由安培环路定理， 可得位于 x 处 2a的细条带的电流 dI 在点 P(x,y) 处的磁场为 dB

14、0dI0I dx0Idxd B4 a( x x )2 y 212dBxdBsin0Iy d2x 2x 4 a( x x )2 y 20I( x x )d xdBy d Bcos 0 2 2y 4 a( x x )2 y 22 R 4 aR所以Bx0Iydx0Ia 4 a( x x)2 y2 0 I arctan 4a4aar ctanxxaxarctany0I0 arctan4aaxy0I ( 21)4axaarctanxayy0I(x x )d xI0I ln(x x )2 y20I04a0I ln (x a)2 y2 a 8 a ln (x a)2 y20I ln r24 a r1BBy

15、a4 a(x x )2 y22.13 如题 2.13图所示，有一个电矩为 p1的电偶极子， 位于坐标原点上， 另一个电矩为 p2的 电偶极子，位于矢径为 r 的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为Fr 3p1p24 (sin 1 sin 2 cos 2cos 1cos 2 ) 4 0r 4式中 1 r,p1 ， 2 r, p2 ， 是两个平面 (r, p1) 和 (r, p2)间的夹角。 样的相对取向下这个力值最大？解 电偶极子 p1 在矢径为 r 的点上产生的电场为 E 1 3(p1 r )r p1E1 53 4 0 r r 所以 p1与 p2之间的相互作用能为1 3(p1 r)( p2

16、 r) p1 p2 0 因为 1 r, p1 ， 2 r, p2 ， p1 r p1r cos 1 p2 r p2r cos 2Wep2 E18a并问两个偶极子在怎r5r3 又因为 是两个平面 (r,p1)和 (r, p2)间的夹角，所以有(r p1) (r p2) r2p1p2sin 1sin 2 cos另一方面，利用矢量恒等式可得22(rp1) (rp2)(rp1)rp2r2p1(rp1)rp2r2( p1p2)(rp1)(rp2)此1(p1 p2)2(rp1)(rp2)(rp1)(rp2)p1 p2 sin 1sin 2cosp1 p2 cos 1cos2rp1p2We1 23(sin

17、1sin 2cos 2cos 1cos 2)4 0r 故两偶极子之间的相互作用力为p1p2 (sin 1sin 2cos 2cos 1 cos 2 ) d (13) dr r于是得到FrWeq c on st403p1p21 24 (sin 1sin 2cos 2cos 1 cos 2) 4 0r由上式可见，当 1 2 0时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。2.14 两平行无限长直线电流 I1和 I 2，相距为解 无限长直线电流 I1 产生的磁场为B1直线电流 I2每单位长度受到的安培力为Fm12d ，求每根导线单位长度受到的安培力Fm 。e 0I1e2r1 I II2ez B1 dz

18、e12 0I1I202d式中 e12 是由电流 I1指向电流 I 2的单位矢量。同理可得，直线电流 I1 每单位长度受到的安培力为F F e0I1I 2Fm21F m12e122d2.15 一根通电流 I1的无限长直导线和一个通电流 I2 的圆环在同一平面上， 圆心与导线的距 离为 d ，如题 2.15 图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为Fm 0I1I 2(sec 1)这里 是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。解 无限长直线电流 I1 产生的磁场为B e 0I1B1 e2r 圆环上的电流元 I2 dl2 受到的安培力为由题 2.15 图可知所以2Fm0I1I2 dFm I2dl2 B1 d l2 ey 0 1 2 m 2 2 1 2 y 2 x d l 2 ( ex sin ez cos )adx d acos0aI1I22x0 2 (d acos )( ezsinexcos )d0aI1I22ex 2cos0aI1I 2 2 d 2( 2 2 )ex 0I1I 2(sec 1)2 a a d2 a2某 一电 偶 极子 p绕 坐标原 点 所 受到的 力 矩 为