拉普拉斯变换在求解微分方程中地应用

1、实用标准文案目 录引言 11拉普拉斯变换以及性质 11.1拉普拉斯变换的定义 11.2拉普拉斯变换的性质 22用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 33拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 43.1初值问题与边值问题 43.2常系数与变系数常微分方程 53.3含函数的常微分方程 63.4 常微分方程组 73.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 73.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 114拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 124.1齐次与非齐次偏微分方程 124.2 有界与无界问题 155综合比较，归纳总结 19结束语 20参考文献 20英文摘要 21致谢 21文档忻州

2、师范学院物理系本科毕业论文(设计)拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系0801班学 生 岳艳林指导老师韩新华摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程(初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含函数的 常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广)与典型偏微分方程(齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题) 中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。关键词：

3、拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解引言傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在：=内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实 际应用中，许多以时间t为自变量的函数通常在t 0时不需要考虑或者没有意 义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改 造，便产生了拉普拉斯变换。1拉普拉斯变换以及性质1.1拉普拉斯变换的定义-bo设函数f(t)当t 一0时有定义，而且积分.f(t)e$dt(s是一个复参量)在s的0乂某一区域内收敛，则此积分所确定的函数可写为F (s)二f (t)etdt.我们称上式0为函数 f

4、(t)的 Lap lace 变换式.记为 F(s) =Lf (t), F (s)称为 f (t)的 Laplace 变换(或称为象函数)若F(s)是f(t)的Lap lace变换，则称f(t)为F(s)的Laplace逆变换(或称 为象原函数)，记为f (t)二LF(s).Lap lace变换的存在定理若函数f(t)满足下列条件：1在t _0的任一有限区间上分段连续；2当t_. :时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数M . 0 及cx0，使得f(t)兰Mec兰匕址成立(满足此条件的函数，称它的增大是不 超过指数级的，c为它的增长指数).-bo则f (t)的Laplace变换F

5、(s) = f(t)e$dt在半平面Re(s) . c上一定存在，0右端的积分在Re(s) _ g c的半平面内，F(s)为解析函数.1.2拉普拉斯变换的性质线性性质若：1 是常数，Lfi(t)二 Fi(s), Lf2(t)二 F2(s),则有 L: f1(t)f2(t) = ： Lf1(t)+ lf2(t),L: Fds)飞LF1(s)+F2(s).微分性质若 L f (t)F(s),则有 L f(t) = sF(s) - f(0).高阶推广 若 Lf(t)二 F(s),则有 Lf (t)二 s2F(s)-sf(0)- f(0).一般，L f n(t)二 snF(s) -snf (0) -s

6、n，f (0) - - sf2)(0) - f z)(0).积分性质若 L f (t) = F (s),则 L f f(t)dt=丄 L F (s).Jos位移性质若 Lf(t)二 F(s)，则 Leatf(t) = F(s-a)(Re(s-a) c).延迟性质若Lf(t)二F(s),又t 0,y +=c), ccyy Z0*u=3y.2解：对该定解问题关于y取拉普拉斯变换，并利用微分性质及初始条件可得Lu(x, y)二U (x,s),L3_ =sU(x,s) -u(x,O) =sU -x2,L【孕：x ： yuu二 L () = sL -:y :x: x.:u；x y=0，sdU-2x,dx

7、Lx2y二2x2 ,s32s这样，原定解问题转化为含参数Lu|嗨=Ux=0s的一阶常系数线性非齐次微分方程的边值问2x2，s题:dUs-2x = dx方程- dU2。伍亏可转化为sdU -2x = x：dxs2解此微分方程，可得其通解为32c,其中c为常数。为了确定常数c,将边界条件x-03代入上式，可得S由拉普拉斯变换函数表2.丄 X2L _ =1,可知 L =x2.ss由拉普拉斯变换函数表可知刍s3s方程两边取反演，从而原定解问题的解为u(x,y)二 LJU (x,s)3y x2.6例：求解非齐次偏微分方程_2 _2小“2；2； g，（g 为常数），（x 60）,.:t2Zuy =0,_

8、ax：0 =0.=0,2解：对该问题关于t取拉普拉斯变换，并利用微分性质及初始条件可得Lu(x,t)二U (x,s),L峯=s2U(xs) -su :t:utz0;:t二 S2U,t zOLgHg；：2ud2Lf 2皿切鼻2 5x =0=0.这样，原定解问题转化为含参数 s的二阶常系数线性非齐次微分方程的边值问题:U|= 0,lim_U =0.x sj：:方程dU 1dx2a2s2U2,1 g可转化为dU = 1 J- 1 gdx2解此微分方程，可得其通解为U（x,s） =&es- xC2e a g,其中g, q为常数。 s为了确定常数c1,c2,将边界条件UXT =0,limU二0代入上式,

9、忻州师范学院物理系本科毕业论文(设计)17所以，U (x,s)=爲(1s-e a )xg g-as由拉普拉斯变换函数表由拉普拉斯变换函数表n!s1 n!LLg 2t2.2sn1-tn,并结合延迟定理LJ3t)F(s)f (t - to),X .s a(tf)2u(t).2 aa方程两边取反演,从而原定解问题的解为x =0 = 0, ut =0x 土;:t,二 0.t=01_J g gu(x,t) =L U(x,s) =L 弓 3es s(或)X -; a、2 2(VW.4.2有界与无界冋题例：求解有界偏微分方程-2 - 2； u 2 u.:t2a .2 , (0 ： x ：丨，t 0),:x=

10、 s2U su-:tt =0 二 S2U ,：2c uL . 2；xd2Udx2忻州师范学院物理系本科毕业论文（设计）LUxULux4 = (S).23s的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题:这样，原定解问题转化为含参数x4 =(s).d2U s2 ,门 dx2 a2U 仁=0,U该方程的通解为U(x,s) =Ge，sx.C2e a ,其中Ci,C2是常数。为确定常数c1,c2，将边界条件x卫=0,代入上式，可得C1 - o =0,即& - -C2；将边界条件Ussl. .-lx = (s)代入上式，可得(s) -c)eac2e a因此 g - -c2 = siea(s)sl -e a从而s

11、 x ea u(x,s)= (S)s-lea -es-x-e a仝i-a-(lle aJc-l 七) -e a1 4l =s e a=(s)ss3sx . . l .I a +e a )丝a )s-x(ea -e a )(e(s)自_s.l(ea -e a )(e*(31 -x) (3I x)aa+s.1 -e a4l为了求U (x,s)的拉普拉斯逆变换，注意到分母为一 s1 -e a ,所以逆变换u(x,t)是周期为丝的关于i的周期函数。根据周期函数的拉普拉斯变换式，其中s厂表 as1 -e a明：(t)是以4l为周期的周期函数，即aL=4- =07cp匕,ss 01 -e a 1 -e a

12、由拉普拉斯变换函数表L冷1 -e(s)4iH-(t),sa并结合延迟定理Le丑F(s)二f (t -t。).可知L半厂e号Jt -G)u(t -匕).saa1 -e a同理可知(s)4ls1 -e al ；：xsl ：卜 Xl ：卜 Xe a V(t丨X)u(tx).aaL（s）4ls1 -e aL 饗1 -e a31 _x -s3l - x 31 - x、e a = (t )u(t ).aae晋(t_g)u(t-m,aa方程两边取反演，从而原定解问题的解为i忻丨一x丨一x忻丨+x丨+xu(x,tr L U(x,s)(t )u(t )- (t )u(t ) aaaa3lx)u(t_3l-x)_

13、(t_3l x”.31 x).aaaa其中u（a）为单位阶跃函数,即 u(a)Qa cO, J,a 0.例：求解无界偏微分方程Jl2=a2 _hu, （h为常数），（xO,tO）,c x u|xzO =u（常数），uL =.2解：对该问题关于t取拉普拉斯变换，记Lu(x,t)二U (x,s),L ： =sU(x,s) -u :t-2c uL 一 2】:Xd2Udx2：2：2 Lu(x,t) :x-Ux =0u0这样，原定界问题转化为含参数 s的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题:du* dx2Ux卫从而 U(x,t)二 LU(x,s)二 LUe ss h -U =0,a二Uo,limU =0

14、(为自然定解条件)s x解此微分方程可得通解为s hx s h xU(x,s)=Cie aC2e a ,其中 g, c?为常数。为确定常数g, Q，将边界条件U| =巴代入上式，可得Ci+C2=;一 ss因此，J:U。C2s所以，U吊XU(x,s) 0 e a . s将边界条件lim U =0代入上式，可得G =0._xa ，由拉普拉斯变换函数表l=1，s可知LU0 =u。s由拉普拉斯变换函数表c(2亍可知L41esXsx2a =erfC() ： x2at兀如果令f(t)2e小，显然f(0) = 0,由导数性质,1 二、s亦即 L4e a = f (t)二2t)ddt2at tx2e审由位移性

15、质 Lef (t) =F(s + k),可知 Le一丁x二2atJ 珥x2X e事X4- ht)x e 4a2t2at t由卷积定理 Llftf2(t) =F|(s)F2(s),jShx可得 U(x,t)二 LJ 0 LJe a ,sx令、=2a /,最后可得该定解问题的解为( x2 1uo1x丄荷iht)u(x,t) = L L e a = Uo e 4a ts2 at J兀 tUo( )X0U0 XeF0 2a(t - )二(t _ )x h(t f.)d0.Vn2hx2-hC Vx e a、d .2a.J t5综合比较，归纳总结从以上的例题可以看出，用拉普拉斯变换方法求解微分方程有如下的

16、优缺点 113:拉普拉斯变换对像函数要求比傅里叶变换弱，其使用面更宽。但拉普拉斯 变换像其他变换一样都有其局限性，只有满足其存在定理时才可以使用拉普拉斯 变换。而在微分方程的一般解法中，并没有任何限制；用拉普拉斯变换方法求解微分方程， 由于同时考虑初始条件，求出的结果 便是需要的特解。而微分方程的一般解法中， 先求通解，再考虑初始条件确定任 意常数，从而求出特解的过程比较复杂；零初始条件、零边界条件使得拉普拉斯变换方法求解微分方程更加简单。 而在微分方程的一般解法中，不会因此而有任何简化；用拉普拉斯变换求解微分方程，对于自变量是零的初始条件，求其特解是 非常方便的。但微分方程的一般解法并没有简

17、化；用拉普拉斯变换方法求解微分方程， 对方程的系数可变与否、对区域有界 与否、对方程和边界条件齐次与否并无特殊关系。而在微分方程的一般解法中， 会遇到很多困难；用拉普拉斯变换方法求解微分方程组， 可以在不知道其余未知函数的情况 下单独求出某一个未知函数。但在微分方程的一般解法中通常是不可能的；拉普拉斯变换可以使解n个自变量偏微分方程的问题，转化为解n-1个自 变量的微分方程的问题，逐次使用拉普拉斯变换，自变量会逐个减少，有时还可 将解n个自变量偏微分方程的问题最终转化为解一个常微分方程的问题，比微分 方程的一般解法更为简单、直接；比较系数法和常数变易法只需进行代数运算和积分运算，要求相对较低。

18、 相比之下，算子法要先将方程化为算子形式然后利用算子的性质进行分解，对初学者而言要求相对较高，然而算子法却具备比较系数法和常数变易法无法具备的 应用条件，有适应面广、计算量小、准确度高、简单易行的特点。结束语通过列举拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用，可以看出拉普拉斯变换是 一种特别成功的数学方法，求解微分方程的步骤比较明确、规律性比较强、思路清晰且容易掌握。灵活使用拉普拉斯变换，可以巧妙地推出一些复杂问题的答案， 便于学生理解进而提高教学质量。参考文献1 李高翔.拉普 拉斯变 换在微分 方程组 求解中的应用J.高等函授学报,2009，22(3):22-24.2 张元林.工程数学积分变换(第四

19、版) M.北京：高等教育出版社，2003 : 68-138.3 梁昆淼.数学物理方法(第三版)M.北京：高等教育出版社，1998 : 120-121.4 黄会芸.拉普拉斯变换在高等数学中的应用J.潍坊教育学院学报，2009,22(4):44-45. 全生寅论解N阶常微分方程的Laplace变换法J.青海大学学报，2000(5):61-62. 李曼生，陈莉.拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用J.广西右江民族师专学报,2006(3):5-8.7 张刁民.拉普拉斯变换求二阶常系数非齐次微分方程的特解J.河南教育学院学报,2005(1):27-28.8 李连忠，何乐亮.拉普拉斯变换应用的一个推广J.山

20、东师范大学学报,2007(1):148.9 姜立新丄aplace变换的应用研究J.枣庄学院学报,2010,27(2).37-40.10 唐妍霞利用Laplace变换求解一维波动方程的定解问题J.河北北方学院学报,2010(3):16-19.11 王振芳.拉普拉斯变换及其应用J.雁北师范学院学报，2001(6):48-49.12 谢小良.基于Lap lace变换下微分方程的解法及应用J.湖南城市学院学报(自然科学).2003,24(3).85-86.忻州师范学院物理系本科毕业论文(设计)13 杨芳,吴小欢.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解方法J.广西师范学院学报,2009(04):97-100.Application of Laplace Transformto General Solutions of Differential EquationsDepartme nt of Physics 0801Stude nt Yanlin YueTutor Xin hua HanAbstract:Through to the Laplace tran sformin solvi ng ordinar